Симетрія просторових фігур. а а a називається віссю симетрії фігури

«Точка симетрії» – симетрія в архітектурі. Приклади симетрії плоских фігур. Дві точки А і А1 називаються симетричними щодо, якщо Про середина відрізка АА1. Прикладами фігур, що мають центральну симетрію, є коло і паралелограм. Крапка C називається центром симетрії. Симетрія в науці та техніці.

«Побудова геометричних фігур» – виховний аспект. Контроль та корекція засвоєння. Вивчення теорії, на якій ґрунтується метод. У стереометрії – не суворі побудови. Стереометричні побудови. Алгебраїчний метод. Метод перетворень (подібності, симетрії, паралельного перенесення тощо). Наприклад: пряма; бісектриса кута; серединний перпендикуляр.

«Фігура людини» - Форму та рухи тіла людини багато в чому визначає скелет. Ярмарок з театральною виставою. Як ви вважаєте, чи знайдеться робота для художника в цирку? Скелет грає роль каркаса у будові фігури. Головне Тіло (тварини, груди) Не звертали уваги Голова, обличчя, руки. А. Матіс. Пропорції. Стародавня Греція.

«Симетрія щодо прямої» - Симетрія щодо прямої називається осьовою симетрією. Пряма а – вісь симетрії. Симетрія щодо прямої. Булавін Павло, 9В клас. Скільки осей симетрії має кожна фігура? Фігура може мати одну або кілька осей симетрії. Центральна симетрія. Рівнобедрова трапеція. Прямокутник.

«Площі фігур геометрія» – Теорема Піфагора. Площі різних фігур. Вирішіть ребус. Фігури, що мають рівні площі, називаються рівновеликими. Одиниці виміру площ. Площа трикутника. Прямокутник, трикутник, паралелограм. Квадратний сантиметр Постаті рівної площі. Рівні постаті б). Квадратний міліметр. в). чому дорівнюватиме площа фігури складеної з фігур А і Г.

«Межа функції в точці» - , то в такому випадку. При прагненні. Межа функції у точці. Безперервна у точці. дорівнює значенням функції в. Але при обчисленні межі функції при. Дорівнює значенню. Вираз. Прагнення. Або можна сказати так: у досить малій околиці точки. Складено із. Рішення. Безперервна на проміжках. На проміжку.

Гомотетія та подоба.Гомотетія - перетворення, у якому кожній точціМ (площини або простору) ставиться у відповідність точкаМ", що лежить на ОМ (рис. 5.16), причому відношенняОМ ": ОМ = λ одне і те ж для всіх точок, відмінних відО. Фіксована точкаПро називається центром гомотетії. СтавленняОМ": ОМ вважають позитивним, якщоМ" та М лежать по один бік відО, негативним - з різних боків. Число X називають коефіцієнтом гомотетії. ПриХ< 0 гомотетію називають зворотною. Приλ = - 1 гомотетія перетворюється на перетворення симетрії щодо точкиО. При гомотетії пряма перетворюється на пряму, зберігається паралельність прямих і площин, зберігаються кути (лінійні і двогранні), кожна постать перетворюється на нійподібну (рис. 5.17).

Правильне і зворотне твердження. Гомотетія може бути визначена як афінне перетворення, при якому прямі, що з'єднують відповідні точки, проходять через одну точку – центр гомотетії. Гомотетію застосовують збільшення зображень (проекційний ліхтар, кіно).

Центральна та дзеркальна симетрії.Симетрія (в широкому значенні) - властивість геометричної фігури Ф, що характеризує деяку правильність її форми, незмінність її при дії рухів та відбитків. Фігура Ф має симетрію (симетрична), якщо існують нетотожні ортогональні перетворення, що переводять цю фігуру в себе. Сукупність всіх ортогональних перетворень, що поєднують фігуру Ф із собою, є групою цієї постаті. Так, плоска фігура (рис. 5.18) з крапкоюМ, що перетворює-

ся в себе при дзеркальному відображення, симетрична щодо прямої - осіАВ. Тут група симетрії складається з двох елементів – точкаМ перетворюється наМ".

Якщо фігура Ф на площині така, що повороти щодо будь-якої точкиПро на кут 360°/n, де n > 2 ціле число, переводять її в себе, то фігура Ф має симетрію n-го порядку щодо точкиПро - Центру симетрії. Приклад таких фігур - правильні багатокутники, наприклад зірчастий (рис. 5.19), що має симетрію восьмого порядку щодо свого центру. Група симетрії тут так звана циклічна група n-го порядку. Коло має симетрію нескінченного порядку (оскільки поєднується з собою поворотом на будь-який кут).

Найпростішими видами просторової симетрії є центральна симетрія (інверсія). У цьому випадку щодо точкиПро фігура Ф поєднується сама з собою після послідовних відбиття від трьох взаємно перпендикулярних площин, тобто точкаПро - середина відрізка, що сполучає симетричні точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точкаПро є центром симетрії. КрапкиМ та М" куба

Життя людей сповнене симетрією. Це зручно, красиво, не потрібно вигадувати нових стандартів. Але що вона є насправді і чи така гарна в природі, як прийнято вважати?

Симетрія

З давніх-давен люди прагнуть упорядкувати світ навколо себе. Тож щось вважається гарним, а щось не дуже. З естетичної точки зору як привабливі розглядаються золотий та срібний переріз, а також, зрозуміло, симетрія. Цей термін має грецьке походження і буквально означає "пропорційність". Зрозуміло, йдеться як про збіг за цією ознакою, а й у деяких іншим. У загальному сенсі симетрія - це така властивість об'єкта, коли в результаті тих чи інших утворень результат дорівнює вихідним даним. Це зустрічається як у живій, так і неживій природі, а також у предметах, зроблених людиною.

Насамперед термін "симетрія" вживається в геометрії, але знаходить застосування в багатьох наукових областях, причому його значення залишається в цілому незмінним. Це досить часто зустрічається і вважається цікавим, оскільки відрізняється його видів, і навіть елементів. Використання симетрії також цікаве, адже вона зустрічається не тільки в природі, а й у орнаментах на тканині, бордюрах будівель та багатьох інших рукотворних предметах. Варто розглянути це подробиці, оскільки це вкрай захоплююче.

Вживання терміна в інших наукових галузях

Надалі симетрія розглядатиметься з погляду геометрії, проте варто згадати, що це слово використовується не тільки тут. Біологія, вірусологія, хімія, фізика, кристалографія - все це неповний список областей, в яких це явище вивчається з різних боків та в різних умовах. Від того, до якої науки належить цей термін, залежить, наприклад, класифікація. Так, поділ на типи серйозно варіюється, хоча деякі основні, мабуть, залишаються незмінними скрізь.

Класифікація

Розрізняють кілька основних типів симетрії, з яких найчастіше зустрічаються три:

Крім того, в геометрії розрізняють також такі типи, вони зустрічаються значно рідше, але не менш цікаві:

• ковзна;
• обертальна;
• точкова;
• поступальна;
• гвинтова;
• фрактальна;
• і т.д.

У біології всі види називаються трохи інакше, хоча насправді можуть бути такими ж. Підрозділ на ті чи інші групи відбувається на підставі наявності чи відсутності, а також кількості деяких елементів, таких як центри, площини та осі симетрії. Їх слід розглянути окремо та детальніше.

Базові елементи

У явищі виділяють деякі риси, одна з яких обов'язково є. Так звані базові елементи включають площини, центри і осі симетрії. Саме відповідно до їх наявності, відсутності та кількості визначається тип.

Центром симетрії називають точку всередині фігури або кристала, в якій сходяться лінії, що поєднують попарно всі паралельні один одному сторони. Зрозуміло, він не завжди. Якщо є сторони, яких немає паралельної пари, то таку точку знайти неможливо, оскільки її немає. Відповідно до визначення, очевидно, що центр симетрії - це те, через що фігура може бути відображена сама на себе. Прикладом може бути, наприклад, коло і точка у його середині. Цей елемент зазвичай позначається як C.

Площина симетрії, зрозуміло, уявна, але вона ділить фігуру на дві рівні одна одній частини. Вона може проходити через одну або кілька сторін, бути паралельною до неї, а може ділити їх. Для однієї й тієї фігури може існувати відразу кілька площин. Ці елементи зазвичай позначаються як P.

Але, мабуть, найчастіше трапляється те, що називають "осі симетрії". Це нерідке явище можна побачити як у геометрії, і у природі. І воно гідне окремого розгляду.

Осі

Часто елементом, щодо якого фігуру можна назвати симетричною,

Прикладами можуть бути рівнобедреные і У першому випадку буде вертикальна вісь симетрії, з обох боків від якої рівні грані, тоді як у другому лінії перетинатимуть кожен кут і збігатися з усіма бісектрисами, медіанами і висотами. Звичайні ж трикутники нею не мають.

До речі, сукупність усіх вищезгаданих елементів у кристалографії та стереометрії називається ступенем симетрії. Цей показник залежить від кількості осей, площин та центрів.

Приклади у геометрії

Умовно можна розділити всі безліч об'єктів вивчення математиків на постаті, що мають вісь симетрії, і такі, які її не мають. У першу категорію автоматично потрапляють усі кола, овали, а також деякі окремі випадки, інші ж потрапляють у другу групу.

Як і у випадку, коли йшлося про вісь симетрії трикутника, цей елемент для чотирикутника існує не завжди. Для квадрата, прямокутника, ромба чи паралелограма він є, а для неправильної фігури, відповідно, немає. Для кола осі симетрії – це безліч прямих, які проходять через її центр.

Крім того, цікаво розглянути й об'ємні постаті з цього погляду. Хоча б однією віссю симетрії крім всіх правильних багатокутників і кулі будуть володіти деякі конуси, а також піраміди, паралелограми та деякі інші. Кожен випадок слід розглядати окремо.

Приклади у природі

У житті називається білатеральною, вона зустрічається найбільш
часто. Будь-яка людина і дуже багато тварин тому приклад. Осьова називається радіальною і зустрічається набагато рідше, як правило, в рослинному світі. І все-таки вони є. Наприклад, варто подумати, скільки осей симетрії має зірка, і чи вона їх взагалі? Зрозуміло, йдеться про морських мешканців, а не предмет вивчення астрономів. І правильною відповіддю буде така: це залежить від кількості променів зірки, наприклад п'ять, якщо вона п'ятикутна.

Крім того, радіальна симетрія спостерігається у багатьох квіток: ромашки, волошки, соняшники і т. д. Прикладів величезна кількість вони буквально скрізь навколо.

Аритмія

Цей термін, перш за все, нагадує більшості про медицину та кардіологію, проте він спочатку має дещо інше значення. У разі синонімом буде " асиметрія " , тобто відсутність чи порушення регулярності у тому чи іншому вигляді. Її можна зустріти як випадковість, а іноді вона може стати чудовим прийомом, наприклад, в одязі чи архітектурі. Адже симетричних будівель дуже багато, але знаменита трохи нахилена, і хоч вона не одна така, але це найвідоміший приклад. Відомо, що так вийшло випадково, але в цьому є своя краса.

Крім того, очевидно, що обличчя і тіла людей та тварин теж не повністю симетричні. Проводились навіть дослідження, згідно з результатами яких "правильні" особи розцінювалися як неживі чи просто непривабливі. Все-таки сприйняття симетрії і це явище саме собою дивовижні і поки не до кінця вивчені, а тому вкрай цікаві.

Отже, щодо геометрії: виділяють три основні види симетрії.

По перше, центральна симетрія (або симетрія щодо точки) - Це перетворення площини (або простору), при якому єдина точка (точка О - центр симетрії) залишається на місці, інші ж точки змінюють своє положення: замість точки А отримуємо точку А1 таку, що точка О середина відрізка АА1. Щоб побудувати фігуру Ф1, симетричну фігурі Ф щодо точки О, потрібно через кожну точку фігури Ф провести промінь, що проходить через точку О (центр симетрії), і на цьому промені відкласти точку, симетричну обраної щодо точки О. Багато побудованих таким чином точок дасть фігуру Ф1.

Великий інтерес викликають фігури, що мають центр симетрії: при симетрії щодо точки Про будь-яка точка фігури Ф перетворюється знову ж таки на деяку точку фігури Ф. Таких фігур у геометрії зустрічається багато. Наприклад: відрізок (середина відрізка – центр симетрії), пряма (будь-яка її точка – центр її симетрії), коло (центр кола – центр симетрії), прямокутник (точка перетину його діагоналей – центр симетрії). Багато центральносиметричних об'єктів у живій та неживій природі (повідомлення учнів). Часто люди самі створюють об'єкти, що мають центр симмет(приклади з рукоділля, приклади з машинобудування, приклади з архітектури та багато інших прикладів).

По-друге, осьова симетрія (або симетрія щодо прямої) - це перетворення площини (або простору), при якому тільки точки прямої р залишаються на місці (ця пряма є віссю симетрії), інші точки змінюють своє положення: замість точки В отримуємо таку точку В1, що пряма р є серединним перпендикуляром до відрізка ВВ1 . Щоб побудувати фігуру Ф1, симетричну фігурі Ф щодо прямої р, потрібно для кожної точки фігури Ф побудувати точку, симетричну їй відносно прямої р. Багато цих побудованих точок і дають шукану фігуру Ф1. Багато існує геометричних фігур, що мають вісь симетрії.

У прямокутника їх дві, у квадрата – чотири, біля кола – будь-яка пряма, що проходить через його центр. Якщо придивитися до літер алфавіту, то і серед них можна знайти, що мають горизонтальну або вертикальну, а іноді обидві осі симетрії. Об'єкти, що мають осі симетрії, досить часто зустрічаються в живій і неживій природі (доповіді учнів). У своїй діяльності людина створює багато об'єктів (наприклад, орнаменти), які мають кілька осей симетрії.

______________________________________________________________________________________________________

По-третє, площинна (дзеркальна) симетрія (або симетрія щодо площини) - це перетворення простору, при якому тільки точки однієї площини зберігають своє місце розташування (α-площина симетрії), інші точки простору змінюють своє положення: замість точки С виходить така точка С1, що площина проходить через середину відрізка СС1, перпендикулярно до нього.

Щоб побудувати фігуру Ф1,симетричну фігурі Ф щодо площини α, потрібно для кожної точки фігури Ф побудувати симетричні щодо α точки, вони у своїй множині і утворюють фігуру Ф1.

Найчастіше в навколишньому світі речей і об'єктів нам зустрічаються об'ємні тіла. І деякі з цих тіл мають площину симетрії, іноді навіть кілька. І сама людина у своїй діяльності (будівництво, рукоділля, моделювання, ...) створює об'єкти, що мають площини симетрії.

Поряд з трьома перерахованими видами симетрії, виділяють (в архітектурі)переносну та поворотнуякі в геометрії є композиціями декількох рухів.

Розглянути осьову та центральну симетрії як властивості деяких геометричних фігур; Розглянути осьову та центральну симетрії як властивості деяких геометричних фігур; Вміти будувати симетричні точки та вміти розпізнавати фігури, які є симетричними щодо точки чи прямої; Вміти будувати симетричні точки та вміти розпізнавати фігури, які є симетричними щодо точки чи прямої; Вдосконалення навичок вирішення завдань; Вдосконалення навичок вирішення завдань; Продовжити роботу над акуратністю запису та виконання геометричного креслення; Продовжити роботу над акуратністю запису та виконання геометричного креслення;

Усна робота «Опитування, що щадить» Усна робота «Опитування, що щадить» Яка точка називається серединою відрізка? Який трикутник називається рівнобедреним? Яку властивість мають діагоналі ромба? Сформулюйте властивість бісектриси рівнобедреного трикутника. Які прямі називаються перпендикулярними? Який трикутник називається рівностороннім? Яку властивість мають діагоналі квадрата? Які фігури називаються рівними?

З якими поняттями на уроці познайомилися? З якими поняттями на уроці познайомилися? Що нового дізналися про геометричні постаті? Що нового дізналися про геометричні постаті? Наведіть приклади геометричних фігур, що мають осьову симетрію. Наведіть приклади геометричних фігур, що мають осьову симетрію. Наведіть приклад фігур, які мають центральну симетрію. Наведіть приклад фігур, які мають центральну симетрію. Наведіть приклади предметів з навколишнього життя, які мають одну або два види симетрії. Наведіть приклади предметів з навколишнього життя, які мають одну або два види симетрії.