Система вправ на вирішення квадратних рівнянь. Як розв'язувати неповні квадратні рівняння? Як вирішується квадратне рівняння повного вигляду

У суспільстві вміння робити дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати у нагоді у багатьох галузях діяльності і широко застосовується практично у наукових і технічних розробках. Свідченням цього може бути конструювання морських і річкових суден, літаків і ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення різних тіл, у тому числі і космічних об'єктів. Приклади з вирішенням квадратних рівнянь знаходять застосування не тільки в економічному прогнозуванні, при проектуванні та будівництві будівель, а й у звичайних життєвих обставинах. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах при здійсненні покупок та інших досить поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вираз. Якщо вона дорівнює 2, то подібне рівняння якраз і називається квадратним.

Якщо говорити мовою формул, то зазначені вирази, хоч би як вони виглядали, завжди можна привести до вигляду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині дорівнює 0. У випадку, коли у такого багаточлена відсутня одна з його складових доданків, за винятком ax 2 воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з вирішенням таких завдань, значення змінних у яких знайти нескладно, слід розглянути насамперед.

Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у виразу в правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати їх винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння виглядатиме так: x(ax+b). Далі стає очевидним, що або х=0, або завдання зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax+b=0. Зазначене продиктовано однією з властивостей множення. Правило говорить, що добуток двох множників дає в результаті 0 тільки якщо один з них дорівнює нулю.

приклад

x = 0 або 8х - 3 = 0

В результаті одержуємо два корені рівняння: 0 та 0,375.

Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжкості, які почали рух з певної точки, прийнятої початку координат. Тут математичний запис набуває такої форми: y = v 0 t + gt 2 /2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частину 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися про час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інших величин. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання й у складніших випадках. Розглянемо приклади із розв'язанням квадратних рівнянь такого типу.

X 2 - 33x + 200 = 0

Цей квадратний тричлен є повним. Спочатку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) = 0. У результаті маємо два корені 8 та 25.

Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь у 9 класі дозволяють цим методом знаходити змінну у виразах не тільки другого, а й третього та четвертого порядків.

Наприклад: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При розкладанні правої частини на множники зі змінною їх виходить три, тобто (x+1),(x-3) і (x+3).

В результаті стає очевидним, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Вилучення квадратного кореня

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, мовою букв представлене таким чином, що права частина будується зі складових ax 2 і c. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься у праву сторону, а потім з обох частин рівності витягується квадратний корінь. Слід звернути увагу, що й у разі коренів рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть бути лише рівності, взагалі які містять доданок з, де змінна дорівнює нулю, і навіть варіанти висловів, коли права частина виявляється негативною. У разі рішень взагалі немає, оскільки зазначені вище дії неможливо проводити з корінням. Приклади розв'язків квадратних рівнянь такого типу слід розглянути.

У разі корінням рівняння виявляться числа -4 і 4.

Обчислення пощади земельної ділянки

Потреба в подібних обчисленнях з'явилася в давнину, адже розвиток математики багато в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок.

Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь, складених на основі таких завдань, слід розглянути і нам.

Отже, допустимо є прямокутна ділянка землі, довжина якої на 16 метрів більша, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину та периметр ділянки, якщо відомо, що його площа дорівнює 612 м 2 .

Приступаючи до справи, спершу складемо необхідне рівняння. Позначимо за x ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х +16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х(х+16), що згідно з умовою нашого завдання становить 612. Це означає, що х(х+16) = 612.

Вирішення повних квадратних рівнянь, а даний вираз є саме таким, не може виконуватися колишнім способом. Чому? Хоча ліва частина його, як і раніше, містить два множники, добуток їх зовсім не дорівнює 0, тому тут застосовуються інші методи.

Дискримінант

Насамперед зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній вигляд даного виразу виглядатиме таким чином: x 2 + 16x - 612 = 0. Це означає, що ми отримали вираз у формі, що відповідає зазначеному раніше стандарту, де a=1, b=16, c= -612.

Це може стати прикладом розв'язання квадратних рівнянь через дискримінант. Тут необхідні розрахунки виконуються за схемою: D = b 2 - 4ac. Ця допоміжна величина непросто дає можливість знайти шукані величини у рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. Якщо D>0, їх два; при D = 0 існує один корінь. У випадку, якщо D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Про коріння та його формулу

У разі дискримінант дорівнює: 256 - 4(-612) = 2704. Це свідчить, що у нашого завдання існує. Якщо знати, до , Розв'язання квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити коріння.

Це означає, що у цьому випадку: x 1 =18, x 2 =-34. Другий варіант у цій дилемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, отже х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18+16=34 і периметр 2(34+ 18) = 104 (м 2).

Приклади та завдання

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади та детальне рішення кількох з них будуть наведені далі.

1) 15x2+20x+5=12x2+27x+1

Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вид рівняння, який прийнято називати стандартним, і прирівняємо його нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Склавши подібні, визначимо дискримінант: D = 49 - 48 = 1. Значить у нашого рівняння буде два корені. Обчислимо їх згідно з наведеною вище формулою, а це означає, що перший з них дорівнюватиме 4/3, а другий 1.

2) Тепер розкриємо загадки іншого.

З'ясуємо, чи взагалі є тут коріння x 2 - 4x + 5 = 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду та обчислимо дискримінант. У вказаному прикладі рішення квадратного рівняння виконувати не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. У разі D = 16 - 20 = -4, отже, коріння дійсно немає.

Теорема Вієта

Квадратні рівняння зручно вирішувати через зазначені вище формули і дискримінант, коли значення останнього витягується квадратний корінь. Але це не завжди. Проте способів отримання значень змінних у разі існує безліч. Приклад: розв'язання квадратних рівнянь з теореми Вієта. Вона названа на честь який жив у XVI столітті у Франції та зробив блискучу кар'єру завдяки своєму математичному таланту та зв'язкам при дворі. Портрет його можна побачити у статті.

Закономірність, яку помітив уславлений француз, полягала в наступному. Він довів, що коріння рівняння у сумі чисельно дорівнює -p=b/a, які твір відповідає q=c/a.

Тепер розглянемо конкретні завдання.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Для простоти перетворюємо вираз:

x 2 + 7x - 18 = 0

Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам таке: сума коренів дорівнює -7, а їх твір -18. Звідси отримаємо, що корінням рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці значення змінних справді підходять у вираз.

Графік та рівняння параболи

Поняття квадратичні функції і квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади подібного вже наведено раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна наочно. Така залежність, намальована як графіка, називається параболою. Різні її види представлені малюнку нижче.

Будь-яка парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. Якщо a>0, вони йдуть високо в нескінченність, а коли a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь-які рівняння, зокрема квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис у точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися за щойно наведеною формулою x 0 = -b/2a. І, підставивши отримане значення початкове рівняння функції, можна дізнатися y 0 , тобто другу координату вершини параболи, що належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів із розв'язанням квадратних рівнянь дуже багато, але існують і загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a>0 можливе тільки якщо у 0 приймає негативні значення. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Інакше D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

За графіком параболи можна визначити коріння. Правильне також протилежне. Тобто, якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину із віссю 0x, легше побудувати графік.

З історії

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, за старих часів не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення давнім були необхідні для грандіозних відкриттів у галузі фізики та астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів.

Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших розв'язання квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилону. Сталося це за чотири сторіччя до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примітивнішими. Наприклад, месопотамские математики гадки не мали про існування негативних чисел. Незнайомі їм були інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності.

Можливо, ще раніше вчених Вавилона розв'язанням квадратних рівнянь зайнявся мудрець із Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Щоправда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він навів, були найпростішими. Крім нього, подібними питаннями цікавилися за старих часів і китайські математики. У Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, проте пізніше їх використовували у своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.

Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третій (і більшій) мірі.

Вирішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.

приклад 1.

Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса

Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!

приклад 2.

Домножимо ліву та праву частину на:

Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!

приклад 3.

Домножимо все на:

Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:

Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:

Приклади:

Відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. не квадратне;
4. не квадратне;
5. не квадратне;
6. квадратне;
7. не квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:

• Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

  Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

1. в. Оскільки ми знаємо, як видобувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.

А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння!

Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:

Відповідь:

Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два корені.

Відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Розв'язання повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.

1. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.

Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.

Якщо, то рівняння має кореня Потрібно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

А отже рівняння має два корені.

Крок 3

Відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже, рівняння має один корінь.

Відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.

Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

Відповідь:Коренів немає

2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Наведене рівняння, а значить:

Відповідь:

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.

При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулче рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.

Розв'язання різних типів квадратних рівнянь

Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.

Можна виділити тип таких рівнянь:

I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

ІІІ. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння немає рішень;

якщо, маємо навчаємо два корені

Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння.

Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.

Відповідь:

Отже, це рівняння має два корені: і.

Відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Відповідь:

Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.

Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має коріння:
• Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:

  Таке коріння називається дворазовим.

• Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Чому можлива різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Відповідь: .

Відповідь:

Отже, рішень немає.

Відповідь: .

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і – коріння нашого рівняння.

Відповідь: ; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:

та: у сумі дають.

та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.

Відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їхня різниця дорівнює - не підходить;

та: - не підходить;

та: - не підходить;

та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:

Відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:

Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:

Відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:

Очевидно, що корінням є числа в.

Відповідь:

Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Розв'язання завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0

За теоремою Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, оскільки сума;

: сума - те що треба

Відповідь: ; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.

Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).

Відповідь: ; .

Завдання 3.

Хм… А де тут що?

Потрібно перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:

Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь: ; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.

Відповідь: ; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь: ; .

Підіб'ю підсумок:

1. Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

Наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

У загальному вигляді перетворення виглядатиме так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.

Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:
• якщо і, рівняння має вигляд: .

1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Виразимо невідоме: ,

2) Перевіряємо знак виразу:

• якщо, то рівняння немає рішень,
• якщо, то рівняння має два корені.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Винесемо загальним множник за дужки: ,

2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння має тільки один корінь: .

2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанта

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,

2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коріння.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

Відомо, що воно є приватним варіантом рівності ах 2 +вх + с = о, де а, в і с - речові коефіцієнти при невідомому х, і де а ≠ про, а і з будуть нулями - одночасно або порізно. Наприклад, с = о, в ≠ або навпаки. Ми майже згадали визначення квадратного рівняння.

Тричлен другого ступеня дорівнює нулю. Перший його коефіцієнт а ≠ о, в і з можуть набувати будь-які значення. Значення змінної x тоді буде коли за підстановці оберне їх у правильне числове рівність. Зупинимося на речових коренях, хоча рішеннями рівняння можуть бути і Повним прийнято називати рівняння, в якому жоден з коефіцієнтів не дорівнює о, а ≠о, в ≠о, з ≠о.
Вирішимо приклад. 2х 2 -9х-5 = о, знаходимо
D = 81+40 = 121,
D позитивний, значить коріння є, х 1 = (9 + √121): 4 = 5, а другий х 2 = (9-√121): 4 = -о,5. Перевірка допоможе переконатися, що вони є вірними.

Ось поетапне рішення квадратного рівняння

Через дискримінант можна вирішити будь-яке рівняння, у лівій частині якого відомий квадратний тричлен при а≠о. У прикладі. 2х 2 -9х-5 = 0 (ах 2 + вх + с = о)

Розглянемо, які бувають неповні рівняння другого ступеня

1. ах 2+вх = o. Вільний член, коефіцієнт з при х 0 тут дорівнює нулю, в ≠ o.
   Як розв'язувати неповне квадратне рівняння такого виду? Виносимо їх за дужки. Згадуємо, коли добуток двох множників дорівнює нулю.
   x(ax+b) = o, це можливо, коли х = про або коли ax+b = o.
   Вирішивши 2-ге маємо x = -в/а.
   В результаті маємо коріння х 1 = 0 за обчисленнями x 2 = -b/a .
2. Тепер коефіцієнт прих дорівнює, а з не дорівнює (≠) о.
   x 2 + с = о. Перенесемо з праву частину рівності, отримаємо x 2 = -с. Це рівняння тільки тоді має речове коріння, коли -з позитивне число (з ‹о),
   х 1 тоді дорівнює √(-с), відповідно х 2 ― -√(-с). В іншому випадку рівняння зовсім не має коріння.
3. Останній варіант: b = c = o, тобто ах 2 = о. Звичайно, таке простеньке рівняння має один корінь, x = о.

Приватні випадки

Як розв'язувати неповне квадратне рівняння розглянули, а тепер матимуть будь-які види.

• У повному квадратному рівнянні другий коефіцієнт при х – парне число.
  Нехай k = o, 5b. Маємо формули для обчислення дискримінанта та коріння.
  D/4 = k 2 - ас, коріння обчислюється так х 1,2 = (-k±√(D/4))/а при D › o.
  x = -k/a при D = o.
  Немає коріння при D ‹ o.
• Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х у квадраті дорівнює 1 їх прийнято записувати x 2 +рх + q = o. На них поширюються всі наведені вище формули, обчислення ж дещо простіше.
  Наприклад, х 2 -4х-9 = 0. Обчислюємо D: 2 2+9, D = 13.
  х 1 = 2 + √13, х 2 = 2-√13.
• Крім того, до наведених легко застосовується У ній говориться, що сума коренів рівняння дорівнює -p, другому коефіцієнту з мінусом (мається на увазі протилежний знак), а добуток цих же коренів дорівнюватиме q, вільному члену. Перевірте, як легко можна було б усно визначити коріння цього рівняння. Для ненаведених (за всіх коефіцієнтів, не рівних нулю) ця теорема застосовна так: сума x 1 +x 2 дорівнює -в/а, добуток х 1 · х 2 дорівнює с/a.

Сума вільного члена з першого коефіцієнта а дорівнює коефіцієнту b. У цій ситуації рівняння має не менше одного коріння (легко доводиться), перший обов'язково дорівнює -1, а другий -з/а, якщо він існує. Як вирішувати неповне квадратне рівняння можна перевірити самостійно. Простіше простого. Коефіцієнти можуть бути в деяких співвідношеннях між собою

• x 2 +x = o, 7х2 -7 = o.
• Сума всіх коефіцієнтів дорівнює о.
  Коріння такого рівняння - 1 і с/а. Наприклад, 2х2 -15х +13 = o.
  x 1 = 1, х 2 = 13/2.

Існує ряд інших способів розв'язання різних рівнянь другого ступеня. Ось, наприклад, метод виділення з полінома повного квадрата. Графічних методів кілька. Коли часто маєш справу з такими прикладами, навчишся «клацати» їх, як насіння, адже всі способи приходять на думку автоматично.

Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна зауважити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали одну й ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

5х (х – 4) = 0

5 х = 0 або х - 4 = 0

х = ± √ 25/4

Навчившись вирішувати рівняння першого ступеня, безумовно, хочеться працювати з іншими, зокрема з рівняннями другого ступеня, які по-іншому називаються квадратними.

Квадратні рівняння - це рівняння типу ах ² + bx + c = 0, де змінною є х, числами будуть - а, b, с де а не дорівнює нулю.

Якщо у квадратному рівнянні один чи інший коефіцієнт (с або b) дорівнюватиме нулю, то це рівняння буде відноситися до неповного квадратного рівняння.

Як вирішити неповне квадратне рівняння, якщо учні досі вміли розв'язувати лише рівняння першого ступеня? Розглянемо неповні квадратні рівняння різних видів та нескладні способи їх вирішення.

а) Якщо коефіцієнт с дорівнюватиме 0, а коефіцієнт b не дорівнюватиме нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + bх = 0.

Щоб розв'язати таке рівняння, потрібно знати формулу розв'язання неповного квадратного рівняння, яка полягає в тому, щоб ліву частину розкласти на множники і пізніше використовувати умову рівності твору нулю.

Наприклад, 5х ² - 20х = 0. Розкладаємо ліву частину рівняння на множники, при цьому здійснюючи звичайну математичну операцію: винесення загального множника за дужки

5х (х – 4) = 0

Використовуємо умову, яка каже, що твори дорівнюють нулю.

5 х = 0 або х - 4 = 0

Відповіддю буде: перший корінь – 0; другий корінь – 4.

б) Якщо b = 0, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння ах ² + 0х + с = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + с = 0. Розв'язують рівняння двома способами: а) розкладаючи багаточлен рівняння в лівій частині на множники ; б) використовуючи властивості арифметичного квадратного кореня. Таке рівняння вирішується одним із методів, наприклад:

х = ± √ 25/4

х = ±5/2. Відповіддю буде: перший корінь дорівнює 5/2; другий корінь дорівнює – 5/2.

в) Якщо b дорівнюватиме 0 і с дорівнюватиме 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² = 0. У такому рівнянні x дорівнюватиме 0.

Як бачите, неповні квадратні рівняння можуть мати не більше двох коренів.