Скалярна величина. Скалярне та векторне твори

Величинам (строго кажучи – тензорам рангу 2 і більше). Також може протиставлятися тим чи іншим об'єктам зовсім іншої математичної природи.

У більшості випадків термін вектор вживається у фізиці для позначення вектора в так званому «фізичному просторі», тобто у звичайному тривимірному просторі класичної фізики або в чотиривимірному просторі-часі в сучасній фізиці (в останньому випадку поняття вектора та векторної величини збігаються з поняттям 4- вектора та 4-векторної величини).

Вживання словосполучення "векторна величина" практично вичерпується цим. Що ж до вживання терміна «вектор», то воно, незважаючи на тяжіння за умовчанням до цього ж поля застосовності, у великій кількості випадків все ж таки дуже далеко виходить за такі рамки. Про це див. нижче.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

8. Векторні величини. Події над векторами.

ВЕКТОР - що це таке і навіщо він потрібний, пояснення

ВИМІР ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН 7 клас | Романов

Субтитри

Вживання термінів векторі Векторна величинау фізиці

Загалом у фізиці поняття вектора практично повністю збігається з таким у математиці. Однак є термінологічна специфіка, пов'язана з тим, що в сучасній математиці це поняття дещо зайве абстрактне (стосовно потреб фізики).

В математиці, вимовляючи «вектор» розуміють швидше вектор взагалі, тобто будь-який вектор будь-якого скільки завгодно абстрактного лінійного простору будь-якої розмірності та природи, що, якщо не докладати спеціальних зусиль, може призводити навіть до плутанини (не стільки, звичайно, по суті, скільки за зручністю слововживання). Якщо ж необхідно конкретизувати, в математичному стилі доводиться або говорити досить довго («вектор такого і такого простору»), або мати на увазі явно описаним контекстом.

У фізиці ж практично завжди мова йдене про математичні об'єкти (що мають ті чи інші формальні властивості) взагалі, а про певну їх конкретну («фізичну») прив'язку. Враховуючи ці міркування конкретності з міркуваннями стислості та зручності, можна зрозуміти, що термінологічна практика у фізиці помітно відрізняється від математичної. Однак вона не входить з останньої у явну суперечність. Цього вдається досягти кількома простими прийомами. Насамперед до них належить угода про вживання терміна за умовчанням (коли контекст особливо не обговорюється). Так, у фізиці, на відміну від математики, під словом вектор без додаткових уточнень зазвичай розуміється не «якийсь вектор будь-якого лінійного простору взагалі», а насамперед вектор, пов'язаний із «звичайним фізичним простором» (тривимірним простором класичної фізики або чотиривимірним простором -Часом фізики релятивістської). Для векторів просторів, не пов'язаних прямо і безпосередньо з «фізичним простором» або «простором-часом», якраз застосовують спеціальні назви (іноді включають слово «вектор», але з уточненням). Якщо вектор деякого простору, не пов'язаного прямо і безпосередньо з «фізичним простором» або «простором-часом» (і який важко відразу якось виразно охарактеризувати), вводиться в теорії, він часто спеціально описується як «абстрактний вектор».

Усе сказане ще більшою мірою, ніж терміну «вектор», відноситься до терміну «векторна величина». Умовчання в цьому випадку ще жорсткіше має на увазі прив'язку до «звичайного простору» або простору-часу, а вживання по відношенню до елементів абстрактних векторних просторів швидше практично не зустрічається, принаймні таке застосування бачиться рідкісним винятком (якщо взагалі не застереженням).

У фізиці векторами найчастіше, а векторними величинами - практично завжди називають вектори двох подібних між собою класів:

Приклади векторних фізичних величин: швидкість, сила, потік тепла.

Генезис векторних величин

Яким чином фізичні «векторні величини» прив'язані до простору? Насамперед, впадає у вічі те, що розмірність векторних величин (у тому звичайному сенсі вживання цього терміна, який роз'яснений вище) збігається з розмірністю одного й того ж «фізичного» (і «геометричного») простору, наприклад, простір тривимірно і вектор електричного поля тривимірний. Інтуїтивно можна помітити також, що будь-яка векторна фізична величина, який би туманний зв'язок вона не мала з звичайною просторовою протяжністю, проте має певний напрямок саме в цьому звичайному просторі.

Однак виявляється, що можна досягти і набагато більшого, прямо «звівши» весь набір векторних величин фізики до найпростіших «геометричних» векторів, вірніше навіть – до одного вектора – вектора елементарного переміщення, а правильніше було б сказати – зробивши їх усіх від нього.

Ця процедура має дві різні (хоча по суті, що детально повторюють один одного) реалізації для тривимірного випадку класичної фізики і для чотиривимірної просторово-часової формулювання, звичайної для сучасної фізики.

Класичний тривимірний випадок

Виходитимемо зі звичайного тривимірного «геометричного» простору, в якому ми живемо і можемо переміщатися.

Як вихідний і зразковий вектор візьмемо вектор нескінченно малого переміщення. Очевидно, що це звичайний «геометричний» вектор (як і вектор кінцевого переміщення).

Відмітимо тепер відразу, що множення вектора на скаляр завжди дає новий вектор. Те саме можна сказати про суму і різницю векторів. У цьому розділі ми робитимемо різниці між полярними і аксіальними векторами , тому зауважимо, як і векторний добуток двох векторів дає новий вектор.

Також новий вектор дає диференціювання вектора за скаляром (оскільки така похідна є межа відношення різниці векторів до скаляра). Це можна сказати далі і про похідні всіх вищих порядків. Те ж саме по відношенню до інтегрування по скалярах (часу, обсягу).

Тепер зауважимо, що виходячи з радіус-вектора rабо з елементарного переміщення d r, ми легко розуміємо, що векторами є (оскільки час - скаляр) такі кінематичні величини, як

Зі швидкості та прискорення, множенням на скаляр (масу), з'являються

Оскільки нас зараз цікавлять і псевдовектори, зауважимо, що

• за допомогою формули сили Лоренця напруженість електричного поля та вектор магнітної індукції прив'язані до векторів сили та швидкості.

Продовжуючи цю процедуру, ми виявляємо, що всі відомі нам векторні величини тепер не тільки інтуїтивно, а й формально, прив'язані до вихідного простору. А саме всі вони в певному сенсі є його елементами, тому що виражаються по суті як лінійні комбінації інших векторів (зі скалярними множниками, можливо, розмірними, але скалярними, а тому формально цілком законними).

Сучасний чотиривимірний випадок

Ту ж процедуру можна виконати виходячи з чотиривимірного переміщення. Виявляється, що всі 4-векторні величини «походять» від 4-переміщення, тому в певному сенсі такими ж векторами простору-часу, як і саме 4-переміщення.

Види векторів стосовно фізики

• Полярний, або справжній вектор - звичайний вектор.
• Аксіальний вектор (псевдовектор) - насправді не є справжнім вектором, проте формально майже не відрізняється від останнього, за винятком того, що змінює напрямок на протилежний при зміні орієнтації системи координат (наприклад, при дзеркальному відображенні системи координат). Приклади псевдовекторів: усі величини, які визначаються через векторний добуток двох полярних векторів.
• Для сил виділяється кілька різних

У курсі фізики часто зустрічаються такі величини, для опису яких достатньо знати лише числові значення. Наприклад, маса, час, довжина.

Величини, які характеризуються лише числовим значенням, називаються скалярнимиабо скалярами.

Крім скалярних величин, використовуються величини, які мають і числове значення та напрямок. Наприклад, швидкість, прискорення, сила.

Величини, які характеризуються числовим значенням та напрямком, називаються векторнимиабо векторами.

Позначаються векторні величини відповідними літерами зі стрілкою вгорі або виділяються жирним шрифтом. Наприклад, вектор сили позначається \(\vec F\) або F . Числове значення векторної величини називається модулем чи довжиною вектора. Значення вектора сили позначають Fабо \(\left|\vec F \right|\).

Зображення вектора

Вектори зображують спрямованими відрізками. Початком вектора називають ту точку, звідки починається спрямований відрізок (точка Ана рис. 1), кінцем вектора – точку, у якій закінчується стрілка (точка Bна рис. 1).

Рис. 1.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають однакову довжину і направлені в одну сторону. Такі вектори зображують спрямованими відрізками, що мають однакові довжини та напрямки. Наприклад, на рис. 2 зображені вектори \(\vec F_1 = \vec F_2\).

При зображенні одному малюнку двох і більше векторів, відрізки будують в заздалегідь обраному масштабі. Наприклад, на рис. 3 зображено вектори, довжини яких \(\upsilon_1\) = 2 м/c, \(\upsilon_2\) = 3 м/c.

Спосіб завдання вектора

На площині вектор можна задавати кількома способами:

1. Вказати координати початку та кінця вектора. Наприклад, вектор \(\Delta\vec r\) на рис. 4 задані координатами початку вектора – (2, 4) (м), кінця – (6, 8) (м).

2. Вказати модуль вектора (його значення) та кут між напрямком вектора та деяким заздалегідь обраним напрямком на площині. Часто за такий напрямок у позитивний бік осі 0 Х. Кути, виміряні від цього напрямку проти годинникової стрілки, вважаються позитивними. На рис. 5 вектор \(\Delta\vec r\) заданий двома числами bі \(\alpha\) , що вказують довжину та напрямок вектора.

Величини, які характеризуються числовим значенням та напрямком, називаються векторними або векторами. АЛЕ! Одна й та сама фізична величина може мати кілька літерних позначень (у різній літературі). У фізиці існує два види фізичних величин: векторні та скалярні. Такі вектори зображують спрямованими відрізками, що мають однакові довжини та напрямки.

Скалярна величина (від - ступлат.matuercızylarенчастий) у фізиці - величина, кожне значення якої може бути виражено одним дійсним числом. Тобто скалярна величина визначається лише своїм значенням, на відміну від вектора, який, крім значення, має напрямок. Враховуючи ці міркування конкретності з міркуваннями стислості та зручності, можна зрозуміти, що термінологічна практика у фізиці помітно відрізняється від математичної.

Цей вектор може мати в принципі будь-яку розмірність, а зазвичай - нескінченномірний. Усе це дозволило терміну «векторний» зберегти як, мабуть, основний сенс - сенс 4-вектора. Саме це значення вкладається у терміни векторне поле, векторна частка (векторний бозон, векторний мезон); пов'язаний зміст у подібних термінах має слово скалярний.

Виходитимемо зі звичайного тривимірного «геометричного» простору, в якому ми живемо і можемо переміщатися. Як вихідний і зразковий вектор візьмемо вектор нескінченно малого переміщення. Очевидно, що це звичайний «геометричний» вектор (як і вектор кінцевого переміщення).

Позначення векторних величин

Те саме можна сказати про суму і різницю векторів. У цьому розділі ми робитимемо різниці між полярними і аксіальними векторами, тому зауважимо, як і векторний добуток двох векторів дає новий вектор.

Маса та щільність

Це можна сказати далі і про похідні всіх вищих порядків. Продовжуючи цю процедуру, ми виявляємо, що всі відомі нам векторні величини тепер не тільки інтуїтивно, а й формально, прив'язані до вихідного простору. Приклади псевдовекторів: усі величини, які визначаються через векторний добуток двох полярних векторів. У принципі таке формулювання використовується і для квантових теорій, і для не-квантових.

У курсі фізики часто зустрічаються такі величини, для опису яких достатньо знати лише числові значення. Позначаються векторні величини відповідними літерами зі стрілкою вгорі або виділяються жирним шрифтом. Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину та направлені в одну сторону. При зображенні одному малюнку двох і більше векторів, відрізки будують в заздалегідь обраному масштабі.

Те, які ці предмети, що з ними відбувається, чи відбуватиметься, якщо щось зробити: кинути, розігнути, засунути в піч. То чому з ними відбувається щось і як саме відбувається? Перед покупкою нового холодильника можна ознайомитися ще з низкою фізичних величин, які дозволяють судити про те, який він, кращий чи гірший, і чому він коштує дорожче.

Другий і третій закони Ньютона

Усі фізичні величини прийнято позначати літерами, частіше за грецький алфавіт. Незважаючи на те, що з такою літерою ви могли не стикатися, сенс фізичної величини, участь її у формулах залишається незмінною. Ще одним прикладом такої величини може бути температура. Інші дуже важливі у фізиці величини мають напрямок, це, наприклад, швидкість; ми повинні задати не лише швидкість переміщення тіла, а й шлях, яким воно рухається. Відповідно до того, як у математиці позначають вектор!

Два вектори рівні, якщо збігаються їхні модулі та напрямки. Проекції вектора на осі Ox і Oy прямокутної системи координат. Скалярними називають величини, мають чисельне значення, але з напрями. Сила, що діє на матеріальну точку, є векторна величина, вектор, оскільки вона має напрямок.

МІЖ МОЛОТОМ І КУТАЛЬНИКОМ.

Температура тіла - скалярна величина, скаляр, тому що з цією величиною не пов'язане жодне спрямування. Число отримане в результаті виміру характеризує скалярну величину повністю, а частково векторну. У всіх підручниках і розумних книжках силу прийнято виражати в Ньютонах, але крім як у моделях якими оперують фізики ньютони ні де не застосовуються.

Це означає, що як би масивне тіло не рухалося, у будь-якій точці простору гравітаційний потенціал і сила залежать тільки від положення тіла в даний момент часу. Але не можна позначити обидва ці явища одним і тим самим виразом «зробити легше».

Зображення вектора

Векторна величина (наприклад, сила, прикладена до тіла), крім значення (модуля), характеризується також напрямком. Скалярна величина (наприклад, довжина) характеризується лише значенням. Усі класичні закони механіки сформульовані для векторних величин. Розглянемо опору, де стоять вантажі. На неї діють 3 сили: $(\large \overrightarrow(N_1),\ \overrightarrow(N_2),\ \overrightarrow(N),)$ точки докладання цих сил А, В і С відповідно.

У чому сила вимірюється?

Це векторне рівняння, тобто. Практично три рівняння - по одному кожному за трьох напрямів. Маса – фундаментальна фізична величина. Другий закон Ньютона пов'язує вектори прискорення та сили. Це означає, що справедливі такі твердження.

Два тіла діють один на одного з силами, рівними за модулем і протилежними до напрямку. Справа в тому, що ці варіанти не рівноцінні. І це правда. Але не вся…. І застосування цього знання практично. У системі, що розглядається, є 3 об'єкти: тягач $(T)$, напівпричіп $(\large ((p.p.)))$ і вантаж $(\large (gr))$.

Ця стаття про фізичне поняття. Загалом у фізиці поняття вектора практично повністю збігається з таким у математиці. Однак є термінологічна специфіка, пов'язана з тим, що в сучасній математиці це поняття дещо зайве абстрактне (стосовно потреб фізики).

Однак вона не входить з останньої у явну суперечність. Усе сказане ще більшою мірою, ніж терміну «вектор», відноситься до терміну «векторна величина». Яким чином фізичні «векторні величини» прив'язані до простору? Також новий вектор дає диференціювання вектора за скаляром (оскільки така похідна є межа відношення різниці векторів до скаляра). Лоренца напруженість електричного поля та вектор магнітної індукції прив'язані до векторів сили та швидкості.

Маса, довжина, температура - це і є фізична величина. Основна їхня відмінність у тому, що векторні фізичні величини мають напрямок. Малюють стрілку над літерами векторних фізичних величин. Виявляється, що всі 4-векторні величини «походять» від 4-переміщення, тому в певному сенсі такими ж векторами простору-часу, як і саме 4-переміщення. Векторні величини краще запам'ятати.

Векторний розмір (вектор)– це фізична величина, яка має дві характеристики – модуль та напрямок у просторі.

Приклади векторних величин: швидкість (), сила (), прискорення () тощо.

Геометрично вектор зображується як спрямований відрізок прямої лінії, довжина якого в масштабі модуль вектора.

Радіус-вектор(зазвичай позначається або просто ) - Вектор, що задає положення точки в просторі відносно деякої заздалегідь фіксованої точки, званої початком координат.

Для довільної точки у просторі, радіус-вектор – це вектор, що йде з початку координат у цю точку.

Довжина радіус-вектора або його модуль визначає відстань, на якій точка знаходиться від початку координат, а стрілка вказує напрямок на цю точку простору.

На площині кутом радіус-вектора називається кут, на який радіус-вектор повернути відносно осі абсцис у напрямку проти годинникової стрілки.

лінія, вздовж якої рухається тіло, називається траєкторією руху.Залежно від форми траєкторії всі рухи можна поділити на прямолінійні та криволінійні.

Опис руху починається з відповіді питання: як змінилося становище тіла у просторі за деякий проміжок часу? Як же визначають зміну положення тіла у просторі?

Переміщення- спрямований відрізок (вектор), що з'єднує початкове та кінцеве положення тіла.

Швидкість(часто позначається, від англ. velocityчи фр. vitesse) - векторна фізична величина, що характеризує швидкість переміщення та напрямок руху матеріальної точки у просторі щодо обраної системи відліку (наприклад кутова швидкість). Цим самим словом може називатися скалярна величина, точніше модуль похідної радіус-вектора.

У науці використовується також швидкість у широкому значенні, як швидкість зміни будь-якої величини (не обов'язково радіус-вектора) в залежності від іншої (частіше зміни в часі, але також у просторі чи будь-якій іншій). Так, наприклад, говорять про швидкість зміни температури, швидкість хімічної реакції, групову швидкість, швидкість з'єднання, кутову швидкість і т. д. Математично характеризується похідною функції.

Прискорення(зазвичай позначається , в теоретичній механіці ), похідна швидкості за часом - векторна величина, що показує, наскільки змінюється вектор швидкості точки (тіла) за її руху за одиницю часу (тобто. прискорення враховує як зміна величини швидкості, а й її напрями ).

Наприклад, поблизу Землі тіло, що падає на Землю, у випадку, коли можна знехтувати опором повітря, збільшує свою швидкість приблизно на 9,8 м/с кожну секунду, тобто, його прискорення дорівнює 9,8 м/с².

Розділ механіки, що вивчає рух у тривимірному евклідовому просторі, його запис, а також запис швидкостей та прискорень у різних системах відліку називається кінематикою.

Одиницею прискорення служить метр за секунду ( m/s 2, м/с 2), існує також позасистемна одиниця Гал (Gal), що застосовується в гравіметрії та дорівнює 1 см/с 2 .

Похідна прискорення у часі тобто. величина, що характеризує швидкість зміни прискорення за часом, називається ривок.

Найбільш простий рух тіла - такий, коли всі точки тіла рухаються однаково, описуючи однакові траєкторії. Такий рух називається поступальним. Ми отримаємо цей тип руху, рухаючи лучинку так, щоб вона весь час залишалася паралельною самій собі. При поступальному русі траєкторії може бути як прямими (рис. 7, а), і кривими (рис. 7, б) лініями.
Можна довести, що при поступальному русі будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається паралельною собі. Цією характерною ознакою зручно користуватися, щоб відповісти на запитання, чи рух тіла є поступальним. Наприклад, при коченні циліндра по площині прямі, що перетинають вісь, не залишаються паралельними собі: кочення - це поступальний рух. При русі рейсшини та косинця по креслярській дошці будь-яка пряма, проведена в них, залишається паралельною самій собі, отже, вони рухаються поступально (рис. 8). Поступово рухається голка швейної машини, поршень у циліндрі парової машини або двигуна внутрішнього згоряння, кузов автомашини (але не колеса!) при їзді прямою дорогою і т.д.

Інший простий тип руху – це обертальний рухтіла, або обертання. При обертальному русі всі точки тіла рухаються колами, центри яких лежать на прямій. Цю пряму називають віссю обертання (пряма 00" на рис.9). Кола лежать у паралельних площинах, перпендикулярних до осі обертання. Точки тіла, що лежать на осі обертання, залишаються нерухомими. . Показані траєкторії залишаються паралельними лише прямі, паралельні осі обертання.

Абсолютно тверде тіло- Другий опорний об'єкт механіки поряд з матеріальною точкою.

Існує кілька визначень:

1. Абсолютно тверде тіло - модельне поняття класичної механіки, що позначає сукупність матеріальних точок, відстані між якими зберігаються у процесі будь-яких рухів, скоєних цим тілом. Інакше висловлюючись, абсолютно тверде тіло як змінює свою форму, а й зберігає незмінним розподіл маси всередині.

2. Абсолютно тверде тіло - механічна система, що володіє лише поступальними та обертальними ступенями свободи. "Твердість" означає, що тіло не може бути деформовано, тобто тілу не можна передати жодної іншої енергії, крім кінетичної енергії поступального або обертального руху.

3. Абсолютно тверде тіло - тіло (система), взаємне становище будь-яких точок якого не змінюється, в яких би процесах воно не брало участь.

У тривимірному просторі і у разі відсутності зв'язків абсолютно тверде тіло має 6 ступенів свободи: три поступальні та три обертальні. Виняток становить двоатомна молекула або, мовою класичної механіки, твердий стрижень нульової товщини. Така система має лише два обертальні ступені свободи.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Недоведена та незаперечна гіпотеза називається відкритою проблемою

Фізика тісно пов'язана з математикою математика надає апарат за допомогою якого фізичні закони можуть бути точно сформульовані.. теорія грецьк розгляд.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Принцип відносності у механіці
Інерційні системи відліку та принцип відносності. Перетворення Галілея. Інваріанти перетворення. Абсолютні та відносні швидкості та прискорення. Постулати спеціальної т

Обертальний рух матеріальної точки.
Обертальний рух матеріальної точки - рух матеріальної точки по колу. Обертальне рух - вид механічного руху. При

Зв'язок між векторами лінійної та кутової швидкостей, лінійного та кутового прискорень.
Міра обертального руху: кут φ, на який повернеться радіус-вектор точки в площині нормальної до осі обертання. Рівномірний обертальний рух

Швидкість та прискорення при криволінійному русі.
Криволінійний рух складніший вид руху, ніж прямолінійний, оскільки навіть якщо рух відбувається на площині, то змінюються дві координати, що характеризують положення тіла. Швидкість та

Прискорення при криволінійному русі.
Розглядаючи криволінійний рух тіла, бачимо, що його швидкість різні моменти різна. Навіть у тому випадку, коли величина швидкості не змінюється, все ж таки має місце зміна напрямку

Рівняння руху Ньютона
(1) де сила F у загальному випадку

Центр мас
центр інерції, геометрична точка, положення якої характеризує розподіл мас у тілі чи механічній системі. Координати Ц. м. визначаються формулами

Закон руху центру мас.
Скориставшись законом зміни імпульсу, отримаємо закон руху центру мас: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Центр мас системи рухається так само, як дв

Галілея принцип відносності
· Інерційна система відліку Інерційна система відліку Галілея

Пластична деформація
Зігнемо трохи сталеву пластинку (наприклад, ножівку), а потім через деякий час відпустимо її. Ми побачимо, що ножівка повністю (принаймні з погляду) відновить свою форму. Якщо візьмемо

ЗОВНІШНІ І ВНУТРІШНІ СИЛИ
. У механіці зовнішніми силами по відношенню до даної системи матеріальних точок (тобто такої сукупності матеріальних точок, в якій рух кожної точки залежить від положень або рухів всіх ос

Кінетична енергія
енергія механічної системи, яка залежить від швидкостей руху її точок. е.. Т матеріальної точки вимірюється половиною добутку маси m цієї точки на квадрат її швидкості

Кінетична енергія.
Кінетична енергія - енергія тіла, що рухається. (Від грецького слова kinema - рух). За визначенням кінетична енергія відліку, що знаходиться в даній системі

Розмір, що дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості.
=Дж. Кінетична енергія - величина відносна, залежить від вибору ЗІ, т.к. швидкість тіла залежить від вибору ЗІ. Т.о.

Момент сили
· Момент сили. Рис. Момент сили. Рис. Момент сили, величин

Кінетична енергія тіла, що обертається
Кінетична енергія – величина адитивна. Тому кінетична енергія тіла, що рухається довільним чином, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх n матеріаль

Робота та потужність при обертанні твердого тіла.
Робота та потужність при обертанні твердого тіла. Знайдемо вираз для роботи при брехні

Основне рівняння динаміки обертального руху
Відповідно до рівняння (5.8) другий закон Ньютона для обертального руху П

В математиці вектор – це спрямований відрізок певної довжини. У фізиці під векторною величиною розуміють повну характеристику деякої фізичної величини, яка має модуль і напрямок дії. Розглянемо основні властивості векторів, і навіть приклади фізичних величин, які векторними.

Скаляри та вектор

Скалярні величини у фізиці є параметрами, які можуть бути виміряні та представлені одним числом. Наприклад, температура, маса та обсяг є скалярами, оскільки вони вимірюються числом градусів, кілограм та кубічних метрів відповідно.

У більшості випадків виявляється, що число, що визначає скалярну величину, не несе вичерпної інформації. Наприклад, розглядаючи таку фізичну характеристику, як прискорення, недостатньо сказати, що воно дорівнює 5 м/с 2 оскільки потрібно знати, куди воно спрямоване, проти швидкості руху тіла, під деяким кутом до цієї швидкості або інакше. Крім прискорення, прикладом векторної величини у фізиці є швидкість. Також до цієї категорії входять сила, напруженість електричного поля та багато інших.

Згідно з визначенням векторної величини як спрямованого у просторі відрізка, вона може бути представлена ​​у вигляді набору чисел (компонент вектора), якщо її розглядати у певній системі координат. Найчастіше у фізиці та математиці виникають завдання, які для опису вектора вимагають знання двох (завдання на площині) або трьох (завдання в просторі) компонентів.

Визначення вектора у n-мірному просторі

У n-вимірному просторі, де n - ціле число, вектор буде однозначно визначений, якщо відомі його n компонент. Кожна компонента є координатою кінця вектора вздовж відповідної осі координат за умови, що початок вектора знаходиться на початку системи координат n-мірного простору. У результаті вектор може бути представлений так: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), де a 1 - скалярне значення 1-ї компоненти вектора v. Відповідно, в 3-мірному просторі вектор запишеться як v = (a 1 , a 2 , a 3 ), а в 2-х мірному - v = (a 1 , a 2 ).

Як позначається векторна величина? Будь-який вектор у 1-мірному, 2-мірному та 3-мірному просторах можна представити як спрямований відрізок, що лежить між точками A і B. У цьому випадку він позначається як AB → , де стрілка показує, що йдеться про векторну величину. Послідовність літер прийнято вказувати від початку вектора до кінця. Це означає, що якщо координати точок A і B, наприклад, у 3-мірному просторі, рівні (x 1 , y 1 , z 1 ) і (x 2 , y 2 , z 2 ) відповідно, тоді компоненти вектора AB → дорівнюватимуть (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).

Графічний подання вектор

На малюнках прийнято зображати векторну величину у вигляді відрізка, на його кінці є стрілочка, що вказує напрямок дії фізичної величини, якою вона є. Цей відрізок зазвичай підписують, наприклад, v → або F → щоб було зрозуміло, про яку характеристику йдеться.

Графічне уявлення вектора допомагає зрозуміти, куди прикладена та у якому напрямі діє фізична величина. Крім того, багато математичних операцій над векторами зручно здійснювати, використовуючи їх зображення.

Математичні операції над векторами

Векторні величини, як і звичайні числа, можна складати, віднімати і множити як друг з одним, і з іншими числами.

Під сумою двох векторів розуміють третій вектор, який виходить, якщо сумовані параметри розташувати так, щоб кінець першого збігався з початком другого вектора, а потім, з'єднати початок першого і кінець другого. Для виконання цієї математичної дії розроблено три основні методи:

1. Метод паралелограма полягає в побудові геометричної фігури на двох векторах, які виходять з однієї і тієї ж точки простору. Діагональ цього паралелограма, яка виходить із загальної точки початку векторів, буде їхньою сумою.
2. Метод багатокутника, суть якого полягає в тому, що початок кожного наступного вектора слід розташовувати наприкінці попереднього, тоді сумарний вектор з'єднуватиме початок першого і кінець останнього.
3. Аналітичний метод, який полягає у попарному додаванні відповідних компонентів відомих векторів.

Що стосується різниці векторних величин, то її можна замінити додаванням першого параметра з тим, який протилежний напрямку другого.

Умноження вектора на деяке число A виконується за простим правилом: на це число слід помножити кожну компоненту вектора. В результаті виходить також вектор, модуль якого в A разів більший за вихідний, а напрям або збігається, або протилежно до вихідного, все залежить від знака числа A.

Ділити вектор чи число на нього не можна, а ось поділ вектора на число A аналогічний множенню на число 1/A.

Скалярне та векторне твори

Розмноження векторів можна виконувати двома різними способами: скалярно та векторно.

Скалярним добутком векторних величин називається такий спосіб їх множення, результатом якого є одне число, тобто скаляр. У матричному вигляді скалярний добуток записується як рядки компонента 1-го вектора на стовпець компонент 2-го. У результаті n-мірному просторі виходить формула: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .

У тривимірному просторі можна визначити скалярний твір інакше. Для цього потрібно помножити модулі відповідних векторів на косинус кута між ними, тобто (A → * B →) = A → |*|B → |cos(θ AB). З цієї формули випливає, що якщо вектори спрямовані в одному напрямку, то скалярний добуток дорівнює множенню їх модулів, а якщо вектори перпендикулярні один одному, тоді він дорівнює нулю. Зазначимо, що модуль вектора прямокутної системі координат визначається як квадратний корінь від суми квадратів компонент цього вектора.

Під векторним твором розуміють таке множення вектора на вектор, результатом якого є вектор. Його напрямок виявляється перпендикулярно кожному з параметрів, що множаться, а довжина дорівнює добутку модулів векторів на синус кута між ними, тобто A → x B → = |A → |*|B → |*sin(θ AB), де значок "x" означає векторний твір. У матричному вигляді цей вид твору представляється як визначник, рядками якого є елементарні вектори даної системи координат та компоненти кожного вектора.

Як скалярне, і векторне твори використовують у математиці і фізиці визначення багатьох величин, наприклад, площі та обсягу фігур.

Швидкість та прискорення

Під швидкістю у фізиці розуміють швидкість зміни розташування цієї матеріальної точки. Вимірюється швидкість у системі СІ в метрах за секунду (м/с), а позначається символом v → . Під прискоренням розуміють швидкість зміни швидкості. Прискорення вимірюється в метрах квадратну секунду (м/с 2), а позначається зазвичай символом a → . Значення 1 м/с 2 свідчить, що кожної секунди тіло збільшує свою швидкість на 1 м/с.

Швидкість та прискорення – це векторні величини, які беруть участь у формулах другого закону Ньютона та переміщення тіла як матеріальної точки. Швидкість завжди спрямована вздовж напрямку руху, прискорення ж може бути спрямоване довільним чином щодо тіла, що рухається.

Фізична величина сила

Сила – векторна фізична величина, яка відображає інтенсивність взаємодії між тілами. Позначається символом F → , вимірюється в ньютонах (Н). За визначенням, 1 Н - це сила, здатна кожну секунду часу змінювати швидкість тіла, що має масу 1 кг, на 1 м/с.

Ця фізична величина широко застосовується у фізиці, оскільки з нею пов'язані енергетичні характеристики процесів взаємодії. Природа сили може бути різною, наприклад, гравітаційні сили планет, сила, яка змушує рухатися автомобіль, пружні сили твердих середовищ, електричні сили, що описують поведінку електричних зарядів, магнітні, ядерні сили, які зумовлюють стабільність атомних ядер, і так далі.

Векторна величина тиск

З поняттям сили тісно пов'язана інша величина – тиск. Під ним у фізиці розуміють нормальну проекцію сили на майданчик, на який вона діє. Оскільки сила є вектором, то згідно з правилом множення числа на вектор тиск також буде векторною величиною: P → = F → /S, де S - площа. Тиск вимірюється в паскалях (Па), 1 Па - це параметр, при якому перпендикулярна сила 1 Н діє на поверхню площею 1 м 2 . З визначення, вектор тиску спрямований у тому напрямі, як і вектор сили.

У фізиці поняття тиску часто використовується щодо явищ у рідинах і газах (наприклад, закон Паскаля чи рівняння стану ідеального газу). Тиск тісно пов'язаний із температурою тіла, оскільки кінетична енергія атомів і молекул, поданням якої є температура, пояснює природу існування самого тиску.

Напруженість електричного поля

Навколо будь-якого зарядженого тіла існує електричне поле, силовою характеристикою якого є його напруженість. Визначається ця напруженість як сила, що діє у цій точці електричного поля на одиничний заряд, поміщений у цю точку. Позначається напруженість електричного поля буквою E → та вимірюється в ньютонах на кулон (Н/Кл). Вектор напруженості спрямований вздовж силової лінії електричного поля в її напрямку, якщо заряд позитивний, і проти неї, якщо негативний заряд.

Напруженість електричного поля, створюваного точковим зарядом, можна визначити у будь-якій точці, використовуючи закон Кулона.

Магнітна індукція

Магнітне поле, як показали в XIX столітті вчені Максвел і Фарадей, тісно пов'язане з електричним полем. Так, електричне поле, що змінюється, породжує магнітне, і навпаки. Тому обидва види полів описуються у межах електромагнітних фізичних явищ.

Магнітна індукція визначає силові властивості магнітного поля. Магнітна індукція – величина скалярна чи векторна? Зрозуміти це можна, знаючи, що вона визначається через силу F → , що діє на заряд q, який пролітає зі швидкістю v → у магнітному полі, згідно з такою формулою: F → = q*|v → x B → |, де B → магнітна індукція. Таким чином, відповідаючи на питання, чи величина скалярна або векторна - магнітна індукція, можна сказати, що це вектор, який спрямований від північного магнітного полюса до південного. Вимірюється B → у теслах (Тл).

Фізична величина кандела

Ще одним прикладом векторної величини є кандела, яка вводиться у фізику через світловий потік, що вимірюється в люменах, що проходить через поверхню, обмежену кутом в 1 стерадіан. Кандела відбиває яскравість світла, оскільки показує щільність світлового потоку.