Скільки існує квадратних коренів із позитивного числа. Як знайти квадратний корінь числа вручну

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Серед безлічі знань, які є ознакою грамотності, на першому місці стоїть абетка. Наступним, таким самим «знаковим» елементом, є навички складання-множення і, що примикають до них, але зворотні за змістом, арифметичні операції віднімання-поділу. Засвоєні в далекому шкільному дитинстві навички, служать вірою та правдою вдень і вночі: ТБ, газета, СМС, І всюди читаємо, пишемо, вважаємо, складаємо, віднімаємо, множимо. А, скажіть, чи часто вам доводилося по життю, добувати коріння, окрім як на дачі? Наприклад, таке цікаве завдання, типу, корінь квадратний з числа 12345 ... Є ще порох в порохівницях? Подужаємо? Та немає нічого простішого! Де тут мій калькулятор... А без нього, врукопашну, слабко?

Спочатку уточнимо, що це таке - квадратний корінь числа. Взагалі кажучи, «витягти корінь із числа» означає виконати арифметичну дію протилежну зведенню в ступінь - ось вам і єдність протилежностей у життєвому додатку. припустимо, квадрат, це множення числа на себе, тобто, як вчили у школі, Х * Х = А чи іншого запису Х2 = А, а словами - «Х квадраті дорівнює А». Тоді обернена задача звучить так: квадратний корінь числа А, являє собою число Х, яке будучи зведене в квадрат і А.

Вилучаємо квадратний корінь

Зі шкільного курсу арифметики відомі способи обчислень «у стовпчик», які допомагають виконати будь-які підрахунки із застосуванням перших чотирьох арифметичних дій. На жаль… Для квадратних, і не лише квадратних, коріння таких алгоритмів не існує. А в такому разі як витягти квадратний корінь без калькулятора? З визначення квадратного кореня висновок один - необхідно підбирати значення результату послідовним перебором чисел, квадрат яких наближається до значення підкореного виразу. Тільки і всього! Не встигне пройти годину-другу, як можна порахувати, використовуючи добре відомий прийом множення в «стовпчик», будь-який квадратний корінь. За наявності навичок для цього достатньо кількох хвилин. Навіть не зовсім просунутий користувач калькулятора чи ПК робить це одним махом – прогрес.

А якщо серйозно, то обчислення квадратного кореня часто виконують, використовуючи прийом артилерійської вилки: спочатку беруть число, квадрат якого, приблизно, відповідає підкореному виразу. Краще, якщо «наш квадрат» трохи менший за цей вислів. Потім коригують число за власним уміння-розуміння, наприклад, множать на два, і ... знову зводять у квадрат. Якщо результат більший за число під коренем, послідовно коригуючи вихідне число, поступово наближаються до його «колеги» під коренем. Як бачите - ніякого калькулятора, тільки вміння рахувати «в стовпчик». Звичайно ж, є безліч науково-аргументованих та оптимізованих алгоритмів обчислень квадратного кореня, але для домашнього застосування зазначений вище прийом дає 100% впевненість у результаті.

Так, мало не забув, щоб підтвердити свою збільшену грамотність, обчислимо квадратний корінь раніше вказаного числа 12345. Робимо покроково:

1. Візьмемо, суто інтуїтивно, Х=100. Підрахуємо: Х * Х = 10000. Інтуїція на висоті – результат менше 12345.

2. Спробуємо теж чисто інтуїтивно, Х = 120. Тоді: Х * Х = 14400. І знову з інтуїцією порядок - результат більше 12345.

3. Вище отримана «вилка» 100 і 120. Виберемо нові числа – 110 та 115. Отримуємо, відповідно, 12100 та 13225 – вилка звужується.

4. Пробуємо на "можна" Х = 111. Отримуємо Х * Х = 12321. Це число вже досить близько до 12345. Відповідно до необхідної точності «припасування» можна продовжити або зупинитися на отриманому результаті. От і все. Як і було обіцяно – все дуже просто та без калькулятора.

Зовсім небагато історії…

Додумалися до використання квадратного коріння ще піфагорійці, учні школи та послідовники Піфагора, за 800 років до н.е. і одразу, «нарвалися» на нові відкриття в області чисел. І звідки що?

1. Розв'язання задачі із вилученням кореня, дає результат у вигляді чисел нового класу. Їх назвали ірраціональними, інакше кажучи, "нерозумними", т.к. вони не записуються закінченим числом. Найкласичніший приклад такого роду - квадратний корінь з 2. Цей випадок відповідає обчисленню діагоналі квадрата зі стороною, що дорівнює 1 - ось воно, вплив школи Піфагора. Виявилося, що у трикутника з цілком конкретним одиничним розміром сторін, гіпотенуза має розмір, що виражається числом, у якого немає кінця. Так у математиці з'явилися

2. Відомо, що виявилося, що ця математична операція містить ще один каверз - витягуючи корінь, ми не знаємо, квадратом якого числа, позитивного або негативного, є підкорене вираз. Ця невизначеність, подвійний результат від однієї операції, і записується.

Вивчення пов'язаних із цим явищем проблем стало направленням у математиці під назвою теорія комплексної змінної, що має велике практичне значення у математичній фізиці.

Цікаво, що позначення кореня – радикал – застосував у своїй «Універсальній арифметиці» той самий всюдисущий І. Ньютон, а точно сучасний вид запису кореня відомий з 1690 року з книги француза Роля «Керівництво алгебри».

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обгрунтуванням цього факту вважатимуться конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a і b обидва позитивні чи обидва негативні їх добуток є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що у дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.

Зведення в ступінь передбачає, що це число необхідно помножити саме на себе певну кількість разів. Наприклад, зведення числа 2 в п'яту ступінь буде виглядати так:

Число, яке потрібно множити саме на себе, називається основою ступеня, а кількість множень – її показником. Зведенню у ступінь відповідають дві протилежні дії: знаходження показника та знаходження основи.

Вилучення кореня

Знаходження основи ступеня називається вилученням кореня. Це означає, що необхідно знайти число, яке потрібно звести до ступеня n, щоб отримати це.

Наприклад, необхідно витягти корінь 4-го ступеня у складі 16, тобто. визначити, потрібно помножити саме він 4 разу, щоб у результаті отримати 16. Це число – 2.

Така арифметична дія записується за допомогою особливого знаку – радикала: √, над яким зліва вказується показник ступеня.

Арифметичний корінь

Якщо показник ступеня є парним числом, то коренем можуть виявитися два числа з однаковим модулем, але з – позитивне та негативне. Так, у наведеному прикладі це можуть бути числа 2 та -2.

Вираз має бути однозначним, тобто. мати один результат. Для цього і було введено поняття арифметичного кореня, який може бути лише позитивним числом. Бути менше за нуль арифметичний корінь не може.

Таким чином, у розглянутому вище прикладі арифметичним коренем буде лише число 2, а другий варіант відповіді -2 виключається за визначенням.

Квадратний корінь

Для деяких ступенів, які використовуються найчастіше, існують спеціальні назви, які спочатку пов'язані з геометрією. Йдеться про зведення у другому та третьому ступені.

На другий ступінь довжину сторони квадрата, коли потрібно обчислити його площу. Якщо потрібно знайти обсяг куба, довжину його ребра зводять у третій ступінь. Тому називається квадратом числа, а третя – кубом.

Відповідно, корінь другого ступеня називається квадратним, а корінь третього ступеня – кубічним. Квадратний корінь – єдиний із коренів, при записі якого над радикалом не ставиться показник ступеня:

Отже, арифметичний квадратний корінь з цього числа – це позитивне число, яке необхідно звести на другий ступінь, щоб отримати це число.

Настав час розібрати способи вилучення коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яка справедлива для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче по черзі розглянемо основні способи вилучення коренів.

Почнемо з найпростішого випадку – із вилучення коренів із натуральних чисел із використанням таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів тощо. немає під руками, то логічно скористатися способом вилучення кореня, який має на увазі розкладання підкореного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на те, що можливо для коріння з непарними показниками.

Нарешті розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

У найпростіших випадках добувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж є ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) і двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому фоні, вона за допомогою вибору певного рядка і стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99 . Наприклад виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим зафіксували число 83 . Друга зона займає частину таблиці, що залишилася. Кожна її комірка знаходиться на перетині певного рядка та певного стовпця, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99 . На перетині вибраного нами рядка 8 десятків і стовпця 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6889 , яке є квадратом числа 83 .

Таблиці кубів, таблиці четвертих ступенів чисел від 0 до 99 тощо аналогічні таблиці квадратів, лише вони у другій зоні містять куби, четверті ступеня тощо. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четвертих ступенів тощо. дозволяють витягувати квадратне коріння, кубічне коріння, коріння четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що у цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування під час вилучення коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-ого ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n-их ступенів. По цій таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. Тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як з допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19683 . Знаходимо число 19683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27 , отже, .

Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при витягуванні коріння. Однак їх часто не виявляється під руками, а їх складання потребує певного часу. Більше того, часто доводиться витягувати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів коріння.

Розкладання підкореного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести вилучення кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання підкореного числа на прості множники. Його суть полягає в наступному: після його досить легко подати у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. І тут правильна рівність a=b n . Число b як будь-яке натуральне число можна представити у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1 , p 2 , …, p m у вигляді p 1 2 · ... · p m) n . Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання підкореного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 p 2 pm) n , що дає можливість обчислити значення кореня як .

Зауважимо, що й розкладання на прості множники підкореного числа a може бути представлено як (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корінь n -ой ступеня з такого числа a націло не витягується.

Розберемося з цим під час вирішення прикладів.

приклад.

Вийміть квадратний корінь із 144 .

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то видно, що 144=12 2 , звідки зрозуміло, що квадратний корінь зі 144 дорівнює 12 .

Але у світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання підкореного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб розв'язання.

Розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 . На підставі отриманого розкладання можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Отже, .

Використовуючи властивості ступеня і коріння , рішення можна було оформити і трохи інакше: .

Відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

приклад.

Обчисліть значення кореня.

Рішення.

Розкладання на прості множники підкореного числа 243 має вигляд 243 = 35. Таким чином, .

Відповідь:

приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкорене число на прості множники і подивимося, чи представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 . Отримане розкладання не представляється як куба цілого числа, оскільки ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь із числа 285768 не витягується націло.

Відповідь:

Ні.

Вилучення коренів із дробових чисел

Настав час розібратися, як витягується корінь із дробового числа. Нехай дробове підкорене число записане як p/q . Відповідно до властивості кореня з частки справедлива наступна рівність. З цієї рівності випливає правило вилучення кореня з дробу: корінь із дробу дорівнює частці від поділу кореня з чисельника на корінь із знаменника.

Розберемо приклад вилучення кореня з дробу.

приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь зі звичайного дробу 25/169?

Рішення.

За таблицею квадратів знаходимо, що квадратний корінь із чисельника вихідного дробу дорівнює 5 , а квадратний корінь із знаменника дорівнює 13 . Тоді . На цьому витяг кореня зі звичайного дробу 25/169 завершено.

Відповідь:

Корінь із десяткового дробу чи змішаного числа витягується після заміни підкорених чисел звичайними дробами.

приклад.

Вийміть кубічний корінь із десяткового дробу 474,552 .

Рішення.

Представимо вихідний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. Тоді . Залишилося витягти кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманого дробу. Так як 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2·3·13) 3 =78 3 і 1000=10 3 то і . Залишилося лише завершити обчислення .

Відповідь:

.

Вилучення кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коріння з негативних чисел. При вивченні коренів сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може бути негативне число. Таким записам ми надали наступного змісту: для негативного числа −a та непарного показника кореня 2·n−1 справедливо . Ця рівність дає правило вилучення коренів непарного ступеня з негативних чисел: щоб витягти корінь із негативного числа потрібно витягти корінь із протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідний вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайним дробом: . Застосовуємо правило вилучення кореня зі звичайного дробу: . Залишилося обчислити коріння в чисельнику та знаменнику отриманого дробу: .

Наведемо короткий запис рішення: .

Відповідь:

.

Поразрядне знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається подати у вигляді n-ого ступеня якогось числа. Але при цьому буває необхідність знати значення цього кореня, хоча б з точністю до певного знака. У цьому випадку для отримання кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому етапі даного алгоритму необхідно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться в ступінь n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевищує підкорене число. Тоді число, яке ми зводили на ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Наприклад розглянемо цей крок алгоритму під час вилучення квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, … і зводимо їх у квадрат, доки отримаємо число, що перевищує 5 . Маємо 02 = 0<5 , 10 2 =100>5 , Отже, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи зі старшого та просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня першому кроці виходить 2 , другому – 2,2 , третьому – 2,23 , тощо 2,236067977… . Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться з допомогою перебору їх можливих значень 0, 1, 2, …, 9 . При цьому паралельно обчислюються n -і ступені відповідних чисел, і вони порівнюються з підкореним числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкорене число, то значення розряду, що відповідає попередньому значенню, вважається знайденим, і здійснюється перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9 .

Пояснимо ці моменти на тому ж прикладі вилучення квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Перебиратимемо значення 0, 1, 2, …, 9 , обчислюючи відповідно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 доти, доки отримаємо значення, більше підкореного числа 5 . Всі ці обчислення зручно подавати у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (оскільки 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, порівнюючи отримані значення з підкореним числом 5:

Оскільки 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5 , то значення розряду десятих дорівнює 2 . Можна перейти до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо витяг кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього зводимо до куба числа 0, 10, 100 і т.д. доки отримаємо число, що перевищує 2 151,186 . Маємо 03 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Так як 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 то значення розряду десятків дорівнює 1 . Переходимо до одиниць.

Отже, значення розряду одиниць дорівнює 2 . Переходимо до десятої.

Оскільки навіть 12,9 3 менше підкореного числа 2 151,186 , то значення розряду десятих дорівнює 9 . Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що є безліч інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).