Складання та віднімання з різними. Операція множення чисел

>>Математика: Додавання чисел з різними знаками

33. Додавання чисел з різними знаками

Якщо температура повітря дорівнювала 9 °С, а потім вона змінилася на - 6 °С (тобто знизилася на 6 °С), то вона дорівнювала 9 + (- 6) градусам (рис. 83).

Щоб скласти числа 9 і - 6 за допомогою , треба точку А (9) перемістити вліво на 6 одиничних відрізків (рис. 84). Отримаємо точку В(3).

Значить, 9+(- 6) = 3. Число 3 має той самий знак, що і доданок 9, а його модульдорівнює різниці модулів доданків 9 і -6.

Справді, |3| =3 і |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Якщо та температура повітря 9 °С змінилася на -12 °С (тобто. знизилася на 12 °С), то вона стала рівною 9 +(-12) градусам (рис. 85). Склавши числа 9 і -12 за допомогою координатної прямої (рис. 86), отримаємо 9 + (-12) = -3. Число -3 має той самий знак, що і доданок -12, яке модуль дорівнює різниці модулів доданків -12 і 9.

Справді, | - 3 | = 3 та | -12 | - | -9 | = 12 - 9 = 3.

Щоб скласти два числа з різними знаками, треба:

1) від більшого модуля доданків відняти менший;

2) поставити перед отриманим числом знак того доданка, модуль якого більший.

Зазвичай спочатку визначають та записують знак суми, а потім знаходять різницю модулів.

Наприклад:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
або коротше 6,1 + (- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

При додаванні позитивних і негативних чисел можна використовувати мікрокалькулятор. Щоб ввести негативне число в мікрокалькулятор, треба ввести модуль цього числа, потім натиснути клавішу "Зміна знака" |/-/|. Наприклад, щоб запровадити число -56,81, треба послідовно натискати клавіші: | 5 |, | 6 |, | | |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Операції над числами будь-якого знака виконуються на мікрокалькуляторі як і, як над позитивними числами.

Наприклад, суму -6,1 + 3,8 обчислюють за програмі

? Числа а та b мають різні знаки. Який знак матиме сума цих чисел, якщо більший модуль має від'ємне число?

якщо менший модуль має від'ємне число?

якщо більший модуль має додатне число?

якщо найменший модуль має позитивне число?

Сформулюйте правило додавання чисел з різними знаками. Як ввести до мікрокалькулятора негативне число?

До 1045. Число 6 змінили на -10. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку вона знаходиться? Чому дорівнює сума 6 та -10?

1046. Число 10 змінили на -6. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку вона знаходиться? Чому дорівнює сума 10 та -6?

1047. Число -10 змінили на 3. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку вона знаходиться? Чому дорівнює сума -10 та 3?

1048. Число -10 змінили на 15. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку вона знаходиться? Чому дорівнює сума -10 та 15?

1049. У першій половині дня температура змінилася на - 4 °С, а в другу - на + 12 °С. На скільки градусів змінилася температура протягом дня?

1050. Виконайте додавання:

1051. Додайте:

а) до суми -6 та -12 число 20;
б) до 2,6 суму -1,8 і 5,2;
в) до суми -10 та -1,3 суму 5 та 8,7;
г) до суми 11 та -6,5 суму -3,2 та -6.

1052. Яке із чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 є коренем рівняння- 6 + х = -13,1?

1053. Вгадайте корінь рівняння та виконайте перевірку:

а) х + (-3) = -11; в) m + (-12) = 2;
б) - 5+y=15; г) 3+n=-10.

1054. Знайдіть значення виразу:

1055. Виконайте дії за допомогою мікрокалькулятора:

а) – 3,2579+ (-12,308); г) -3,8564 + (-0,8397) +7,84;
б) 7,8547+ (- 9,239); д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
в) -0,00154+0,0837; е) -0,0085 + 0,00354 + (- 0,00921).

П 1056. Знайдіть значення суми:

1057. Знайдіть значення виразу:

1058. Скільки цілих чисел розташовано між числами:

а) 0 та 24; б) -12 та -3; в) -20 та 7?

1059. Подайте число -10 у вигляді суми двох негативних доданків так, щоб:

а) обидва доданки були цілими числами;
б) обидва доданки були десятковими дробами;
в) один із доданків було правильною звичайною дробом.

1060. Яка відстань (в одиничних відрізках) між точками координатної прямої з координатами:

а) 0 та а; б) -а та а; в) -а та 0; г) а і -За?

М 1061. Радіуси географічних паралелей земної поверхні, на яких розташовані міста Афіни та Москва, відповідно дорівнюють 5040 км та 3580 км (рис. 87). На скільки паралель Москви коротша за паралелі Афін?

1062. Складіть рівняння для розв'язання задачі: «Поле площею 2,4 га поділили на дві ділянки. Знайдіть площакожної ділянки, якщо відомо, що одна з ділянок:

а) на 0,8 га більше за інше;
б) на 0,2 га менше від іншого;
в) у 3 рази більше за інше;
г) в 1,5 рази менше від іншого;
д) складає іншого;
е) становить 0,2 іншого;
ж) становить 60% іншого;
з) становить 140% іншого».

1063. Розв'яжіть задачу:

1) У перший день мандрівники проїхали 240 км, на другий день 140 км, на третій день вони проїхали в 3 рази більше, ніж на другий, а на четвертий день вони відпочивали. Скільки кілометрів вони проїхали п'ятого дня, якщо за 5 днів вони проїжджали в середньому по 230 км на день?

2) Заробіток батька на місяць дорівнює 280 грн. Стипендія дочки у 4 рази менша. Скільки заробляє на місяць мати, якщо у сім'ї 4 особи, молодший син - школяр і на кожного припадає в середньому 135 р.?

1064. Виконайте дії:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Подайте у вигляді суми двох рівних доданків до числа з чисел:

1067. Знайдіть значення а + b, якщо:

а) а = -1,6, b = 3,2; б) а = - 2,6, b = 1,9; в)

1068. На одному поверсі жилого будинку було 8 квартир. 2 квартири мали житлову площу по 22,8 м 2 , 3 квартири – по 16,2 м 2 , 2 квартири – по 34 м 2 . Яку житлову площу мала восьма квартира, якщо на цьому поверсі в середньому на кожну квартиру припадало 24,7 м 2 житлової площі?

1069. У складі товарного поїзда було 42 вагони. Критих вагонів було у 1,2 рази більше, ніж платформ, а число цистерн становило числа платформ. Скільки вагонів кожного виду було у поїзді?

1070. Знайдіть значення виразу

Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школи

Планування з математики, підручники та книги онлайн , курси та завдання з математики для 6 класу

У цьому уроці ми вивчимо додавання та віднімання цілих чисел, а також правила для їх складання та віднімання.

Нагадаємо, що цілі числа - це всі позитивні та негативні числа, а також число 0. Наприклад, наступні числа є цілими:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Позитивні числа легко і . На жаль, цього не можна сказати про негативні числа, які бентежать багатьох новачків своїми мінусами перед кожною цифрою. Як показує практика, помилки зроблені через негативні числа, засмучують учнів найбільше.

Приклади складання та віднімання цілих чисел

Перше чого слід навчитися, це складати та віднімати цілі числа за допомогою координатної прямої. Зовсім необов'язково малювати координатну пряму. Достатньо уявляти її у своїх думках і бачити, де розташовуються негативні числа, і де позитивні.

Розглянемо найпростіший вираз: 1 + 3. Значення даного виразу дорівнює 4:

Цей приклад можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де знаходиться число 1, потрібно зрушити праворуч на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 4. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак плюса у виразі 1+3 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 2.Знайдемо значення виразу 1-3.

Значення даного виразу дорівнює −2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується число 1, потрібно зрушити вліво на три кроки. Через війну ми опинимося у точці, де розташовується негативне число −2. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак мінуса у виразі 1 - 3 вказує нам, що ми повинні рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Взагалі, слід запам'ятати, що й здійснюється додавання, потрібно рухатися вправо у бік збільшення. Якщо ж здійснюється віднімання, потрібно рухатися вліво у бік зменшення.

приклад 3.Знайти значення виразу -2 + 4

Значення даного виразу дорівнює 2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити вправо на чотири кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться позитивне число 2.

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на чотири кроки, і опинилися в точці, де розташовується позитивне число 2.

Знак плюса у виразі −2 + 4 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 4.Знайти значення виразу −1 − 3

Значення даного виразу дорівнює −4

Цей приклад знову ж таки можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −1, потрібно зрушити вліво на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де розташовується від'ємне число -4

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −1 у ліву сторону на три кроки, і опинилися в точці, де розташовується від'ємне число −4.

Знак мінуса у виразі −1 − 3 вказує нам, що ми маємо рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Приклад 5.Знайти значення виразу -2 + 2

Значення даного виразу дорівнює 0

Цей приклад можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити праворуч на два кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 0

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на два кроки і опинилися в точці, де розташовується число 0.

Знак плюса у виразі −2 + 2 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

Правила складання та віднімання цілих чисел

Щоб скласти чи відняти цілі числа, зовсім необов'язково щоразу уявляти координатну пряму, і більше малювати її. Найзручніше скористатися готовими правилами.

Застосовуючи правила, потрібно звертати увагу на знак операції та знаки чисел, які потрібно скласти або відняти. Від цього буде залежати, яке правило застосовувати.

приклад 1.Знайти значення виразу -2 + 5

Тут до негативного числа додається позитивне число. Іншими словами, здійснюється додавання чисел з різними знаками. −2 це від'ємне число, а 5 – позитивне. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти числа з різними знаками, потрібно з більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак числа, модуль якого більше.

Отже, подивимося який модуль більше:

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −2. Правило вимагає від більшого модуля відняти менший. Тому ми повинні відняти від 5 2, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше.

У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа буде відповідати. Тобто відповідь буде позитивною:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Зазвичай записують коротше: −2 + 5 = 3

приклад 2.Знайти значення виразу 3 + (−2)

Тут, як і в попередньому прикладі, здійснюється складання чисел з різними знаками. 3 це позитивне число, а −2 негативне. Зверніть увагу, що число −2 укладено у дужки, щоб зробити вираз зрозумілішим. Це вираз набагато простіше сприйняття, ніж вираз 3+−2.

Отже, застосуємо правило додавання чисел з різними знаками. Як і в минулому прикладі, з більшого модуля віднімаємо менший модуль і перед відповіддю ставимо знак того числа, модуль якого більше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 більший, ніж модуль числа −2, тому ми з 3 відняли 2 і перед отриманою відповіддю поставили знак того числа модуль, якого більше. У числа 3 модуль більший, тому знак цього числа поставлений у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Зазвичай записують коротше 3 + (−2) = 1

приклад 3.Знайти значення виразу 3 − 7

У цьому вся виразі з меншого числа віднімається більше. Для такого випадку застосовується таке правило:

Щоб від меншого числа відняти більше, потрібно від більшого числа відняти менше, і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

У цьому вся виразі є невелика загвоздка. Згадаймо, що знак рівності (=) ставиться між величинами та виразами тоді, коли вони рівні між собою.

Значення виразу 3 − 7 як ми довідалися одно −4. Це означає, що будь-які перетворення, які ми будемо здійснювати в даному виразі, повинні дорівнювати −4

Але ми бачимо, що на другому етапі розташовується вираз 7 - 3, який не дорівнює -4.

Щоб виправити цю ситуацію, вираз 7-3 потрібно взяти в дужки і перед цією дужкою поставити мінус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

У цьому випадку рівність дотримуватиметься на кожному етапі:

Після того, як вираз обчислено, дужки можна прибрати, що ми зробили.

Тому, щоб бути точнішим, рішення має виглядати так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Це правило можна записати за допомогою змінних. Виглядатиме воно наступним чином:

a − b = − (b − a)

Велика кількість дужок та знаків операцій можуть ускладнювати рішення, здавалося б зовсім просте завдання, тому доцільніше навчитися записувати такі приклади коротко, наприклад 3 − 7 = − 4.

Насправді додавання і віднімання цілих чисел зводиться лише до складання. Це означає, що якщо потрібно здійснити віднімання чисел, цю операцію можна замінити додаванням.

Отже, знайомимося з новим правилом:

Відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке протилежно віднімається.

Наприклад, розглянемо найпростіший вираз 5-3. На початкових етапах вивчення математики ми ставили знак рівності та записували відповідь:

Але зараз ми прогресуємо у вивченні, тому треба пристосовуватись до нових правил. Нове правило каже, що відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке буде віднімати.

На прикладі виразу 5-3 спробуємо зрозуміти це правило. Зменшуване в даному виразі це 5, а віднімається це 3. Правило каже, що для того, щоб з 5 відняти 3 потрібно до 5 додати таке число, яке буде протилежне 3. Протилежне для числа 3 це число -3. Записуємо новий вираз:

А як знаходити значення для таких виразів, ми вже знаємо. Це складання чисел із різними знаками, яке ми розглянули раніше. Щоб скласти числа з різними знаками, ми з більшого модуля віднімаємо менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −3. Тому ми з 5 відняли 3 і отримали 2. У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа поставили у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Спочатку швидко замінювати віднімання додаванням вдається не всім. Це з тим, що позитивні числа записуються без знака плюс.

Наприклад, у виразі 3 - 1 знак мінуса, що вказує на віднімання, є знаком операції і не відноситься до одиниці. Одиниця в даному випадкує позитивним числом, і вона має свій знак плюса, але ми його не бачимо, оскільки плюс перед позитивними числами не записують.

А отже, для наочності цей вираз можна записати так:

(+3) − (+1)

Для зручності числа зі своїми знаками укладають у дужки. У такому разі замінити віднімання додаванням набагато простіше.

У виразі (+3) − (+1) це число, що вичитується (+1), а протилежне йому число це (-1).

Замінимо віднімання додаванням і замість віднімається (+1) записуємо протилежне йому число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Подальше обчислення не складе особливих труднощів.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На перший погляд здасться, який сенс у цих зайвих рухах тіла, якщо можна старим добрим методом поставити знак рівності і відразу записати відповідь 2. Насправді це правило ще не раз нас виручить.

Розв'яжемо попередній приклад 3 - 7, використовуючи правило віднімання. Спочатку наведемо вираз до зрозумілого вигляду, розставивши кожному числу свої знаки.

Трійка має знак плюса, оскільки вона є позитивним числом. Мінус, що вказує на віднімання не відноситься до сімки. У сімки знак плюса, оскільки вона є позитивним числом:

Замінимо віднімання додаванням:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Подальше обчислення нескладно:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Приклад 7.Знайти значення виразу −4 − 5

Перед нами знову операція віднімання. Цю операцію слід замінити додаванням. До зменшуваного (-4) додамо число, протилежне віднімається (+5). Протилежне число для віднімання (+5) це число (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Ми дійшли ситуації, де потрібно скласти негативні числа. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

Отже, складемо модулі чисел, як від нас вимагає правило, і поставимо перед отриманою відповіддю мінус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запис із модулями необхідно укласти в дужки і перед цими дужками поставити мінус. Так ми забезпечимо мінус, який має стояти перед відповіддю:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

або ще коротше:

−4 − 5 = −9

Приклад 8.Знайти значення виразу −3 − 5 − 7 − 9

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду. Тут усі числа, крім числа −3, є позитивними, тому у них будуть знаки плюсу:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Замінимо віднімання додаваннями. Усі мінуси, крім мінуса, що стоїть перед трійкою, зміняться на плюси, і всі позитивні числа зміняться протилежні:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Тепер застосуємо правило складання негативних чисел. Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Рішення цього прикладу можна записати коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

або ще коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Приклад 9.Знайти значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Тут відразу дві операції: додавання та віднімання. Додавання залишаємо без зміни, а віднімання замінюємо додаванням:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Дотримуючись, виконаємо по черзі кожну дію, спираючись на раніше вивчені правила. Записи з модулями можна пропустити:

Перша дія:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Друга дія:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третя дія:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четверта дія:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким чином, значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7 дорівнює −15

Примітка. Наводити вираз до зрозумілого вигляду, укладаючи числа у дужки, зовсім необов'язково. Коли відбувається звикання до негативних чисел, цю дію можна пропустити, оскільки вона забирає час і може заплутати.

Отже, для складання та віднімання цілих чисел необхідно запам'ятати такі правила:

Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

На цьому уроці ми дізнаємося, що таке негативне число та які числа називаються протилежними. Також навчимося складати негативні та позитивні числа (числа з різними знаками) і розберемо кілька прикладів додавання чисел з різними знаками.

Подивіться на цю шестерню (див. рис. 1).

Мал. 1. Шестеренка годинника

Це не стрілка, яка показує час і не циферблат (див. рис. 2). Але без цієї деталі годинник не працює.

Мал. 2. Шестеренка всередині годинника

А що означає буква Ы? Нічого, окрім звуку Ы. Але без неї не «працюватимуть» багато слів. Наприклад, слово «МИШ». Так і негативні числа: вони не показують жодної кількості, але без них механізм обчислень був би суттєво важчим.

Ми знаємо, що додавання та віднімання рівноправні операції, і їх можна виконувати в будь-якому порядку. У записи у порядку ми можемо порахувати: , а розпочати з віднімання немає, оскільки ми домовилися ще, що ж таке .

Відомо, що збільшити число на , та був зменшити означає в результаті зменшення на три. Чому б так і не позначити цей об'єкт і так і вважати: додати - значить відняти. Тоді.

Число може означати, наприклад, яблука. Нове число не означає жодної реальної кількості. Саме собою воно нічого не означає, як буква Ы. Це просто новий інструмент для спрощення обчислень.

Назвемо нові числа негативними. Тепер ми можемо віднімати з меншого числа більше. Технічно все одно треба відняти від більшого числа меншого, але у відповіді поставити знак мінус: .

Розглянемо ще один приклад: . Можна зробити всі події поспіль: .

Однак з першого числа легше відняти третє, а потім додати друге число:

Негативні числа можна визначити по-іншому.

Для кожного натурального числа, наприклад, введемо нове число, яке позначимо, і визначимо, що воно має таку властивість: сума числа і дорівнює: .

Число називатимемо негативним, а числа і - протилежними. Таким чином, ми отримали безліч нових чисел, наприклад:

Протилежне для числа;

Протилежне числу;

Протилежне числу;

Протилежне числу;

Віднімемо з меншого числа більше: . Додамо до цього виразу: . Здобули нуль. Однак згідно з властивістю: число, яке у сумі з п'ятьма дає нуль, позначається мінус п'ять: . Отже, вираз можна позначити як .

У кожного позитивного числа існує число-близнюк, яке відрізняється лише тим, що перед ним стоїть знак мінус. протилежними(Див. рис. 3).

Мал. 3. Приклади протилежних чисел

Властивості протилежних чисел

1. Сума протилежних чисел дорівнює нулю: .

2. Якщо з нуля відняти позитивне число, то результатом буде протилежне від'ємне число: .

1. Обидва числа може бути позитивними, і їх ми вже вміємо: .

2. Обидва числа може бути негативними.

Ми вже пройшли додавання таких чисел на попередньому уроці, але переконаємося, що розуміємо, що з ними робити. Наприклад: .

Щоб цю суму знайти, складаємо протилежні позитивні числа та й ставимо знак мінус.

3. Одне число може бути позитивним, а інше – негативним.

Додавання негативного числа ми, якщо це зручно, можемо замінювати на віднімання позитивного: .

Ще один приклад: . Знову суму записуємо як різницю. Відняти з меншого більше можна, віднімаючи від більшого менше, але поставивши знак мінус.

Доданки можемо міняти місцями: .

Ще один аналогічний приклад: .

У всіх випадках у результаті виходить віднімання.

Щоб коротко сформулювати ці правила, згадаймо ще один термін. Протилежні числа, звісно, ​​не рівні одне одному. Але дивно не помітити в них спільного. Це спільне ми назвали модулем числа. Модуль у протилежних чисел однаковий: у позитивного числа він дорівнює самому числу, а у негативного – протилежному, позитивному. Наприклад: , .

Щоб скласти два негативні числа, потрібно скласти їх модулі та поставити знак мінус:

Щоб скласти негативне і позитивне число, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль і поставити знак числа з великим модулем:

Обидва числа негативні, отже, складаємо їх модулі та ставимо знак мінус:

Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак мінус (знак числа з великим модулем):

Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак мінус (знак числа з великим модулем): .

Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак плюс (знак числа з великим модулем): .

У позитивних та негативних чисел історично різна роль.

Спочатку ми запровадили натуральні числа для рахунку предметів:

Потім ми запровадили інші позитивні числа - дроби, на рахунку нецілих кількостей, елементів: .

Негативні числа з'явилися як інструмент для спрощення розрахунків. Не було такого, щоб у житті були якісь кількості, які нам не порахувати, і ми винайшли негативні числа.

Тобто, негативні числа не виникли з реального світу. Просто вони виявилися настільки зручними, що подекуди їм знайшлося застосування й у житті. Наприклад, ми часто чуємо про негативну температуру. При цьому ми ніколи не стикаємось із негативною кількістю яблук. У чому різниця?

Різниця у цьому, що у житті негативні величини використовують лише порівняння, але з кількостей. Якщо в готелі обладнали підвал і туди пустили ліфт, то щоб залишити звичну нумерацію звичайних поверхів, може з'явитися мінус перший поверх. Цей мінус перший означає лише поверх нижче рівня землі (див. рис. 1).

Мал. 4. Мінус перший та мінус другий поверхи

Негативна температура є негативною лише в порівнянні з нулем, який вибрав автор шкали Андерс Цельсій. Є інші шкали, і та сама температура вже може не бути там негативною.

При цьому ми розуміємо, що неможливо змінити точку відліку так, щоб яблук стало не п'ять, а шість. Отже, у житті позитивні числа застосовуються визначення кількостей ( яблук, торта).

Ще ми використовуємо їх замість імен. Кожному телефону можна було б назвати своє ім'я, але кількість імен обмежена, а чисел немає. Тому ми використовуємо телефонні номери. Також для упорядкування (століття йде за століттям).

Негативні числа в житті використовуються в останньому сенсі (мінус перший поверх нижче нульового та першого поверхів)

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. М: Мнемозіна, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. "Гімназія", 2006.
3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. М: Просвітництво, 1989.
4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. М: ЗШ МІФІ, 2011.
5. Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6 класів заочної школи МІФІ. М: ЗШ МІФІ, 2011.
6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.

1. Math-prosto.ru().
2. Youtube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Домашнє завдання

формування знань про правило додавання чисел з різними знаками, умінь застосовувати його у найпростіших випадках;

розвиток умінь порівнювати, виявляти закономірності, узагальнювати;

виховання відповідального ставлення до навчальної праці.

Обладнання:мультимедійний проектор, екран.

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

ХІД УРОКУ

1.Організаційний момент.

Рівно встали,

Тихо сіли.

Продзвенів зараз дзвінок,

Починаємо наш урок.

Хлопці! Сьогодні до нас на урок прийшли гості. Повернемося до них і посміхнемося один одному. Отже, ми розпочинаємо наш урок.

Слайд 2- Епіграф уроку: Хто нічого не помічає, той нічого не вивчає.

Хто нічого не вивчає, той вічно пхикає і нудьгує.

Роман Сеф (дитячий письменник)

Солод 3 -Пропоную пограти у гру «Навпаки». Правила гри: потрібно розділити слова на дві групи: виграш, брехня, тепло, віддав, щоправда, добро, програш, взяв, зло, холодно, позитивне, негативне.

Протиріч у житті багато. З їхньою допомогою ми визначаємо навколишню дійсність. Для нашого заняття мені потрібне останнє: позитивне – негативне.

Про що ми говоримо у математиці, коли вживаємо ці слова? (Про числа.)

Великий Піфагор стверджував: «Числа правлять світом». Я пропоную поговорити про найзагадковіші числа в науці – про числа з різними знаками. - Негативні числа з'явилися у науці, як протилежність до позитивних. Їхній шлях у науку був важкий, тому що навіть багато вчених не підтримували ідей про їхнє існування.

Які поняття та величини люди вимірюють позитивними та негативними числами? (заряди елементарних частинок, температуру, збитки, висоту та глибину тощо)

Слайд 4-Слова протилежні за значенням – антоніми (таблиця).

2. Постановка теми уроку.

Слайд 5 (робота з таблицею)- Які числа вивчали на попередніх уроках?
– Які завдання, пов'язані з позитивними та негативними числами, ви вмієте виконувати?
– Увага на екрані. (Слайд 5)
– Які числа представлені у таблиці?
– Назвіть модулі чисел, записаних по горизонталі.
– Вкажіть найбільше число, вкажіть число з найбільшим модулем.
– Дайте відповідь на ті ж питання для чисел, записаних по вертикалі.
– Чи завжди найбільше число та число з найбільшим модулем збігаються?
- Знайдіть суму позитивних чисел, суму негативних чисел.
– Сформулюйте правило додавання позитивних чисел і правило додавання негативних чисел.
- Які числа залишилося скласти?
- Чи вмієте ви їх складати?
– Чи знаєте ви правило складання чисел із різними знаками?
– Сформулюйте тему уроку.
- Яку мету ви перед собою поставите? .Подумайте, що ми робитимемо сьогодні? (Відповіді дітей). Сьогодні ми продовжуємо знайомитися з позитивними та негативними числами. Тема нашого уроку “Складання чисел із різними знаками.” А наша мета: навчитися без помилок, складати числа із різними знаками. Записали в зошит число та тему уроку.

3.Робота на тему уроку.

Слайд 6.– Застосовуючи дані поняття, знайдіть результати додавання чисел з різними знаками на екрані.
– Які числа є результатом додавання позитивних чисел, негативних чисел?
– Які числа є результатом складання чисел із різними знаками?
– Від чого залежить знак суми чисел із різними знаками? (Слайд 5)
– Від доданку з найбільшим модулем.
– Це як за перетягування каната. Перемагає найсильніший.

Слайд 7– Пограємось. Уявіть, що ви перетягуєте канат. . Вчитель. Суперники зазвичай трапляються на змаганнях. І ми сьогодні побуваємо з вами на кількох турнірах. Перше, що на нас чекає – це фінал конкурсу з перетягування каната. Зустрічаються Іван Мінусов за номером -7 та Петро Плюсов за номером +5. Як ви вважаєте, хто переможе? Чому? Отже, переміг Іван Мінусов, він справді виявився сильнішим за суперника, і зміг перетягнути його на свій негативний бік рівно на два кроки.

Слайд 8. . А тепер побуваємо на інших змаганнях. Перед вами фінал змагання зі стрільби. Найкращими в цьому виді виявилися Мінус Тройкін із трьома повітряними кулями та Плюс Четвериков, який має в запасі чотири повітряні кульки. А тут хлопці, як ви вважаєте, хто стане переможцем?

Слайд 9- Змагання показали, що у них перемагає найсильніший. Так і при додаванні чисел з різними знаками: -7 + 5 = -2 і -3 + 4 = +1. Хлопці, як складаються числа з різними знаками?Учні пропонують свої варіанти.

Вчитель формулює правило, наводить приклади.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Учні у процесі демонстрації можуть коментувати рішення, що з'являється на слайді.

Слайд 10- Вчитель-пограємо ще в одну гру «Морський бій». До нашого узбережжя наближається ворожий корабель, його необхідно підбити та потопити. Для цього ми маємо гармату. Але щоб потрапити до мети необхідно зробити точні розрахунки. Які ви зараз побачите. Чи готові? Тоді вперед! Прошу не відволікатися, приклади змінюються через 3 сек. Всі готові?

Учні по черзі виходять до дошки та обчислюють приклади, що з'являються на слайді. – Назвіть етапи виконання завдання.

Слайд 11-Робота за підручником: стр.180 п.33, прочитати правило додавання чисел з різними знаками. Коментує правило.
– У чому відмінність правила, запропонованого у підручнику, від складеного вами алгоритму? Розглянути приклади у підручнику з коментарем.

Слайд 12-Вчитель-А тепер хлопці давайте проведемо експеримент.Але не хімічна, а математична! Візьмемо числа 6 і 8, знаки плюс і мінус і все добре перемішаємо. Отримаємо чотири приклади-досвіди. Виконайте їх у себе в зошиті. (Двоє учнів вирішують на крилах дошки, потім відповіді перевіряються). Які висновки можна зробити із цього експерименту?(Роль знаків). Проведемо ще 2 експерименти , але з вашими числами (виходять по 1 людині до дошки). Придумаємо один одному числа та перевіримо результати експерименту (взаємоперевірка).

Слайд 13 .- На екран виводиться правило у віршованій формі .

4. Закріплення теми уроку.

Слайд 14 –Вчитель-«Знаки всякі потрібні, знаки всякі важливі!» Нині, хлопці, ми поділимося з вами на дві команди. Хлопчики будуть у команді Діда Мороза, а дівчатка – Сонечко. Ваше завдання, не обчислюючи приклади, визначити в яких з них вийдуть негативні відповіді, а в яких - позитивні та виписати у зошит літери цих прикладів. Хлопчики відповідно - негативні, а дівчатка - позитивні (видаються картки з додатку). Проводиться самоперевірка.

Молодці! Чуття на знаки у вас чудове. Це допоможе вам виконати наступне завдання

Слайд 15 -Фізкульхвилинка. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5 і т. д.(негативні числа-присідають, позитивні числа-підтягуються вгору, підстрибують)

Слайд 16-Вирішити 9 прикладів самостійно (завдання на картках у додатку). 1 людина біля дошки. Зробити самоперевірку. Відповіді виводяться на екран, помилки учні виправляють у зошиті. Підніміть руки, у кого правильно. (Позначки виставляються лише за хороший та відмінний результат)

Слайд 17– Правильно вирішувати приклади нам допомагають правила. Давайте їх повторимо На екрані алгоритм складання чисел із різними знаками.

5. Організація самостійної роботи.

Слайд 18-Фронтальна робота через гру «Відгадай слово»(Завдання на картках у додатку) .

Слайд 19 -Повинна вийти оцінка за гру – «п'ятірочка»

Слайд 20-Атепер, увага. Домашнє завдання. Домашнє завдання не повинно викликати у вас труднощів.

Слайд 21 -Закони складання у фізичних явищах. Придумайте приклади на додавання чисел з різними знаками та задайте їх один одному. Що нового ви дізналися? Чи досягли ми поставленої мети?

Слайд 22 -Ось і скінчився урок, підіб'ємо зараз підсумок. Рефлексія. Вчитель коментує та виставляє оцінки за урок.

Слайд 23 -Дякую за увагу!

Бажаю вам, щоб у вашому житті було більше позитивного та менше негативного, Хочу сказати вам, хлопці, дякую за вашу активну роботу. Я думаю, що ви легко зможете застосувати отримані знання на наступних уроках. Урок завершено. Усім дуже дякую. До побачення!

Додавання негативних чисел.

Сума негативних чисел є числом негативним. Модуль суми дорівнює сумі модулів доданків.

Давайте розберемося, чому сума негативних чисел буде теж негативним числом. Допоможе нам у цьому координатна пряма, де ми виконаємо складання чисел -3 і -5. Зазначимо на координатній прямій точку, що відповідає числу -3.

До -3 нам потрібно додати число -5. Куди ми підемо від точки, що відповідає числу -3? Правильно, ліворуч! на 5 одиничних відрізків. Зазначаємо крапку та пишемо число їй відповідне. Це число -8.

Отже, при виконанні складання негативних чисел за допомогою координатної прямої ми весь час знаходимося ліворуч від початку відліку, тому зрозуміло, що результат складання негативних чисел є числом теж негативним.

Примітка.Ми складали числа -3 та -5, тобто. знаходили значення виразу -3+(-5). Зазвичай під час складання раціональних чисел просто записують ці числа зі своїми знаками, хіба що перераховують усі числа, які треба скласти. Такий запис називають сумою алгебри. Застосовують (у прикладі) запис: -3-5=-8.

приклад.Знайти суму негативних чисел: -23-42-54. (Погодьтеся, що цей запис коротший і зручніший за такий: -23+(-42)+(-54))?

Вирішуємоза правилом складання негативних чисел: складаємо модулі доданків: 23+42+54=119. Результат буде зі знаком мінус.

Записують зазвичай так: -23-42-54 = -119.

Складання чисел з різними знаками.

Сума двох чисел з різними знаками має знак доданку з великим модулем. Щоб знайти модуль суми, потрібно від більшого модуля відняти менший.

Виконаємо складання чисел з різними знаками за допомогою координатної прямої.

1) -4+6. Потрібно до -4 додати число 6. Зазначимо число -4 точкою на координатній прямий. Число 6 - позитивне, значить від точки з координатою -4 нам потрібно йти вправо на 6 одиничних відрізків. Ми опинилися праворуч від початку відліку (від нуля) на 2 одиничні відрізки.

Результат суми чисел -4 і 6 - це позитивне число 2:

- 4 +6 = 2. Як можна було одержати число 2? З 6 відняти 4, тобто. від більшого модуля відняти менший. У результату той самий знак, що й у доданку з великим модулем.

2) Обчислимо: -7+3 за допомогою координатної прямої. Зазначаємо точку, що відповідає числу -7. Ідемо вправо на 3 одиничні відрізки і отримуємо точку з координатою -4. Ми були і залишилися ліворуч від початку відліку: відповідь — негативне число.

- 7 +3 =-4. Цей результат ми могли отримати так: від більшого модуля відняли менший, тобто. 7-3 = 4. Через війну поставили знак доданку, має більший модуль: |-7|>|3|.

приклади.Обчислити: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.