Додавання натуральних дробів з різними знаменниками. Скорочення дробів

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої ​​звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас втішити: різні знаменники у дробів — це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Найкраще використовуйте просту схему, наведену нижче:

1. Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
2. Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
3. Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дроб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

1. Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
2. Приведіть усі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
3. Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
4. Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.

Дроби та їх скорочення – ще одна тема, яка починається у 5 класі. Тут формується основа цієї події, та був ці вміння тягнуться ниточкою у вищу математику. Якщо учень не засвоїв, то у нього можуть виникнути проблеми в алгебрі. Тому краще усвідомити кілька правил раз і назавжди. А ще запам'ятати одну заборону і ніколи її не порушувати.

Дроб та її скорочення

Що це таке знає кожен учень. Будь-які дві цифри розташовані між горизонтальною межею відразу сприймаються, як дріб. Однак не всі розуміють, що нею може стати будь-яка кількість. Якщо воно ціле, його завжди можна розділити на одиницю, тоді вийде неправильний дріб. Але про це згодом.

Початок завжди простий. Спочатку потрібно з'ясувати, як скоротити правильний дріб. Тобто таку, яка має чисельник менше, ніж знаменник. Для цього потрібно згадати основну властивість дробу. Воно стверджує, що з множенні (як і, розподілі) одночасно її чисельника і знаменника на однакове число виходить, рівноцінна вихідний дріб.

Дії поділу, які виконуються у цій властивості та призводять до скорочення. Тобто максимальному її спрощенню. Дроб можна скорочувати доти, поки над рисою і під нею є спільні множники. Коли їх уже не буде, то скорочення неможливе. І кажуть, що цей дріб нескоротний.

Два способи

1.Покрокове скорочення.У ньому використовується метод прикидки, коли обидва числа поділяються на мінімальний загальний множник, який помітив учень. Якщо після першого скорочення видно, що це не кінець, то поділ триває. Поки що дріб не стане нескоротним.

2. Знаходження найбільшого спільного дільника у чисельника та знаменника.Це найраціональніший спосіб того, як скорочувати дроби. Він має на увазі розкладання чисельника та знаменника на прості множники. Серед них потім потрібно вибрати однакові. Їхній твір дасть найбільший загальний множник, на який скорочується дріб.

Обидва ці способи рівноцінні. Учню пропонується освоїти їх та користуватися тим, який більше сподобався.

Що робити, якщо є букви та дії додавання та віднімання?

З першою частиною питання все більш-менш зрозуміло. Літери можна скорочувати так само, як і числа. Головне, щоб вони виступали у ролі множників. А ось з другого у багатьох виникають проблеми.

Важливо запам'ятати! Скорочувати можна лише числа, які є множниками. Якщо вони доданки — не можна.

Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, мають вигляд алгебраїчного висловлювання, потрібно засвоїти правило. Спочатку уявити чисельник і знаменник у вигляді твору. Потім можна скорочувати, якщо з'явилися спільні множники. Для представлення у вигляді множників стануть у нагоді такі прийоми:

• угруповання;
• винесення за дужку;
• застосування тотожностей скороченого множення.

Причому останній спосіб дає можливість відразу отримати доданки у вигляді множників. Тому його необхідно використовувати завжди, якщо помітна відома закономірність.

Але це ще не страшно, потім з'являються завдання зі ступенями та корінням. Ось тоді потрібно набратися сміливості та засвоїти пару нових правил.

Вираз зі ступенем

Дріб. У чисельнику та знаменнику твір. Є літери та числа. А вони ще й зведені в ступінь, який теж складається з доданків або множників. Є що злякатися.

Для того щоб розібратися в тому, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно вивчити два моменти:

• якщо у показнику ступеня коштує сума, то її можна розкласти на множники, ступенями яких будуть вихідні доданки;
• якщо різницю, то на ділене і дільник, у першого ступеня буде зменшуване, у другого — віднімається.

Після виконання цих дій стає видно загальні множники. У таких прикладах немає необхідності обчислювати всі ступені. Достатньо просто скоротити ступеня з однаковими показниками та підставами.

Для того, щоб остаточно засвоїти те, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно багато практикуватися. Після кількох однотипних прикладів дії виконуватимуться вже автоматично.

А якщо у виразі стоїть корінь?

Його також можна скоротити. Тільки знову ж таки, дотримуючись правил. Причому вірні всі, описані вище. Загалом, якщо стоїть питання про те, як скоротити дріб із корінням, то треба ділити.

На ірраціональні висловлювання теж можна поділити. Тобто якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові множники, укладені під знак кореня, їх можна сміливо скорочувати. Це призведе до спрощення виразу та виконання завдання.

Якщо після скорочення під межею дробу залишилася ірраціональність, то її потрібно позбутися. Інакше кажучи, помножити її у чисельник і знаменник. Якщо після цієї операції з'явилися спільні множники, їх знову потрібно буде скоротити.

Ось, мабуть, і все про те, як скорочувати дроби. Правил небагато, а заборона одна. Ніколи не скорочувати доданки!

Розберемося в тому, що таке скорочення дробів, навіщо і як скорочувати дроби, наведемо правило скорочення дробів та приклади його використання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке "скорочення дробів"

Скоротити дріб - означає розділити її чисельник і знаменник на спільний дільник, позитивний та відмінний від одиниці.

В результаті такої дії вийде дріб з новим чисельником і знаменником, що дорівнює вихідному дробу.

Наприклад, візьмемо звичайний дріб 24 і скоротимо його. Розділимо чисельник та знаменник на 2 , внаслідок чого отримаємо 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . У цьому прикладі ми скоротили вихідний дріб на 2 .

Приведення дробів до нескоротного виду

У попередньому прикладі ми скоротили дріб 6 24 на 2 , внаслідок чого отримали дріб 3 12 . Неважко помітити, що цей дріб можна скоротити ще. Як правило, метою скорочення дробів є отримання в результаті нескоротного дробу. Як привести дріб до нескоротного виду?

Це можна зробити, якщо скоротити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НДД). Тоді, за якістю найбільшого спільного дільника, в чисельнику і в знаменнику будуть взаємно прості числа, і дріб виявиться нескоротним.

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведення дробу до нескоротного виду

Щоб привести дріб до нескоротного виду, потрібно його чисельник і знаменник розділити на їх НОД.

Повернемося до дробу 6 24 з першого прикладу і наведемо його до нескоротного вигляду. Найбільший загальний дільник чисел 6 та 24 дорівнює 6 . Скоротимо дріб:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Скорочення дробів зручно застосовувати, щоб не працювати з великими цифрами. Взагалі, в математиці існує негласне правило: якщо можна спростити будь-який вираз, потрібно це робити. Під скороченням дробу найчастіше мають на увазі її приведення до нескоротного виду, а не просто скорочення на загальний дільник чисельника та знаменника.

Правило скорочення дробів

Щоб скорочувати дроби, досить запам'ятати правило, яке складається з двох кроків.

Правило скорочення дробів

Щоб скоротити дріб потрібно:

1. Знайти НОД чисельника та знаменника.
2. Розділити чисельник та знаменник на їх НОД.

Розглянемо практичні приклади.

Приклад 1. Скоротимо дріб.

Дано дріб 182 195 . Скоротимо її.

Знайдемо НОД чисельника та знаменника. Для цього в даному випадку найзручніше скористатися алгоритмом Евкліда.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182, 195) = 13

Розділимо чисельник та знаменник на 13 . Отримаємо:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Ми отримали нескоротний дріб, який дорівнює вихідному дробу.

Як ще можна скорочувати дроби? У деяких випадках зручно розкласти чисельник та знаменник на прості множники, а потім із верхньої та нижньої частин дробу прибрати всі загальні множники.

Приклад 2. Скоротимо дріб

Даний дріб 360 2940 . Скоротимо її.

Для цього представимо вихідний дріб у вигляді:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Позбавимося загальних множників у чисельнику та знаменнику, в результаті чого отримаємо:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Зрештою, розглянемо ще один спосіб скорочення дробів. Це так зване послідовне скорочення. З використанням цього способу скорочення проводиться у кілька етапів, на кожному з яких дріб скорочується на якийсь очевидний спільний дільник.

Приклад 3. Скоротимо дріб

Скоротимо дріб 2000 4400 .

Відразу видно, що чисельник та знаменник мають загальний множник 100 . Скорочуємо дріб на 100 і отримуємо:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Результат, що вийшов, знову скорочуємо на 2 і отримуємо вже нескоротний дріб:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Діти у школі вчать правила скорочення дробів у 6 класі. У цій статті ми спочатку розповімо вам про те, що означає цю дію, потім роз'яснимо, як скоротитий дріб перевести в нескоротний. Наступним пунктом будуть правила скорочення дробів, а потім уже поступово підберемося до прикладів.

Що означає "зменшити дріб"?

Отже, всі ми знаємо, що звичайні дроби поділяються на дві групи: скорочувані та нескоротні. Вже за назвами можна зрозуміти, що ті, що скорочувані – скорочуються, а ті, що нескорочені – не скорочуються.

• Скоротити дріб - це означає розділити її знаменник і чисельник на їхній (відмінний від одиниці) позитивний дільник. В результаті, звичайно, виходить новий дріб з меншим знаменником і чисельником. Отриманий дріб дорівнюватиме вихідного дробу.

Варто зазначити, що в книгах з математики із завданням "скоротіть дріб" це означає, що потрібно вихідний дріб привести саме до цього нескоротного виду. Якщо говорити простими словами, то розподіл знаменника і чисельника з їхньої найбільший спільний дільник і скорочення.

Як скоротити дріб. Правила скорочення дробів (6 клас)

Отже, тут лише два правила.

1. Перше правило скорочення дробів: спочатку потрібно буде знайти найбільший спільний дільник знаменника та чисельника вашого дробу.
2. Друге правило: ділити знаменник і чисельник на найбільший спільний дільник, зрештою отримати нескоротний дріб.

Як скоротити неправильний дріб?

Правила скорочення дробів ідентичні до правил скорочення неправильних дробів.

Для того щоб скоротити неправильний дріб, для початку потрібно буде розписати на прості множники знаменник і чисельник, а вже потім скорочувати загальні множники.

Скорочення змішаних дробів

Правила скорочення дробів також поширюється скорочення змішаних дробів. Є лише невелика різниця: цілу частину ми можемо не чіпати, а дробовий скоротити або змішаний дріб перевести в неправильний, потім скоротити і знову перевести в правильний дріб.

Скоротити змішані дроби можна двома способами.

Перший: розписати дрібну частину на прості множники і цілу частину тоді не чіпати.

Другий спосіб: перевести спочатку в неправильний дріб, розписати на звичайні множники, потім скоротити дріб. Вже отриманий неправильний дріб перевести у правильний.

Приклади можна побачити на фото.

Ми дуже сподіваємося, що змогли допомогти вам та вашим дітям. Адже на уроках вони часто бувають неуважними, тому доводиться займатися інтенсивніше вдома самостійно.

Працюючи з дробами, багато учнів допускають одні й самі помилки. А все тому, що вони забувають про елементарні правила арифметики. Сьогодні ми повторимо ці правила на конкретних завданнях, які я даю на заняттях.

Ось завдання, яке я пропоную кожному, хто готується до ЄДІ з математики:

Завдання. Морська свиня їсть 150 г корму на день. Але вона виросла і стала їсти на 20% більше. Скільки грамів корму тепер їсть свиня?

Неправильне рішення. Це завдання на відсотки, що зводиться до рівняння:

Багато (дуже багато) скорочують число 100 у чисельнику і знаменнику дробу:

Ось такої помилки припустилася моя учениця прямо в день написання цієї статті. Червоним відзначені числа, скорочені.

Зайве говорити, що відповідь вийшла неправильною. Судіть самі: свиня їла 150 грам, а стала їсти 3150 грам. Збільшення не так на 20%, а 21 раз, тобто. на 2000%.

Щоб не допускати таких непорозумінь, пам'ятайте основне правило:

Скорочувати можна лише множники. Складники скорочувати не можна!

Таким чином, правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:

Червоним відзначені цифри, які скорочуються у чисельнику та знаменнику. Як бачите, у чисельнику стоїть твір, знаменнику - звичайне число. Тому скорочення цілком законне.

Робота з пропорціями

Ще одне проблемне місце - пропорції. Особливо коли змінна стоїть з обох боків. Наприклад:

Завдання. Розв'яжіть рівняння:

Неправильне рішення - у деяких буквально руки сверблять скоротити все на m :

Змінні змінні показані червоним. Виходить вираз 1/4 = 1/5 - повне марення, ці числа ніколи не рівні.

А тепер – правильне рішення. Фактично, це звичайне лінійне рівняння. Вирішується або перенесенням всіх елементів в один бік, або за основною якістю пропорції:

Чимало читачів заперечать: «Де помилка в першому рішенні?» Що ж, розбираймося. Згадаймо правило роботи з рівняннями:

Будь-яке рівняння можна ділити та множити на будь-яке число, відмінне від нуля.

Просікли фішку? Можна ділити тільки числа, відмінні від нуля. Зокрема, можна ділити на змінну m тільки якщо m! = 0. А що робити, якщо все-таки m = 0? Підставимо та перевіримо:

Набули правильну числову рівність, тобто. m = 0 – корінь рівняння. Для інших m != 0 отримуємо вираз виду 1/4 = 1/5, що, звісно, ​​не так. Таким чином, немає коренів, відмінних від нуля.

Висновки: збираємо всі разом

Отже, для розв'язання дрібно-раціональних рівнянь пам'ятайте три правила:

1. Скорочувати можна лише множники. Доданки – не можна. Тому вчіться розкладати чисельник і знаменник на множники;
2. Основна властивість пропорції: добуток крайніх елементів дорівнює добутку середніх;
3. Рівняння можна множити і ділити тільки числа k , відмінні від нуля. Випадок k = 0 треба перевіряти окремо.

Пам'ятайте ці правила і не допускайте помилок.