Складання та віднімання звичайних дробів теорія. Як складати дроби з однаковими знаменниками

Різні дії з дробами можна виконувати, наприклад, додавання дробів. Додавання дробів можна розділити на кілька видів. У кожному вигляді складання дробів свої правила та алгоритм дій. Розглянемо докладно кожен вид складання.

Додавання дробів з однаковими знаменниками.

На прикладі подивимося, як складати дроби із спільним знаменником.

Туристи пішли в похід з точки A до точки E. У перший день вони пройшли від точки A до B або \(\frac(1)(5)\) від усього шляху. На другий день вони пройшли від точки B до D або \(\frac(2)(5)\) від усього шляху. Яку відстань вони пройшли від початку до точки D?

Щоб знайти відстань від точки A до точки D, потрібно скласти дроби \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Додавання дробів з однаковими знаменниками полягає в тому, що потрібно чисельники цих дробів скласти, а знаменник залишиться колишнім.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

У буквеному вигляді сума дробів з однаковими знаменниками виглядатиме так:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Відповідь: туристи пройшли \(\frac(3)(5)\) всього шляху.

Додавання дробів з різними знаменниками.

Розглянемо приклад:

Потрібно скласти два дроби \(\frac(3)(4)\) і \(\frac(2)(7)\).

Щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку знайтиа потім скористатися правилом складання дробів з однаковими знаменниками.

Для знаменників 4 і 7 загальним знаменником буде число 28. Перший дріб \(\frac(3)(4)\) потрібно помножити на 7. Другий дріб \(\frac(2)(7)\) потрібно помножити на 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ times \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

У буквеному вигляді одержуємо таку формулу:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Додавання змішаних чисел або змішаних дробів.

Додавання відбувається за законом додавання.

У змішаних дробів складаємо цілі частини з цілими та дробові частини з дробовими.

Якщо дробові частини змішаних чисел мають однакові знаменники, то чисельники складаємо, а знаменник залишається той самий.

Складемо змішані числа \(3\frac(6)(11)\) і \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( blue) (\frac(6)(11)) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

Якщо дрібні частини змішаних чисел маю різні знаменники, то знаходимо спільний знаменник.

Виконаємо додавання змішаних чисел \(7\frac(1)(8)\) і \(2\frac(1)(6)\).

Знаменник різний, тому потрібно знайти спільний знаменник, він дорівнює 24. Помножимо перший дріб \(7\frac(1)(8)\) на додатковий множник 3, а другий дріб \(2\frac(1)(6)\) на 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Питання на тему:
Як складати дроби?
Відповідь: спочатку треба визначитися до якого типу ставитися вираз: у дробів однакові знаменники, різні знаменники чи змішані дроби. Залежно від типу виразу переходимо до алгоритму розв'язання.

Як вирішувати дроби з різними знаменниками?
Відповідь: необхідно знайти спільний знаменник, а далі за правилом складання дробів з однаковими знаменниками.

Як вирішувати змішані дроби?
Відповідь: складаємо цілі частини з цілими та дробові частини з дробовими.

Приклад №1:
Чи може сума двох у результаті отримати правильний дріб? Неправильний дріб? Наведіть приклади.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Дроб \(\frac(5)(7)\) це правильний дріб, він є результатом суми двох правильних дробів \(\frac(2)(7)\) і \(\frac(3)(7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Дроб \(\frac(58)(45)\) є неправильним дробом, він вийшов у результаті суми правильних дробів \(\frac(2)(5)\) і \(\frac(8)(9)\).

Відповідь: на обидва запитання відповідь так.

Приклад №2:
Складіть дроби: а) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) б) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

а) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

б) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Приклад №3:
Запишіть змішаний дріб у вигляді суми натурального числа та правильного дробу: а) \(1\frac(9)(47)\) б) \(5\frac(1)(3)\)

а) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

б) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Приклад №4:
Обчисліть суму: а) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) б) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) в) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

а) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

б) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

в) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Завдання №1:
За обідом з'їли \(\frac(8)(11)\) від торта, а ввечері за вечерею з'їли \(\frac(3)(11)\). Як ви думаєте, торт повністю з'їли чи ні?

Рішення:
Знаменник дробу дорівнює 11, він вказує, скільки частин розділили торт. В обід з'їли 8 шматочків торта з 11. За вечерею з'їли 3 шматочки торта з 11. Додаємо 8 + 3 = 11, з'їли шматочків торта з 11, тобто весь торт.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Відповідь: весь торт з'їли.

Події з дробами.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Отже, що являють собою дроби, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося основним питанням.

Що можна робити із дробами?Та все те, що і зі звичайними числами. Складати, віднімати, множити, ділити.

Всі ці дії з десятковимидробами нічим не відрізняються від дій із цілими числами. Власне, цим вони й добрі, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.

Змішані числаЯк я вже казав, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити у звичайні дроби.

А ось дії з звичайними дробамихитрішими будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими та інші та інші нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Дії зі звичайними дробами – це основа для всієї алгебри. Саме тому ми дуже докладно розберемо тут всю цю арифметику.

Складання та віднімання дробів.

Скласти (відібрати) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при складанні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. Типу:

Коротше, у загальному вигляді:

А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), робимо знаменники однаковими! Наприклад:

Тут нам із дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Винятково з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 та 4/10 це один і той же дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже нічого.

До речі, у цьому є суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручноговирази робимо те саме, але вже зручне для вирішення.

Ще приклад:

Ситуація є аналогічною. Тут ми із 16 робимо 48. Простим множенням на 3. Це все зрозуміло. Але ось нам трапилося щось типу:

Як бути?! З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми знаємо правила! Перетворюємо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:

ВО як! Звідки я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке ціле ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число можна отримати перемноженням знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат точно на 7 ділитися буде!

Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожен дріб до цього знаменника. Наприклад:

І який спільний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8 і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо на 8/16, 3/4 на 12/16, ну і так далі.

До речі, якщо за загальний знаменник взяти 1024, теж все вийде, наприкінці все скорочується. Тільки до цього кінця не всі дістануться, через обчислення...

Дорішайте приклад самостійно. Чи не логарифм який... Повинно вийти 29/16.

Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті з додатковими множниками. Але це задоволення є тим, хто чесно працював у молодших класах... І нічого не забув.

А зараз ми поробимо ті самі дії, але не з дробами, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та...

Отже, нам треба скласти два дробові вирази:

Потрібно зробити знаменники однаковими. Причому лише за допомогою множення! Така основна властивість дробу велить. Тому я не можу в першому дробі у знаменнику до ікса додати одиницю. (А ось би добре було!). А от якщо перемножити знаменники, дивишся, все й зростеться! Так і записуємо, межу дробу, зверху порожнє місце залишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:

І, звичайно, нічого у правій частині не перемножуємо, дужки не відкриваємо! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, розуміємо: щоб у першому дробі вийшов знаменник х(х+1), треба чисельник та знаменник цього дробу помножити на (х+1). А у другому дробі – на х. Вийде ось що:

Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато хто наступає. Не дужки, звісно, ​​а їхня відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весьчисельник та весьзнаменник! А не їхні окремі шматочки...

У чисельнику правої частини записуємо суму чисельників, як у числових дробах, потім розкриваємо дужки в чисельнику правої частини, тобто. перемножуємо все та наводимо подібні. Розкривати дужки у знаменниках, перемножувати щось не потрібно! Взагалі, у знаменниках (будь-яких) завжди приємніший твір! Отримаємо:

Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим та важким, але це від практики залежить. Розв'язуєте приклади, звикніть, все стане просто. Ті, хто освоїв дроби в належний час, всі ці операції однією лівою роблять на автоматі!

І ще одне зауваження. Багато хто хвацько розправляються з дробами, але зависають на прикладах з цілимичислами. Типу: 2+1/2+3/4=? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 = 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати як дробу. У чисельнику - саме число, у знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 тощо. З літерами – те саме. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 тощо. А далі працюємо з цими дробами за всіма правилами.

Ну, за додаванням - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду на інший - повторили. Можна й перевіритись. Вирішуємо трохи?)

Обчислити:

Відповіді (безладно):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Множення/розподіл дробів - у наступному уроці. Там же завдання на всі дії з дробами.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Продовжуємо вивчати дроби. Сьогодні ми поговоримо про їхнє порівняння. Тема цікава та корисна. Вона дозволить новачкові відчути себе вченим у білому халаті.

Суть порівняння дробів у тому, щоб дізнатися який із двох дробів більше чи менше.

Щоб відповісти на запитання, який з двох дробів більше або менше, користуються , такими як більше (>) або менше (<).

Вчені-математики вже подбали про готові правила, що дозволяють відразу відповісти на запитання який дріб більше, а який менше. Ці правила можна сміливо застосовувати.

Ми розглянемо ці правила і спробуємо розібратися, чому відбувається саме так.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Дрібниці, які потрібно порівняти, трапляються різні. Найзручніший випадок це коли у дробів однакові знаменники, але різні чисельники. У цьому випадку застосовують таке правило:

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший. І відповідно меншим буде той дріб, у якого чисельник менший.

Наприклад, порівняємо дроби та й відповімо, який із цих дробів більше. Тут однакові знаменники, але різні чисельники. У дробу чисельник більший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж . Так і відповідаємо. Відповідати потрібно за допомогою піктограми більше (>)

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піци, розділені на чотири частини. піци більше, ніж піци:

Кожен погодиться з тим, що перша піца більша, ніж друга.

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Наступний випадок, в який ми можемо потрапити, це коли числа дробів однакові, але знаменники різні. Для таких випадків передбачено таке правило:

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший. І відповідно менший той дріб, у якого знаменник більший.

Наприклад, порівняємо дроби та . У цих дробів однакові чисельники. У дробу знаменник менший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж дріб . Так і відповідаємо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піци, які розділені на три та чотири частини. піци більше, ніж піци:

Кожен погодиться на те, що перша піца більше, ніж друга.

Порівняння дробів з різними чисельниками та різними знаменниками

Нерідко трапляється так, що доводиться порівнювати дроби з різними чисельниками та різними знаменниками.

Наприклад, порівняти дроби та . Щоб відповісти на запитання, який із цих дробів більший або менший, потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника. Потім можна буде легко визначити який дріб більший або менший.

Наведемо дроби і до однакового (загального) знаменника. Знайдемо (НОК) знаменників обох дробів. НОК знаменників дробів і число 6.

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знайдемо другий додатковий множник. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 6, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо додатковий множник 2. Записуємо його над другим дробом:

Помножимо дроби на свої додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби, які мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові знаменники. А як порівнювати такі дроби ми знаємо. З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший:

Правило правилом, а ми спробуємо розібратися чомусь більше, ніж . Для цього виділимо цілу частину в дробі. У дробі нічого виділяти не потрібно, оскільки цей дріб вже правильний.

Після виділення цілої частини в дробі отримаємо наступне вираз:

Тепер можна легко зрозуміти, чому більше, ніж . Давайте намалюємо ці дроби у вигляді піци:

2 цілі піци та піци, більше ніж піци.

Віднімання змішаних чисел. Складні випадки.

Віднімаючи змішані числа, іноді можна виявити, що все йде не так гладко, як хотілося б. Часто трапляється так, що при вирішенні якогось прикладу відповідь виходить не такою, якою вона має бути.

При відніманні чисел зменшуване має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку буде отримано нормальну відповідь.

Наприклад, 10-8 = 2

10 - зменшуване

8 - віднімається

2 - різниця

Зменшуване 10 більше віднімається 8, тому ми отримали нормальну відповідь 2.

А тепер подивимося, що буде якщо зменшуване виявиться менше віднімається. Приклад 5−7=−2

5 - зменшуване

7 — віднімання

−2 — різниця

У цьому випадку ми виходимо за межі звичних для нас чисел і потрапляємо у світ негативних чисел, де нам ходити поки що рано, а то й небезпечно. Щоб працювати з негативними числами, потрібна відповідна математична підготовка, яку ми ще отримали.

Якщо при вирішенні прикладів на віднімання ви виявите, що менше, що зменшується віднімається, то можете поки пропустити такий приклад. Працювати з негативними числами можна лише після їх вивчення.

З дробами ситуація та сама. Зменшуване має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку можна буде отримати нормальну відповідь. А щоб зрозуміти чи більше зменшуваний дріб, ніж віднімається, потрібно вміти порівняти ці дроби.

Наприклад, розв'яжемо приклад .

Це приклад на віднімання. Щоб вирішити його, потрібно перевірити чи зменшуваний дріб більше, ніж віднімається. більше ніж

тому сміливо можемо повернутись до прикладу і вирішити його:

Тепер вирішимо такий приклад

Перевіряємо чи зменшуваний дріб більше, ніж віднімається. Виявляємо, що вона менша:

У цьому випадку розумніше зупинитись і не продовжувати подальше обчислення. Повернемося до цього прикладу, коли вивчимо негативні числа.

Змішані числа перед відніманням теж бажано перевіряти. Наприклад, знайдемо значення виразу.

Спочатку перевіримо чи зменшуване більше змішане число, ніж віднімається. Для цього переведемо змішані числа до неправильних дробів:

Отримали дроби з різними чисельниками та різними знаменниками. Щоб порівняти такі дроби, необхідно привести їх до однакового (загального) знаменника. Не докладно розписуватимемо, як це зробити. Якщо ви відчуваєте труднощі, обов'язково повторіть .

Після приведення дробів до однакового знаменника, отримуємо такий вираз:

Тепер потрібно порівняти дроби та . Це дроби з однаковими знаменниками. З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший.

У дробу чисельник більший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж дріб .

А це означає, що зменшуване більше, ніж віднімається

Отже ми можемо повернутися до нашого прикладу і сміливо вирішити його:

приклад 3.Знайти значення виразу

Перевіримо чи зменшуване, ніж віднімається.

Перекладемо змішані числа в неправильні дроби:

Отримали дроби з різними чисельниками та різними знаменниками. Наведемо ці дроби до однакового (загального) знаменника.

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Знайдіть чисельник та знаменник.Дроб включає два числа: число, яке розташоване над межею, називається чисельником, а число, яке знаходиться під межею - знаменником. Знаменник позначає загальну кількість частин, куди розбито деяке ціле, а чисельник – це кількість таких частин.

• Наприклад, у дробі ? чисельником є ​​1, а знаменником 2.

Визначте знаменник.Якщо два і більше дроби мають спільний знаменник, у таких дробів під межею знаходиться одне й те число, тобто у цьому випадку деяке ціле розбито на однакову кількість частин. Складати дроби із загальним знаменником дуже просто, тому що знаменник сумарного дробу буде таким же, як у дробів, що складаються. Наприклад:

• У дробів 3/5 та 2/5 загальний знаменник 5.
• У дробів 3/8, 5/8, 17/8 загальний знаменник 8.