Випадкова величина x задана функцією щільності розподілу. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Випадковою величиноюНазивається величина, яка в результаті випробувань, що проводяться в одних і тих же умовах, приймає різні, взагалі кажучи, значення, що залежать від випадкових факторів, що не враховуються. Приклади випадкових величин: кількість очок, що випали на гральній кістці, число дефектних виробів в партії, відхилення точки падіння снаряда від мети, час безвідмовної роботи пристрою і т. п. Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини. ДискретноюНазивається випадкова величина, можливі значення якої утворюють лічильна множина, кінцева або нескінченна (тобто така множина, елементи якої можуть бути занумеровані).

БезперервнийНазивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий кінцевий або нескінченний інтервал числової осі. Число значень безперервної випадкової величини завжди нескінченне.

Випадкові величини будемо позначати великими літерами кінця латинського алфавіту: X, Y, ...; значення випадкової величини - малими літерами: Х, у,.... Таким чином, X Позначає всю сукупність можливих значень випадкової величини, а Х -Деяке її конкретне значення.

Законом розподілудискретної випадкової величини називається відповідність у будь-якій формі відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Нехай можливими значеннями випадкової величини X Є . Через війну випробування випадкова величина прийме одне з цих значень, тобто. Відбудеться одна подія з повної групи попарно несумісних подій.

Нехай також відомі ймовірності цих подій:

Закон розподілу випадкової величини X Може бути записаний у вигляді таблиці, яку називають Поруч розподілуДискретної випадкової величини:

Для низки розподілу має місце рівність (умова нормування).

Приклад 3.1.Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини X - Число появ «орла» при двох киданнях монети.

Функція розподілу є універсальною формою завдання закону розподілу дискретних, і безперервних випадкових величин.

Функцією розподілу випадкової величиниX Називається функція F(X), Визначена на всій числовій осі наступним чином:

F(X)= Р(Х< х ),

Т. е. F(X) є ймовірність того, що випадкова величина X Прийме значення менше, ніж X.

Функцію розподілу можна уявити графічно. Для дискретної випадкової величини графік має ступінчастий вигляд. Побудуємо, наприклад, графік функції розподілу випадкової величини, заданої наступним рядом (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Графік функції розподілу дискретної випадкової величини

Стрибки функції відбуваються у точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини, і дорівнюють ймовірностям цих значень. У точках розриву функція F(X) безперервна зліва.

Графік функції розподілу безперервної випадкової величини є безперервною кривою.

Рис. 3.2. Графік функції розподілу безперервної випадкової величини

Функція розподілу має такі очевидні властивості:

1) , 2) , 3) ,

4) при .

Будемо називати подію, яка полягає в тому, що випадкова величина X Приймає значення Х,Належне деякому напівзамкнутому інтервалу A£ х< B, Попаданням випадкової величини на інтервал [ A, B).

Теорема 3.1. Імовірність потрапляння випадкової величини на інтервал [ A, B) дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі:

Якщо зменшувати інтервал [ A, B), Вважаючи, що в межах формула (3.1) замість ймовірності попадання на інтервал дає ймовірність попадання в точку, тобто ймовірність того, що випадкова величина прийме значення A:

Якщо функція розподілу має розрив у точці A, Та межа (3.2) дорівнює значенню стрибка функції F(X) у точці Х=A, Т. е. ймовірності того, що випадкова величина прийме значення A (Рис. 3.3, А). Якщо ж випадкова величина безперервна, тобто безперервна функція F(X), то межа (3.2) дорівнює нулю (рис. 3.3, Б)

Таким чином, ймовірність будь-якого конкретного значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю. Однак це не означає неможливості події Х =A, А лише говорить про те, що відносна частота цієї події буде прагнути нуля при необмеженому збільшенні числа випробувань.

Рис. 3.3. Стрибок функції розподілу

Для безперервних випадкових величин поруч із функцією розподілу використовується ще одне форма завдання закону розподілу – щільність розподілу.

Якщо - ймовірність попадання на інтервал, то відношення характеризує щільність, з якою ймовірність розподілена на околиці точки X. Межа цього відношення при ,т. е. похідна , називається Щільністю розподілу(Щільністю розподілу ймовірностей, щільністю ймовірності) випадкової величини X. Умовимося щільність розподілу позначити

.

Таким чином, щільність розподілу характеризує ймовірність попадання випадкової величини в околицю точки. Х.

Графік густини розподілу називають Кривий расПоділи(Мал. 3.4).

Рис. 3.4. Вид густини розподілу

Виходячи з визначення та властивостей функції розподілу F(X), неважко встановити такі властивості щільності розподілу F(X):

1) F(X)³0

2)

3)

4)

Для безперервної випадкової величини через те, що ймовірність попадання в точку дорівнює нулю, мають місце такі рівності:

Приклад 3.2.Випадкова величина X Задана щільністю розподілу

Потрібно:

А) визначити значення коефіцієнта А;

Б) визначити функцію розподілу;

В) знайти можливість попадання випадкової величини на інтервал (0, ).

Функція розподілу або густина розподілу повністю описують випадкову величину. Часто, однак, при вирішенні практичних немає потреби у повному знанні закону розподілу, достатньо знати лише деякі його характерні риси. Для цього теоретично ймовірностей використовуються числові характеристики випадкової величини, що виражають різні властивості закону розподілу. Основними числовими характеристиками є МатематичнеОчікування, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Математичне очікуванняХарактеризує положення випадкової величини на числовій осі. Це деяке середнє значення випадкової величини, біля якого групуються її можливі значення.

Математичне очікування випадкової величини X Позначають символами М(Х) або Т. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума парних творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень:

Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається за допомогою невласного інтегралу:

Виходячи з визначень, неважко переконатися у справедливості таких властивостей математичного очікування:

1. (математичне очікування невипадкової величини ЗТак само невипадковій величині).

2. Якщо ³0, то ³0.

4. Якщо і Незалежні, то.

приклад 3.3.Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини, заданої поряд розподілу:

Рішення.

= 0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1 = 1.3.

Приклад 3.4.Знайти математичне очікування випадкової величини, заданої щільністю розподілу:

.

Рішення.

Дисперсія та середнє квадратичне відхиленняЄ характеристиками розсіювання випадкової величини, вони характеризують розкид її можливих значень щодо математичного очікування.

Дисперсією D(X) Випадкової величини X Називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

(3.3)

А для безперервної – інтегралом

(3.4)

Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини. Характеристика розсіювання, Збігається по розмірноСті з випадковою величиноюслужить середнє квадратичне відхилення.

Властивості дисперсії:

1) - постійні. Зокрема,

3)

Зокрема,

Зауважимо, що обчислення дисперсії за формулою (3.5) часто виявляється зручнішим, ніж за формулою (3.3) або (3.4).

Величина називається Коваріацієювипадкових величин.

Якщо то величина

Називається Коефіцієнт кореляціївипадкових величин.

Можна показати, що якщо , то величини лінійно залежні: де

Зазначимо, що якщо незалежні, то

Приклад 3.5.Знайти дисперсію випадкової величини, заданої поряд розподілу з прикладу 1.

Рішення. Щоб визначити дисперсію, необхідно знати математичне очікування. Для цієї випадкової величини вище було знайдено: M=1.3. Обчислюємо дисперсію за формулою (3.5):

Приклад 3.6.Випадкова величина задана щільністю розподілу

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Рішення. Знаходимо спочатку математичне очікування:

(як інтеграл від непарної функції за симетричним проміжком).

Тепер обчислюємо дисперсію та середнє квадратичне відхилення:

1. Біноміальний розподіл. Випадкова величина , що дорівнює числу «УСПІХІВ» у схемі Бернуллі, має біномний розподіл: , .

Математичне очікування випадкової величини, розподіленої за біномінальним законом, дорівнює

.

Дисперсія цього розподілу дорівнює.

2. Розподіл Пуассона ,

Математичне очікування та дисперсія випадкової величини з розподілом Пуассона.

Розподіл Пуассона часто використовується, коли ми маємо справу з кількістю подій, що з'являються в проміжку часу або простору, наприклад: кількість машин, що прибули на автомийку протягом години, кількість зупинок верстатів на тиждень, кількість дорожніх пригод і т.д.

Випадкова величина має Геометричний розподілз параметром , якщо набуває значення з ймовірностями . Випадкова величина з таким розподілом має сенс Номери першого успішного випробуванняу схемі Бернуллі з ймовірністю успіху. Таблиця розподілу має вигляд:

3. Нормальний розподіл. Нормальний закон розподілу ймовірностей посідає особливе місце серед інших законів розподілу. Теоретично ймовірності доводиться, що щільність ймовірності суми незалежних чи Слабко залежних, Поступово малих (тобто грають приблизно однакову роль) доданків при необмеженому збільшенні їх числа як завгодно близько наближається до нормального закону розподілу незалежно від того, які закони розподілу мають ці доданки (центральна гранична теорема А. М. Ляпунова).

Щільністю розподілу ймовірностей Хназивають функцію f(x)- Першу похідну від функції розподілу F(x):

Поняття густини розподілу ймовірностей випадкової величини Хдля дискретної величини не застосовується.

Щільність розподілу ймовірностей f(x)– називають диференціальною функцією розподілу:

Властивість 1.Щільність розподілу – величина невід'ємна:

Властивість 2.Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від дорівнює одиниці:

приклад 1.25.Дано функцію розподілу безперервної випадкової величини Х:

f(x).

Рішення:Щільність розподілу дорівнює першій похідній від функції розподілу:

1. Дана функція розподілу безперервної випадкової величини Х:

Знайти густину розподілу.

2. Задано функцію розподілу безперервної випадкової величини Х:

Знайти густину розподілу f(x).

1.3. Числові характеристики безперервної випадкової

величини

Математичне очікуваннябезперервної випадкової величини Хможливі значення якої належать всій осі Ох, Визначається рівністю:

Передбачається, що інтеграл сходиться абсолютно.

a,b), то:

f(x)- Щільність розподілу випадкової величини.

Дисперсія безперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі, визначається рівністю:

Окремий випадок. Якщо значення випадкової величини належать до інтервалу ( a,b), то:

Імовірність того, що Хприйме значення, що належать інтервалу ( a,b), визначається рівністю:

.

приклад 1.26.Безперервна випадкова величина Х

Знайти математичне очікування, дисперсію та ймовірність попадання випадкової величини Хв інтервалі (0; 0,7).

Рішення:Випадкова величина розподілена на інтервалі (0,1). Визначимо густину розподілу безперервної випадкової величини Х:

а) Математичне очікування :

б) Дисперсія

в)

Завдання для самостійної роботи:

1. Випадкова величина Хзадана функцією розподілу:

M(x);

б) дисперсію D(x);

Хв інтервал (2,3).

2. Випадкова величина Х

Знайти: а) математичне очікування M(x);

б) дисперсію D(x);

в) визначити ймовірність влучення випадкової величини Хв інтервал (1; 1,5).

3. Випадкова величина Хзадана інтегральною функцією розподілу:

Знайти: а) математичне очікування M(x);

б) дисперсію D(x);

в) визначити ймовірність влучення випадкової величини Хв інтервал.

1.4. Закони розподілу безперервної випадкової величини

1.4.1. Рівномірний розподіл

Безперервна випадкова величина Хмає рівномірний розподіл на відрізку [ a,b], якщо на цьому відрізку щільність розподілу ймовірності випадкової величини постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто:

Рис. 4.

; ; .

приклад 1.27.Автобус деякого маршруту рухається поступово з інтервалом 5 хвилин. Знайти ймовірність того, що рівномірно розподілена випадкова величина Х- Час очікування автобуса складе менше 3 хвилин.

Рішення:Випадкова величина Х- Поступово розподілена на інтервалі.

Щільність ймовірності: .

Щоб час очікування не перевищив 3 хвилин, пасажир повинен з'явитися на зупинці в інтервалі від 2 до 5 хвилин після відходу попереднього автобуса, тобто. випадкова величина Хповинна потрапити до інтервалу (2;5). Т.о. ймовірність:

Завдання для самостійної роботи:

1. а) знайти математичне очікування випадкової величини Хрозподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8);

б) знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х,розподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8).

2. Хвилинна стрілка електричного годинника переміщається стрибком наприкінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в цю мить годинник покаже час, який відрізняється від істинного не більше ніж на 20 секунд.

1.4.2. Показовий (експоненційний) розподіл

Безперервна випадкова величина Хрозподілена за показовим законом, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

де - Параметр показового розподілу.

Таким чином

Рис. 5.

Числові характеристики:

приклад 1.28.Випадкова величина Х- Час роботи електролампочки - має показовий розподіл. Визначити ймовірність того, що час роботи лампочки буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи – 400 годин.

Рішення:За умовою завдання математичне очікування випадкової величини Хдорівнює 400 годин, отже:

;

Шукана ймовірність, де

Остаточно:

Завдання для самостійної роботи:

1. Написати щільність та функцію розподілу показового закону, якщо параметр .

2. Випадкова величина Х

Знайти математичне очікування та дисперсію величини Х.

3. Випадкова величина Хзадана функцією розподілу ймовірностей:

Знайти математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

1.4.3. Нормальний розподіл

Нормальнимназивають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, щільність якого має вигляд:

де а– математичне очікування, – середнє квадратичне відхилення Х.

Імовірність того, що Хприйме значення, що належить інтервалу:

, де

- Функція Лапласа.

Розподіл, у якого; , тобто. із щільністю ймовірності називається стандартним.

Рис. 6.

Імовірність того, що абсолютна величина відхилена менше позитивного числа:

.

Зокрема, при а= 0 справедлива рівність:

приклад 1.29.Випадкова величина Хрозподілено нормально. Середнє квадратичне відхилення. Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування абсолютної величини буде менше 0,3.

Рішення: .

Завдання для самостійної роботи:

1. Написати щільність ймовірності нормального розподілу випадкової величини Хзнаючи, що M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Хвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, укладене в інтервалі (15; 20).

3. Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням мм та математичним очікуванням а= 0. Знайти ймовірність того, що з 3 незалежних вимірів помилка хоча б одного не перевершить по абсолютній величині 4 мм.

4. Зважується деяка речовина без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням р. Знайти ймовірність того, що зважування буде зроблено з помилкою, яка не перевищує за абсолютною величиною 10 г.

Випадковою величиною називається змінна, яка може приймати ті чи інші значення залежно від різних обставин, та випадкова величина називається безперервною , якщо вона може приймати будь-яке значення будь-якого обмеженого або необмеженого інтервалу. Для безперервної випадкової величини неможливо вказати всі можливі значення, тому позначають інтервали цих значень, пов'язані з певними ймовірностями.

Прикладами безперервних випадкових величин можуть бути: діаметр деталі, що обточується до заданого розміру, зростання людини, дальність польоту снаряда та ін.

Так як для безперервних випадкових величин функція F(x), на відміну від дискретних випадкових величин, ніде немає стрибків, то ймовірність будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Це означає, що з безперервної випадкової величини безглуздо говорити про розподілі ймовірностей між її значеннями: кожне має нульову ймовірність. Однак у певному сенсі серед значень безперервної випадкової величини є більш і менш ймовірні. Наприклад, навряд чи в когось виникне сумнів, що значення випадкової величини - зростання навмання зустрінутої людини - 170 см - більш ймовірно, ніж 220 см, хоча і одне, і інше значення можуть зустрітися на практиці.

Функція розподілу безперервної випадкової величини та щільність ймовірності

Як закон розподілу, що має сенс тільки для безперервних випадкових величин, вводиться поняття щільності розподілу або ймовірності. Підійдемо до нього шляхом порівняння сенсу функції розподілу для безперервної випадкової величини та дискретної випадкової величини.

Отже, функцією розподілу випадкової величини (як дискретної, так і безперервної) або інтегральною функцієюназивається функція , яка визначає ймовірність, що значення випадкової величини Xменше або дорівнює граничному значенню х.

Для дискретної випадкової величини у точках її значень x1 , x 2 , ..., x i ,...зосереджені маси ймовірностей p1 , p 2 , ..., p i ,..., причому сума всіх мас дорівнює 1. Перенесемо цю інтерпретацію у разі безперервної випадкової величини. Уявімо, що маса, що дорівнює 1, не зосереджена в окремих точках, а безперервно "розмазана" по осі абсцис Оxз якоюсь нерівномірною щільністю. Імовірність влучення випадкової величини на будь-яку ділянку Δ xінтерпретуватиметься як маса, що припадає на цю ділянку, а середня щільність на цій ділянці - як відношення маси до довжини. Щойно ми запровадили важливе поняття теорії ймовірностей: щільність розподілу.

Щільністю ймовірності f(x) безперервної випадкової величини називається похідна її функції розподілу:

.

Знаючи функцію щільності, можна знайти ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини належить закритому інтервалу [ a; b]:

ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу [ a; b], що дорівнює певному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від aдо b:

.

При цьому загальна формула функції F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини, якою можна користуватися, якщо відома функція щільності f(x) :

.

Графік щільності ймовірності безперервної випадкової величини називається її кривою розподілу (мал. нижче).

Площа фігури (на малюнку заштрихована), обмеженою кривою, прямими, проведеними з крапок aі bперпендикулярно осі абсцис, і віссю Ох, графічно відображає ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини Хзнаходиться в межах від aдо b.

Властивості функції густини ймовірності безперервної випадкової величини

1. Імовірність того, що випадкова величина набуде будь-якого значення з інтервалу (і площа фігури, яку обмежують графік функції) f(x) і вісь Ох) дорівнює одиниці:

2. Функція щільності ймовірності не може набувати негативних значень:

а поза існування розподілу її значення дорівнює нулю

Щільність розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), одна із форм закону розподілу, але на відміну функції розподілу, вона універсальна: щільність розподілу існує лише безперервних випадкових величин.

Згадаємо про два найважливіших у практиці види розподілу безперервної випадкової величини.

Якщо функція щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини в деякому кінцевому інтервалі [ a; b] набуває постійного значення C, а за межами інтервалу набуває значення, що дорівнює нулю, таке розподіл називається рівномірним .

Якщо графік функції щільності розподілу симетричний щодо центру, середні значення зосереджені поблизу центру, а при віддаленні від центру збираються більш від середнього (графік функції нагадує розріз дзвона), то таке розподіл називається нормальним .

приклад 1.Відома функція розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини:

Знайти функцію f(x) густини ймовірності безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 4 до 8: .

Рішення. Функцію щільності ймовірності отримуємо, знаходячи похідну функції розподілу ймовірностей:

Графік функції F(x) - парабола:

Графік функції f(x) - пряма:

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 4 до 8:

приклад 2.Функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини дана у вигляді:

Обчислити коефіцієнт C. Знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 0 до 5: .

Рішення. Коефіцієнт Cзнайдемо, користуючись властивістю 1 функції щільності ймовірності:

Таким чином, функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини:

Інтегруючи, знайдемо функцію F(x) розподілу ймовірностей. Якщо x < 0 , то F(x) = 0. Якщо 0< x < 10 , то

.

x> 10 , то F(x) = 1 .

Таким чином, повний запис функції розподілу ймовірностей:

Графік функції f(x) :

Графік функції F(x) :

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 0 до 5:

приклад 3.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана рівністю, при цьому. Знайти коефіцієнт Аймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[, функцію розподілу безперервної випадкової величини X.

Рішення. За умовою приходимо до рівності

Отже, , звідки . Отже,

.

Тепер знаходимо ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[:

Тепер отримаємо функцію розподілу цієї випадкової величини:

приклад 4.Знайти густину ймовірності безперервної випадкової величини X, яка набуває лише невід'ємних значень, а її функція розподілу .

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

приклад 2.1.Випадкова величина Xзадана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xприйме значення, укладені у проміжку (2,5; 3,6).

Рішення: Ху проміжок (2,5; 3,6) можна визначити двома способами:

приклад 2.2.При яких значеннях параметрів Аі Уфункція F(x) = A + Be - xможе бути функцією розподілу для невід'ємних значень випадкової величини Х.

Рішення:Оскільки всі можливі значення випадкової величини Хналежать інтервалу , то для того, щоб функція була функцією розподілу для Х, має виконуватися властивість:

.

Відповідь: .

приклад 2.3.Випадкова величина X задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань величина Xрівно 3 рази набуде значення, що належить інтервалу (0,25; 0,75).

Рішення:Імовірність влучення величини Ху проміжок (0,25; 0,75) знайдемо за формулою:

Приклад 2.4.Імовірність влучення м'ячем у кошик при одному кидку дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа влучень за трьох кидків.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість попадань у кошик при трьох кидках – може набувати значень: 0, 1, 2, 3. Імовірність того, що Х

Х:

приклад 2.5.Два стрільці роблять по одному пострілу в ціль. Імовірність потрапляння до неї першим стрільцем дорівнює 0,5, другим – 0,4. Скласти закон розподілу числа влучень у мета.

Рішення:Знайдемо закон розподілу дискретної випадкової величини Х- Числа попадань у мету. Нехай подія - попадання в ціль першим стрільцем, а - попадання другим стрільцем, і - відповідно їх промахи.

Складемо закон розподілу ймовірностей СВ Х:

приклад 2.6.Випробовуються 3 елементи, що працюють незалежно один від одного. Тривалість часу (у годинах) безвідмовної роботи елементів мають функції щільності розподілу: для першого: F 1 (t) =1-e - 0,1 t, для другого: F 2 (t) = 1-e - 0,2 tдля третього: F 3 (t) =1-e - 0,3 t. Знайти ймовірність того, що в інтервалі від 0 до 5 годин: відмовить тільки один елемент; відмовить лише два елементи; відмовить усі три елементи.

Рішення:Скористаємося визначенням функції ймовірностей :

Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, у першому з яких ймовірність появи події Адорівнює , у другому і т. д., подія Аз'явиться рівно раз, дорівнює коефіцієнту при розкладанні виконує функції за ступенями . Знайдемо ймовірність відмови та невідмови відповідно першого, другого та третього елемента в інтервалі часу від 0 до 5 годин:

Складемо функцію, що виробляє:

Коефіцієнт дорівнює ймовірності того, що подія Аз'явиться рівно тричі, тобто ймовірність відмови всіх трьох елементів; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовлять рівно два елементи; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовить лише один елемент.

приклад 2.7.Дана щільність імовірності f(x)випадкової величини X:

Знайти функцію розподілу F(x).

Рішення:Використовуємо формулу:

.

Таким чином, функція розподілу має вигляд:

приклад 2.8.Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили, в одному досвіді.

Рішення:Випадкова величина Х- Число елементів, які відмовили в одному досвіді - може приймати значення: 0, 1, 2, 3. Імовірності того, що Хприйме ці значення, знайдемо за формулою Бернуллі:

Таким чином, отримуємо наступний закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х:

Приклад 2.9.У партії з 6 деталей є 4 стандартні. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних.

Рішення:Випадкова величина Х- Число стандартних деталей серед відібраних - може приймати значення: 1, 2, 3 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Х

де -- число деталей у партії;

-- число стандартних деталей у партії;

– кількість відібраних деталей;

-- кількість стандартних деталей серед відібраних.

.

.

.

Приклад 2.10.Випадкова величина має щільність розподілу

причому і не відомі, але , а і . Знайдіть і .

Рішення:У разі випадкова величина Xмає трикутний розподіл (розподіл Сімпсона) на відрізку [ a, b]. Числові характеристики X:

Отже, . Вирішуючи цю систему, отримаємо дві пари значень: . Оскільки за умовою завдання , то маємо: .

Відповідь: .

Приклад 2.11.У середньому по 10% договорів страхова компанія сплачує страхові суми у зв'язку з настанням страхового випадку. Обчислити математичне очікування та дисперсію числа таких договорів серед навмання обраних чотирьох.

Рішення:Математичне очікування та дисперсію можна знайти за формулами:

.

Можливі значення СВ (кількість договорів (з чотирьох) із настанням страхового випадку): 0, 1, 2, 3, 4.

Використовуємо формулу Бернуллі, щоб обчислити ймовірності різного числа договорів (з чотирьох), за якими було виплачено страхові суми:

.

Ряд розподілу СВ (кількість договорів із настанням страхового випадку) має вигляд:

Відповідь: , .

Приклад 2.12.З п'яти троянд дві білі. Скласти закон розподілу випадкової величини, що виражає число білих троянд серед двох одночасно взятих.

Рішення:У вибірці з двох троянд може або не виявитись білої троянди, або може бути одна або дві білі троянди. Отже, випадкова величина Хможе приймати значення: 0, 1, 2. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- число троянд;

-- кількість білих троянд;

– число одночасно взятих троянд;

-- кількість білих троянд серед взятих.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.13.Серед 15 зібраних агрегатів 6 потребують додаткового мастила. Скласти закон розподілу числа агрегатів, які потребують додаткового мастила, серед п'яти навмання обраних із загального числа.

Рішення:Випадкова величина Х- Число агрегатів, що потребують додаткової мастилі серед п'яти обраних - може приймати значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- кількість зібраних агрегатів;

-- кількість агрегатів, що потребують додаткового мастила;

– кількість обраних агрегатів;

-- число агрегатів, що потребують додаткового мастила серед обраних.

.

.

.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.14.З надійшли в ремонт 10 годин 7 потребують загального чищення механізму. Годинник не розсортований за видом ремонту. Майстер, бажаючи знайти годинник, що потребує чищення, розглядає його по черзі і, знайшовши такий годинник, припиняє подальший перегляд. Знайти математичне очікування та дисперсію числа переглянутих годин.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість агрегатів, які потребують додаткового мастила серед п'яти обраних – може набувати значень: 1, 2, 3, 4. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Тепер обчислимо числові характеристики величини:

Відповідь: , .

приклад 2.15.Абонент забув останню цифру потрібного номера телефону, проте пам'ятає, що вона непарна. Знайти математичне очікування та дисперсію числа зроблених ним наборів номера телефону до попадання на потрібний номер, якщо останню цифру він набирає навмання, а набрану цифру надалі не набирає.

Рішення:Випадкова величина може набувати значення: . Так як набрану цифру абонент надалі не набирає, то ймовірність цих значень дорівнює .

Складемо ряд розподілу випадкової величини:

Обчислимо математичне очікування та дисперсію числа спроб набору номера:

Відповідь: , .

Приклад 2.16.Імовірність відмови за час випробувань на надійність для кожного приладу серії дорівнює p. Визначити математичне очікування кількості приладів, які дали відмову, якщо випробування зазнали Nприладів.

Рішення:Дискретна випадкова величина X - кількість приладів, що відмовили в Nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи відмови дорівнює p,розподілено за біноміальним законом. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

Приклад 2.17.Дискретна випадкова величина Xприймає 3 можливі значення: з ймовірністю; з ймовірністю та з ймовірністю . Знайти і знаючи, що M( X) = 8.

Рішення:Використовуємо визначення математичного очікування та закону розподілу дискретної випадкової величини:

Знаходимо: .

приклад 2.18.Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Кожна партія містить 5 виробів. Знайти математичне очікування випадкової величини X– числа партій, у кожній з яких міститься рівно 4 стандартні вироби, якщо перевірці підлягають 50 партій.

Рішення:В даному випадку всі досліди, що проводяться, незалежні, а ймовірності того, що в кожній партії міститься рівно 4 стандартні вироби, однакові, отже, математичне очікування можна визначити за формулою:

,

де – число партій;

Імовірність того, що в партії міститься рівно 4 стандартні вироби.

Імовірність знайдемо за формулою Бернуллі:

Відповідь: .

Приклад 2.19.Знайти дисперсію випадкової величини X– числа події Aу двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи події у цих випробуваннях однакові та відомо, що M(X) = 0,9.

Рішення:Завдання можна вирішити двома способами.

1) Можливі значення СВ X: 0, 1, 2. За формулою Бернуллі визначимо ймовірність цих подій:

, , .

Тоді закон розподілу Xмає вигляд:

З визначення математичного очікування визначимо ймовірність:

Знайдемо дисперсію СВ X:

.

2) Можна використовувати формулу:

.

Відповідь: .

Приклад 2.20.Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xнабуде значення, укладене в інтервалі (15; 25).

Рішення:Імовірність влучення нормальної випадкової величини Хна ділянку від до виражається через функцію Лапласа:

Приклад 2.21.Дана функція:

При якому значенні параметра Cця функція є щільністю розподілу деякої безперервної випадкової величини X? Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини X.

Рішення:Для того, щоб функція була щільністю розподілу деякої випадкової величини, вона повинна бути невід'ємною, і вона повинна задовольняти властивості:

.

Отже:

Обчислимо математичне очікування за такою формулою:

.

Обчислимо дисперсію за такою формулою:

T дорівнює p. Необхідно знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

Рішення:Закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа події у незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , називають біномним. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події А одному випробуванні:

.

Приклад 2.25.Здійснюється три незалежні постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0.25. Визначити середнє квадратичне відхилення числа влучень за трьох пострілів.

Рішення:Оскільки виробляється три незалежних випробування, і можливість появи події А (попадання) у кожному випробуванні однакова, вважатимемо, що дискретна випадкова величина X - число влучень у мета – розподілена по биномиальному закону.

Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні:

Приклад 2.26.Середня кількість клієнтів, які відвідують страхову компанію за 10 хв., дорівнює трьох. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 5 хвилин прийде хоча б один клієнт.

Середня кількість клієнтів, що прийшли за 5 хвилин: . .

Приклад 2.29.Час очікування заявки у черзі на процесор підпорядковується показовому закону розподілу із середнім значенням 20 секунд. Знайти ймовірність того, що чергова (довільна) заявка чекатиме на процесор більше 35 секунд.

Рішення:У цьому прикладі математичне очікування , а інтенсивність відмов дорівнює.

Тоді ймовірність:

Приклад 2.30.Група студентів у кількості 15 осіб проводить збори у залі, у яких 20 рядів по 10 місць у кожному. Кожен студент займає місце у залі випадковим чином. Якою є ймовірність того, що не більше трьох осіб будуть на сьомому місці ряду?

Рішення:

Приклад 2.31.

Тоді згідно з класичним визначенням ймовірності:

де -- число деталей у партії;

-- число нестандартних деталей у партії;

– кількість відібраних деталей;

-- кількість нестандартних деталей серед відібраних.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким.

………………………………………………………

Аn – випадкова величина Х прийняла значення An.

Очевидно, що сума подій A1 A2, . , An є достовірною подією, тому що хоча б одне із значень x1, x2, xn випадкова величина обов'язково приймає.

Тому P (A1 È А2 È . È Аn) = 1.

Крім того, події А1, А2, ., An - несумісні, тому що випадкова величина при одноразовому здійсненні досвіду може прийняти лише одне із значень х1, х2, ., xn. За теоремою складання для несумісних подій отримуємо

Р(А1)+Р(А2)+.+Р(Аn)=1,

тобто p1 + p2 +. +pn = 1, або, коротше,

Отже, сума всіх чисел, розташованих у другому рядку Таблиці 1, що дає закон розподілу випадкової величини X, повинна дорівнювати одиниці.

ПРИКЛАД 1. Нехай випадкова величина Х - число очок, що випали під час підкидання гральної кістки. Знайти закон розподілу (як таблиці).

Випадкова величина Х набуває значення

x1=1, х2=2, … , x6=6

з ймовірностями

р1 = р2 = … = р6 =

Закон розподілу задається таблицею:

Таблиця 2

ПРИКЛАД 2.Біномінальний розподіл. Розглянемо випадкову величину Х - число появи події А в серії з незалежних дослідів, у кожному з яких настає з ймовірністю р.

Випадкова величина Х може, очевидно, набувати одного з наступних значень:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Імовірність події, що полягає в тому, що випадкова величина Х набуде значення, що дорівнює k, визначається формулою Бернуллі:

Рn(k)= де q=1-р.

Такий розподіл випадкової величини називається біномним розподілом або розподілом Бернуллі. Розподіл Бернуллі повністю визначається двома параметрами: числом n всіх дослідів і ймовірністю р, з якою подія відбувається в кожному окремому досвіді.

Умова для біномного розподілу набуває вигляду:

Для доказу справедливості цієї рівності достатньо в тотожності

(q+рх)n=

покласти x=1.

ПРИКЛАД 3.Розподіл Пуассон. Так називається розподіл ймовірностей виду:

Р(k)= .

Воно визначається одним єдиним (позитивним) параметром. Якщо ξ – випадкова величина, що має розподіл Пуассона, то відповідний параметр а є середнє значення цієї випадкової величини:

а = М? =, де М - математичне очікування.

Випадкова величина дорівнює:

ПРИКЛАД 4.Показовий розподіл.

Якщо час є випадковою величиною, позначимо його τ, таке, що

де 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Середнє значення випадкової величини t є:

Щільність розподілу має вигляд:

4) Нормальний розподіл

Нехай - незалежні, однаково розподілені випадкові величини та нехай Якщо доданки досить малі, а число n досить велике, - якщо при n à ∞ математичне очікування випадкової величини Мξ і дисперсія Dξ дорівнює Dξ=M(ξ–Мξ)2, такі, що Мξ~а, Dξ~σ2, то

- нормальний або гаусовий розподіл

.

5) Геометричний розподіл. Позначимо ξ кількість випробувань, що передують настанню першого "успіху". Якщо вважати, що кожне випробування триває одиницю часу, можна вважати ξ часом очікування до першого " успіху " . Розподіл має вигляд:

P(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Гіпергеометричний розподіл.

Є N – об'єктів серед яких n – "особливих об'єктів". Серед усіх об'єктів випадково вибирається k-об'єктів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних об'єктів є r - "особливих об'єктів". Розподіл має вигляд:

7) Розподіл Паскаля.

Нехай x - загальна кількість "невдач", що передують надходженню r-го "успіху". Розподіл має вигляд:

Функція розподілу має вигляд:

Рівноймовірне розподіл передбачає, що випадкова величина x може приймати будь-які значення на відрізку з однаковою ймовірністю. Щільність розподілу при цьому обчислюється як

Графіки густини розподілу та функція розподілу представлені нижче.

Перед тим, як пояснити поняття «білий шум», необхідно дати низку визначень.

Випадковою функцією називають функцію невипадкового аргументу t, яка при кожному фіксованому значенні аргументу є випадковою величиною. Наприклад, якщо U – довільна величина, то функція X(t)=t2U – довільна.

Перерізом випадкової функції називають випадкову величину, яка відповідає фіксованому значенню аргументу випадкової функції. Отже, випадкову функцію можна як сукупність випадкових величин (X(t)), залежних від параметра t.