Випадковий експеримент. Події та операції над ними

Реалізація наміченої дії, що веде до деякого результату, називається експериментом (досвідом). Якщо, виходячи з умов, що описують експеримент, його результат передбачуваний, то такий експеримент є детермінованим. (Приклад: підкинутий нагору камінь обов'язково впаде вниз. Підвищення життєвого рівня викликає зростання споживання товарів. Поломка системного блоку виводить з ладу комп'ютер.)

Експеримент вважається випадковимякщо він може закінчитися будь-якою з деякої сукупності відомих результатів, але до здійснення експерименту не можна сказати яким саме. ТБ досліджує саме випадкові експерименти, точніше моделі експериментів із випадковими наслідками. При цьому розглядаються тільки такі експерименти, які можна повторювати (відтворювати) при незмінному комплексі умов довільне число разів (принаймні теоретично). Розглянемо подія як результат випробування. Приклади:1.Стрілець стріляє по мішені, розділеній на кілька частин. Постріл – це випробування, потрапляння у певну область мішені – подія. 2. Вилучення кулі з урни – випробування, поява кулі певного кольору – подія. 3. Складання іспиту – випробування (випадковий експеримент), отримання оцінки – подія.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Конспект лекцій з теорії ймовірностей І математичної статистики

І математичної статистики. Для спеціальності Управління інформаційними ресурсами.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Предмет теорії ймовірностей та математичної статистики та їх роль в економіці та менеджменті
Теорія ймовірностей – спеціальний розділ курсу вищої математики, що займається вивченням математичних закономірностей масових випадкових однорідних явищ. Слід

Простір елементарних подій
Нехай в результаті випробування настає одна і лише одна з подій.

Спільні та несумісні події
Дві події називаються спільними у цьому досвіді, якщо поява однієї з них виключає появи іншого. Приклади: попадання в неруйнівну мету

Властивості операцій над подіями
Деякі властивості операцій над подіями постулюються, інші можуть бути отримані за допомогою діаграм Венна. Наведемо без доказу основні з цих властивостей.

Алгебра та сигма-алгебра подій
Нехай є простором всіх елементарних наслідків для якогось випадкового експерименту, кожному результату якого відповідає

Теорема. Еквівалентні події мають однакові можливості, тобто. якщо то
Доведення. Справді, кожен елементарний результат події є таким самим елементарним

Статистичне визначення ймовірності події. Випадки нерівноймовірних наслідків
Класичне визначення ймовірності має обмежену застосовність. Так, воно є неприйнятним, якщо результати випробування не рівноможливі. У багатьох випадках зручнішим ока

Геометричні ймовірності
Щоб подолати недолік класичного визначення ймовірності, пов'язаний з його незастосовністю до випробувань з нескінченним числом результатів, вводять поняття геометричної ймовірності

Аксіоматична побудова теорії ймовірностей
Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності. У системі аксіом, запропонованої О.М. Колмогоровим, елементарне соб

Повна група подій
Безліч попарно несумісних подій називають повною групою подій, якщо за будь-якого результату випадкового експерименту неодмінно настає одна з подій, що входять до цієї безлічі.

Умовна ймовірність
У багатьох випадках ймовірності появи одних подій залежать від того, чи відбулася інша подія чи ні. Імовірність події, вич

Формула складання ймовірностей
Теорема: Імовірність суми кінцевого числа несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Теорема: Імовірність твору кінцевого числа незалежних у сукупності подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій
. Проілюструємо відмінність у застосуванні формул ймовірності добутку подій для залежних

Формула повної ймовірності
Нехай подія може статися лише з однією з несумісних подій

Формула Байєса
Нехай подія відбувається одночасно з однією з несумісних подій

Правила суми та твору
Правило суми – якщо елемент а може бути обраний способами, а елемент b – m способами, то один із цих

Випадок непостійної ймовірності появи події у дослідах
Ми припускали, що ймовірність настання події у кожному з дослідів є постійною. На практиці часто доводиться зустрічатися з складнішим випадком, коли досліди виробляються в неоді

Поняття потоку подій
Формула Пуассона знаходить застосування у теорії масового обслуговування. Вона може розглядатися як математична модель найпростішого потоку подій з інтенсивністю

Події з використанням функцій і щільностей розподілу
Одним із найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадковою називають величину, яка в результаті випробування прийме одн

Закон розподілу дискретної випадкової величини
Відповідність між усіма можливими значеннями дискретної випадкової величини та його ймовірностями, тобто. сукупність пар чисел ()

Функція розподілу випадкової величини та її властивості
Як зазначалося, дискретна випадкова величина може бути задана переліком всіх її можливих значень та його ймовірностей. Такий спосіб не застосовується для безперервних випадкових величин, оскільки неможливий

Властивості функції розподілу
Наведемо ряд властивостей функції розподілу, які безпосередньо випливають з її визначення. 1. Функція розподілу набуває значень із проміжку

Властивості густини розподілу ймовірностей
1. Дійсно, так як функція розподілу незменшувана функція, то

Математичне очікування випадкової величини
Математичне очікування характеризує середнє очікуване значення випадкової величини, тобто. приблизно дорівнює її середньому значенню (імовірнісний зміст математичного очікування). Іноді знання цієї х

Властивості математичного очікування
Перш ніж формулювати властивості математичного очікування, необхідно пояснити зміст арифметичних операцій,

Дисперсія випадкової величини та її властивості
Насправді часто потрібно оцінити розсіяння випадкової величини навколо її середнього значення. Наприклад, акції двох компаній можуть приносити в середньому однакові дивіденди, проте

Середнє квадратичне відхилення
Для оцінки розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення, крім дисперсії, служать і деякі інші характеристики. До них належить середнє квадратичне відхилення

Біноміальний розподіл, його математичне очікування та дисперсія
Закон розподілу випадкової величини числа події у схемі Бернуллі

Розподіл Пуассона
Раніше зазначалося, що якщо зі збільшенням кількості випробувань твір залишається постійним, то біноміальний розподіл п

Геометричний розподіл
Дискретна випадкова величина має геометричний розподіл, якщо вона набуває значення

Рівномірний розподіл
Безперервна випадкова величина вважається рівномірно розподіленою на відрізку (a, b), якщо її щільність ймовірності має вигляд:

Показовий розподіл
Показовим (експоненційним) розподілом безперервної випадкової величини називається

Нормальний розподіл та його властивості
Безперервна випадкова величина має нормальний закон розподілу з параметрами

Властивості функції Гауса
Графік густини нормального розподілу називають нормальною кривою Гауса. Досліджуємо поведінку функції густини ймовірності

Імовірність потрапляння нормальної випадкової величини у заданий інтервал
Часто потрібно визначити ймовірність попадання випадкової величини заданий інтервал. Ця ймовірність може бути виражена у вигляді різниці функції розподілу ймовірності в граничних точках

Відхилення нормальної випадкової величини від її математичного очікування. Правило "трьох сигм"
Часто потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини за абсолютною величиною від математич

Багатовимірні випадкові величини
Досі розглядали випадкові величини, можливі значення яких визначалися одним числом (одномірні випадкові величини). Наприклад, число очок, яке може випасти пр

Закон розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини
Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини називають перелік можливих значень цієї величини, тобто. пар

Спільна функція розподілу двох випадкових величин
Функція, що визначає для кожної пари чисел ймовірність того, що

Властивості спільної функції розподілу двох випадкових величин
1. Значення спільної функції розподілу задовольняють нерівності: . 2.

Безперервної двовимірної випадкової величини
Безперервну двовимірну випадкову величину можна встановити за допомогою щільності розподілу. Щільність спільного розподілу ймовірностей

Незалежні випадкові величини
Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення набула інша величина.

Кореляційний момент
Характеристикою залежності між випадковими величинами і служить математичне оживання

Властивості коефіцієнта кореляції
1. 2. Якщо, то

Нерівність Чебишева
Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування по абсолютній величині менше позитивного числа e, не менше ніж

Теорема Чебишева
Якщо - попарно незалежні випадкові величини, причому їх дисперсії обмежені (не перевищують постійного числа С), то як би мало не був

Центральна гранична теорема
Причину надзвичайно широкого поширення випадкових величин, що описуються нормальним розподілом, пояснює центральна гранична теорема, доведена А.М. Ляпуновим.

Вибірковий метод аналізу властивостей генеральної сукупності
Предметом математичної статистики вивчення випадкових подій і випадкових величин за результатами спостережень. Сукупність предметів чи явищ, об'єднаних будь-яким

Способи відбору
Насправді застосовуються різні методи відбору, які можна поділити на два виду: · Відбір, що не вимагає розчленування генеральної сукупності на частини. Сюди відносяться

Варіаційний ряд для дискретних та безперервних випадкових величин
Нехай із генеральної сукупності вилучено вибірку, причому значення досліджуваного параметра спостерігалося

Полігон та гістограма
Графічно статистичний розподіл подається зокрема, за допомогою полігону та гістограми. Полігоном частот

Емпірична функція розподілу
Нехай відомий статистичний розподіл частот кількісної ознаки X. Позначимо через число спостережень, за яких

Найважливіші властивості статистичних оцінок
Нехай потрібно вивчити деяку кількісну ознаку генеральної сукупності. Припустимо, що з теоретичних міркувань вдалося встановити, який саме розподіл має п

Вибіркові середнє та дисперсія
Нехай для вивчення генеральної сукупності щодо кількісної ознаки X вилучено вибірку обсягу n. Вибірковим середнім

Надійність та довірчий інтервал
Досі розглядали точкові оцінки, тобто. такі оцінки, що визначаються одним числом. При вибірці малого обсягу точкова оцінка може

Довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу за відомої дисперсії
Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення цього розподілу відомо. Потрібно оцінити її

Довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу при невідомій дисперсії
Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення цього розподілу невідомо. Тре

Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення s нормального розподілу
Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально і потрібно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення s за виправленим середнім вибірковим до

Перевірка статистичних гіпотез
Минулої лекції ми розглядали завдання побудови довірчих інтервалів для невідомих параметрів генеральної сукупності. Сьогодні ми продовжимо вивчення основних завдань математичної статисії

Критичні точки
Після вибору певного критерію безліч всіх його можливих значень розбивають на два непересічні підмножини, одне з яких містить значення критерію, при кіт

Критерій згоди Пірсона про вид розподілу
Якщо закон розподілу невідомий, але є підстави припускати, що він має певний вигляд, то перевіряють нульову г

(УІР). Поняття про регресійний аналіз
Дві або кілька випадкових величин можуть бути пов'язані або функціональною, або статистичною (стохастичною) залежністю.

Поняття про регресійний аналіз
При розгляді взаємозв'язків, як правило, розглядають одну з величин (X) як незалежну (пояснювальну), а іншу (Y) як залежну (пояснюється). При цьому зміна першої з н

Лінійна регресія
Якщо функція регресії лінійна, то говорять про лінійну регресію. Лінійна регресія (лінійне рівняння) є поширеним (і простим) видом залежно

Показова модель
Показова функція може використовуватися при аналізі зміни змінної Y з постійним темпом приріст

(УІР). Поняття про кореляційний аналіз
Економічні явища та процеси перебувають у тісному взаємозв'язку, і вивчення цього взаємозв'язку грає значної ролі в економічних дослідженнях. Знання взаємозв'язків окремих екон

А. Парна кореляція
Рівняння як лінійної, і нелінійної регресії завжди доповнюється показником тісноти зв'язку. При використанні лінійної регресії в якості

Оцінка значущості рівняння регресії загалом
Оцінка значущості (якості) рівняння регресії в цілому проводиться за допомогою F-критерію Фішера (F-тесту). При цьому висувається нульова гіпотеза, що коеф

Оцінка значимості окремих властивостей регресії
За кожним із параметрів визначається його стандартна помилка. Стандартна помилка лінійного коефіцієнта регресії про

Б. Множинна кореляція
Множинна регресія широко використовується щодо функції витрат виробництва, в макроекономічних розрахунках тощо. Основною метою кореляційного аналізу в даному випадку є побудова

(УІР). Ланцюги Маркова з дискретним часом
Ланцюги Маркова широко використовують у економічних дослідженнях – зокрема, щодо систем масового обслуговування. Прикладами процесів масового обслуговування можуть бути,

Однорідні ланцюги Маркова
Однорідним називають ланцюг Маркова, для якого умовна ймовірність переходу зі стану

Перехідні можливості. Матриця переходу
Перехідною ймовірністю називають умовну ймовірність того, що зі стану

Рівність Маркова
Позначимо через ймовірність того, що в результаті n кроків (випробувань) система перейде зі стану

Ланцюги Маркова з безперервним часом
Марковський випадковий процес називається ланцюгом Маркова з безперервним часом, якщо переходи системи зі стан у стан відбуваються не фіксовані

Рівняння Колмогорова
Нехай система має кінцеве число станів і випадковий процес, що протікає в ній, характеризується деякими ймовірностями знаходження системи у кожному стані. У разі марківської

Фінальні ймовірності станів системи
Якщо процес, що протікає в системі, триває досить довго, то є сенс говорити про граничну поведінку ймовірностей при

Системи масового обслуговування
Марковський випадковий процес з безперервним часом уражає систем масового обслуговування (СМО). Заявки, що надходять у випадкові моменти часу в СМО, обслужи

А. Одноканальна модель із відмовими
Найпростіша одноканальна модель СМО характеризується показовим розподілом як тривалостей інтервалів між надходженнями вимог, і тривалостей обслуговування. Щільність розподілено

Б. Одноканальна модель з очікуванням
Нехай СМО, як і раніше, має один канал, але заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування. Припустимо, що дана система (черга + обслуживши

Багатоканальні моделі
Обмежимося розглядом випадку багатоканальної СМО з відмовами. У багатоканальних

Імовірнісний простір – це математична модель випадкового експерименту (досвіду) в аксіоматиці А. Н. Колмогорова. Імовірнісний простір містить у собі всю інформацію про властивості випадкового експерименту, необхідну його математичного аналізу засобами теорії ймовірностей. Будь-яке завдання теорії ймовірностей вирішується у межах деякого ймовірнісного простору, повністю заданого спочатку. Завдання, у яких ймовірнісний простір задано в повному обсязі, а недостатню інформацію слід отримати за результатами спостережень, ставляться до галузі математичної статистики.

Визначення

Імовірнісний простір- це трійка, де:

Зауважимо, що остання властивість сигма-адитивності міри еквівалентна (за умови виконання всіх інших властивостей, у тому числі кінцевої адитивності) будь-якої з наступних властивостей безперервності заходу:

Приклади ймовірнісних просторів, що найчастіше використовуються.

Дискретні ймовірнісні простори

Якщо безліч елементарних наслідків звичайно чи рахунково: , то відповідний ймовірнісний простір називається дискретним. У разі дискретних ймовірнісних просторів подіями зазвичай вважають усі можливі підмножини. У цьому випадку для завдання ймовірності необхідно і достатньо приписати кожному елементарному результату число так, щоб їх сума дорівнювала 1. Тоді ймовірність будь-якої події задається таким чином:

Важливим окремим випадком такого простору є класичний спосіб завдання ймовірностейколи кількість елементарних результатів звичайно і всі вони мають однакову ймовірність. Тоді ймовірність будь-якої події визначається як відношення його потужності (тобто кількості елементарних результатів, сприятливихцій події) до загального числа елементарних результатів:

Однак завжди необхідно пам'ятати, що для того, щоб застосовувати цей спосіб, необхідно переконатися, що елементарні результати дійсно рівноймовірні. Це має бути сформульовано як вихідна умова, або цей факт слід суворо вивести з наявних початкових умов.

Імовірнісні простори на прямій

Імовірнісні простори на прямий () природним чином виникають при вивченні випадкових величин. При цьому в загальному випадку вже не виходить розглядати як події будь-які підмножини прямий, оскільки на такому широкому класі зазвичай не можна задати імовірнісний захід, що задовольняє необхідним аксіомам. Універсальна сигма-алгебра подій, достатня для роботи - це сигма-алгебра борелівських множин: найменша сигма-алгебра, що містить усі відкриті множини. Еквівалентне визначення – найменша сигма-алгебра, що містить усі інтервали. Універсальний спосіб завдання ймовірнісної міри на даній сигма-алгебрі – через функцію розподілу випадкової величини.

Імовірнісні простори в кінцевому просторі

Імовірнісні простори з безліччю елементарних наслідків природно виникають щодо випадкових векторів . Універсальною сигма-алгеброю подій при цьому також є борелівська сигма-алгебра, породжена всіма відкритими множинами. Принципово цей випадок мало чим відрізняється від нагоди однієї прямої.

Базові поняття 1 ТБ

1. 
   Модель випадкового експерименту.
2. 
   Події (випадкові події) та їх властивості.
3. 
   Ймовірність та її властивості.
4. 
   Умовна можливість.
5. 
   Незалежність подій.
6. 
   Формула повної ймовірності.
7. 
   Формула Байєса.

1. 
   Модель випадкового експерименту , імовірнісний простір.

Модель такого експерименту - з оприлюднена трійка об'єктів (Ω , А ,Р):

Ω = { ω } - простір елементарних результатів, сукупність всіх можливих елементарних результатів експерименту . Різні елементарні результати не перетинаються, вони можуть статися в експерименті одночасно.

А = { А,В,…} - клас подій,повний набір цікавих для нас подій .
кожне подія- Це деяке підмножина можливих елементарних результатів експерименту.

Р - імовірнісний західподій експерименту .
Для кожної події Авизначено його ймовірність Р(А), що обчислюється за єдиним правилом .

1. 
   Властивості подій :

Повнотакласу подій А означає:

А) з кожною подією Aми розглядаємо і його доповнення- подія, що складається з усіх можливих елементарних результатів експерименту, що не увійшли в подію А;

Б) разом із будь-якими двома подіями А і Уми розглядаємо їх об'єднання
, і перетин
.

Наслідки:



називають достовірнимподією, а називають неможливимподією.

Якщо = , то події Аі Уназивають несумісними.

1. 
   Властивості ймовірностей :

• 
  Класична ймовірність. Якщо

Б) Усі елементарні результати  події ( елементарні події), ω  А .

В) Імовірності всіх елементарних подій рівні ( рівномірний імовірнісний захід), Р(ω ) = 1 / n .

Тоді ймовірність будь-якої події Авизначається як частка кількості елементарних результатів у А( А) від кількості елементарних результатів у Ω . Р(А) =  А ⁄  Ω  .

• 
  Геометрична ймовірність. Якщо на просторі елементарних результатів Ω заданий кінцевий невід'ємний захід s (· ), тоді ймовірність будь-якої події Авизначається як відношення заходу А,s (А), до міри Ω , s (Ω ). Р(А) = s (А) ⁄ s (Ω ).
• 
  Щільність розподілу.Якщо

Б) Задано невід'ємну функцію р (ω ), (р (ω ) ≥ 0 ), з площею ( s (· )) фігури V Ω , обмеженою графіком р (ω ) та числовою віссю Ω , рівною 1 (s (V Ω ) = 1).

А) Функція р (ω ) називається густиною розподілу.

Б) Імовірність будь-якої події А⊆ Ω задається площею s (V А) фігури, обмеженою графіком р (ω ) на шматки Ачислової осі та числової віссю Ω . Р(А) = s (V А).

1. 
   Умовна ймовірність .

1. 
   Незалежність подій .

Три події незалежні в сукупності,якщо:
а) кожні два з них незалежні, та
б) об'єднання кожних подій незалежно з третьою подією.

Аналогічно поширюється поняття незалежності разом на більше подій.

1. 
   Повна група подій .

1. 
   Формула повної ймовірності.

Р(А)) = ∑ i [P(Н i)· Р(А Н i)].

Імовірність події можна обчислювати як зважену суму умовних ймовірностей цієї події за умови, що відбувалися події з повної групи подій, де як вагові коефіцієнти беруться ймовірності відповідних подій з повної групи.

1. 
   Формула Байєса .

Р А (Н до) = (Р(АН до)) ⁄ (Р(А)) = (Р(АН до)) ⁄ (∑ i [P(Н i)· Р(А Н i)]).

1. 
   Типові моделі випадкового експерименту.

У(2). Найпростіша Урнова модель.

Витяг кулі з урни з двома кулями. Модель еквівалентна моделі Бернуллі У (½).

У(n) або R(n). Класична Урнова модель.

Вилучення кулі з урни з nперенумерованими кулями. Елементарний результат – елементарна подія – номер видобутої кулі. Класична ймовірність із рівномірним розподілом ймовірностей елементарних подій.

У(n; m) . Урнова модель.
Вилучення кулі з урни з mбілими та ( n – m) чорними кулями.
Модель еквівалентна моделі Бернуллі У (m / n).

1. 
   Послідовність випадкових експериментів .

У(n *n). Послідовне вилучення з поверненням двох куль з урни з nкулями.

У(2 * 2). Послідовне вилучення з поверненням двох куль із урни з двома кулями. Модель еквівалентна Біноміальній моделі У (2; p).

У(n *(n -1)). Послідовне вилучення без повернення двох куль з урни з nкулями.

ГЛАВА 1 ТЕОРІЯ ймовірності

Імовірнісний експеримент. Предмет та завдання теорії ймовірностей.

Результати будь-якого експерименту у тому чи іншою мірою залежить від комплексу умов S, у яких даний експеримент проводиться. Ці умови або об'єктивно існують, або створюються штучно (тобто проводиться планування експерименту).

За ступенем залежності результатів експерименту від умов, за яких він проводився, всі експерименти можна розділити на два класи: детерміновані та імовірнісні.

o Детерміновані експерименти-це експерименти, результати яких можна передбачати заздалегідь на підставі природничих законів виходячи з даного комплексу умов S.

Прикладом детермінованого експерименту є визначення прискорення, одержуваного тілом маси m під впливом сили F, тобто шукана величина однозначно визначається комплексом умов експерименту (тобто масою тіла m і силою F).

Детермінованими є, наприклад, всі процеси, засновані на використанні законів класичної механіки, згідно з якими рух тіла однозначно визначається заданими початковими умовами та силами, що діють на тіло.

o Імовірнісні експерименти (стохастичні чи випадкові)-експерименти, які можна повторювати довільне число разів при дотриманні тих самих стабільних умов, але, на відміну від детермінованого, результат ймовірнісного експерименту неоднозначний, випадковий. Тобто. не можна заздалегідь на підставі комплексу умов S передбачати результат імовірнісного експерименту. Однак, якщо імовірнісний експеримент повторювати багаторазово за тих самих умов, то сукупність результатів таких експериментів підпорядковується певним закономірностям. Вивченням цих закономірностей (а точніше їх математичних моделей) займається теорія ймовірностей. Наведемо кілька прикладів ймовірнісних експериментів, які надалі називатимемо просто експериментами.

Приклад 1

Нехай експеримент полягає в одноразовому підкиданні симетричної монети. Цей експеримент може закінчитися одним з винятків, що виключають один одного: випадання герба або решітки (решки). Якщо точно знати початкові швидкості поступального та обертального руху та початкове положення монети в момент кидка, то можна передбачити результат цього експерименту за законами класичної механіки. Тобто. він був би детермінованим. Проте вихідні дані експерименту неможливо знайти зафіксованими і постійно змінюються. Тому кажуть, що результат експерименту неоднозначний, випадковий. Проте, якщо будемо підкидати одну й ту саму симетричну монету багаторазово по досить довгу траєкторію, тобто. по можливості збережемо стабільними деякі умови експерименту, то сукупна кількість його результатів підпорядковується певним закономірностям: відносна частота випадання герба, частоті випадання кидків (n-число кидків, m1-число випадів герба, m2-решки).

Приклад 2

Припустимо, що ми заповнюємо картку спортлото. До проведення тиражу виграшів неможливо передбачити, скільки номерів буде правильно вгадано. Однак досвід проведення тиражу спортлото говорить про те, що середній відсоток гравців, які вгадали m (1≤m≤6) номерів, коливається біля певної постійної величини. Ці «закономірності» (середній відсоток правильного вгадування кількості номерів) використовуються для розрахунку фондів виграшу.

Імовірнісні експерименти мають такі спільні риси: непередбачуваність результату; наявність певних кількісних закономірностей за її багаторазовому повторенні за однакових умов; безліч можливих наслідків.

o Предметом теорії ймовірностейє кількісний та якісний аналіз математичних моделей імовірнісних експериментів, званий статичною обробкою експериментальних даних.

o Теорія імовірності-наука, що займається аналізом математичних моделей прийняття рішень за умов невизначеності.

Події та операції з них.

Відносні частоти та їх властивості

Первинним поняттям теорії ймовірностей, що не визначається через інші поняття, є простір елементарних результатів Ω. Зазвичай як простір елементарних результатів беруться єдині можливі нерозкладні результати експерименту.

приклад

1. Припустимо, що кидається симетрична монета. Тоді (герб та решка).

2. Гральна кістка .

3. Впадають дві монети.

4. Кидаються дві гральні кістки. Число елементарних результатів 36.

5. На числовій осі w кидається навмання точка.

6. На кидаються дві точки.

y

Визначення.Подієюназивається довільне підмножина простору А елементарних результатів Ω. Ті елементарні наслідки, з яких складається подія А, називаються сприятливимиподії А.

Кажуть, що подія А відбулося, якщо в результаті експерименту відбувається елементарний результат а, тобто. сприятливий для події А.

Розглянемо приклад 2. , - Подія, що полягає у випаданні непарного числа очок; -Подія, що полягає у випаданні парного числа очок.

o Весь простір елементарних результатів Ω, якщо взяти як події, називають достовірнимподією, оскільки вона відбувається у будь-якому експерименті (завжди).

o Порожня множина (тобто множина, яка не містить жодного елементарного результату) називається неможливимподією, оскільки вона ніколи не відбувається.

Всі інші події, крім Ω і , називаються випадковими.

Операції над подіями

0.1 Сумоюподій А і В називається поєднання цих множин А B.

-Подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій А або Ст.

0.2 Творомподій А і У називається перетин множин А і У, тобто. А В. позначається як АВ.

АВ-подія, коли А і В відбуваються одночасно.

0.3 Різницяподій А і В називається різниця множин А\В.

А\В-подія, яка відбувається<=>, коли відбувається і не відбувається в.

o Події А та В називаються несуміснимиякщо . Якщо А і В несумісні, то будемо позначати .

o Кажуть, що подія А тягне подію, якщо А є підмножиною, тобто. (Коли відбувається А, відбувається У).

o Подія називається протилежнимдо події А.

Приклад 2. . відбувається тоді, коли не відбувається.

o Кажуть, що події Н 1, Н 2, ..., Н n утворюють повну групу, якщо Н 1 +Н 2 + ... + Н n = Ω (тобто Н 1 , Н 2 , Н n -несумісні, тобто Н i Н j = , Якщо i ≠j).

Наприклад, і утворюють повну групу: .

Припустимо, що відбувається деякий випадковий експеримент, результат якого описується простором Ω. Зробимо N експериментів. Нехай А-деяка подія (), N(A)-число тих експериментів, у яких сталася подія А.

Тоді число називається відносною частотою події А.

Аксіоми теорії ймовірностей

Нехай Ω-простір елементарних результатів. Припустимо, що F-деякий клас підмножин Ω.

o Подія-це підмножина Ω, що належить класу F. Будь-якому ставиться у відповідність дійсне число P(A), зване ймовірністю А , так що при цьому виконується аксіома:

Аксіома 1.

Аксіома 2.,Тобто. ймовірність достовірної події дорівнює 1.

Аксіома 3.(Рахункової адитивності) Якщо і , то (для несумісних подій).

Елементи комбінаторики

Лемма 1. З m елементів а 1 ,…,а m першої групи та n елементів b 1 ,…,b n другої групи можна скласти рівно m∙n упорядкованих пар виду (а i , b j), що містять по одному елементу з кожної групи.

Доведення:

Усього маємо m∙n пар.

приклад.У колоді 4 масти (хробака, піку, трефу, бубна), у кожній масті по 9 карт. Разом n=4∙9=36.

Лемма 2. З n 1 елементів першої групи a 1 , а 2 ,…, а n 1 ,

n 2 елементів другої групи b 1 , b 2 ..., b n 2 ,

n 3 елементів k-ої групи x 1, x 2, ..., x nk

можна скласти рівно n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k різних упорядкованих комбінацій виду що містять по одному елементу з кожної групи.

1. При k=2 твердження виконується (Лемма 1).

2. Припустимо, що Лемма 2 виконується для k. Доведемо для k+1 групи елементів . Розглянемо комбінацію як і . Припущення дає можливість обчислити число комбінацій з елементів, їх n 1 n 2 n k . По Леммі 1 число комбінацій з k+1 елементів n 1 n 2 … n k +1 .

приклад.При киданні двох гральних кісток N=6∙6=36. При киданні трьох кісток N=6∙6∙6=216.

Геометричні ймовірності

Припустимо, що у числовій осі є певний відрізок і цей відрізок навмання кидається точка. Знайти ймовірність того, що ця точка потрапить на .

-Геометрична ймовірність на прямий.

Нехай плоска фігура g становить частину плоскої фігури G. На фігуру G навмання кинуто крапку. Імовірність влучення точки у фігуру g визначається рівністю:

-геометричні ймовірність на площині.

Нехай у просторі є фігура v, що є частиною фігури V. На фігуру V навмання кинута точка. Імовірність влучення точки у фігуру v визначається рівністю:

-геометрична ймовірність у просторі.

Недоліком класичного визначення ймовірності є те, що воно не застосовується до випробувань з нескінченним числом результатів. Для усунення цього недоліку і вводять геометричні імовірності.

Властивості ймовірності

Властивість 1.Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0, тобто. . .

Властивість 2.Імовірність достовірного події дорівнює 1, тобто. , .

Властивість 3.Для будь-якої події . , т.к. , то й отже .

Властивість 4.Якщо події А і В несумісні, то ймовірність суми дорівнює сумі ймовірностей:

Випадкові величини

o Випадковою величиною Хназивається функція X(w), що відображає простір елементарних результатів в безлічі дійсних чисел R.

приклад.Нехай двічі підкидається монета. Тоді.

Розглянемо випадкову величину Х-число випадань герба на просторі елементарних наслідків Ω. Безліч можливих значень випадкової величини: 2,1,0.

Безліч значень випадкової величини позначається х. Однією з найважливіших характеристик випадкової величини є функція розподілу випадкової величини.

o Функцією розподілу випадкової величини Хназивається функція F(x) дійсної змінної х, що визначає ймовірність того, що випадкова величина Х прийме в результаті експерименту значення, менше деякого фіксованого числа х.

Якщо розглядати Х як випадкову точку на осі ох, то F(x) з геометричної точки зору це ймовірність того, що випадкова точка Х в результаті реалізації експерименту потрапить лівіше точки х.

Найпростіший потік подій.

Розглянемо події, що настають у випадкові моменти часу.

o Потоком подійназивають послідовність подій, що настають у випадкові моменти часу.

Прикладами потоків є: надходження викликів на АТС, на пункт невідкладної медичної допомоги, прибуття літаків в аеропорт, клієнтів на підприємство побутового обслуговування, послідовність відмов елементів та багато інших.

Серед властивостей, якими можуть мати потоки, виділимо властивості стаціонарності, відсутності наслідків та ординарності.

o Потік подій називається стаціонарнимякщо ймовірність появи k подій за проміжок часу тривалості t залежить тільки від k і t.

Таким чином, властивість стаціонарності характеризується тим, що ймовірність появи подій на будь-якому проміжку часу залежить тільки від числа k і від тривалості t проміжку і не залежить від початку його відліку; при цьому різні проміжки часу передбачаються такими, що не перетинаються. Наприклад, ймовірності появи подій на проміжках часу (1, 7), (10, 16), (Т, Т+6) однакової тривалості t=6 одиниць часу рівні між собою.

o Потік подій називається ординарнимЯкщо за нескінченно малий проміжок часу може з'явитися не більше однієї події.

Таким чином, властивість ординарності характеризується тим, що поява двох і більше подій за короткий проміжок часу практично неможлива. Іншими словами, ймовірність появи більше однієї події в той самий момент часу практично дорівнює нулю.

o Кажуть, що потік подій має властивість відсутності наслідку, якщо має місце взаємна незалежність появ того чи іншого числа подій в непересічні проміжки часу. Таким чином, властивість відсутності наслідку характеризується тим, що ймовірність появи подій на будь-якому проміжку часу не залежить від того, з'явилися або не з'явилися події в моменти часу, що передують початку розглянутого проміжку. Іншими словами, умовна ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу, обчислена при довільному припущенні про те, що відбувалося до початку розглянутого проміжку (тобто скільки подій з'явилося, в якій послідовності), дорівнює безумовній ймовірності. Отже, передісторія потоку не позначається на ймовірності появи подій у найближчому майбутньому.

o Потік подій називається найпростішим чи пуассонівськимякщо він стаціонарний, ординарний, без наслідку.

o Інтенсивністю потоку λназивають середнє число подій, що з'являються за одиницю часу.

Якщо стала інтенсивність потоку відома, то ймовірність появи k подій найпростішого потоку за проміжок часу тривалості t визначається за формулою:

, . Формула Пуассон.

Ця формула відображає всі властивості найпростішого потоку, тому її можна вважати математичною моделлю найпростішого потоку.

приклад.Середня кількість викликів, що надходять на АТС в одну хвилину, дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за 5 хвилин надійде: а) два дзвінки; б) менше двох дзвінків; в) не менше двох дзвінків. Потік викликів передбачається найпростішим.

За умовою =2, t=5, k=2. За формулою Пуассона

А) -це подія практично неможливо.

Б) -подія майже неможлива, т.к. події «не надійшло жодного виклику» і «надійшов один виклик»-несумісні.

В) -це подія практично достовірно.

Властивості дисперсії.

Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює 0.DC=0.

Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:

.

Властивість 3.Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Слідство.Дисперсія суми кількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин.

Теорема 2.Дисперсія числа події А в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність р появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи та непояви події в одному випробуванні: .

Випадкова величина Х-число появи події А в n незалежних випробуваннях. , де Х i -кількість наступів подій в i-му випробуванні, взаємно незалежні, т.к. результат кожного випробування залежить від результатів інших.

Т.к. MX 1 = p. , то. Очевидно, що дисперсія інших випадкових величин також дорівнює pq, звідки .

приклад.Проводяться 10 незалежних випробувань, у кожному у тому числі ймовірність появи події дорівнює 0,6. Знайти дисперсію випадкової величини X-числа події у цих випробуваннях.

n=10; p=0,6; q=0,4.

o Початковим моментом порядку до випадкових величин Хназивають математичне очікування випадкової величини Х k:

. Зокрема, , .

Користуючись цими моментами, формулу для обчислення дисперсії можна записати так: .

Крім моментів випадкової величини Х, доцільно розглядати моменти відхилення Х-ХМ.

o Центральним моментом порядку kдовільної величини Х називають математичне очікування величини (Х-МХ) k .

. Зокрема

Отже, .

Виходячи з визначення центрального моменту та користуючись властивостями математичного очікування, можна отримати формули:

Моменти вищих порядків застосовуються рідко.

Зауваження.Моменти, визначені вище, називають теоретичними. На відміну від теоретичних моментів, моменти, що обчислюються за даними спостережень, називають емпіричними.

Системи випадкових величин.

o Вектор , де -випадкові величини, називаються n- мірним випадковим вектором.

Таким чином, випадковий вектор відображає простір елементарних результатів Ω→IR n n-мірний дійсний простір IR n .

o Функція

Називається функцією розподілу випадкового вектораабо спільною функцією розподілувипадкових величин.

Властивість 4.

o Випадковий вектор називається дискретнимякщо всі його компоненти-дискретні випадкові величини.

o Випадковий вектор називається безперервнимякщо існує невід'ємна функція , називається щільністю розподілу випадкових величин така, що функція розподілу .

Властивості кореляції.

Властивість 1.Абсолютна величина коефіцієнта кореляції вбирається у одиниці, тобто. .

Властивість 2.Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб випадкові величини Х і Y були пов'язані лінійною залежністю. Тобто. з ймовірністю 1.

Властивість 3.Якщо випадкові величини незалежні, всі вони некоррелированы, тобто. r=0.

Нехай Х та Y-незалежні, тоді за якістю математичного очікування

o Дві випадкові величини Х і Y називають корельованими, якщо їх коефіцієнт кореляції відмінний від нуля.

o Випадкові величини Х та Y називають некорельованимиякщо їхній коефіцієнт кореляції дорівнює 0.

Зауваження.З корелюваності двох випадкових величин випливає їхня залежність, але із залежності ще не випливає кореленість. З незалежності двох випадкових величин випливає їхня некорелеваність, але з некорелеваності ще не можна укласти про незалежність цих величин.

Коефіцієнт кореляції характеризує тенденцію випадкових величин до лінійної залежності. Чим більший за абсолютною величиною коефіцієнт кореляції, тим більша тенденція до лінійної залежності.

o Коефіцієнтом асиметріївипадкової величини Х називається число

Знак коефіцієнта асиметрії свідчить про правосторонню чи лівосторонню асиметрію.

o Ексцесом випадкової величини Х називається число .

Характеризує згладженість кривої розподілу стосовно кривої нормального розподілу.

Виробляючі функції

o Під цілісноївипадковою величиною розумітимемо дискретну випадкову величину, яка може приймати значення 0,1,2,...

Таким чином, якщо випадкова величина Х-цілочисленна, то вона має низку розподілу

Її функцією, що виробляє, називається функція

Розподіл «xi квадрат»

Нехай X i , -Нормальні незалежні випадкові величини, причому математичне очікування кожної з них дорівнює нулю, а середнє квадратичне відхилення (або дисперсія)-одиниці. Тоді сума квадратів цих величин розподілена згідно із законом Х 2 з k=n ступенями свободи. Якщо ці величини Х i пов'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад , число ступенів свободи k=n-1.

Щільність цього розподілу , де -гамма-функція; зокрема, Г(n+1)=n!

Звідси видно, що розподіл x і квадрат визначається одним параметром-числом ступенів свободи k. Зі збільшенням числа ступенів свободи розподіл повільно наближається до нормального.

Розподіл Стьюдента

Нехай Z-нормально розподілена величина, причому M(Z)=0, G 2 =1, тобто. Z~N(0,1), а V-незалежна від Z величина, яка розподілена згідно із законом Х 2 з k ступенями свободи. Тоді величина має розподіл, який називають t-розподілом або розподілом Стьюдента (псевдонім англійської статистики В.Госсета), з k ступенями свободи. Зі зростанням числа ступенів свободи розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального.

Щільність розподілу випадкової величини t має вигляд , .

Випадкова величина t має математичне очікування Mt = 0, (k> 2).

Розподіл Фішера

Якщо U і V-незалежні випадкові величини, розподілені за законом Х 2 зі ступенями свободи k 1 і k 2 то величина має розподіл Фішера F зі ступенями свободи k 1 і k 2 . Щільність цього розподілу , де

.

Розподіл Фішера F визначається двома параметрами-числами ступенів волі.

Характеристичні функції

0. 1 Випадкова величина , де i-уявна одиниця, тобто. ,а X і Y-дійсні випадкові величини, називається комплекснозначноювипадковою величиною. (І 2 = -1).

0. 2 Математичним очікуванням комплекснозначної випадкової величини Z називається. Усі властивості математичного очікування залишаються справедливими комплекснозначних випадкових величин.

0. 3 Комплекснозначні випадкові величини Z 1 =X 1 +iY 1 і Z 2 =X 2 +iY 2 називаються незалежними, якщо незалежні відповідно.

Закони великих чисел

Випадкові функції

o Випадковою функцієюназивається функція X(t), значення якої за будь-якого значення аргументу t є випадковою величиною.

Іншими словами, випадковою функцією називається функція, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого конкретного вигляду, при цьому заздалегідь не відомо, який саме.

o Конкретний вид, що приймається випадковою величиною в результаті досвіду, називається реалізацією випадкової функції.

Т.к. на практиці аргумент t найчастіше є тимчасовим, то випадкову функцію інакше називають випадковим процесом.

На малюнку зображено кілька реалізацій деякого випадкового процесу.

Якщо зафіксувати значення аргументу t, то випадкова функція X(t) перетвориться на випадкову величину, яку називають перетином випадкової функції, що відповідає моменту часу t. Вважатимемо розподіл перетину безперервним. Тоді Х(t) при цьому t визначається густиною розподілу p(x; t).

Очевидно, p(x; t) не є вичерпною характеристикою випадкової функції X(t), оскільки вона не виражає залежності між перерізами X(t) у різні моменти часу t. Більше повну характеристику дає функція -спільна щільність розподілу системи випадкових величин , де t 1 і t 2 -довільні значення аргументу t випадкової функції. Ще повнішу характеристику випадкової функції X(t) дасть сумісна щільність розподілу системи трьох випадкових величин тощо.

o Кажуть, що випадковий процес має порядок n, якщо вона повністю визначається щільністю сумісного розподілу n довільних перерізів процесу, тобто. системи n випадкових величин , де X(t i)-перетин процесу, що відповідає моменту часу t i але не визначається завданням спільного розподілу меншого, ніж n, числа перерізів.

o Якщо щільність спільного розподілу довільних двох перерізів процесу повністю його визначає, такий процес називається марківським.

Нехай є довільна функція X(t). Виникає завдання опису її за допомогою однієї чи кількох невипадкових характеристик. Як перша з них природно взяти функцію -математичне очікування випадкового процесу Як другий береться середнє квадратичне відхилення випадкового процесу.

Ці показники є деякими функціями від t. Перша їх-це середня траєкторія всім можливих реалізацій. Друга характеризує можливий розкид реалізацій випадкової функції при середній траєкторії. Але й цих показників недостатньо. Важливо знати залежність величин X(t1) і X(t2). Цю залежність можна характеризувати з допомогою кореляційної функції чи кореляційного моменту.

Нехай є два випадкові процеси, по кілька реалізацій яких зображено на малюнках.

У цих випадкових процесів приблизно однакові математичні очікування та середні квадратичні відхилення. Проте це різні процеси. Будь-яка реалізація для випадкової функції X 1 (t) повільно змінює свої значення зі зміною t, чого не можна сказати про випадкову функцію X 2 (t). У першого процесу залежність між перерізами X 1 (t) і більше, ніж залежність для перерізів X 2 (t) і другого процесу, тобто. зменшується повільніше, ніж при збільшенні Δt. У другому випадку процес швидше «забуває» своє минуле.

Зупинимося на властивостях кореляційної функції, які з властивостей кореляційного моменту пари випадкових величин.

Властивість 1.Властивість симетричності.

Властивість 2.Якщо до випадкової функції X(t) додати невипадковий доданок , від цього кореляційна функція не зміниться, тобто. .

§1. Що вивчає та коли виникла теорія ймовірностей. Концепція випадкового експерименту. Простір елементарних результатів. Типи та приклади. Елементи комбінаторики. Концепція події.

Історична довідка:

Історично теорія ймовірностей виникла як теорія азартних ігор (рулетка, гральні кістки, карти тощо). наприкінці 17 століття. Початок її розвитку пов'язані з іменами Паскаля, Бернуллі, Муавра, Лапласа, та (початок 19 століття) – Гаусса і Пуассона.

Перші дослідження з теорії ймовірностей у Росії ставляться до середини 19 століття пов'язані з іменами таких видатних математиків, як Н.І. Лобачевський, М.В. Остроградський, В.Я. Буняковський (одним із перших видав підручник із додатками у страховій справі та демографії).

Подальший розвиток теорії ймовірностей (кінець 19 і двадцяті роки 20 століття) переважно пов'язане з іменами російських учених Чебишева, Ляпунова та Макарова. З 30-х років 20 століття цей розділ математики переживає період розквіту, знаходячи застосування у різних галузях науки і техніки. У цей час російські вчені Бернштейн, Хінчін і Колмогоров роблять істотний внесок у розвиток теорії ймовірностей. Саме Колмогоров у віці 30 років у 1933 році запропонував аксіоматичну побудову теорії ймовірностей, встановивши її зв'язок з іншими розділами математики (теорією множин, теорією міри, функціональним аналізом).

Теорія ймовірностей є розділом математики, у якому вивчаються математичні моделі випадкових експериментів, тобто. експериментів, наслідки яких не можна визначити однозначно умовами проведення досвіду. При цьому передбачається, що сам експеримент може бути повторений (хоча б у принципі) будь-яке число разів при незмінному комплексі умов, а результати експерименту мають статистичну стійкість.

Поняття випадкового експерименту

Приклади випадкових експериментів:

1. Одноразове підкидання монети.

2. Одноразове підкидання гральної кістки.

3. Випадковий вибір кулі з урни.

4. Вимірювання часу безвідмовної роботи електричної лампочки.

5. Вимірювання кількості дзвінків, що надходять на АТС за одиницю часу.

Експеримент є випадковим, якщо не можна передбачити результат як першого досвіду, але і всіх подальших. Наприклад, проводиться деяка хімічна реакція, результат якої невідомий. Якщо її один раз провести і отримати певний результат, то при подальшому проведенні досвіду в тих самих умовах випадковість зникає.

Прикладів такого роду можна навести скільки завгодно багато. У чому полягає спільність дослідів з випадковими результатами? Виявляється, незважаючи на те, що результату кожного з перерахованих вище експериментів передбачити неможливо, на практиці для них вже давно була помічена закономірність певного виду, а саме: при проведенні великої кількості випробувань спостерігані частотипояви кожної випадкової події стабілізуються,тобто. все менше відрізняються від деякого числа, що називається ймовірністю події.

Спостереженою частотою події А ()називається відношення числа появи події А ()
) до загальної кількості випробувань (N):

Наприклад, при киданні правильної монети дріб

при

(
-кількість орлів, N-Загальна кількість кидань)

Така властивість стійкості частоти дозволяє, не маючи можливості передбачити результат окремого досвіду, досить точно прогнозувати властивості явищ, пов'язаних з аналізованим досвідом. Тому методи теорії ймовірностей в сучасному житті проникли у всі сфери діяльності людини, причому не тільки в природничо, економічні, а й гуманітарні, такі, як історія, лінгвістика і т.д. На цьому підході ґрунтується статистичне визначення ймовірності.

при (спостерігана частота події прагне його ймовірності при зростанні кількості дослідів, тобто при n
).

Визначення 1.1: Елементарним результатом (або елементарною подією)називають будь-який найпростіший (тобто неподільний у межах даного досвіду) результат досвіду. Безліч всіх елементарних результатів будемо називати простором елементарних наслідків.

Приклад побудови простору елементарних результатів:

Розглянемо наступний випадковий експеримент: одноразове підкидання гральної кістки, спостерігаємо кількість очок, що випали на верхній грані. Побудуємо йому простір елементарних результатів:

Містить усі варіанти, поява кожного варіанта виключає появу інших, усі варіанти неподільні.

Простір елементарних результатів (типи та приклади до кожного типу):

Розглянемо таку схему

Дискретні простори- Це простори, в яких можна виділити окремі результати . У дискретних кінцевихможна точно вказати їхнє число.

Приклади дискретних просторів елементарних результатів

Експеримент:одноразове підкидання монети

, де

Можна включити у пр-во е.і. варіант падіння монети на ребро, але ми виключаємо його з моделі як малоймовірний (кожна модель – це деяке наближення)

Якщо монета правильна, тобто. у неї скрізь однакова щільність і незміщений центр тяжкості, то результати «герб» і «решка» мають рівні шанси на появу. Якщо монета зміщує центр ваги, то, відповідно, результати мають різні шанси на появу.

Зауваження: якщо в задачі про монету нічого не говориться, то вона передбачається правильною

Експеримент:одноразове підкидання двох монет.

Якщо монети однакові, то результати РГ і ГР візуально невиразні. Можна помітити одну з монет фарбою і вони візуально відрізнятимуться.

Модель можна будувати по-різному:

або ми розрізняємо результати РГ, ГР і тоді ми виходить 4 вар-та

, де

У разі, якщо обидві монети правильні, всі варіанти мають рівні шанси на появу.

або ми розрізняємо варіанти РГ і ГР і тоді ми виходить 3 вар-та.

, де

І тут, якщо обидві монети правильні, варіант РГ має більший шанс на появу, ніж варіанти РР і РР, т.к. він реалізується двома способами: герб на першій монеті та решка на другій та навпаки.

Експеримент: випадковий вибір із групи студентів, що складається з 20 осіб, 5 людина для поїздки на конференцію. Результат експерименту:конкретна п'ятірка. При виборі важливий лише склад, тобто. не важливо, кого ми вибрали першого, а кого другого і т.д. При цьому

(стільки «п'ятірок» різних за складом можна отримати з 20 осіб) (факторіал)

Відповідь це питання знову дає наука комбінаторика.

(

Усі 15504 варіанти мають рівні шанси на появі, т.к. вибір випадковий.

Експеримент: випадковий вибір із групи студентів, що складається з 20 осіб, 5 осіб для преміювання різними за сумою преміями. Результат експерименту: конкретна впорядкована п'ятірка При виборі нам важливий як склад, а й порядок вибору, т.к. від того, яким людина обрана залежить розмір премії.

1860480 (стільки впорядкованих різних «п'ятірок» можна отримати із 20 осіб).

Відповідь це питання знову дає наука комбінаторика.

(

всі 1860480 Варіантів мають рівні шанси на появі, т.к. вибір випадковий.

Відомо, що упорядкованих «п'ятірок» буде більше, ніж впорядкованих, т.к. при тому самому складі може бути кілька варіантів порядку: у разі у кожному складі з 5 людина можливо 120 різних варіантів порядку.

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Узагальнене правило множення:

Нехай треба зробитиmнезалежних дій причому першу дію можна вчинити способами, друге - способами тощо. ….m-а дія
методами. Тоді всю послідовність дій можна здійснити

способами

Перестановки.

Перестановкою зnелементівназивається будь-який упорядкований набір із цих елементів.

-кількість перестановок з n елементів

Пояснення: перший елемент можна вибрати n способами, другий n-1 і т.д. останній елемент - одним способом, а вони перемножуються виходячи з правила узагальненого множення

Розміщення.

Розміщенням зnпоmназивається будь-який упорядкований набір m елементів обраних випадковим чином з генеральної сукупності, що містить n елементів (m

Число розміщень з n елементів по m (кількість варіантів такого впорядкованого вибору).

Пояснення: перший елемент можна вибрати n способами, другий n-1 і т.д. , а перемножуються вони з правила узагальненого множення.

Поєднання.

Поєднанням зnпоmназивається будь-який невпорядкований набір m елементів обраних випадковим чином з генеральної сукупності, що містить n елементів.

Поєднання та розміщення пов'язані наступним чином:

(на кожний склад з m елементів ми маємо m! упорядкованих наборів). Таким чином,

число поєднань з n елементів по m (кількість варіантів такого неупорядкованого вибору

Приклад безперервного простору елементарних результатів

Експеримент:двоє осіб призначають зустріч у певному місці між 12 і 13 годинами, і кожен з них може прийти в рамках цього часу у будь-який випадковий момент. Відстежуємо моменти їхнього приходу. Кожен варіант приходу 2-ух чоловік - це точка з квадрата зі стороною 60 (бо в годині 60 хвилин).

(Перший може прийти о 12 годині x хвилин, другий о 12 годині хвилин). Усі крапки з квадрата не можна не перерахувати, не перенумерувати. У цьому полягає його безперервна структура і, отже, у цьому експерименті безперервний простір елементарних результатів.

Події та операції над ними:

Визначення 1.2

Будь-який Набір елементарних результатів називають подією. Зоббуття позначаються великими латинськими літерами A, B, C або літерами з індексами A 1 A 2 A 3 і т.д.

Часто використовується наступна термінологія: кажуть, що сталася (або настала) подія А, якщо в результаті досвіду з'явився якийсь із елементарних результатів
.

Приклади подій

Повернемося до експерименту, що полягає у підкиданні гральної кістки. Розглянемо такі події:

A = (випадання парного числа очок)

В = (випадання непарного числа очок)

C=(випадання числа кратних очок 3)

Тоді, згідно з введеними раніше позначеннями,

Визначення 1.3

Подія, що з усіх елементарних результатів, тобто. подію, яка обов'язково відбувається в даному досвіді, називають достовірним. Його позначають як і простір елементарних результатів.

Приклад достовірної події: при киданні гральної кістки випадає не більше 6 очок або при киданні гральної кістки випаде хоча б одне очко.

Визначення 1.4

Подія, яка містить жодного елементарного результату, тобто. подію, яка ніколи не відбувається у цьому досвіді, називають неможливою. Його позначають символом  .

Приклад неможливої ​​події:при киданні двох гральних кісток сума очок, що випали, дорівнюватиме 20.

Операції над подіями:

фразі відбулася хоча б одна з подій А чи В).

Визначення 1.5Події А та В називають несумісними,якщо їх перетином є неможлива подія, тобто. AB=  .

Приклад завдання на операції над подіями:

По мішені роблять три постріли. Розглянемо події

(Попадання при i-му пострілі), i=1..3

Виразити за допомогою теоретико-множинних операцій через події A i наступні події:

А=(три влучення)=

B=(три промахи)=

C=(хоча б одне влучення)=

D=(хоча б один промах)=

E=(щонайменше двох попаданий)=
+
+
+

F=(не більше одного влучення)=
+
+
+

G = (потрапляння в ціль не раніше, ніж при третьому пострілі) =

Ідея: далі будуть завдання такого типу: ймовірності подій дано і потрібно, знаючи ці ймовірності, знайти ймовірності подій A, B, C, D, E, F, G

§2. ПОНЯТТЯ ймовірності

Для кількісного порівняння шансів настання подій запроваджується поняття ймовірності.

Визначення 2.1Нехай кожній події Aпоставлено у відповідностічисло P(A). Числову функцію P називають ймовірністю чи ймовірнісною міроюякщо вона задовольняє наступним аксіомам:

Аксіома невід'ємності

Аксіома нормованості

Аксіома додавання (розширена)вивчається деяке випадкове подія ...