Суміжні відрізки багатокутника. Значення слова багатокутник

Тема: «Багатокутники. Види багатокутників»

9 клас

ШЛ №20

Вчитель: Харитонович Т.І.Ціль уроку: дослідження видів багатокутників.

Навчальне завдання:актуалізувати, розширити та узагальнити знання учнів про багатокутники; сформувати уявлення про “складові частини” багатокутника; провести дослідження кількості складових елементів правильних багатокутників (від трикутника до n – кутника);

Розвиваюча задача:розвивати вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки, розвивати обчислювальні навички, усне та письмове математичне мовлення, пам'ять, а також самостійність у мисленні та навчальній діяльності, вміння працювати в парах та групах; розвивати дослідницьку та пізнавальну діяльність;

Виховне завдання:виховувати самостійність, активність, відповідальність за доручену справу, завзятість у досягненні поставленої мети.

Обладнання: інтерактивна дошка (презентація)

Хід уроку

Показ презентації: «Багатокутники»

"Природа говорить мовою математики, літери цієї мови... математичні постаті". Г.Галлілей

На початку уроку клас ділиться на робочі групи (у разі розподіл на3 групи)

1.Стадія виклику-

а) актуалізація знань учнів на тему;

б) пробудження інтересу до теми, що вивчається, мотивація кожного учня до навчальної діяльності.

Прийом: Гра “Чи вірите ви, що…”, організація роботи з текстом.

Форми роботи: фронтальна, групова.

"Чи вірите ви в те, що ...."

1. … слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів"?

2. … трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед ножів різних геометричних фігур на площині?

3. … квадрат – це правильний восьмикутник (чотири сторони + чотири кути)?

Сьогодні на уроці йтиметься про багатокутники. Ми дізнаємося, що ця фігура обмежена замкненою ламаною, яка, у свою чергу, буває простою, замкнутою. Поговоримо про те, що багатокутники бувають плоскими, правильними, опуклими. Один із плоских багатокутників – трикутник, з яким ви давно і добре знайомі (можна продемонструвати учням плакати із зображенням багатокутників, ламаною, показати їх різні види, також можна скористатися і ТЗН).

2. Стадія осмислення

Ціль: отримання нової інформації, її осмислення, відбір.

Прийом: зигзаг.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

Кожному з групи видається текст на тему уроку, причому текст складено в такий спосіб, що він включає як інформацію вже відому учням, і інформацію абсолютно нову. Разом з текстом учні отримують питання, відповіді на які необхідно знайти в цьому тексті.

Багатокутники. Види багатокутників.

Хто не чув про загадковий Бермудський трикутник, у якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже знайомий нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.

Крім вже відомих нам видів трикутників, що поділяються по сторонах (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній) і кутах (гострокутний, тупокутний, прямокутний) трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед безлічі різних геометричних фігур на площині.

Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів". Для характеристики фігури цього мало.

Ломаною А1А2 ... Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2, ... Аn і з'єднують їх відрізків А1А2, А2А3, .... Крапки називаються вершинами ламаною, а відрізки ланками ламаною. (РИС.1)

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис.2,3).

Ламана називається замкненою, якщо в неї кінці збігаються. Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок (рис.4)

Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій (рис.5).

Підставте в слові багатокутник замість частини багато конкретне число, наприклад 3. Ви отримаєте трикутник. Або 5. Тоді – п'ятикутник. Зауважимо, що скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати і багатосторонніми.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а ланки ламаної – сторонами багатокутника.

Багатокутник розбиває площину на дві області: внутрішню та зовнішню (рис.6).

Плоським багатокутником або багатокутною областю називається кінцева частина площини обмежена багатокутником.

Дві вершини багатокутника, що є кінцями однієї сторони, називаються сусідніми. Вершини, які є кінцями однієї боку – несусідні.

Багатокутник з n вершинами, отже, і з n сторонами називається n-кутником.

Хоча найменша кількість сторін багатокутника – 3. Але трикутники, з'єднуючись один з одним, можуть утворювати інші фігури, які також є багатокутниками.

Відрізки, що з'єднують сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній напівплощині щодо будь-якої прямої, що містить його бік. При цьому сама пряма вважається такою, що належить ПІВПЛОСКИ

Кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Доведемо теорему (про суму кутів опуклого n – косинця): Сума кутів опуклого n – косинця дорівнює 1800*(n - 2).

Доведення. Що стосується n=3 теорема справедлива. Нехай А1А2 ... А n - даний опуклий багатокутник і n>3. Проведемо у ньому (з однієї вершини) діагоналі. Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n – 2 трикутника. Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 1800, а число цих трикутників n – 2. Тому сума кутів опуклого n – кутника А1А2…Аn дорівнює 1800* (n – 2). Теорему доведено.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

Тож квадрат можна назвати по-іншому – правильним чотирикутником. Рівносторонні трикутники також є правильними. Такі постаті давно цікавили майстрів, які прикрашали будинки. З них виходили гарні візерунки, наприклад, на паркеті. Але не з усіх правильних багатокутників можна було скласти паркет. Із правильних восьмикутників паркет скласти не можна. Справа в тому, що у них кожен кут дорівнює 1350. І якщо якась точка є вершиною двох таких восьмикутників, то на їх частку доведеться 2700, і третьому восьмикутнику там поміститися ніде: 3600 - 2700 = 900. Але для квадрата цього достатньо. Тому можна скласти паркет із правильних восьмикутників та квадратів.

Правильними бувають і зірки. Наша п'ятикутна зірка – правильна п'ятикутна зірка. А якщо повернути квадрат навколо центру на 450, то вийде правильна восьмикутна зірка.

Що називається ламаною? Поясніть, що таке вершини та ланки ламаної.

Яка ламана називається простою?

Яка ламана називається замкненою?

Що називається багатокутником? Що називається вершинами багатокутника? Що називається сторонами багатокутника?

Який багатокутник називається плоским? Наведіть приклади багатокутників.

Що таке n – косинець?

Поясніть, які вершини багатокутника сусідні, а які ні.

Що таке діагональ багатокутника?

Який багатокутник називається опуклим?

Поясніть, які кути багатокутника зовнішні, а які внутрішні?

Який багатокутник називається правильним? Наведіть приклади правильних багатокутників.

Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника? Доведіть.

Учні працюють з текстом, шукають відповіді на поставлені питання, після чого формуються експертні групи, робота в яких йде з одних і тих самих питань: учні виділяють головне, складають опорний конспект, подають інформацію однієї з графічних форм. Після закінчення роботи учні повертаються до своїх робочих груп.

3.Стадія рефлексії-

а) оцінка своїх знань, виклик до наступного кроку пізнання;

б) осмислення та присвоєння отриманої інформації.

Прийом: дослідження.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

У робочих групах виявляються фахівці з відповідей кожен із розділів запропонованих питань.

Повернувшись до робочої групи, експерт знайомить інших членів групи з відповідями на свої запитання. У групі відбувається обміну інформацією всіх учасників робочої групи. Таким чином, у кожній робочій групі, завдяки роботі експертів, складається загальне уявлення по темі, що вивчається.

Дослідницька робота учнів- Заповнення таблиці.

Правильні багатокутники Креслення Кількість сторін Кількість вершин Сума всіх внутр.кутів Градусна міра внутр. кута Градусна міра зовнішн.кута Кількість діагоналей

А)трикутник

Б) чотирикутник

В)п'ятиуГольник

Г) шестикутник

Д) n-кутник

Вирішення цікавих завдань на тему уроку.

1) Скільки сторін має правильний багатокутник, кожен із внутрішніх кутів якого дорівнює 1350?

2)У деякому багатокутнику всі внутрішні кути рівні між собою. Чи може сума внутрішніх кутів цього багатокутника дорівнювати: 3600, 3800?

3) Чи можна побудувати п'ятикутник із кутами 100,103,110,110,116 градусів?

Підбиття підсумків уроку.

Запис домашнього завдання: СТР66-72 №15,17 І ЗАВДАННЯ: у ЧОТИРИКУТНИКУ, ПРОВЕДІТЬ ПРЯМУ ТАК, ЩОБ ВОНА РОЗДІЛИЛА ЙОГО НА ТРИ ТРИКУТНИКИ.

Рефлексія у вигляді тестів (на інтерактивній дошці)

На цьому уроці ми приступимо до нової теми і введемо нове для нас поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У підсумку ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.

Тема: Чотирикутники

Урок: Багатокутники

В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.

З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).

Мал. 1. Трикутник

У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.

Мал. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник

Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.

Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.

Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).

Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).

Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.

Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.

Мал. 3. Неопуклий багатокутник

Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.

Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але є й інше визначення опуклості багатокутника.

Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.

Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.

Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.

Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де – кількість його кутів (сторон).

Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.

Мал. 4. Випуклий n-кутник

З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:

Що й потрібно було довести.

Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.

Мал. 5.

Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що й потрібно було довести.

Доведено.

По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.

Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.

Доведення. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.

Мал. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:

У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .

Доведено.

З доведеної теореми випливає цікавий факт, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює від кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнє завдання

Види багатокутників:

Чотирикутники

Чотирикутникивідповідно складаються з 4-х сторін і кутів.

Сторони та кути, розташовані навпроти один одного, називаються протилежними.

Діагоналі ділять опуклі чотирикутники на трикутники (див. малюнку).

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 ° (за формулою: (4-2) * 180 °).

Паралелограми

Паралелограм- це опуклий чотирикутник із протилежними паралельними сторонами (на рис. під номером 1).

Протилежні сторони та кути в паралелограмі завжди рівні.

А діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

Трапеції

Трапеція- це теж чотирикутник, і в трапеціїпаралельні лише дві сторони, які називаються підставами. Інші сторони – це бічні сторони.

Трапеція на малюнку під номером 2 та 7.

Як і в трикутнику:

Якщо бічні сторони рівні, то трапеція - рівнобедрений;

Якщо один із кутів прямий, то трапеція - прямокутна.

Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ і паралельна їм.

Ромб

Ромб- це паралелограм, у якого усі сторони рівні.

Крім властивостей паралелограма, ромби мають свою особливу властивість. діагоналі ромба перпендикулярніодин одному і ділять кути ромба навпіл.

На малюнку ромб за номером 5.

Прямокутники

Прямокутник- це паралелограм, у якого кожен кут прямий (див. рис. під номером 8).

Крім властивостей паралелограма, прямокутники мають свою особливу властивість. діагоналі прямокутника рівні.

Квадрати

Квадрат- Це прямокутник, у якого всі сторони рівні (№4).

Має властивості прямокутника і ромба (оскільки всі сторони рівні).

Трикутник, квадрат, шестикутник – ці фігури відомі практично всім. Але про те, що таке правильний багатокутник, знає далеко не кожен. Але це все ті ж Правильним багатокутником називають той, що має рівні між собою кути і сторони. Таких фігур дуже багато, але вони мають однакові властивості, і до них застосовні одні й самі формули.

Властивості правильних багатокутників

Будь-який правильний багатокутник, будь то квадрат або октагон, може бути вписаний у коло. Ця основна властивість часто використовується при побудові фігури. Крім того, коло можна і вписати в багатокутник. При цьому кількість точок дотику дорівнюватиме кількості його сторін. Важливо, що коло, вписане у правильний багатокутник, матиме спільний центр. Ці геометричні постаті підпорядковані одним теоремам. Будь-яка сторона правильного n-кутника пов'язана з радіусом описаного біля нього кола R. Тому її можна обчислити, використовуючи таку формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через нього можна знайти не тільки сторони, а й периметр багатокутника.

Як знайти кількість сторін правильного багатокутника

Кожен складається з певної кількості рівних один одному відрізків, які, з'єднуючись, утворюють замкнуту лінію. При цьому всі кути фігури, що утворилася, мають однакове значення. Багатокутники поділяються на прості та складні. До першої групи відносяться трикутник та квадрат. Складні багатокутники мають більшу кількість сторін. До них також відносять зірчасті фігури. У складних правильних багатокутників сторони знаходять шляхом вписування в коло. Наведемо доказ. Накресліть правильний багатокутник із довільним числом сторін n. Опишіть навколо нього коло. Задайте радіус R. Тепер уявіть, що дано деякий n-кутник. Якщо точки його кутів лежать на колі і дорівнюють одна одній, то сторони можна знайти за формулою: a = 2R ∙ sinα: 2.

Знаходження числа сторін вписаного правильного трикутника

Рівносторонній трикутник – це правильний багатокутник. Формули щодо нього застосовуються самі, як і квадрату, і n-угольнику. Трикутник вважатиметься правильним, якщо в нього однакові по довжині сторони. При цьому кути дорівнюють 60⁰. Побудуємо трикутник із заданою довжиною сторін а. Знаючи його медіану та висоту, можна знайти значення його сторін. Для цього використовуватимемо спосіб знаходження через формулу а = х: cosα, де х - медіана або висота. Оскільки всі сторони трикутника рівні, отримуємо а = в = с. Тоді вірним буде наступне твердження а = = с = х: cosα. Аналогічно можна знайти значення сторін у рівнобедреному трикутнику, але х буде задана висота. При цьому проектуватись вона повинна строго на підставу фігури. Отже, знаючи висоту х, знайдемо бік а рівнобедреного трикутника за формулою а = в = х: cosα. Після знаходження значення а можна обчислити довжину основи с. Застосуємо теорему Піфагора. Шукатимемо значення половини основи c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тоді c = 2xtg. Ось таким нескладним способом можна знайти число сторін будь-якого багатокутника вписаного.

Обчислення сторін квадрата, вписаного в коло

Як і будь-який інший вписаний правильний багатокутник, квадрат має рівні сторони та кути. До нього застосовуються самі формули, як і до трикутнику. Обчислити сторони квадрата можна за значення діагоналі. Розглянемо цей метод більш детально. Відомо, що діагональ ділить кут навпіл. Спочатку його значення було 90 градусів. Таким чином, після поділу утворюються два Їх кути при підставі дорівнюватимуть 45 градусів. Відповідно кожна сторона квадрата дорівнюватиме, тобто: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, де е - це діагональ квадрата, або основа прямокутного трикутника, що утворився після розподілу. Це не єдиний спосіб знаходження сторін квадрата. Впишемо цю фігуру в коло. Знаючи радіус цього кола R, знайдемо бік квадрата. Обчислюватимемо її наступним чином a4 = R√2. Радіуси правильних багатокутників обчислюють за формулою R = а: 2tg (360 o: 2n), де а – довжина сторони.

Як обчислити периметр n-кутника

Периметром n-кутника називають суму всіх сторін. Обчислити його нескладно. Для цього потрібно знати значення всіх сторін. Для деяких видів багатокутників є спеціальні формули. Вони дозволяють знайти периметр набагато швидше. Відомо, що будь-який правильний багатокутник має рівні боки. Тому для того, щоб обчислити його периметр, достатньо знати хоча б одну з них. Формула залежатиме від кількості сторін фігури. Загалом вона виглядає так: Р = an, де а - значення сторони, а n - кількість кутів. Наприклад, щоб знайти периметр правильного восьмикутника зі стороною 3 см, необхідно помножити її на 8, тобто Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестикутника зі стороною 5 см обчислюємо так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. І так для кожного багатокутника.

Знаходження периметра паралелограма, квадрата та ромба

Залежно від цього, скільки сторін має правильний багатокутник, обчислюється його периметр. Це набагато полегшує поставлене завдання. Адже, на відміну від інших фігур, у цьому випадку не потрібно шукати всі його сторони, достатньо однієї. За цим принципом знаходимо периметр у чотирикутників, тобто у квадрата і ромба. Незважаючи на те, що це різні фігури, формула для них одна Р = 4а, де а - сторона. Наведемо приклад. Якщо сторона ромба або квадрата дорівнює 6 см, то знаходимо периметр так: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У паралелограма рівні лише протилежні сторони. Тому його периметр знаходять, використовуючи інший спосіб. Отже, нам необхідно знати довжину і ширину у фігури. Потім застосовуємо формулу Р = (а + в) 2. Паралелограм, у якого рівні всі сторони і кути між ними, називається ромб.

Знаходження периметра рівностороннього та прямокутного трикутника

Периметр правильного можна знайти за формулою Р = 3а де а - довжина сторони. Якщо вона невідома, її можна знайти через медіану. У прямокутному трикутнику рівне значення мають лише дві сторони. Підставу можна знайти через теорему Піфагора. Після того, як стануть відомі значення всіх трьох сторін, обчислюємо периметр. Його можна знайти, застосовуючи формулу Р = а + в + с, де а і в – рівні сторони, а с – основа. Нагадаємо, що в рівнобедреному трикутнику а = в = а, отже, а + в = 2а, тоді Р = 2а + с. Наприклад, сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, знайдемо його основу та периметр. Обчислюємо значення гіпотенузи за теоремою Піфагора з = √а 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Обчислимо тепер периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайти кути правильного багатокутника

Правильний багатокутник зустрічається у нашому житті щодня, наприклад, звичайний квадрат, трикутник, восьмикутник. Здавалося б, немає нічого простішого, ніж побудувати цю фігуру самостійно. Але це лише на перший погляд. Щоб побудувати будь-який n-кутник, необхідно знати значення його кутів. Але як їх знайти? Ще вчені давнини намагалися збудувати правильні багатокутники. Вони здогадалися вписати їх у коло. А потім на ній відзначали потрібні точки, з'єднували їх прямими лініями. Для простих постатей проблема побудови була вирішена. Формули та теореми були отримані. Наприклад, Евклід у своїй знаменитій праці «Початок» займався вирішенням завдань для 3-, 4-, 5-, 6- та 15-кутників. Він знайшов способи їх побудови та знаходження кутів. Розглянемо, як це зробити для 15-кутника. Спочатку потрібно розрахувати суму його внутрішніх кутів. Необхідно використати формулу S = 180⁰(n-2). Отже, нам дано 15-кутник, значить число n дорівнює 15. Підставляємо відомі нам дані у формулу і отримуємо S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Ми знайшли суму всіх внутрішніх кутів 15-кутника. Тепер необхідно набути значення кожного з них. Усього кутів 15. Робимо обчислення 2340⁰: 15 = 156⁰. Отже, кожен внутрішній кут дорівнює 156⁰, тепер за допомогою лінійки та циркуля можна побудувати правильний 15-кутник. Але як бути з більш складними n-кутниками? Багато століть вчені билися над розв'язанням цієї проблеми. Воно було знайдено лише у 18-му столітті Карлом Фрідріхом Гауссом. Він зміг побудувати 65537-кутник. З цього часу проблема офіційно вважається повністю вирішеною.

Розрахунок кутів n-кутників у радіанах

Звісно, ​​є кілька способів знаходження кутів багатокутників. Найчастіше їх обчислюють у градусах. Але можна висловити їх у радіанах. Як це зробити? Необхідно діяти в такий спосіб. Спочатку з'ясовуємо число сторін правильного багатокутника, потім віднімаємо з нього 2. Отже, ми отримуємо значення: n - 2. Помножте знайдену різницю на число п («пі» = 3,14). Тепер залишається лише розділити отриманий добуток на число кутів у n-кутнику. Розглянемо дані обчислення на прикладі того ж п'ятнадцятикутника. Отже, число n дорівнює 15. Застосуємо формулу S = п(n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Це, звичайно, не єдиний спосіб розрахувати кут у радіанах. Можна просто поділити розмір кута в градусах на число 57,3. Адже саме стільки градусів еквівалентно одному радіану.

Розрахунок значення кутів у градах

Крім градусів та радіан, значення кутів правильного багатокутника можна спробувати знайти у градах. Робиться це так. Із загальної кількості кутів віднімаємо 2, ділимо отриману різницю на кількість сторін правильного багатокутника. Знайдений результат множимо на 200. До речі, така одиниця виміру кутів, як гради, практично не використовується.

Розрахунок зовнішніх кутів n-кутників

У будь-якого правильного багатокутника, крім внутрішнього, можна вирахувати ще й зовнішній кут. Його значення знаходять так само, як і для інших постатей. Отже, щоб знайти зовнішній кут правильного багатокутника необхідно знати значення внутрішнього. Далі нам відомо, що сума цих двох кутів завжди дорівнює 180 градусам. Тому обчислення робимо так: 180⁰ мінус значення внутрішнього кута. Знаходимо різницю. Вона і дорівнюватиме значення суміжного з ним кута. Наприклад, внутрішній кут квадрата дорівнює 90 градусів, отже, зовнішній становитиме 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Як бачимо, знайти його нескладно. Зовнішній кут може набувати значення від +180⁰ до, відповідно, -180⁰.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.