Суміжні кути. Повні уроки - Гіпермаркет знань

З цього є. Якщо два кути одночасно є і суміжними, і рівними, вони прямі. Якщо один із суміжних кутів є прямим, тобто становить 90 градусів, то інший кут теж прямий. Якщо один із суміжних кутів гострий, то інший буде тупим. Аналогічно, якщо один із кутів тупий, то другий, відповідно, буде гострим.

Гострий кут - це такий, градусний захід якого менше 90 градусів, але більше 0. Тупий кут має градусний захід більше 90 градусів, але менше 180 градусів.

Інша властивість суміжних кутів формулюється так: якщо два кути рівні, то кути, суміжні з ними також рівні. Це те, що якщо є два кути, градусна міра для яких збігається (наприклад, вона становить 50 градусів) і при цьому має суміжний кут, то значення цих суміжних кутів теж збігаються (у прикладі їх градусна міра дорівнюватиме 130 градусам).

Джерела:

• Великий Енциклопедичний Словник.
• кут 180 градусів

Слово «» має різні тлумачення. У геометрії кут – це частина площини, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки – вершини. Коли йдеться про прямі, гострі, розгорнуті кути, то маються на увазі саме геометричні кути.

Як і будь-які фігури у геометрії, кути можна порівнювати. Рівність кутів визначається за допомогою руху. Кут легко розділити на дві рівні частини. Розділити на три частини трохи складніше, але все ж таки це можна зробити за допомогою лінійки та циркуля. До речі, це завдання здавалося досить важким. Описати, що один кут більший або менший за інший, геометрично нескладно.

Як одиниця виміру кутів прийнятий – 1/180

Геометрія – це дуже багатогранна наука. Вона розвиває логіку, уяву та інтелект. Звичайно, через свою складність і величезну кількість теорем і аксіом, вона не завжди подобається школярам. Крім цього, є необхідність постійно доводити свої висновки, використовуючи загальноприйняті стандарти та правила.

Суміжні та вертикальні кути – це невід'ємна складова геометрії. Напевно, багато школярів просто люблять їх з тієї причини, що їхні властивості зрозумілі і прості в доказі.

Освіта кутів

Будь-який кут утворюється шляхом перетину двох прямих або проведення двох променів з однієї точки. Вони можуть називатися або однією літерою, або трьома, які послідовно позначають точки побудови кута.

Кути вимірюються в градусах і можуть (залежно від їхнього значення) по-різному називатися. Так, існує прямий кут, гострий, тупий та розгорнутий. Кожній назві відповідає певний градусний захід або його проміжок.

Гострим називається кут, міра якого не перевищує 90 градусів.

Тупим є кут, що перевищує 90 градусів.

Кут називається прямим у тому випадку, коли його градусний захід дорівнює 90.

У тому випадку, коли він утворений однією суцільною прямою, і його градусний захід дорівнює 180, його називають розгорнутим.

Кути, що мають спільну сторону, друга сторона яких продовжує одне одного, називаються суміжними. Вони можуть бути як гострими, і тупими. Перетин лінією утворює суміжні кути. Властивості їх такі:

1. Сума таких кутів дорівнюватиме 180 градусів (існує теорема, що доводить це). Тому можна легко обчислити один із них, якщо відомий інший.
2. З першого пункту випливає, що суміжні кути не можуть бути утворені двома тупими або двома гострими кутами.

Завдяки цим властивостям можна завжди обчислити градусну міру кута, маючи значення іншого кута або, принаймні, відношення між ними.

Вертикальні кути

Кути, сторони яких є продовженням один одного, називають вертикальними. Як така пара можуть виступати будь-які їх різновиди. Вертикальні кути завжди рівні між собою.

Вони утворюються при перетині прямих. Разом з ними завжди є і суміжні кути. Кут може бути одночасно суміжним для одного та вертикальним для іншого.

При перетині довільною лінією також розглядають кілька видів кутів. Така лінія називається січною, вона і утворює відповідні, односторонні і навхрест кути, що лежать. Вони рівні між собою. Їх можна розглядати у світлі властивостей, які мають вертикальні та суміжні кути.

Таким чином, тема кутів є досить простою і зрозумілою. Усі їхні властивості легко запам'ятати та довести. Розв'язання задач не представляється складним доти, доки кутам відповідає числове значення. Вже далі, коли почнеться вивчення sin та cos, доведеться запам'ятовувати безліч складних формул, їх висновків та наслідків. А до того часу можна легко насолоджуватися легкими завданнями, в яких потрібно знайти суміжні кути.

Початкові відомості про кути

Нехай нам дано два довільні промені. Накладемо їх початки один на одного. Тоді

Визначення 1

Кутом називатимемо два промені, які мають один і теж початок.

Визначення 2

Точка, яка є початком променів у межах визначення 3, називається вершиною цього кута.

Кут будемо позначати наступними трьома її точками: вершиною, точкою одному з променів і точкою іншому промені, причому вершина кута записується у його позначення (рис. 1).

Визначимо тепер, що таке величина кута.

Для цього необхідно вибрати якийсь «еталонний» кут, який ми прийматимемо за одиницю. Найчастіше таким кутом є кут, що дорівнює $\frac(1)(180)$ частини розгорнутого кута. Таку величину називають градусом. Після вибору такого кута ми з ним проводимо порівняння кутів, величину якого потрібно знайти.

Існують 4 види кутів:

Визначення 3

Кут називається гострим, якщо він менший за $90^0$.

Визначення 4

Кут називається тупим, якщо він більший за $90^0$.

Визначення 5

Кут називається розгорнутим, якщо він дорівнює $180^0$.

Визначення 6

Кут називається прямим, якщо він дорівнює $90^0$.

Крім таких видів кутів, які описані вище, можна виділяти види кутів по відношенню їх один до одного, а саме вертикальні та суміжні кути.

Суміжні кути

Розглянемо розгорнутий кут $COB$. З його вершини проведемо промінь $OA$. Цей промінь розділить первісний на два кути. Тоді

Визначення 7

Два кути називатимемо суміжними, якщо одна пара їх сторін є розгорнутим кутом, а інша пара збігається (рис. 2).

У цьому випадку кути $COA$ та $BOA$ є суміжними.

Теорема 1

Сума суміжних кутів дорівнює $180^0$.

Доведення.

Розглянемо рисунок 2.

За визначенням 7, у ньому кут $COB$ дорівнюватиме $180^0$. Так як друга пара сторін суміжних кутів збігається, то промінь $OA$ розділятиме розгорнутий кут на 2, отже

$∠COA+∠BOA=180^0$

Теорему доведено.

Розглянемо розв'язання задачі за допомогою даного поняття.

Приклад 1

Знайти кут $C$ з малюнка нижче

За визначенням 7 отримуємо, що кути $BDA$ та $ADC$ є суміжними. Отже, за теоремою 1 отримаємо

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=1800-59^0=121^0$

За теоремою про суму кутів у трикутнику, матимемо

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Відповідь: $ 40 ^ 0 $.

Вертикальні кути

Розглянемо розгорнуті кути $AOB$ та $MOC$. Сумісимо їх вершини між собою (тобто накладемо точку $O"$ на точку $O$) так, щоб ніякі сторони цих кутів не співпали.

Визначення 8

Два кути називатимемо вертикальними, якщо пари їх сторін є розгорнутими кутами, а їх величини збігаються (рис. 3).

У цьому випадку кути $MOA$ і $BOC$ є вертикальними та кути $MOB$ і $AOC$ також вертикальні.

Теорема 2

Вертикальні кути дорівнюють між собою.

Доведення.

Розглянемо рисунок 3. Доведемо, наприклад, що кут $MOA$ дорівнює куту $BOC$.

РОЗДІЛ I.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ.

§11. СМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ.

1. Суміжні кути.

Якщо ми продовжимо бік якогось кута за його вершину, то отримаємо два кути (чорт. 72): / А ВС та / СВD, у яких одна сторона ВС загальна, а дві інші АВ і ВD становлять пряму лінію.

Два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші становлять пряму лінію, називаються суміжними кутами.

Суміжні кути можна отримати і таким чином: якщо з якоїсь точки прямий проведемо промінь (що не лежить на цій прямій), то отримаємо суміжні кути.
Наприклад, / АDF та / FDВ - кути суміжні (чорт. 73).

Сумежні кути можуть мати найрізноманітніші положення (чорт. 74).

Суміжні кути в сумі складають розгорнутий кут, тому з умма двох суміжних кутів дорівнює 2d.

Звідси прямий кут можна визначити як кут, що дорівнює своєму суміжному куту.

Знаючи величину одного із суміжних кутів, ми можемо знайти величину іншого суміжного з ним кута.

Наприклад, якщо один із суміжних кутів дорівнює 3/5 d, то другий кут дорівнюватиме:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Вертикальні кути.

Якщо ми продовжимо сторони кута за його вершину, то отримаємо вертикальні кути. На кресленні 75 кути EOF і АОС-вертикальні; кути АОЕ та СОF - також вертикальні.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін другого кута.

Нехай / 1 = 7 / 8 d(чорт. 76). Сумежний із ним / 2 дорівнюватиме 2 d- 7 / 8 d, Т. е. 1 1 / 8 d.

Так само можна обчислити, чому рівні / 3 та / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(чорт. 77).

Ми бачимо, що / 1 = / 3 та / 2 = / 4.

Можна вирішити ще кілька таких самих завдань, і щоразу виходитиме той самий результат: вертикальні кути рівні між собою.

Однак, щоб переконатися в тому, що вертикальні кути завжди рівні між собою, недостатньо розглянути окремі числові приклади, оскільки висновки, зроблені на основі приватних прикладів, іноді можуть бути помилковими.

Переконатися у справедливості якості вертикальних кутів потрібно шляхом міркування, шляхом підтвердження.

Доказ можна провести в такий спосіб (чорт. 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(оскільки сума суміжних кутів дорівнює 2 d).

/ a +/ c = / b +/ c

(так як і ліва частина цієї рівності дорівнює 2 d, і права його частина теж дорівнює 2 d).

У цю рівність входить той самий кут з.

Якщо від рівних величин віднімемо порівну, те й залишиться порівну. В результаті вийде: / a = / b, Тобто вертикальні кути рівні між собою.

При розгляді питання про вертикальні кути ми спочатку пояснили, які кути називаються вертикальними, тобто дали визначеннявертикальних кутів.

Потім ми висловили судження (ствердження) про рівність вертикальних кутів і в справедливості цієї думки переконалися шляхом доказу. Такі судження, справедливість яких треба доводити, називаються теоремами. Таким чином, у даному параграфі ми дали визначення вертикальних кутів, а також висловили та довели теорему про їхню властивість.

Надалі щодо геометрії нам завжди доведеться зустрічатися з визначеннями і доказами теорем.

3. Сума кутів, що мають загальну вершину.

На кресленні 79 / 1, / 2, / 3 та / 4 розташовані по одну сторону прямої і мають загальну вершину на цій прямій. У сумі ці кути становлять розгорнутий кут, тобто.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

На кресленні 80 / 1, / 2, / 3, / 4 та / 5 мають загальну вершину. У сумі ці кути становлять повний кут, тобто. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Вправи.

1. Один із суміжних кутів дорівнює 0,72 d.Обчислити кут, складений бісектрисами цих суміжних кутів.

2. Довести, що бісектриси двох суміжних кутів утворюють прямий кут.

3. Довести, що якщо два кути рівні, то рівні та їх суміжні кути.

4. Скільки пар суміжних кутів на кресленні 81?

5. Чи може пара суміжних кутів складатися із двох гострих кутів? із двох тупих кутів? з прямого та тупого кута? з прямого та гострого кута?

6. Якщо один із суміжних кутів прямий, то що можна сказати про величину суміжного з ним кута?

7. Якщо при перетині двох прямих ліній один кут прямий, то що можна сказати про величину решти трьох кутів?