Співвідношення між тригонометричними функціями. Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута.

Спробуємо знайти залежність між основними тригонометричними функціями одного й того самого кута.

Співвідношення між косинусом і синусом одного і того ж кута

На наступному малюнку представлена ​​система координат Оху з зображеною в ній частиною одиничного півкола ACB з центром в точці О. Ця частина є дугою одиничного кола. Одиничне коло описується рівнянням

• x 2 + y 2 = 1.

Як вже відомо ординату у і абсцису х можна представити у вигляді синуса та косинуса кута за такими формулами:

• sin(a) = у,
• cos(a) = x.

Підставивши ці значення в рівняння одиничного кола маємо таку рівність

• (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Ця рівність виконується за будь-яких значень кута а. Воно називається основне тригонометричне тотожність.

З основного тригонометричного тотожності можна висловити одну функцію через іншу.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

Знак у правій частині цієї формули визначається знаком виразу, який стоїть у лівій частині цієї формули.

Наприклад.

Обчислити sin(a), якщо cos(a)=-3/5 та pi

Скористаємося формулою наведеною вище:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Так як pi

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Співвідношення між тангенсом і котангенсом одного і того ж кута

Тепер, спробуємо знайти залежність між тангенсом і котангенсами.

За визначенням tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Перемножимо ці рівності, отримаємо tg(a)*ctg(a) =1.

З цієї рівності можна висловити одну функцію через іншу. Отримаємо:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Слід розуміти, що це рівності справедливі лише тоді, коли tg і ctg існують, тобто будь-яких а, крім а=k*pi/2, за будь-якого цілому k.

Тепер спробуємо, використовуючи основне тригонометричне тотожність, знайти залежності між тангенсом і косинусом.

Поділимо основне тригонометричне тотожність, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не дорівнює нулю, інакше б тангенс не існував.

Отримаємо наступну рівність ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 .

Розділивши почленно отримуємо:

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .

Як зазначалося вище, ця формула правильна якщо cos(a) не дорівнює нулю, тобто всім кутів а, крім а=pi/2 +pi*k, за будь-якого цілому k.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.

Навігація на сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожностізадають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .

Формули наведення

Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .

Формули додавання

Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного тощо. кута

Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.

Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.

Формули зниження ступеня

Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми та різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, оскільки дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.

Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус

Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати в будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Так звичайно. Синус, косинус, тангенс і котангенс того самого кута пов'язані між собою. Будь-який зв'язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул – колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найголовніші. Ці формули так і називаються: основні тригонометричні тотожності.Ось вони:

Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі в тригонометрії робити нема чого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжні тотожності:

У яких завданнях та як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання - знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. У ЄДІ таке завдання рік у рік присутнє.) Наприклад:

Знайти значення sinx, якщо х – гострий кут, а cosx = 0,8.

Завдання майже елементарне. Шукаємо формулу, де є синус та косинус. Ось вона ця формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Підставляємо сюди відому величину, а саме, 0,8 замість косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну і вважаємо, як завжди:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Ось практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і відповідь готова! Корінь із 0,36 буде 0,6.

Завдання майже елементарне. Але слово "майже" тут не дарма стоїть ... Справа в тому, що відповідь sinx = - 0,6 теж підходить ... (-0,6) 2 теж 0,36 буде.

Дві різні відповіді виходять. А потрібний один. Другий – неправильний. Як бути!? Та як завжди.) Уважно прочитати завдання. Там навіщось написано: ... якщо х – гострий кут...А в завданнях кожне слово має сенс, так... Ця фраза - і є додаткова інформація до вирішення.

Гострий кут – це кут менше 90°. А у таких кутів Усетригонометричні функції - і синус, і косинус, і тангенс з котангенсом - позитивні.Тобто. негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.

Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють лише з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути лише гострими. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000°... І всі ці кошмарні кути мають свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом...

А ось старшокласникам без урахування знаку – ніяк. Багато знань множать печалі, так...) І для правильного вирішення завдання обов'язково присутня додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:

Або якось інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має необхідна тригонометрична функція цієї чверті.

Ці ази тригонометрії розглянуті в уроках що таке тригонометричний круг, відлік кутів на цьому колі, радіальна міра кута. Іноді потрібно знати і таблицю синусів косінусів тангенсів та котангенсів.

Отже, відзначимо найголовніше:

Практичні поради:

1. Запам'ятайте визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Дуже знадобиться.

2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс міцно пов'язані з кутами. Знаємо одне – значить, знаємо й інше.

3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс одного кута пов'язані між собою основними тригонометричними тотожностями. Знаємо одну функцію - отже, можемо (за наявності необхідної додаткової інформації) обчислити решту.

А тепер вирішуємо, як водиться. Спочатку завдання обсягом 8-го класу. Але й старшокласникам теж можна...)

1. Обчислити значення tgА, якщо ctgА = 0,4.

2. β - кут у прямокутному трикутнику. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13.

3. Знайти значення виразу:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

4. Знайти значення виразу:

(1-cosx)(1+cosx), якщо sinx = 0,3

5. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.

Відповіді (через точку з комою, безладно):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Вийшло? Чудово! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п'ятірками.)

Це були завдання типу ЄДІ, але у урізаному варіанті. ЄДІ – лайт). А зараз майже такі ж завдання, але у повноцінному єгешному вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)

6. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13, а

7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (-540 °; - 450 °).

8. Знайти значення виразу sinβ·cosβ, якщо ctgβ = 1.

Відповіді (безладно):

0,8; 0,5; -2,4.

Тут у задачі 6 кут заданий якось не дуже однозначно... А в задачі 8 взагалі не заданий! Це спеціально). Додаткова інформація не тільки із завдання береться, а й із голови.) Зате вже якщо вирішили - одне вірне завдання "В" гарантоване!

У цьому вся уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. У межах 8 класу. А у старших залишаються питання...

Наприклад, якщо кут х(Дивіться другу картинку на цій сторінці) - зробити тупим!? Трикутник взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи... Зник синус...

Якби давні люди не знайшли вихід із цього становища, не було б у нас зараз ні мобільних телефонів, ні TV, ні електрики. Так Так! Теоретична основа всіх цих речей без тригонометричних функцій – нуль без палички. Але давні люди не підвели. Як вони викрутилися – у наступному уроці.

1. Вираз синуса через косинус

Примітка:Знак перед радикалом у правій частині залежить від того, в якій чверті знаходиться кут α . Знак тригонометричної функції у лівій частині повинен збігатися зі знаком правої частини. Це правило справедливе також для інших формул, наведених нижче.

2. Вираз синуса через тангенс

3. Вираз синуса через котангенс

4. Вираз косинуса через синус

5. Вираз косинуса через тангенс

6. Вираз косинуса через котангенс

7. Вираз тангенсу через синус

8. Вираз тангенсу через косинус

9. Вираз тангенсу через котангенс

10. Вираз котангенсу через синус

11. Вираз котангенсу через косинус

12. Вираз котангенсу через тангенс

21. Тригонометричні функції y=sin x, y=cos x, їх властивості та графіки.

Y = sin(x)

Графік функції y = sin (x).

Основні властивості:

3. Функція непарна.

Графік функції y = cos (x).

Основні властивості:

1. Область визначення вся числова вісь.

2. Функція обмежена. Безліч значень - відрізок [-1; 1].

3. Функція парна.

4.Функція періодична з найменшим позитивним періодом рівним 2*π.

22. Тригонометричні функції y=tg x, y=ctg x, їх властивості та графіки.

Графік функції y = tg (x).

Основні властивості:

1. Область визначення вся числова вісь, крім точок виду x=π/2 +π*k, де k – ціле.

3. Функція непарна.

Y = ctg (x)

Графік функції y = ctg (x).

Основні властивості:

1. Область визначення вся числова вісь, крім точок виду x=π*k, де k – ціле.

2. Функція необмежена. Безліч значення вся числова пряма.

3. Функція непарна.

4.Функція періодична з найменшим позитивним періодом, що дорівнює π.

23. Основні властивості тригонометричних функцій: парність, непарність, періодичність. Знаки значень тригонометричних функцій за чвертями.

Синусомчисла аназивається ордината точки, що зображує це число на числовому колі. Синусом кута в арадіан називається синус числа а.

Сінус- функція числа x. Її область визначення- безліч всіх чисел, так як у будь-якого числа можна знайти ординату, що зображає його точки.

Область значень синуса- відрізок від -1 до 1 , так як будь-яке число цього відрізка на осі ординат є проекцією будь-якої точки кола, але ніяка точка поза цим відрізком не є проекцією будь-якої з цих точок.

Період синусудорівнює. Адже через кожні положення точки, що зображує число, точно повторюється.

Знак синуса:

1. синус дорівнює нулю при , де n- будь-яке ціле число;

2. синус позитивний при , де n- будь-яке ціле число;

3. синус від'ємний при