Сопромат.in.ua: Зовнішні та внутрішні сили. Зовнішні та внутрішні сили, що діють на спортсмена

У механіці зовнішніми силами по відношенню до даної системи матеріальних точок (тобто такої сукупності матеріальних точок, в якій рух кожної точки залежить від положень або рухів усіх інших точок) називаються ті сили, які являють собою дію на цю систему інших тіл (інших систем матеріальних точок), не включених нами до складу цієї системи. Внутрішніми силами є сили взаємодії між окремими матеріальними точками системи. Підрозділ сил на зовнішні та внутрішні є цілком умовним: при зміні заданого складу системи деякі сили, які раніше були зовнішніми, можуть стати внутрішніми, і назад. Так, наприклад, під час розгляду

рухи системи, що складається із землі та її супутника місяця, сили взаємодії між цими тілами будуть внутрішніми силами для цієї системи, а сили тяжіння сонця, інших планет, їх супутників та всіх зірок будуть зовнішніми силами по відношенню до зазначеної системи. Але якщо змінити склад системи та розглядати рух сонця та всіх планет як рух однієї загальної системи, то зовнішні. силами будуть лише сили тяжіння, що надаються зірками; все ж таки сили взаємодії між планетами, їх супутниками і сонцем стають для цієї системи силами внутрішніми. Так само, якщо при русі паровоза виділимо поршень парового циліндра як окрему систему матеріальних точок, що підлягає нашому розгляду, то тиск пари на поршень по відношенню до нього з'явиться зовнішньою силою, і той же тиск пари буде однією з внутрішніх сил, якщо розглядатимемо рух всього паровоза загалом; у цьому випадку зовнішніми силами по відношенню до всього паровоза, прийнятого за одну систему, будуть: тертя між рейками та колесами паровоза, сила тяжкості паровоза, реакція рейок та опір повітря; внутрішніми силами будуть сили взаємодії між частинами паровоза, напр. сили взаємодії між парою і поршнем циліндра, між повзуном і його паралелями, між шатуном і пальцем кривошипа, і т.п. які тіла ми включаємо в розглянуту систему і які вважаємо такими, що не входять до складу системи. Проте зазначене відносне відмінність сил має дуже важливе значення щодо руху цієї системи; за третім законом Ньютона (про рівність дії та протидії), внутрішні сили взаємодії між кожними двома матеріальними точками системи рівні за величиною і спрямовані по одній і тій же прямій у протилежні сторони; завдяки цьому при вирішенні різних питань про рух системи матеріальних точок можливо виключити всі внутрішні сили з рівнянь руху системи і тим самим уможливити саме дослідження про рух всієї системи. Цей спосіб виключення внутрішніх, здебільшого невідомих, сил зв'язку має істотне значення під час висновків різних законів механіки системи.

Абсолютно пружний удар- зіткнення двох тіл, в результаті якого в обох тілах, що беруть участь у зіткненні, не залишається ніяких деформацій і вся кінетична енергія тіл до удару після удару знову перетворюється на початкову кінетичну енергію (зазначимо, що це ідеалізований випадок).

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження кінетичної енергії та закон збереження імпульсу.

Позначимо швидкості куль масами m 1 і m 2 до удару через ν 1і ν 2, після удару - через ν 1 "і ν 2 "(Рис. 1). Для прямого центрального удару вектори швидкостей куль до і після удару лежать на прямій лінії через їх центри. Проекції векторів швидкостей на цю лінію дорівнюють модулям швидкостей. Їхні напрямки врахуємо знаками: позитивне співвіднесемо руху вправо, негативне - руху вліво.

Рис.1

При зазначених припущеннях закони збереження мають вигляд

(1)

(2)

Зробивши відповідні перетворення у виразах (1) і (2), отримаємо

(3)

(4)

Вирішуючи рівняння (3) і (5), знаходимо

(7)

Розберемо кілька прикладів.

1. При ν 2=0

(8)
(9)

Проаналізуємо вирази (8) (9) для двох куль різних мас:

а) m1 = m2. Якщо друга куля до удару висіла нерухомо ( ν 2=0) (рис. 2), то після удару зупиниться перша куля ( ν 1 "=0), а другий буде рухатися з тією ж швидкістю і в тому ж напрямку, в якому рухалася перша куля до удару ( ν 2 "=ν 1);

Рис.2

б) m 1 >m 2 . Перша куля продовжує рухатися в тому ж напрямку, як і до удару, але з меншою швидкістю ( ν 1 "<ν 1). Швидкість другої кулі після удару більша, ніж швидкість першої після удару ( ν 2 ">ν 1 ") (рис. 3);

Рис.3

в) m 1 ν 2 "<ν 1(Рис. 4);

Рис.4

г) m 2 >>m 1 (наприклад, зіткнення кулі зі стіною). З рівнянь (8) та (9) випливає, що ν 1 "= -ν 1; ν 2 "≈ 2m 1 ν 2 "/m 2 .

2. При m 1 =m 2 вирази (6) та (7) матимуть вигляд ν 1 "= ν 2; ν 2 "= ν 1; т. е. кулі рівної маси як би обмінюються швидкостями.

Абсолютно непружний удар- зіткнення двох тіл, у результаті тіла з'єднуються, рухаючись далі як єдине ціле. Абсолютно непружний удар можна продемонструвати за допомогою куль із пластиліну (глини), які рухаються назустріч один одному (рис. 5).

Рис.5

Якщо маси куль m 1 і m 2 їх швидкості до удару ν 1і ν 2, то, використовуючи закон збереження імпульсу

де v- Швидкість руху куль після удару. Тоді

(15.10)

У разі руху куль назустріч один одному вони разом продовжуватимуть рух у той бік, у який рухалася куля з великим імпульсом. У окремому випадку, якщо маси куль рівні (m 1 =m 2), то

Визначимо, як змінюється кінетична енергія куль при центральному абсолютно непружному ударі. Так як у процесі зіткнення куль між ними діють сили, що залежать від їх швидкостей, а не від самих деформацій, то ми маємо справу з дисипативними силами, подібним до тертя, тому закон збереження механічної енергії в цьому випадку не повинен дотримуватися. Внаслідок деформації відбувається зменшення кінетичної енергії, яка переходить у теплову чи інші форми енергії. Це зменшення можна визначити за різницею кінетичної енергії тіл до і після удару:

Використовуючи (10), отримуємо

Якщо тіло, що вдарялося, було спочатку нерухоме (ν 2 =0), то

Коли m 2 >> m 1 (маса нерухомого тіла дуже велика), то ν <<ν 1і практично вся кінетична енергія тіла переходить при ударі інші форми енергії. Тому, наприклад, для отримання значної деформації ковадло має бути значно масивнішим за молот. Навпаки, при забиванні цвяхів у стіну маса молота має бути набагато більшою (m 1 >>m 2), тоді ν≈ν 1 і майже вся енергія витрачається на якомога більше переміщення цвяха, а не залишкову деформацію стіни.

Абсолютно непружний удар – це приклад втрати механічної енергії під впливом диссипативних сил.

1. Робота змінної сили.
Розглянемо матеріальну точку, що рухається під дією сили Р по прямій. Якщо сила, що діє, постійна і спрямована вздовж прямої, а переміщення дорівнює s, то, як відомо з фізики, робота А цієї сили дорівнює добутку Ps. Тепер виведемо формулу для підрахунку роботи, яка здійснюється змінною силою.

Нехай точка рухається осі Ох під дією сили, проекція якої на вісь Ох є функція f від х. При цьому ми припускатимемо, що f є безперервною функцією. Під дією цієї сили матеріальна точка перемістилася з точки М(а) до точки М(b) (рис. 1, а). Покажемо, що у цьому випадку робота А підраховується за формулою

(1)

Розіб'ємо відрізок [а; b] на п відрізків однакової довжини. Це відрізки [а; x 1], ,..., (рис. 1,6). Робота сили на всьому відрізку [а; b] дорівнює сумі робіт цієї сили на одержаних відрізках. Так як f є безперервна функція від x при досить малому відрізку [а; x 1 ] робота сили у цьому відрізку приблизно дорівнює f (а) (x 1 -а) (ми нехтуємо тим, що f на відрізку змінюється). Аналогічно робота сили на другому відрізку приблизно дорівнює f (x 1) (x 2 - x 1) і т. д.; робота сили на n-му відрізку приблизно дорівнює f (x n-1) (b - x n-1). Отже, робота сили на всьому відрізку [а; b] приблизно дорівнює:

і точність наближеної рівності тим вища, чим коротші відрізки, на які розбитий відрізок [а;b] Природно, що ця наближена рівність переходить у точну, якщо вважати, що n→∞:

Оскільки A n при n →∞ прагне інтеграла розглянутої функції від а до b, формула (1) виведена.
2. Потужність.

Потужність P - це швидкість виконання роботи,

Тут v – швидкість матеріальної точки, до якої прикладена сила

Усі сили, що зустрічаються в механіці, прийнято розділяти на консервативні та неконсервативні.

Сила, що діє на матеріальну точку, називається консервативною (потенційною), якщо робота цієї сили залежить тільки від початкового та кінцевого положень точки. Робота консервативної сили залежить від виду траєкторії, ні від закону руху матеріальної точки по траєкторії (див. рис. 2): .

Зміна напрямку руху точки вздовж малої ділянки на протилежне викликає зміну знака елементарної роботи, отже, . Тому робота консервативної сили вздовж замкнутої траєкторії. a 2b 1 дорівнює нулю: .

Точки 1 та 2, а також ділянки замкнутої траєкторії 1 a 2 та 2 b 1 можна вибирати абсолютно довільно. Таким чином, робота консервативної сили по довільній замкнутій траєкторії L точки її застосування дорівнює нулю:

У цій формулі гурток на знаку інтеграла показує, що інтегрування здійснюється замкнутою траєкторією. Часто замкнуту траєкторію Lназивають замкнутим контуром L(Рис. 3). Зазвичай задаються напрямом обходу контуру Lпід час годинникової стрілки. Напрямок елементарного вектора переміщення збігається з напрямом обходу контуру L. У цьому випадку формула (5) стверджує: циркуляція вектора по замкнутому контуру L дорівнює нулю.

Слід зазначити, що сили тяжіння та пружності є консервативними, а сили тертя неконсервативними. Справді, оскільки сила тертя спрямована у бік, протилежну переміщенню чи швидкості, то робота сил тертя замкненим шляхом завжди негативна і, отже, не дорівнює нулю.

Дисипативна система(або дисипативна структура, Від лат. dissipatio- «розсіюю, руйную») - це відкрита система, яка оперує далеко від термодинамічної рівноваги. Іншими словами, це стійкий стан, що виникає в нерівноважному середовищі за умови дисипації (розсіювання) енергії, яка надходить ззовні. Дисипативна система іноді називається ще стаціонарною відкритою системоюабо нерівноважною відкритою системою.

Дисипативна система характеризується спонтанною появою складної, найчастіше хаотичної структури. Відмінна риса таких систем - незбереження обсягу фазовому просторі, тобто невиконання Теореми Лиувилля.

Найпростішим прикладом такої системи є осередки Бенара. Як складніші приклади називаються лазери, реакція Білоусова - Жаботинського та біологічне життя.

Термін «дисипативна структура» запроваджено Іллею Пригожиним.

Останні дослідження у сфері «диссипативных структур» дозволяють робити висновок у тому, що «самоорганізації» відбувається набагато швидше за наявності у системі зовнішніх і внутрішніх «шумів». Таким чином, шумові ефекти призводять до прискорення процесу самоорганізації.

Кінетична енергія

енергія механічної системи, яка залежить від швидкостей руху її точок. е.. Тматеріальної точки вимірюється половиною добутку маси mцієї точки на квадрат її швидкості υ, тобто. Т = 1/ 2 mυ 2 . е.. механічної системи дорівнює арифметичній сумі До. всіх її точок: Т =Σ 1 / 2 m k υ 2 k .Вираз До. системи можна ще уявити у вигляді Т = 1 / 2 Mυ з 2 + T c,де М- Маса всієї системи, υ c- Швидкість центру мас, T c - е.. системи у її русі навколо центру мас. е.. твердого тіла, що рухається поступально, обчислюється так само, як До. точки, що має масу, що дорівнює масі всього тіла. Формули для обчислення До. тіла, що обертається навколо нерухомої осі, див. Обертальний рух.

Зміна До. системи при її переміщенні зі становища (зміни) 1 у становище 2 відбувається під дією доданих до системи зовнішніх і внутрішніх сил і дорівнює сумі робіт . Ця рівність висловлює теорему про зміну До. е., за допомогою якої вирішуються багато завдань динаміки.

При швидкостях, близьких до швидкості світла, До. матеріальної точки

де m 0- маса точки, що покоїться, з- швидкість світла у вакуумі ( m 0 з 2- Енергія точки, що покоїться). При малих швидкостях ( υ<< c ) останнє співвідношення перетворюється на звичайну формулу 1 / 2 mυ 2 .

Кінетична енергія.

Кінетична енергія - енергія тіла, що рухається. (Від грецького слова kinema – рух). За визначенням кінетична енергія відліку тіла, що знаходиться в даній системі, звертається в нуль.

Нехай тіло рухається під дією постійноюсили у напрямі дії сили.

Тоді: .

Т.к. рух рівноприскорений, то: .

Отже: .

- кінетичною енергією називається

Сили чи навантаження, які діють споруди та його елементи, називають зовнішніми. Вони є сили або пари сил (моменти), які можуть розглядатися як зосереджені та розподілені сили.

Усі реальні сили розподілені. Контакт двох пружних тіл завжди здійснюється на деякому майданчику. Однак за принципом Сен-Венана дії більшості сил може бути замінено зосередженим навантаженням, якщо площа досить мала порівняно з розмірами тіла.

Розподілені навантаження можна поділити на:

Розподілені по довжині або погонні навантаження (вага балок, канатів)

Поверхневі (тиск вітру, води)

Об'ємні (сила тяжіння тіла, сили інерції).

Усі навантаження можуть бути:

Статичними, тобто. не мінливі в часі або такі, що змінюються настільки повільно, що прискоренням можна знехтувати

динамічними, т.к. що змінюються у часі з великою швидкістю (ударні). Під впливом цих навантажень виникають коливання споруд.

Динамічні навантаження у свою чергу поділяються на періодичні та випадкові навантаження. До випадкових навантажень відносяться навантаження, що діють на деталі автомобілів, тракторів, верстатів, а також навантаження, що діють на споруди (будинки, щогли, крани тощо) від тиску вітру, снігу тощо.

Більш глибоке вивчення таких навантажень можливе лише за допомогою методів статистики та теорії ймовірності, що застосовуються при вивченні випадкових велич.

У машинобудуванні розрахункові навантаження визначаються залежно від конкретних умов роботи машини: за номінальними значеннями потужності, кутової швидкості окремих її деталей, сили тяжіння, сил інерції тощо. Наприклад, при розрахунку деталей тритонного автомобіля враховують номінальний корисний вантаж, що дорівнює 3 тонни. Можливість перевантаження автомобіля враховують тим, що розміри перерізу деталей призначають з деяким запасом міцності.

Під дією зовнішніх сил у тілах, що деформуються, виникають внутрішні сили. Такі сили є безперервно розподіленими й у випадку різні в різних точках тіла.

Зв'язок між зовнішніми та внутрішніми навантаженнями визначається рівняннями рівноваги.

Це робиться за допомогою методу перерізу.

Метод перерізів

Для того, щоб визначити внутрішні силові фактори необхідно:

1. У точці, що нас цікавить, розсікти тіло деякою площиною. Як правило, площина перпендикулярна до осі стрижня.

Мал. 1.11. Тверде тіло, що розглядається, у вихідному стані

2. Докладемо у перерізі сили внутрішньої взаємодії.

Рис. 1.12. Дія сил внутрішньої взаємодії

сумарною силою R

сумарним моментом М.М.

Рис. 1.13. Розглянута частина конструкції з рівнодіючими внутрішніх сил

Вектор результуючого моменту перпендикулярний площині дії та його напрямок визначається правилом свердла з правим різьбленням (рис.1.14).

Рис 1.14 До визначення величини та напрямки дії моменту

4. Спроектуємо сумарні вектори та на осі Оxyz

Мал. 1.15 Проекції сумарної сили

При проектуванні сумарної сили отримаємо:

Поздовжня сила, спрямована вздовж осі стрижня

Поперечні сили, що діють у площині поперечного перерізу.

Аналогічно при проектуванні сумарного моменту отримаємо:

Крутний момент у площині перпендикулярної осі симетрії

згинальні моменти у вертикальній та горизонтальній площинах.

Мал. 1.16 Проектування сумарного моменту

У тривимірному випадку для визначення шести невідомих внутрішніх силових факторів необхідно використовувати шість рівнянь статичної рівноваги

В окремому випадку в поперечному перерізі стрижня можуть виникати:

Лише поздовжня сила. Цей випадок навантаження називається розтягуванням (якщо сила спрямована від перерізу) або стисненням (якщо поздовжня сила спрямована до перерізу).

Тільки поперечна сила або. Це випадок зсуву.

Тільки момент, що крутить. Це випадок крутіння.

Тільки згинальний момент або. Це випадок вигину.

Декілька зусиль, наприклад згинальний і крутний моменти. Це випадок складних деформацій чи складного опору.

Якщо кількість невідомих зусиль дорівнює кількості рівнянь рівноваги, завдання називається статично визначальною. Якщо ж кількість невідомих зусиль більша за кількість рівнянь рівноваги - статично невизначеною.

Для статично невизначених завдань, крім рівнянь рівноваги, необхідно використовувати ще додаткові рівняння при розгляді деформації системи.

напруги. При одній і тій же поздовжній силі міцність конструкції визначається площею поперечного перерізу.

Тому для оцінки міцності вводиться напруга

Виділимо навколо деякої точки нескінченно малий майданчик.

Мал. 1.17 Проектування повної напруги

Вектор повної чи справжньої напруги в цій точці. Спрощено можна сказати, що напругою називається внутрішня сила, що припадає на одиницю площі в даній точці цього перерізу

Зручніше працювати з двома проекціями повної напруги:

Складову, нормальну до площини перерізу. Ця складова позначається та називається нормальною напругою (див. рис. 1.17)

Складова, що лежить у площині перерізу. Ця складова позначається і називається дотичною напругою. Відносна напруга в залежності від діючих сил може будь-який напрямок у площині перерізу. Для зручності представляють у вигляді двох складових у напрямку координатних осей (рис.1.18)

Мал. 1.18 Напруги в даній точці у загальному тривимірному випадку

Тут перший нижній індекс у дотичних напруга вказує, який осі паралельна нормаль до майданчика дії даної напруги, а другий індекс - який осі паралельно сама напруга.

Поруч із графічним поданням напруги у точці деформируемого тіла часто використовують і векторна форма їх представлення.

Оцінка властивостей міцності матеріалу проводиться або за найбільшою нормальною напругою, або за найбільшою дотичною напругою (розрахунок на зсув), тоді умова міцності записується у вигляді

де і - допустимі значення нормального і дотичного напружень, що залежать від матеріалу і умов роботи елемента конструкції, що розраховується. Величини і вибираються з таким розрахунком, щоб забезпечити нормальну експлуатацію конструкції.

Переміщення. Будь-яка точка пружного деформованого тіла після напруження отримує деяке переміщення.

Мал. 1.19 Переміщення точки в загальному випадку навантаження

Для практичного використання зручніше уявити переміщення у вигляді трьох проекцій на декартові осі координат

Деформація. Сама величина переміщення не дозволяє оцінити рівень віддаленості даного рівня навантаження від граничного стану. Ступінь деформування цієї точки конструкції можна оцінити за допомогою відносної лінійної деформації

Або деформація. Використовуючи закон Гука, можна записати

Якщо нормальним напруг відповідає лінійна деформація, то дотичних напруг відповідає кутова зсувна деформація

Рис 1.20 Деформація малого елемента під час зсуву

За аналогією з (1.4) можна використовувати векторне подання деформацій

Силоюназивається міра механічної взаємодії матеріальних тіл.

Сила F- Векторна величина та її дія на тіло визначається:

• модулемабо числовим значеннямсили (F);
• напрямомсили (ортом e);
• точкою програмисили (точка A).

Пряма AB, за якою спрямована сила, називається лінією дії сили.

Сила може бути задана:

• геометричним способом, тобто як вектор з відомим модулем F і відомим напрямком, що визначається ортом e ;
• аналітичним способомтобто її проекціями F x , F y , F z на осі обраної системи координат Oxyz .

Точка A докладання сили має бути задана її координатами x, y, z.

Проекції сили пов'язані з її модулем та напрямними косинусами(косинуси кутів , , які утворює сила з координатними осями Ox, Oy, Oz) наступними співвідношеннями:

F = (F x 2 + F y 2 + F x 2); e x = cos = F x / F; e y = cos = F y / F; e z = cos = F z / F;

Силу F, що діє на абсолютно тверде тіло, можна вважати прикладеною до будь-якої точки на лінії дії сили (такий вектор називають ковзним). Якщо сила діє на тверде тіло, що деформується, то її точку застосування переносити не можна, так як при такому переносі змінюються внутрішні зусилля в тілі (такий вектор називають доданим).

Одиницею виміру сили у системі одиниць СІ є Ньютон (Н); застосовується і більша одиниця 1кН=1000Н.

Матеріальні тіла можуть діяти один на одного шляхом безпосереднього дотику або на відстані. Залежно від цього сили можна поділити на дві категорії:

• поверхневісили, прикладені до поверхні тіла (наприклад, сили тиску на тіло з боку довкілля);
• об'ємні (масові)сили, прикладені до цієї частини об'єму тіла (наприклад, сили тяжіння).

Поверхневі та об'ємні сили називають розподіленимисилами. У ряді випадків сили можна розглядати розподіленими деякою кривою (наприклад, сили ваги тонкого стрижня). Розподілені сили характеризуються їх інтенсивністю (щільністю)тобто сумарною величиною сили, що припадає на одиницю довжини, площі або обсягу. Інтенсивність може бути постійною ( рівномірно розподіленісили) чи змінною величиною.

Якщо можна знехтувати малими розмірами сфери дії розподілених сил, то розглядають зосередженусилу, що додається до тіла в одній точці (умовне поняття, тому що практично прикласти силу до однієї точки тіла не можна).

Сили, прикладені до розглянутого тілу, можна розділити на зовнішні та внутрішні. Зовнішніми називаються сили, які діють цього тіла з боку інших тіл, а внутрішніми - сили, із якими частини даного тіла взаємодіють друг з одним.

Якщо переміщення даного тіла у просторі обмежується іншими тілами, його називають невільним. Тіла, що обмежують рух даного тіла, називають зв'язками.

Аксіома зв'язків:зв'язку можна подумки відкинути і вважати тіло вільним, якщо дію зв'язків на тіло замінити відповідними силами, які називають реакціями зв'язків.

Реакції зв'язків за своєю природою відрізняються від усіх інших прикладених до тіла сил, які не є реакціями, які прийнято називати активнимисилами. Ця відмінність полягає в тому, що реакція зв'язку повністю не визначається самим зв'язком. Її величина, котрий іноді напрям, залежить від активних сил, які діють дане тіло, які зазвичай заздалегідь відомі і залежних від інших прикладених до тіла сил. Крім того, активні сили, діючи на тіло, що спочиває, можуть повідомляти йому той чи інший рух; реакції ж зв'язків цією властивістю не мають, внаслідок чого їх також називають пасивнимисилами.

4. Метод перетинів. внутрішні силові фактори.
Для визначення та подальшого обчислення додаткових сил у будь-якому перерізі бруса застосуємо метод перерізів. Суть методу перерізів у тому, що брус подумки розтинають впоперек дві частини і розглядають рівновагу будь-який із них, яка під дією всіх зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до цієї частини. Будучи внутрішніми силами цілого тіла, вони відіграють роль зовнішніх для виділеної частини.

Нехай тіло перебуває у рівновазі під дією сил: (рисунок 5.1, а). Розсічемо його площиною Sі відкинемо праву частину (рисунок 5.1 б). Закон розподілу внутрішніх сил із перерізу, у загальному випадку, невідомий. Для його відшукання в кожній конкретній ситуації необхідно знати, як деформується під впливом зовнішніх сил аналізоване тіло.

Таким чином, метод перерізів дає змогу визначити лише суму внутрішніх сил. На підставі гіпотези про суцільну будову матеріалу можна вважати, що внутрішні сили у всіх точках конкретного перерізу є розподіленим навантаженням.

Наведемо систему внутрішніх сил у центрі тяжкості до головного вектора та головного моменту (рисунок 5.1, в). Спроектувавши і на осі координат, отримаємо загальну картину напружено-деформованого стану перерізу бруса, що розглядається (рисунок 5.1, г).

5. Осьове розтягування – стиск

Під розтягуванням (стисненням)розуміють такий вид навантаження, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають лише поздовжні сили, а інші силові фактори дорівнюють нулю.

Поздовжня сила- Внутрішнє зусилля, що дорівнює сумі проекцій всіх зовнішніх сил, взятих з одного боку від перерізуна вісь стрижня. Приймемо таке правило знаків для поздовжньої сили : поздовжня сила, що розтягує, позитивна, стискаюча – негативна

Зовнішня сила- це міра взаємодії між тілами. У завданнях опору матеріалів зовнішні сили вважаються завжди заданими. До зовнішніх сил належать також реакції опор(зв'язків).

Зовнішні сили поділяються на об'ємніі поверхневі. Об'ємні силиприкладені до кожної частки тіла по всьому його об'єму. Прикладом об'ємних сил є сили ваги та сили інерції. Часто задають простий закон зміни цих сил за обсягом. Об'ємні сили визначаються їх інтенсивністю, як межа відношення рівнодіючої сил в аналізованому елементарному обсязі до величини цього обсягу, що прагне до нуля: \lim_(\Delta V\to0)(\Delta F \over \Delta V) і вимірюються в Н/м 3 .

Поверхневі силиподіляються на зосередженіі розподілені.
Зосередженимивважаються сили, прикладені до малої поверхні, розміри якої малі проти розмірами тіла. Однак при розрахунку напруг поблизу зони докладання сили навантаження слід вважати розподіленим. До зосереджених навантажень відносять як зосереджені сили, а й пари сил, прикладом яких вважатимуться навантаження, створювану гайковим ключем при закручуванні гайки. Зосереджені зусилля вимірюються в кН.
Розподілені навантаженнябувають розподіленими за довжиною та площею. До розподілених навантажень відносять тиск рідини, газу чи іншого тіла. Розподілені сили вимірюються, як правило, в кН/м(розподілені за довжиною) та кН/м 2(розподілені за площею).

Усі зовнішні навантаження можна розділити на статичніі динамічні.
Статичнимивважаються навантаження, в процесі застосування яких сили інерції, що виникають, малі і ними можна знехтувати.
Якщо сили інерції великі (наприклад – землетрус) – навантаження вважаються динамічними. Прикладами таких навантажень також можуть бути раптово додані навантаження, ударніі повторно-змінні.
Раптово додані навантаженняпередаються на спорудження одразу
повною своєю величиною (наприклад тиск коліс локомотива, що входить на міст).
Ударні навантаженнявиникають при швидкій зміні швидкості дотичних елементів конструкції, наприклад» при ударі баби копра про палю при її забиванні.
Повторно-зміннінавантаження діють на елементи конструкції, повторюючись значну кількість разів. Такі, наприклад, повторні тиску пари, що поперемінно розтягують і стискають шток поршня та шатун парової машини. У багатьох випадках навантаження є комбінацією декількох видів динамічних впливів.

Внутрішні сили

Внаслідок дії зовнішніх сил у тілі виникають внутрішні сили.
Внутрішня сила- сили взаємодії між частинами одного тіла, які під дією зовнішніх сил.

Внутрішні сили є самоврівноваженими, тому вони не помітні і не впливають на рівновагу тіла. Визначають внутрішні сили шляхом перерізу.

Зовнішні навантаження призводять до таких видів напружено-деформованого стану:

• Вигин
• Кручення

Внаслідок дії зовнішніх сил у тілі виникають внутрішні сили.
Внутрішня сила- сили взаємодії між частинами одного тіла, які під дією зовнішніх сил.

Внутрішні сили є самоврівноваженими, тому вони не помітні і не впливають на рівновагу тіла. Визначають внутрішні сили шляхом перерізу.

Зовнішні навантаження призводять до таких видів напружено-деформованого стану:

· Кручення

Для розрахунків елементів конструкції на міцність необхідно знати внутрішні сили пружності, що виникають в результаті застосування зовнішніх сил у різних точках та частинах конструкції.
Способи визначення цих внутрішніх сил за допомогою науки опір матеріалів включають такий прийом як метод перерізів.

Метод перерізів полягає в тому, що тіло подумки розсікається площиною на дві частини, кожна з яких відкидається і замість неї до перерізу частини, що залишилася, прикладаються внутрішні сили, що діяли на неї до розрізу з боку відкинутої частини. Залишена частина сприймається як самостійне тіло, що у рівновазі під впливом прикладених до перерізу зовнішніх і внутрішніх сил (третій закон Ньютона – дія одно протидії).
При застосуванні цього методу вигідніше відкидати частину елемента конструкції (тіла), на яку простіше скласти рівняння рівноваги. Таким чином, з'являється можливість визначити внутрішні силові фактори в перерізі, завдяки яким частина тіла знаходиться в рівновазі (прийом, що часто застосовується в Статиці).

Застосовуючи до залишеної частини тіла умови рівноваги, неможливо знайти закон розподілу внутрішніх сил за перерізом, але можна визначити статичні еквіваленти цих сил (рівнодіючі силові фактори).
Оскільки основним розрахунковим об'єктом у опорі матеріалів є брус, розглянемо, які статичні еквіваленти внутрішніх сил виявляються у поперечному перерізі бруса.

Розсічемо брус (рис. 1) поперечним перерізом а-а і розглянемо рівновагу його лівої частини.
Якщо зовнішні сили, що діють на брус, лежать в одній площині, то в загальному випадку статичним еквівалентом внутрішніх сил, що діють у перерізі а-а, будуть головний вектор Fгл, прикладений у центрі тяжкості перерізу, і головний момент Мгл = Мі, що врівноважують плоску систему зовнішніх сил, доданих до залишеної частини бруса.

Розкладемо головний вектор на складову N, спрямовану вздовж осі бруса, і складову Q, перпендикулярну до цієї осі і лежачу в площині перерізу. Ці складові головного вектора та головний момент називають внутрішніми силовими факторами, що діють у перерізі бруса. Складову N називають поздовжньою силою, що становить Q – поперечною силою, пару сил з моментом Мі – згинальним моментом.

Для визначення зазначених трьох внутрішніх силових факторів застосуємо відомі зі Статики рівняння рівноваги залишеної частини бруса:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (вісь z завжди направляємо по осі бруса).

Якщо зовнішні сили, що діють на брус, не лежать в одній площині, тобто є просторовою системою сил, то в загальному випадку в поперечному перерізі бруса виникають шість внутрішніх силових факторів (рис. 2), для визначення яких застосовують відомі зі Статики шість рівнянь рівноваги залишеної частини бруса:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ Mx = 0; Σ My = 0; Σ Mz = 0.

Ці силові чинники у випадку носять такі назви:N – поздовжня сила, Qx, Qy – поперечні сили, Мкр – крутний момент, Міх і Міу – изгибающие моменти.

При різних деформаціях поперечному перерізі бруса виникають різні силові чинники.
Розглянемо окремі випадки:

1. У перерізі виникає лише поздовжня сила N. Це деформація розтягування (якщо N спрямована від перерізу) або стиснення (якщо N спрямована до перерізу).

2. У перерізі виникає лише поперечна сила Q. Це деформація зсуву.

3. У перерізі виникає тільки крутний момент Мкр. Це деформація крутіння.

4. У перерізі виникає тільки згинальний момент Мі. Це деформація чистого вигину. Якщо у перерізі одночасно виникає згинальний моментМі та поперечна сила Q, то вигин називають поперечним.

5. Якщо в перерізі одночасно виникає кілька внутрішніх силових факторів (наприклад, згинальний момент і поздовжня сила), то має місце поєднання основних деформацій (складний опір).

11) Припущення про властивості матеріалів та характер деформацій
Припущення про властивості матеріалів:

1. Матеріал однорідний, Т. е. його властивості не залежать від розмірів виділеного з тіла об'єму. Насправді однорідних матеріалів у природі немає. Наприклад, структура металів складається з безлічі хаотично розташованих мікроскопічно дрібних кристалів (зерен). Розміри ж елементів конструкцій, що розраховуються, як правило, незмірно перевищують розміри кристалів, тому припущення про однорідність матеріалу тут повністю застосовно.
2. Матеріал є суцільне середовищеі безперервно заповнює весь наданий йому обсяг. Це припущення випливає безпосередньо з першого - про однорідність матеріалу - і дозволяє застосовувати математичний аналіз.
3. Матеріал ізотропен, Т. е. фізико-механічні властивості однакові в усіх напрямках. Таким чином, виділений із суцільного середовища елемент не залежить від орієнтації щодо обраної системи координат. Метали завдяки своїй дрібнозернистій структурі вважаються ізотропними. Але є багато неізотропних – анізотропних – матеріалів. До них відносяться деревина, тканини, фанера, багато пластмас. Однак у опорі матеріалів розглядаються в основному матеріали ізотропні.
4. Матеріал у певних межах навантаження тіла має ідеальною пружністю, тобто після зняття навантаження тіло повністю відновлює початкові форми та розміри.

Припущення про характер деформації елементів конструкцій:

12) Класифікація зовнішніх сил. Реальний об'єкт та розрахункова схема
Зовнішніми силами називають сили взаємодії між елементом конструкції, що розглядається, і пов'язаними з ним тілами. Якщо ж навантаження розподілене по поверхні тіла або його частини, то таке навантаження називають розподіленим
У розрахунковій схемі навантаження, розподілене по поверхні (рис. 1.2) приводять до площини, що збігається з поздовжньою віссю, в результаті чого виходить навантаження, розподілене по лінії. Мірою такого навантаження є її інтенсивність q – величина навантаження на одиницю довжини. Розмірність – Н/м. Рівнодія розподіленого навантаження чисельно дорівнює площі її епюри та прикладена у центрі її тяжкості.

Мал. 1.2

Крім того, зустрічаються навантаження у вигляді зосередженого моменту (пари сип). Існує кілька способів зображення моментів (рис. 1.3).

Мал. 1.3

Тоді М - це момент, що крутить (рис. 1.4).

Мал. 1.4

Так зображується сипа, що йде до нас.

Так зображується сила, яка від нас.
Реальний об'єкт- Досліджуваний елемент конструкції, взятий з урахуванням всіх своїх особливостей: геометричних, фізичних, механічних та інших.

Розрахувати реальний об'єкт практично неможливо (довелося б враховувати вплив багатьох взаємопов'язаних характеристик об'єкта), тому необхідно перейти до деякої розрахунковій схемі(моделі реального об'єкта) на основі певної системи гіпотез, що ідеалізують розрахункову ситуацію.

Розрахункова схема-Це реальний об'єкт, у якого відкинуті всі деталі (особливості), не пов'язані з розрахунком, а їх вплив замінено силовими впливами.

Основна мета опору матеріалів - створити практично прийнятні, прості прийоми (методики) розрахунку типових, найбільш часто зустрічаються елементів конструкцій. Необхідність переходу від реального об'єкта до розрахункової схеми (з метою спрощення розрахунків) змушує запроваджувати схематизацію понять.

Можна виділити такі типи схематизації:

геометрична схематизація;фізична схематизація;силова схематизація.

Геометрична схематизація (модель форми)

Для схематизації форми реальних об'єктів у опорі матеріалів використовуються такі основні типи елементів: стрижень(Брус, балка,

вал), пластина(плита, оболонка) та масивне тіло.

Стрижень-Елемент конструкції, у якого два вимірювання малі в порівнянні з третім.

Завдання з розрахунку стрижнів переважно є одномірними (лінійними, т. е. розв'язання завдання залежить від однієї змінної координати).

Пластина-Елемент конструкції, у якого один вимір (товщина) мало в порівнянні з двома іншими.

Пластина криволінійна до навантаження називається оболонкою.

Завдання з розрахунку пластин переважно є двовимірними (плоськими)

Масивне тіло-Елемент конструкції, у якого всі розміри мають один порядок.

Завдання з розрахунку масивних тіл в основному є тривимірними (просторовими).

У опорі матеріалів розглядаються переважно одновимірні завдання розрахунку стрижневих елементів конструкцій. Рішення більш складних двовимірних і тривимірних завдань розрахунку пластин, оболонок і масивних тіл розглядає дисципліна, що називається «Теорія пружності», яка ґрунтується на меншій кількості вихідних гіпотез.

Фізична схематизація (модель матеріалу)

Всі ті тіла, що вивчаються, вважаються виконаними (виготовленими) з матеріалів, умовно наділених певними ідеалізованими властивостями.

Матеріал елементів конструкцій будемо надалі вважати суцільним,

однорідним,ізотропнимі лінійно-пружним.

Суцільний матеріал-матеріал, що не має розривів, порожнин, тріщин, пір, включень і т. д.

Вважається, що матеріал безперервно (суцільно) заповнює весь обсяг елемента конструкції, при цьому не враховується конкретна структура матеріалу (зеренна, кристалічна, волокниста, шарувата і т. д.).

Однорідний матеріал-матеріал, у кожній точці якого механічні властивості однакові і не залежать від величини виділеного обсягу.

Ізотропний матеріал-матеріал, властивості якого однакові за всіма напрямками.

Таким чином, властивості ізотропного матеріалу не залежать від напрямку дослідження, наприклад, від напрямку застосування навантаження при механічних випробуваннях.

Інакше матеріал називається анізотропним (дерево, склопластик, слюда та ін.).

Пружний матеріал-матеріал, що має здатність відновлювати початкові форму і розміри тіла після зняття зовнішнього навантаження.

Лінійно-пружний матеріал-матеріал, що підкоряється закону Гука.

Закон Гука: «Переміщення точок пружного тіла (у відомих межах навантаження) прямо пропорційні силам, що викликають ці переміщення».

Силова схематизація (модель навантаження)

Для правильної постановки завдання у опорі матеріалів дуже важливо вміти класифікувати зовнішні сили (навантаження), що діють елементи конструкцій.

Зовнішні сили-Сили взаємодії між аналізованим елементом конструкції та іншими тілами, пов'язаними з ним.

Введемо таку класифікацію зовнішніх сил за способом застосування:

Зосереджені навантаження-Сили і моменти, площадії яких мала в порівнянні з розмірами об'єкта (прикладені в точці).

Позначення: F (Р ), М (T ).

Одиниці виміру: [ F]=H; [ M]=Н·м в СІ або [ F]=кг; [ M]=кг·м у технічній системі.

Розподілені навантаження-Сили, діючі а) на не-

якої довжині; б) по деякому майданчику; в) за обсягом.

Позначення q .

Одиниці виміру: а) [ q]=H/м, кг/см, кг/мм; б) [ q]=H/м 2 кг/см 2 кг/мм 2 ; в) [ q]=H/м 3 кг/см 3 кг/мм 3 і т. д.

Зовнішні навантаження розрізняють також за характером зміни часу: Статичні навантаженняповільно і плавно зростають від нуля до свого кінцевого значення, а потім залишаються незмінними.

Динамічні навантаженнясупроводжуються прискореннями як деформованого тіла, так і взаємодіючих з ним тіл.

До динамічних навантажень відносяться, наприклад, сили, що діють на прискорено рухомі тіла, ударні навантаження і т.д.

Повторно-змінні навантаження-Сили безперервно і періодично змінюються в часі.

Тепер, ввівши розглянуту схематизацію понять, ми можемо переходити до роботи з розрахунковими схемами, до їх аналізу. При цьому відзначимо, що той самий реальний об'єкт може мати кілька розрахункових схем, а одній і тій же розрахунковій схемі може бути поставлено у відповідність багато різних реальних об'єктів. Зокрема, при розрахунку мостового крана трос і опорна колона будуть розраховуватися за розрахунковою схемою розтягнутого або стисненого стрижня, а каретка і напрямні - за схемою двоопорної балки і т. д. Звідси випливає ще одне визначення опору матеріалів.

Опір матеріалів-інженерна дисципліна, що займається міцним (в загальному сенсі) аналізом найбільш типових (часто зустрічаються) розрахункових схем, придатних для розрахунку будь-яких елементів будь-яких конструкцій.

13) Внутрішні зусилля при розтягуванні та стисканні. Побудова епюр внутрішніх зусиль. Поняття про небезпечний перетин.
Розтягування та стиск

Розтягування (стиск)- простий вид опору, у якому стрижень навантажений силами, паралельними поздовжньої осі стрижня і прикладеними до центру тяжкості його перерізу.

Розглянемо стрижень, пружно розтягнутий центрально доданими зосередженими силами P.

Перш ніж перейти до дослідження внутрішніх зусиль і напруг, що виникають у розтягнутому стрижні, розглянемо деякі гіпотези, пов'язані з характером деформування такого стрижня і мають опір матеріалів виключно важливе значення.

Принцип Сен-Венана: у перерізах, досить віддалених від місць застосування сил, розподіл напруг і деформацій мало залежить від способу застосування навантажень.

Принцип Сен-Венана дає можливість вести розрахунок без урахування місцевих (локальних) деформацій, що виникають поблизу точок застосування зовнішніх сил і відрізняються від деформацій основного обсягу матеріалу, що в більшості випадків спрощує вирішення задачі.

Гіпотеза плоских перерізів (гіпотеза Я.Бернуллі):поперечні перерізи стрижня плоскі та перпендикулярні його осі до деформації залишаються плоскими та перпендикулярними до осі, і після деформації.

Подумки розсікаючи стержень, визначимо внутрішні сили у розтягнутому стрижні:

а) стрижень, навантажений розтягуючими силами P і що знаходиться в рівновазі, розсікаємо довільним перерізом;

б) відкидаємо одну з частин стрижня, а її дію на іншу частину компенсуємо внутрішніми зусиллями інтенсивністю;

в) осьове внутрішнє зусилля N, що виникає в перерізі стрижня, визначимо, становлячи рівняння рівноваги для відсіченої частини:

Проеціюючи зовнішню силу P, що діє на відсічену частину стрижня, на інші осі (z і y), а також складаючи рівняння моментів щодо координатних осей, легко переконається, що осьове зусилля N є єдиним внутрішнім зусиллям, що виникає в перерізі стрижня (інші тотожно рівні нулю ).

Таким чином, при розтягуванні (стисненні) із шести внутрішніх зусиль у перерізі стрижня виникає тільки одне - поздовжня сила N.

Нормальні напруги , що виникають у перерізі стрижня, пов'язані з осьовим зусиллям N наступним чином:

Або. (2.2)

Враховуючи, що відповідно до гіпотези Бернуллі напруги рівномірно розподілені по поперечному перерізу (тобто = const), можна записати:

Таким чином, нормальні напруження при розтягуванні (стисканні) визначаються як

ЕПЮРИ ВНУТРІШНІХ ЗУСИЛІВ ПРИ РОЗТАГАННІ-СТИСКУВАННІ

Розтягуванням або стиском називається такий простий вид опору, при якому зовнішні сили прикладені вздовж поздовжньої осі бруса, а в поперечному перерізі його виникає лише нормальна сила.

Розглянемо розрахункову схему бруса постійного поперечного перерізу із заданим зовнішнім зосередженим навантаженням Р та розподіленою q, (рис.1).

а) розрахункова схема, б) перша ділянка, ліва відсічена частина, в) друга ділянка, ліва відсічена частина, г) друга ділянка, права відсічена частина, д) епюра нормальних сил

Рис.1.Побудова епюри нормальних сил:

Нехай. Насамперед визначимо опорну реакцію R, задавшись її напрямком вздовж осі х.

Брус має 2 ділянки 1 та 2.

У межах першої ділянки подумки розсічемо брус на 2 частини нормальним перетином і розглянемо рівновагу, допустимо лівої частини, ввівши таку координату х 1, рис.1 б:

Отже, в межах першої ділянки брус зазнає стиснення постійною нормальною силою.

Аналогічно надійдемо з другою ділянкою. Подумки розсічемо його перетином 2-2, і розглянемо рівновагу лівої частини (рис.1 в). Встановимо попередньо межі зміни х 2:

Підставляючи граничні значення параметра х 2, Отримаємо:

Таким чином, у межах другої ділянки брус розтягнутий і нормальна сила змінюється за лінійним законом.

Аналогічний результат виходить при розгляді правої відсіченої частини (рис.1 р):

На основі отриманих даних будується епюра нормальних сил як графіка розподілу нормальної сили по довжині бруса (рис.1 д). Характерно, що стрибки на епюрі обумовлені наявністю у відповідних перерізах зосереджених сил Rі Р, що у своє чергу може бути правилом правильності виконаних побудов.

Для перевірки на міцність при вигині по зовнішніх навантаженнях, що діють на балку, будують епюри зміни внутрішніх зусиль по її довжині і визначають небезпечні перерізи балки, для кожного з яких необхідно провести перевірку міцності.

При повній перевірці міцності таких перерізів буде щонайменше три (іноді вони збігаються):

1. переріз, в якому згинальний момент Мх- досягає свого максимального за модулем значення, - саме з цього перерізу підбирають переріз усієї балки;

2. переріз, у якому поперечна сила Qyдосягає свого максимального за модулем значення;

3. перетин, в якому і згинальний момент Мxта поперечна сила Qyдосягають за модулем досить великих величин.

У кожному з небезпечних перерізів необхідно, побудувавши епюри нормальних та дотичних напруг, знайти небезпечні точки перерізу (перевірка міцності проводиться для кожної з них), яких також буде, як мінімум, три:

1. точка, в якій нормальні напруги досягають свого максимального значення, - тобто точка на зовнішній поверхні балки найбільш віддалена від нейтральної осі перерізу;

2. точка, у якій дотичні напруги досягають свого максимального значення, - точка, що лежить на нейтральній осі перерізу;

точка, в якій і нормальні напруги, і дотичні напруги досягають досить великих величин (ця перевірка має сенс
для перерізів типу тавра чи двотавра, де ширина різко змінює своє значення).

14) Умова міцності під час кручення. Поняття про небезпечний переріз
Умова міцності при крученні з урахуванням прийнятих позначень формулюється наступним чином: максимальна дотична напруга, що виникає в небезпечному перерізі валу, не повинна перевищувати допустимих напруг і записується у вигляді

де береться або з досвідчених даних, або (за відсутності необхідних дослідних показників) по теоріям міцності, відповідним матеріалу. Наприклад, з теорій міцності для крихких матеріалів, застосованих для чистого зсуву, випливають такі результати:

З другої теорії міцності

З теорії Мора

З теорій міцності для пластичних матеріалів при чистому зрушенні отримаємо:

По третій теорії міцності

За четвертою теорією міцності

Як випливає із закону парності дотичних напруг, одночасно з дотичними напругами, що діють у площині поперечного перерізу валу, мають місце дотичні напруги в поздовжніх площинах. Вони рівні за величиною парною напругою, але мають протилежний знак. Таким чином, всі елементи бруса під час кручення знаходяться в стані чистого зсуву. Так як чистий зсув є окремим випадком плоского напруженого стану, при якому , , то при повороті граней елемента на 45 0 в нових майданчиках виявляються тільки нормальні напруги, рівні за величиною (рис.5.8).

Розглянемо можливі види руйнування валів, виготовлених із різних матеріалів під час кручення. Вали з пластичних матеріалів найчастіше руйнуються за перерізом, перпендикулярним до осі валу, під дією дотичних напруг, що діють у цьому перерізі (рис.5.9,а). Вали з крихких матеріалів, руйнуються по гвинтовій поверхні нахиленої до осі валу під кутом 45 0 тобто. за напрямом дії максимальних напруг, що розтягують (рис.5.9,б). У дерев'яних валів перші тріщини виникають утворюючим циліндром, так як деревина погано пручається дії дотичних напруг, спрямованих уздовж волокон (рис.5.9, в).

рис.5.8 рис.5.9

Таким чином, характер руйнування залежить від здатності матеріалу валу чинити опір впливу нормальних і дотичних напруг. Відповідно до цього, дотичні напруги приймаються рівним - для крихких матеріалів і - для пластичних матеріалів.

У небезпечному перерізі валу при вигині з крученнямодночасно виникають найбільші крутний () та результуючий згинальний момент.

15) Кручення. Напруга під час кручення. Епюра дотичних напруг.
Крученням називають деформацію, що виникає при дії на стрижень пари сил, що розташована в площині, перпендикулярна до його осі (рис. 5.1).

Стрижні круглого або кільцевого перерізу, що працюють на кручення, називають валами. При розрахунку валів зазвичай буває відома потужність, що передається на вал, а величини зовнішніх моментів, що скручують, підлягають визначенню. Зовнішні моменти, що скручують, як правило, передаються на вал у місцях посадки на нього шківів, зубчастих коліс і т.п.

Нехай вал обертається із постійною швидкістю nпро/хв. та передає потужність NНм/с. Кутова швидкість обертання валу дорівнює (рад/сек), а потужність, що передається .

Скручуючий момент дорівнює.

Якщо потужність задана в кіловатах, то величина моменту, що скручує, визначається за формулою

НАПРУГ ПРИ КРУЧЕННІ.

Якщо до кінців валу прикладені рівні, але протилежно спрямовані зовнішні скручують моменти, то у всіх його поперечних перерізах існують лише дотичні напруги, тобто. напружений стан у точках стрижня, що скручується, являє собою чистий зсув. У круговому поперечному перерізі валу деформації зсуву та дотичні напруги дорівнюють нулю в центрі та максимальні на краю; у проміжних точках вони пропорційні відстані центру тяжкості перерізу. Звичайна формула для максимальної напруги при крученні така: S = Tc/J, де T– скручуючий момент одному кінці, c– радіус валу та J- Полярний момент перерізу. Для кола J = pr 4/2. Ця формула застосовна лише у разі кругового поперечного перерізу. Формули для валів із поперечним перерізом іншої форми виводяться шляхом вирішення відповідних завдань методами математичної теорії пружності із залученням у деяких випадках методів експериментального аналізу.

Мал. 2.9. Епюри дотичних напруг під час кручення

а) пружна стадія; б) стадія пластичного деформування;

в) стадія руйнування; 1 – пружна зона; 2 – пластична зона