Складіть правильну пропорцію. Обчислення відсотка від числа

З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.

Властивості пропорції та формула

1. Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
2. Перемноження заданих членів пропорції навхрест. У буквеному виразі це має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добутку середніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
3. При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
4. Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
5. Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
   • (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
   • (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
6. Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові чи великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
7. Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.

Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.

Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення.

Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:

х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:

х : 100 = 9: 18.

Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100 і 9 ) і ділимо на відомий крайній член ( 18 ). Скорочуємо дріб.

Відповідь: площа всього поля 50 га.

Сторінка 1 з 1 1

Вміння обчислення відсотка від числа, коли потрібно дізнатися пеню за прострочення, розмір переплати за кредитом або прибуток компанії, якщо відомий її обіг та націнка.

• Як знайти число за його відсотком?

Правило. Щоб знайти число за його вказаним відсотком, потрібно задане число поділити на задану величину відсотка, а результат помножити на 100.

Таким обчисленням спочатку визначимо, скільки одиниць цього числа міститься в 1%, а потім у цілому (у 100%).

Наприклад:
Число, 23% якого становлять 52, так:
52: 23 * 100 = 226.1

Значить, якщо число 226,1 дорівнює 100%, число 52 дорівнює 23% від цього числа.

Число, 125% якого становлять 240, знаходимо так:
240: 125 * 100 = 192.

При визначенні числа за його відсотком слід пам'ятати, що:

— якщо відсоток менший за 100%, то число, отримане в результаті обчислень, більше за задане число (якщо 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— якщо відсоток більший за 100%, то число, отримане в результаті обчислень, менше від заданого числа (якщо 125% > 100%, то 192< 240).

Отже, при обчисленні числа за відсотком для самоконтролю потрібно перевірити:

— заданий за умови відсоток більший або менший за 100%;
— результат обчислення більше чи менше від заданого числа.

• Як дізнатися відсоток від суми у загальному випадку?

Після цього є два варіанти:

1. Якщо потрібно дізнатися, скільки відсотків складає інша сума від початкової, потрібно просто поділити її на розмір 1%, отриманий раніше.
2. Якщо ж потрібний розмір суми, яка становить, скажімо, 27,5% від початкової, потрібно розмір 1% помножити на потрібну кількість відсотків.

• Як вирахувати відсоток від суми за допомогою пропорції?

Для цього доведеться використовувати знання про метод пропорцій, що проходять у рамках шкільного курсу математики. Це буде виглядати так:

Нехай А - основна сума, що дорівнює 100%, і В - сума, співвідношення якої з А у відсотках нам потрібно дізнатися. Записуємо пропорцію:

(Х у цьому випадку - кількість відсотків).

За правилами розрахунку пропорцій ми отримуємо таку формулу:

Х = 100 * В/А

Якщо ж потрібно дізнатися, скільки складатиме сума В при вже відомій кількості відсотків від суми А, формула виглядатиме інакше:

В = 100*Х/А

Тепер залишається підставити у формулу відомі числа — і можна робити розрахунок.

• Як розрахувати відсоток суми за допомогою відомих співвідношень?

Зрештою, можна скористатися і більш простим способом. Для цього достатньо пам'ятати, що 1% у вигляді десяткового дробу – це 0,01. Відповідно, 20% - це 0,2; 48% - 0,48; 37,5% - це 0,375 і т.д. Достатньо помножити вихідну суму на відповідне число — і результат означатиме розмір відсотків.

Крім того, іноді можна скористатися простими дробами. Наприклад, 10% — це 0,1, тобто 1/10 отже, дізнатися, скільки становитимуть 10%, просто: потрібно лише розділити вихідну суму на 10.

Іншими прикладами таких співвідношень будуть:

1. 12,5% - 1/8, тобто потрібно ділити на 8;
2. 20% - 1/5, тобто потрібно розділити на 5;
3. 25% - 1/4, тобто ділимо на 4;
4. 50% - 1/2, тобто потрібно розділити навпіл;
5. 75% - 3/4, тобто потрібно розділити на 4 і помножити на 3.

Щоправда, в повному обсязі прості дроби зручні до розрахунку відсотків. Наприклад, 1/3 близька за розмірами до 33%, але не дорівнює точно: 1/3 - це 33, (3)% (тобто дріб з нескінченними трійками після коми).

• Як відняти відсоток від суми без допомоги калькулятора?

Якщо ж потрібно від уже відомої суми відібрати невідоме число, що становить якусь кількість відсотків, можна скористатися такими методами:

1. Обчислити невідоме число за допомогою одного з наведених вище способів, після чого відібрати його від вихідного.
2. Відразу розрахувати суму, що залишається. Для цього від 100% віднімаємо те число відсотків, яке потрібно відняти, і отриманий результат переводимо з відсотків до числа будь-яким з описаних вище способів.

Другий приклад зручніший, тому проілюструємо його. Припустимо, треба дізнатися, скільки залишиться, якщо від 4779 відібрати 16%. Розрахунок буде таким:

1. Забираємо від 100 (загальна кількість відсотків) 16. Отримуємо 84.
2. Вважаємо, що складе 84% від 4779. Отримуємо 4014,36.

• Як вирахувати (відняти) із суми відсоток з калькулятором у руках?

Всі наведені вище обчислення простіше робити, використовуючи калькулятор. Він може бути як у вигляді окремого пристрою, так і у вигляді спеціальної програми на комп'ютері, смартфоні або звичайному мобільному телефоні (навіть найстаріші з нині використовуваних пристроїв зазвичай мають цю функцію). З їхньою допомогою питання, як вирахувати відсоток із суми,вирішується дуже просто:

1. Набирається вихідна сума.
2. Натискається знак "-".
3. Вводиться кількість відсотків, яку потрібно відняти.
4. Натискається символ "%".
5. Натискається знак =.

У результаті екрані висвічується шукане число.

• Як відібрати від суми відсоток за допомогою онлайн-калькулятора?

Нарешті, зараз у мережі достатньо сайтів, де реалізовано функцію онлайн-калькулятора. У цьому випадку навіть не потрібно знання того, як порахувати відсоток від суми: всі операції користувача зводяться до введення в віконця потрібних цифр (або пересування повзунків для їх отримання), після чого результат одразу висвічується на екрані.

Особливо ця функція зручна для тих, хто розраховує не просто абстрактний відсоток, а конкретний розмір податкового відрахування або суму державного мита. Справа в тому, що в цьому випадку обчислення складніше: потрібно не лише знайти відсотки, а й додати до них постійну частину суми. Онлайн-калькулятор дозволяє уникнути подібних додаткових обчислень. Головне — вибрати сайт, який користується даними, які відповідають чинному закону.

Онлайн-калькулятор відсотків:

calculator.ru - дозволяє виконувати різноманітні розрахунки під час роботи з відсотками;

mirurokov.ru - калькулятор відсотків;

Джерело інформації:

• nsovetnik.ru - стаття про те, як вирахувати відсоток від суми;

Для вирішення більшості завдань у математиці середньої школи необхідно знання зі складання пропорцій. Це нескладне вміння допоможе як виконувати складні вправи з підручника, а й заглибитися у саму суть математичної науки. Як скласти пропорцію? Нині розберемо.

Найпростішим прикладом є завдання, де відомі три параметри, а четвертий потрібно знайти. Пропорції бувають, звичайно, різні, але часто потрібно знайти по відсотках якесь число. Наприклад, всього хлопчик мав десять яблук. Четверту частину він подарував своїй мамі. Скільки яблук у хлопчика? Це найпростіший приклад, який дозволить скласти пропорцію. Головне це зробити. Спочатку було десять яблук. Нехай це сто відсотків. Це ми окреслили всі його яблука. Він віддав одну четверту частину. 1/4 = 25/100. Значить, у нього залишилося: 100% (було спочатку) – 25% (він віддав) = 75%. Ця цифра показує процентне відношення кількості фруктів, що залишилися, до кількості наявних спочатку. Тепер ми маємо три числа, за якими вже можна вирішити пропорцію. 10 яблук – 100%, хяблук - 75%, де х - кількість фруктів, що шукається. Як скласти пропорцію? Потрібно розуміти, що це таке. Математично виглядає так. Знак поставлений для вашого розуміння.

10 яблук = 100%;

х яблук = 75%.

Виявляється, що 10/х = 100%/75. Це і є основна властивість пропорцій. Адже що більше x, то більше відсотків становить це число від вихідного. Вирішуємо цю пропорцію та отримуємо, що x = 7,5 яблук. Чому хлопчик вирішив віддати нецілу кількість, нам невідомо. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Головне, знайти два співвідношення, в одному з яких є невідоме.

Рішення пропорції часто зводиться до простого множення, та був до поділу. У школах дітям не пояснюють, чому це так. Хоча важливо розуміти, що пропорційні відносини є математичною класикою, сама суть науки. Для вирішення пропорцій необхідно вміти поводитися з дробами. Наприклад, часто доводиться переводити відсотки у звичайні дроби. Тобто, запис 95% не підійде. А якщо одразу написати 95/100, то можна провести солідні скорочення, не починаючи основного підрахунку. Відразу варто сказати, що якщо ваша пропорція вийшла з двома невідомими, її не вирішити. Жодний професор вам тут не допоможе. А ваше завдання, швидше за все, має складніший алгоритм правильних дій.

Розглянемо ще один приклад, де немає відсотків. Автомобіліст купив 5 літрів бензину за 150 рублів. Він подумав про те, скільки він заплатив би за 30 літрів палива. Для вирішення цього завдання позначимо за x кількість грошей, що шукається. Можете самостійно вирішити це завдання і потім перевірити відповідь. Якщо ви ще не зрозуміли, як скласти пропорцію, дивіться. 5 літрів бензину – це 150 рублів. Як і в першому прикладі, запишемо 5л – 150р. Тепер знайдемо третє число. Звісно, ​​це 30 літрів. Погодьтеся, що пара 30 л - х рублів доречна у цій ситуації. Перейдемо математичною мовою.

5 літрів – 150 рублів;

30 літрів – х рублів;

Вирішуємо цю пропорцію:

x = 900 рублів.

От і вирішили. У своєму завданні не забудьте перевірити відповідність на адекватність. Буває, що при неправильному вирішенні автомобілі досягають нереальних швидкостей 5000 кілометрів на годину і так далі. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Також ви зможете її вирішити. Як бачите, у цьому немає нічого складного.