Середня лінія трапеції дорівнює сумі її підстав. Середня Лінія Трапеції

Перша ознака

Якщо дві сторони та кут двом сторонам та кутку

Друга ознака

Якщо

Третя ознака

Два кола є концентричними

Доведення.

Нехай A 1 A 2... A n – даний опуклий багатокутник і n >

Паралелограм

Паралелограмом

Властивості паралелограма

протилежні сторони рівні;
протилежні кути рівні;

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

Трапеція

Трапецією

підставами,а непаралельні сторони - бічними сторонами. середньої лінії.

Трапеція називається рівнобедреної(або рівнобокий

прямокутної.

Властивості трапеції

Ознаки трапеції

Прямокутник

Прямокутником

Властивості прямокутника

всі властивості паралелограма;
діагоналі рівні.

Ознаки прямокутника

1. Один із його кутів прямий.

2. Його діагоналі рівні.

Ромб

Ромбом

Властивості ромба

всі властивості паралелограма;
діагоналі перпендикулярні;

Ознаки ромба

Квадрат

Квадратом

Властивості квадрата

всі кути квадрата прямі;

Ознаки квадрата

Ознаки паралелограма

Середньою лінією

Теорема.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Медіана

Медіанатрикутника - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони цього трикутника.

Формули площі ромба

S = a 2 · sin α

Формули площі трапеції

S = 1(a + b) · h

Формули площі кола

Формула дуги кола та її довжини

L=2Пr L=Пr/180

Перша ознака

Якщо дві сторони та кутміж ними одного трикутника відповідно рівні двом сторонам та куткуз-поміж них іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака

Якщо сторона та два прилеглі до неї кутиодного трикутника відповідно рівні стороні та двом прилеглим до неї кутаміншого трикутника, такі трикутники рівні.

Третя ознака

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки.

Ця точка (О) називається центром кола.

Відстань (r) від точки кола до її центру називається радіусом кола.

Радіусом називається також будь-який відрізок, що з'єднує точку кола з її центром.

Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.

Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром (d=2r).

Дотична - пряма (а), що проходить через точку (А) кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається.

При цьому ця точка (А) кола називається точкою торкання.

Частина площини, обмежена коло, називається колом.

Круговий сектор - частина кола, що лежить усередині відповідного центрального кута.

Круговий сегмент - загальна частина кола та напівплощини, межа якої містить хорду цього кола.

Два кола є концентричними(тобто мають спільний центр) у тому й лише в тому випадку, коли і

Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через цю точку та центр кола.

Дотична до кола перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання.

Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема 1: якщо при перетині двох прямих січною навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні.

Теорема 2: якщо при перетині двох прямих січної сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.

Теорема 3: якщо при перетині двох прямих січної відповідні кути рівні, то прямі паралельні:

Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то внутрішні навхрест лежачі кути рівні.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то відповідні кути рівні.

Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Теорема про суму кутів опуклого багатокутника

Для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180 ° (n-2).

Доведення.

Для доказу теореми про суму кутів опуклого багатокутника скористаємося вже доведеною теоремою про те, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Нехай A 1 A 2... A n – даний опуклий багатокутник і n > 3. Проведемо всі діагоналі багатокутника з вершини A 1. Вони розбивають його на n – 2 трикутники: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°, а число трикутників – (n – 2). Тому сума кутів опуклого n-кутника A 1 A 2 ... A n дорівнює 180 ° (n - 2).

Сума кутів у будь-якому трикутнику дорівнює 180 °.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC та проведемо через вершину B пряму, паралельну AC (див рис). Маємо KBM = BAC, оскільки ці кути є відповідними, утвореними при перетині паралельних CA і BM січної AB. Рівними є також кути ACB і CBM, так як кут, вертикальний до CBM, є відповідним для ACB (тут секущою є CB). Таким чином, CAB + ACB + ABC = MBC + MBC + ABC = 180 °.

Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30 °, дорівнює половині гіпотенузи

Теорема. Зовнішній кут будь-якого трикутника більший від кожного внутрішнього кута трикутника, не суміжного з ним.

Паралелограм

Паралелограмомназивається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Властивості паралелограма

протилежні сторони рівні;
протилежні кути рівні;
діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
сума кутів, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180 °;
сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

Трапеція

Трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші непаралельні.

Паралельні сторони трапеції називаються її підставами,а непаралельні сторони - бічними сторонами.Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньої лінії.

Трапеція називається рівнобедреної(або рівнобокий), якщо її бічні сторони рівні.

Трапеція, один із кутів якої прямий, називається прямокутної.

Властивості трапеції

її середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі;
якщо трапеція рівнобока, то її діагоналі рівні та кути при підставі рівні;
якщо трапеція рівнобока, то біля неї можна описати коло;
якщо сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, то до неї можна вписати коло.

Ознаки трапеції

Чотирьохкутник є трапецією, якщо його паралельні сторони не рівні

Прямокутник

Прямокутникомназивається паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника

всі властивості паралелограма;
діагоналі рівні.

Ознаки прямокутника

Паралелограм є прямокутником, якщо:

1. Один із його кутів прямий.

2. Його діагоналі рівні.

Ромб

Ромбомназивається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба

всі властивості паралелограма;
діагоналі перпендикулярні;
діагоналі є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба

1. Паралелограм є ромбом, якщо:

2. Дві його суміжні сторони рівні.

3. Його діагоналі перпендикулярні.

4. Одна з діагоналей є бісектрисою його кута.

Квадрат

Квадратомназивається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата

всі кути квадрата прямі;
діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.

Ознаки квадрата

Прямокутник є квадратом, якщо він має якусь ознаку ромба.

Ознаки паралелограма

Чотирьохкутник є паралелограмом, якщо:

1. Дві його протилежні сторони рівні та паралельні.

2. Протилежні сторони попарно рівні.

3. Протилежні кути попарно рівні.

4. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Середньою лінієютрапеції називається відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.

Середня лінія трапеції паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.

Геометричним місцем точок, що володіють певною властивістю, називається безліч усіх точок, які мають цю властивість.

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» походить від грецького слова τράπεζα, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції та її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементи цієї, наприклад, діагональ рівнобічної трапеції, середню лінію, площу та ін. Матеріал викладений у стилі елементарної популярної геометрії, тобто в легкодоступній формі.

Загальні відомості

Спочатку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Ця фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які є сусідніми, називаються протилежними. Те саме можна сказати і про дві несуміжні сторони. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоїд.

Отже, повернемося до трапецій. Як ми вже говорили, у цієї постаті дві сторони є паралельними. Їх називають основами. Дві інші (непаралельні) – бічні сторони. У матеріалах іспитів та різних контрольних робіт дуже часто можна зустріти завдання, пов'язані з трапеціями, вирішення яких найчастіше вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів із властивостями кутів та діагоналей, а також середньої лінії рівнобедреної трапеції. Але, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи згодом...

Види трапеції

Існує багато видів цієї постаті. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них – рівнобедрену та прямокутну.

1. Прямокутна трапеція - це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. У неї два кути завжди дорівнюють дев'яноста градусам.

2. Рівностегновий трапеція - це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. Отже, і кути біля основ також попарно рівні.

Основні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна зарахувати використання так званого задачного підходу. По суті немає необхідності для введення в теоретичний курс геометрії нових властивостей цієї фігури. Їх можна відкривати і формулювати в процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання потрібно поставити перед школярами у той чи інший момент навчального процесу. Більше того, кожна властивість трапеції може бути представлена у вигляді ключового завдання у системі задач.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення процесі навчання до окремих ознак даної геометричної постаті. Таким чином, учням легше їх запам'ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як із вивченні подоби, і згодом з допомогою векторів. А рівновеликість трикутників, прилеглих до боків фігури, можна доводити, застосовуючи як властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторон, які лежать однією прямої, а й з допомогою формули S= 1/2(ab*sinα). Крім того, можна відпрацювати на вписаній трапеції або прямокутний трикутник на описаній трапеції і т.д.

Застосування «позапрограмних» особливостей геометричної фігури у змісті шкільного курсу – це задачна технологія їхнього викладання. Постійне звернення до властивостей, що вивчаються при проходженні інших тем, дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової постаті.

Елементи та властивості рівнобедреної трапеції

Як ми вже зазначали, у цієї геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чим же вона така примітна і чому отримала таку назву? До особливостей цієї постаті належить те, у неї рівні як бічні боку й кути біля основ, а й діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 360 градусів. Але це ще не все! З усіх відомих трапецій тільки навколо рівнобедреного можна описати коло. Це пов'язано з тим, що сума протилежних кутів цієї фігури дорівнює 180 градусам, а тільки за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступною властивістю аналізованої геометричної фігури є те, що відстань від вершини основи до проекції протилежної вершини на пряму, яка містить цю основу, дорівнюватиме середньої лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант розв'язання цього завдання за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС та АТ - це підстави. У рівнобедреній трапеції бічні сторони рівні. Вважатимемо, що й розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кута провести висоту Н. В результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшої основи забираємо менше, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (Z-Y)/2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos(β) = Х/F. Тепер обчислюємо кут: β=arcos (Х/F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього чинимо елементарну арифметичну дію: 180 - β. Усі кути визначені.

Існує і друге вирішення цієї задачі. Спочатку опускаємо з кута У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = √(Х2-F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: β = arctg (БН/F). Гострий кут знайдено. Далі визначаємо аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедреної трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедреній трапеції перпендикулярні, то:

Висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеної на дві;

Її висота та середня лінія рівні;

Центр кола є точкою, в якій перетинаються;

Якщо бічна сторона ділиться точкою торкання відрізки М і М, тоді дорівнює квадратному кореню добутку цих відрізків;

Чотирьохкутник, який утворився точками торкання, вершиною трапеції та центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу;

Площа постаті дорівнює добутку підстав та добутку напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Ця тема дуже зручна для вивчення властивостей цієї прикладу. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до основ є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності з двох кутів. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ та БС – основи трапеції) розбивається діагоналями ВД та АС. Точка їх перетину - О. Отримуємо чотири трикутники: АОС - у нижньої основи, БОС - у верхньої основи, АБО та СОД у бокових сторін. Трикутники СОД та БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО та ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС/К. Аналогічно, трикутники БОС та АОБ мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО та ОА. Отримуємо ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К та ПАОБ = ПБОС/К. На цьому випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв'язок між площами отриманих трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями, вирішивши таке завдання. Відомо, що у трикутників БОС та АОД площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Оскільки ПСОД = ПАОБ, отже, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. З подоби трикутників БОС та АОД випливає, що БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отже, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отримуємо ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити інші цікаві особливості трапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно до основ. Для цього розв'яжемо наступне завдання: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників АОД і БОС випливає, що АО/ОС=АД/БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АТ / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК = БС * АД / (БС + АД). Звідси отримуємо, що РВ=ОК і РК=2*БС*АД/(БС+АД). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний основам і сполучає дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середня гармонійна підстава фігури.

Розглянемо таку якість трапеції, яку називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини основ (Т та Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подібності. Отримані трикутники БЕС та АЕД подібні, і в кожному з них медіани ЕТ та ЇЖ ділять кут при вершині Е на рівні частини. Отже, точки Е, Т та Ж лежать на одній прямій. Так само на одній прямій розташовуються точки Т, О, і Ж. Все це випливає з подоби трикутників БОС та АОД. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки – Е, Т, Про та Ж – лежатимуть на одній прямій.

Використовуючи такі трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний до основ. Оскільки отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, БС/ЛФ=ЛФ/АД. Звідси випливає, що ЛФ=√(БС*АД). Отримуємо, що відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, що дорівнює середньому геометричному довжини основ фігури.

Розглянемо таку властивість подібності. В його основі лежить відрізок, який поділяє трапецію на дві рівновеликі постаті. Вважаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини – В1 та В2. Отримуємо: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 та ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 та друге (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Звідси випливає, що В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) і БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжини основ: √((БС2+АД2)/2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що з'єднує у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС та АТ (довжина основи трапеції).

2. Риса, яка проходить через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, дорівнюватиме середньому гармонійному чисел АТ і БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Відрізок, що розбиває трапецію на подібні, має довжину середньої геометричної основ БС та АТ.

4. Елемент, що ділить фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ та БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв'язку між розглянутими відрізками учню необхідно збудувати їх для конкретної трапеції. Він легко зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналів фігури - паралельно підставам. А ось де будуть перебувати третій та четвертий? Ця відповідь приведе учня до відкриття шуканого зв'язку між середніми величинами.

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції

Розглянемо таку властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний основам і поділяє діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок дорівнюватиме напіврізності підстав. Розберемо це детальніше. МШ – середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС/2. МЩ – середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АТ/2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже, ШЩ = АТ/2-БС/2 = (АТ+ВС)/2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, як визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити підстави у протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхньої основи додати нижнє - у будь-яку зі сторін, наприклад, праворуч. А нижнє подовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з'єднуємо їхню діагоналлю. Точка перетину цього відрізка із середньою лінією фігури і є центром тяжкості трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тільки у тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Біля кола можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Наслідки вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається із центру кола під прямим кутом.

Перше слідство очевидно, а для доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе великих зусиль. Зате знання даної властивості дозволить при розв'язанні задач застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці наслідки для рівнобедреної трапеції, яка вписана у коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підставам фігури: Н=2R=√(БС*АД). Відпрацьовуючи основний прийом розв'язання завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень має вирішити таке завдання. Приймаємо, що БТ – висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ та ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площу описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на основу АТ. Оскільки коло вписано в трапецію, то БС+АД = 2АБ або АБ = (БС+АД)/2. З трикутника АБН знаходимо sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС+АД)*R, звідси випливає, що R = ПАБСД/(БС+АД).

Усі формули середньої лінії трапеції

Тепер настав час перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через підстави: М = (А + Б)/2.

2. Через висоту, основу та кути:

М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через висоту, діагоналі та кут між ними. Наприклад, Д1 і Д2 - діагоналі трапеції; α , β - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Через площу та висоту: М = П/Н.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Поняття середньої лінії трапеції

Спочатку згадаємо, яку фігуру називають трапецією.

Визначення 1

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

У цьому паралельні боку називаються основами трапеції, а чи не паралельні - бічними сторонами трапеції.

Визначення 2

Середня лінія трапеції – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.

Теорема про середню лінію трапеції

Тепер введемо теорему про середню лінію трапеції і доведемо її векторним методом.

Теорема 1

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доведення.

Нехай нам дана трапеція $ABCD$ з основами $AD\ і BC$. І хай $ MN $ - середня лінія цієї трапеції (рис. 1).

Рисунок 1. Середня лінія трапеції

Доведемо, що $MN||AD\ і MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Розглянемо вектор $\overrightarrow(MN)$. Використовуємо правило багатокутника для складання векторів. З одного боку отримаємо, що

З іншого боку

Складемо дві останні рівністі, отримаємо

Так як $ M $ і $ N $ - середини бічних сторін трапеції, будемо мати

Отримуємо:

Отже

З тієї ж рівності (оскільки $\overrightarrow(BC)$ і $\overrightarrow(AD)$ сонаправлены, отже, коллинеарны) отримуємо, що $MN||AD$.

Теорему доведено.

Приклади завдань поняття середньої лінії трапеції

Приклад 1

Бічні сторони трапеції рівні $15\см$ і $17\см$ відповідно. Периметр трапеції дорівнює $52\ см $. Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Рішення.

Позначимо середню лінію трапеції через $n$.

Сума бічних сторін дорівнює

Отже, оскільки периметр дорівнює $52\ см$, сума підстав дорівнює

Отже, за теоремою 1 отримуємо

Відповідь:$10\ см$.

Приклад 2

Кінці діаметра кола віддалені від його дотичної відповідно на $9$ см і $5$ см. Знайти діаметр цього кола.

Рішення.

Нехай нам дано коло з центром у точці $O$ та діаметром $AB$. Проведемо дотичну $l$ і побудуємо відстані $AD=9\ см$ і $BC=5\ см$. Проведемо радіус $OH$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Оскільки $AD$ і $BC$ - відстані до дотичної, то $AD\bot l$ і $BC\bot l$ і оскільки $OH$ -- радіус, то $OH\bot l$, отже, $OH |\left|AD\right||BC$. З цього отримуємо, що $ABCD$ - трапеція, а $OH$ - її середня лінія. По теоремі 1, отримуємо

Відрізок прямої, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. Про те, як знайти середню лінію трапеції та як вона співвідноситься з іншими елементами цієї фігури, ми розповімо нижче.

Теорема про середню лінію

Намалюємо трапецію, в якій AD – більша основа, BC – менша основа, EF – середня лінія. Продовжимо основу AD за точку D. Проведемо лінію BF і продовжимо її до перетину з продовженням основи AD у точці О. Розглянемо трикутники ∆BCF та ∆DFO. Кути ∟BCF = ∟DFO як вертикальні. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к. НД // АТ. Отже, трикутники ∆BCF = ∆DFO. Звідси сторони BF = FO.

Тепер розглянемо ∆АВО та ∆EBF. ∟ABO загальний для обох трикутників. BE/AB = ½ за умовою, BF/BO = ½, оскільки ∆BCF = ∆DFO. Отже, трикутники ABO та EFB подібні. Звідси відношення сторін EF/AO = ½, як і відношення інших сторін.

Знаходимо EF = AO. По кресленню видно, що AO = AD + DO. DO = BC як сторони рівних трикутників, отже, AO = AD + BC. Звідси EF = ½ АО = ½ (AD + BC). Тобто. довжина середньої лінії трапеції дорівнює напівсумі основ.

Чи завжди середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ?

Припустимо, що є такий окремий випадок, коли EF ≠ ½ (AD + BC). Тоді ВС ≠ DO, отже, ∆BCF ≠ ∆DCF. Але це неможливо, оскільки у них рівні два кути та сторони між ними. Отже, теорема вірна за всіх умов.

Завдання про середню лінію

Припустимо, в нашій трапеції АВСD АD // ВС, ∟A = 90 °, ∟С = 135 °, АВ = 2 см, діагональ АС перпендикулярна бічній стороні. Знайдіть середню лінію трапеції EF.

Якщо ∟А = 90°, то і ∟В = 90°, отже, ∆АВС прямокутний.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° за умовою, отже, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Якщо у прямокутному трикутнику ∆АВС один кут дорівнює 45°, то катети в ньому рівні: АВ = ВС = 2 см.

Гіпотенуза АС = √(АВ² + ВС²) = √8 см.

Розглянемо ∆ACD. ∟ACD = 90° за умовою. ∟CAD = ∟BCA = 45° як кути, утворені січною паралельною основою трапеції. Отже, катети AC = CD = √8.

Гіпотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.

Середня лінія трапеції EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 см.