Старт у науці. Числа Фібоначчі у масовій культурі

Італійський математик Леонардо Фібоначчі жив у 13 столітті і одним із перших у Європі став використовувати арабські (індійські) цифри. Він вигадав дещо штучне завдання про кролів, яких вирощують на фермі, причому всі вони вважаються самками, самці ігноруються. Кролики починають розмножуватися після того, як їм виповнюється два місяці, а потім щомісяця народжують за кроликом. Кролики ніколи не вмирають.

Потрібно визначити, скільки кроликів буде на фермі через nмісяців, якщо у початковий час був лише один новонароджений кролик.

Очевидно, що фермер має одного кролика у перший місяць та одного кролика – у другий місяць. На третій місяць буде вже два кролики, на четвертий – три тощо. Позначимо кількість кроликів у nмісяці як. Таким чином,
,
,
,
,
, …

Можна побудувати алгоритм, що дозволяє знайти за будь-якого n.

Відповідно до умови завдання загальна кількість кроликів
в n+1 місяці розкладається на три складові:

одномісячні кролики, не здатні до розмноження, у кількості

;

Таким чином, отримаємо

. (8.1)

Формула (8.1) дозволяє обчислити ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Числа в даній послідовності називаються числами Фібоначчі .

Якщо прийняти
і
, За допомогою формули (8.1) можна визначити всі інші числа Фібоначчі. Формула (8.1) називається рекурентної формулою ( recurrence - «Повернення» латиною).

Приклад 8.1.Припустимо, що є сходи в nсходинок. Ми можемо підніматися по ній з кроком на одну сходинку, або – з кроком на дві сходинки. Скільки існує комбінацій різних способів підйому?

Якщо n= 1, є лише один варіант розв'язання задачі. Для n= 2 Існує два варіанти: два одиничних етапу або один подвійний. Для n= 3 існує 3 варіанти: три одиничних кроки, або один одиничний і один подвійний, або один подвійний та один одиничний.

У наступному випадку n= 4, маємо 5 можливостей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Для того щоб відповісти на задане питання при довільному n, позначимо кількість варіантів як , і спробуємо визначити
за відомими і
. Якщо ми стартуємо з одиничного кроку, то маємо комбінацій для решти nсходинок. Якщо стартуємо з подвійного кроку, маємо
комбінацій для решти n-1 сходинок. Загальна кількість варіантів для n+1 сходинок одно

. (8.2)

Отримана формула як близнюк нагадує формулу (8.1). Проте це не дозволяє ототожнювати кількість комбінацій. з числами Фібоначчі . Ми бачимо, наприклад, що
, але
. Однак має місце наступна залежність:

.

Це справедливо для n= 1, 2, а також справедливо для кожного n. Числа Фібоначчі та кількість комбінацій обчислюються за тією самою формулою, однак початкові значення
,
і
,
вони різняться.

Приклад 8.2.Цей приклад має практичне значення для задач стійкого до перешкод кодування. Знайдемо число всіх двійкових слів довжини n, що не містять кілька нулів поспіль. Позначимо це число через . Очевидно,
, А слова довжини 2, які задовольняють нашому обмеження, такі: 10, 01, 11, тобто.
. Нехай
- Таке слово з nсимволів. Якщо символ
, то
може бути довільним (
)-літерним словом, що не містить кілька нулів поспіль. Значить, кількість слів з одиницею на кінці дорівнює
.

Якщо ж символ
, то обов'язково
, а перші
символу
можуть бути довільними з урахуванням аналізованих обмежень. Отже, є
слів довжини nз нулем на кінці. Таким чином, загальна кількість цікавих нас слів дорівнює

.

З урахуванням того що
і
, Отримана послідовність чисел - це числа Фібоначчі.

Приклад 8.3.У прикладі 7.6 ми виявили, що число двійкових слів постійної ваги t(і завдовжки k) одно . Тепер знайдемо кількість двійкових слів постійної ваги t, що не містять кілька нулів поспіль.

Міркувати можна так. Нехай
число нулів у аналізованих словах. У будь-якому слові є
проміжків між найближчими нулями, у кожному з яких є одна або кілька одиниць. Передбачається, що
. В іншому випадку немає жодного слова без нулів, що стоять поруч.

Якщо з кожного проміжку видалити по одній одиниці, то отримаємо слово довжини
, що містить нулів. Будь-яке таке слово може бути отримане вказаним чином із деякого (і до того ж лише одного) k-літерного слова, що містить нулів, жодні два з яких не стоять поряд. Отже, число, що шукається, збігається з числом усіх слів довжини
, що містять рівно нулів, тобто. одно
.

Приклад 8.4.Доведемо, що сума
дорівнює числам Фібоначчі для будь-якого цілого . Символ
позначає найменше ціле число, більше чи рівне . Наприклад, якщо
, то
; а якщо
, то
ceil("стеля"). Також зустрічається символ
, який позначає найбільше ціле число, менше чи рівне . Англійською цю операцію називають floor ("стать").

Якщо
, то
. Якщо
, то
. Якщо
, то
.

Таким чином, для розглянутих випадків сума справді дорівнює числам Фібоначчі. Тепер наведемо доказ загального випадку. Оскільки числа Фібоначчі можна отримати за допомогою рекурентного рівняння (8.1), то має виконуватись рівність:

.

І воно справді виконується:

Тут ми використовували отриману формулу (4.4):
.

Сума чисел Фібоначчі

Визначимо суму перших nчисел Фібоначчі.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Легко помітити, що додаванням до правої частини кожного рівняння одиниці знову отримуємо число Фібоначчі. Загальна формула для визначення суми перших nчисел Фібоначчі має вигляд:

Доведемо це, використовуючи метод математичної індукції. Для цього запишемо:

Ця сума повинна дорівнювати
.

Скоротивши ліву та праву частину рівняння на -1, отримаємо рівняння (6.1).

Формула для чисел Фібоначчі

Теорема 8.1. Числа Фібоначчі можна розрахувати за формулою

.

Доведення. Переконаємося у справедливості цієї формули для n= 0, 1, а потім доведемо справедливість даної формули для довільного nз індукції. Обчислимо відношення двох найближчих чисел Фібоначчі:

Ми, що відношення цих чисел коливається біля значення 1.618 (якщо ігнорувати кілька перших значень). Цією властивістю числа Фібоначчі нагадують члени геометричної прогресії. Приймемо
, (
). Тоді вираз

перетворюється на

яке після спрощень виглядає так

.

Ми отримали квадратне рівняння, коріння якого дорівнює:

Тепер можемо записати:

(де cє константою). Обидва члени і не дають чисел Фібоначчі, наприклад
, в той час як
. Однак різниця
задовольняє рекурентному рівнянню:

Для n=0 ця різниця дає , тобто:
. Однак при n=1 ми маємо
. Щоб отримати
, необхідно прийняти:
.

Тепер ми маємо дві послідовності: і
які починаються з однакових двох чисел і задовольняють одній і тій же рекурентній формулі. Вони повинні бути рівними:
. Теорему доведено.

У разі зростання nчлен стає дуже великим, у той час як
, та роль члена у різниці скорочується. Тому при великих nнаближено можемо записати

.

Ми ігноруємо 1/2 (оскільки числа Фібоначчі зростають до нескінченності при зростанні nдо нескінченності).

Ставлення
називається золотим перетином, Його використовують за межами математики (наприклад, у скульптурі та архітектурі). Золотим перетином є відношення між діагоналлю та стороною правильного п'ятикутника(Рис. 8.1).

Рис. 8.1. Правильний п'ятикутник та його діагоналі

Для позначення золотого перерізу прийнято використовувати букву
на честь відомого афінського скульптора Фідія.

Прості числа

Усі натуральні числа, великі одиниці, розпадаються на два класи. До першого відносяться числа, що мають рівно два натуральні дільники, одиницю і самого себе, до другого – всі інші. Числа першого класу називають простими, а другого – складовими. Прості числа в межах перших трьох десятків: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Властивості простих чисел та їх зв'язок із усіма натуральними числами вивчалася Евклідом (3 століття до нашої ери). Якщо виписувати прості числа поспіль, можна помітити, що відносна щільність їх убуває. На десяток їх припадає 4, т. е. 40%, на сотню – 25, тобто. 25%, тисячу – 168, тобто. менше 17%, мільйон – 78498, тобто. менше 8%, і т.д.. Проте їх загальна кількість нескінченна.

Серед простих чисел трапляються такі пари, різниця між якими дорівнює двом (так звані прості близнюки), однак кінцівка чи нескінченність таких пар не доведена.

Евклид вважав очевидним, що з допомогою множення лише простих чисел можна одержати все натуральні числа, причому кожне натуральне число представимо як твори простих чисел єдиним чином (з точністю до порядку множників). Таким чином, звичайні числа утворюють мультиплікативний базис натурального ряду.

Вивчення розподілу простих чисел спричинило створення алгоритму, що дозволяє отримувати таблиці простих чисел. Таким алгоритмом є решето Ератосфена(3 століття до н.е.). Цей метод полягає у відсіюванні (наприклад, шляхом закреслення) тих цілих чисел заданої послідовності
які діляться хоча б на одне з простих чисел, менших
.

Теорема 8 . 2 . (Теорема Евкліда). Число простих чисел нескінченне.

Доведення. Теорему Евкліда про нескінченність числа простих чисел доведемо способом, запропонованим Леонардом Ейлером (1707-1783). Ейлер розглянув твір за всіма простими числами p:

при
. Цей твір сходиться, і якщо його розкрити, то через однозначність розкладання натуральних чисел на прості співмножники виходить, що він дорівнює сумі ряду , звідки випливає тотожність Ейлера:

.

Бо при
ряд справа розходиться (гармонічний ряд), то з тотожності Ейлера випливає теорема Евкліда.

Російський математик П.Л. Чебишев (1821–1894) вивів формулу, визначальну межі, де міститься число простих чисел
, що не перевершують X:

,

де
,
.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

ВИЩЕ ПРИЗНАЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ СКЛАДАЄТЬСЯ У ТОМУ, ЩОБ ЗНАХОДИТИ СХОВАНИЙ ПОРЯДОК У ХАОСІ, ЯКИЙ НАС ОКРУЖУЄ.

Вінер Н.

Людина все життя прагне знань, намагається вивчити навколишній світ. І в процесі спостережень у нього виникають питання, на які потрібно знайти відповіді. Відповіді є, але з'являються нові питання. В археологічних знахідках, у слідах цивілізації, віддалених один від одного в часі та у просторі, зустрічається один і той самий елемент - візерунок у вигляді спіралі. Деякі вважають його символом сонця і пов'язують із легендарною Атлантидою, але справжнє його значення невідоме. Що спільного між формами галактики та атмосферного циклону, розташуванням листя на стеблі та насіння в соняшнику? Ці закономірності зводяться до так званої золотої спіралі, дивовижної послідовності Фібоначчі, відкритої великим італійським математиком XIII століття.

Історія виникнення чисел Фібоначчі

Вперше про те, що таке число Фібоначчі, я почув від вчителя математики. Але, крім того, як складається послідовність цих чисел, я не знав. Ось чим насправді відома ця послідовність, яким чином вона впливає на людину, я хочу вам розповісти. Про Леонардо Фібоначчі відомо небагато. Немає навіть точної дати народження. Відомо, що він народився 1170 року в сім'ї купця, у місті Пізі в Італії. Батько Фібоначчі часто бував у Алжирі у справах, і Леонардо вивчав там математику в арабських вчителів. Згодом він написав кілька математичних праць, найбільш відомим з яких є «Книга про абак», яка містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу. 2

Числа Фібоначчі - це послідовність чисел, що має низку властивостей. Цю числову послідовність Фібоначчі відкрив випадково, коли намагався 1202 року вирішити практичне завдання про кроликів. «Некто помістив пару кроликів у якомусь місці, обгородженому з усіх боків з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів робить на світ іншу пару, а народжують кролики з другого місяця після народження». Під час вирішення завдання він врахував, що кожна пара кроликів породжує протягом життя ще дві пари, а потім гине. Так з'явилася послідовність чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … У цій послідовності кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх. Її назвали послідовністю Фібоначчі. Математичні властивості послідовності

Мені захотілося дослідити цю послідовність, і я виявив деякі її властивості. Ця закономірність має значення. Послідовність дедалі повільніше наближається до якогось постійного відношенню, що дорівнює приблизно 1, 618, а відношення будь-якого числа до наступного приблизно дорівнює 0, 618.

Можна помітити низку цікавих властивостей чисел Фібоначчі: два сусідні числа взаємно прості; кожне третє число парне; кожне п'ятнадцяте закінчується банкрутом; кожне четверте кратно трьом. Якщо вибрати будь-які 10 сусідніх чисел із послідовності Фібоначчі та скласти їх разом, завжди вийде число, кратне 11. Але це ще не все. Кожна сума дорівнює числу 11 помноженому на сьомий член взятої послідовності. А ось ще одна цікава особливість. Для будь-якого n сума перших n членів послідовності завжди дорівнюватиме різниці (n + 2) - го і першого члена послідовності. Цей факт можна виразити формулою: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Тепер у нашому розпорядженні є наступний трюк: щоб знайти суму всіх членів

послідовності між двома даними членами, достатньо знайти різницю відповідних (n+2)-x членів. Наприклад, a 26 + ... + a 40 = a 42 - a 27 . Тепер шукаємо зв'язок між Фібоначчі, Піфагором та «золотим перетином». Найвідомішим свідченням математичного генія людства є теорема Піфагора: у кожному прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів: c 2 = b 2 +a 2 . З геометричної точки зору ми можемо розглядати всі сторони прямокутного трикутника як сторони трьох побудованих на них квадратів. Теорема Піфагора свідчить, що загальна площа квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі. Якщо довжини сторін прямокутного трикутника є цілими числами, вони утворюють групу з трьох чисел, званих піфагоровими трійками. За допомогою послідовності Фібоначчі можна знайти такі трійки. Візьмемо будь-які чотири послідовні числа з послідовності, наприклад, 2, 3, 5 і 8, і побудуємо ще три числа наступним чином:1) добуток двох крайніх чисел: 2*8=16;2) подвоєний добуток двох чисел у середині: 2* (3 * 5) = 30; 3) сума квадратів двох середніх чисел: 3 2 +5 2 = 34; 34 2 = 30 2 +16 2 . Цей метод працює для будь-яких чотирьох послідовних чисел Фібоначчі. Передбачуваним чином поводяться будь-які три послідовні числа ряду Фібоначчі. Якщо перемножити з них два крайніх і порівняти з квадратом середнього числа, то результат завжди буде відрізнятися на одиницю. Наприклад, для чисел 5, 8 та 13 отримаємо: 5*13=8 2 +1. Якщо розглянути цю властивість з погляду геометрії, можна побачити щось дивне. Розділимо квадрат

розміром 8х8 (всього 64 маленьких квадратики) на чотири частини, довжини сторін яких дорівнюють числам Фібоначчі. Тепер із цих частин побудуємо прямокутник розміром 5х13. Його площу становлять 65 маленьких квадратиків. Звідки береться додатковий квадрат? Справа в тому, що ідеальний прямокутник не утворюється, а залишаються крихітні зазори, які в сумі і дають цю додаткову одиницю площі. Трикутник Паскаля також має зв'язок із послідовністю Фібоначчі. Треба тільки написати рядки трикутника Паскаля один під одним, а потім складати елементи по діагоналі. Вийде послідовність Фібоначчі.

Тепер розглянемо «золотий» прямокутник, одна сторона якого в 1,618 разів довша за іншу. На перший погляд, він може здатися нам звичайним прямокутником. Тим не менш, давайте зробимо простий експеримент із двома звичайними банківськими картами. Покладемо одну з них горизонтально, а іншу вертикально так, щоб їх нижні сторони були на одній лінії. Якщо в горизонтальній карті провести діагональну лінію і продовжити її, то побачимо, що вона пройде точно через правий верхній кут вертикальної карти - приємна несподіванка. Можливо, це випадковість, а може такі прямокутники та інші геометричні форми, що використовують «золотий перетин», особливо приємні оку. Чи думав Леонардо да Вінчі про золотий перетин, працюючи над своїм шедевром? Це видається малоймовірним. Однак можна стверджувати, що він надавав великого значення зв'язку між естетикою та математикою.

Числа Фібоначчі у природі

Зв'язок золотого перетину з красою – питання не лише людського сприйняття. Схоже, сама природа виділила Ф особливу роль. Якщо «золотий» прямокутник послідовно вписати квадрати, потім у кожному квадраті провести дугу, то вийде елегантна крива, яка називається логарифмічною спіраллю. Вона зовсім не є математичним курйозом. 5

Навпаки, ця чудова лінія часто зустрічається у фізичному світі: від раковини наутілуса до рукавів галактик, і в елегантній спіралі пелюсток троянди, що розпустилася. Зв'язки між золотим перетином та числами Фібоначчі численні та несподівані. Розглянемо квітку, що зовні сильно відрізняється від троянди, - соняшник з насінням. Перше, що ми бачимо, - насіння розташоване за спіралями двох видів: за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки. Якщо порахуємо спіралі погодинної стрілки, то отримаємо два, здавалося б, звичайні числа: 21 і 34. Це не єдиний приклад, коли можна зустріти числа Фібоначчі в структурі рослин.

Природа дає нам численні приклади розташування однорідних предметів, які описують числа Фібоначчі. У різноманітних спіралеподібних розташуваннях дрібних частин рослин зазвичай можна побачити два сімейства спіралей. В одному з цих сімейств спіралі завиваються за годинниковою стрілкою, а в іншому – проти. Числа спіралей одного та іншого типів часто виявляються сусідніми числами Фібоначчі. Так, взявши молоду соснову гілочку, легко помітити, що хвоїнки утворюють дві спіралі, що йдуть ліворуч знизу вправо вгору. На багатьох шишках насіння розташоване в трьох спіралях, що порожньо навиваються на стрижень шишки. Вони ж розташовані в п'яти спіралях, що круто навиваються в протилежному напрямку. У великих шишках вдається спостерігати 5 і 8 і навіть 8 і 13 спіралей. Добре помітні спіралі Фібоначчі та на ананасі: зазвичай їх буває 8 та 13.

Відросток цикорію робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Імпульси його зростання поступово зменшуються у пропорції «золотого» перерізу. Щоб оцінити величезну роль чисел Фібоначчі, достатньо лише поглянути на красу навколишньої природи. Числа Фібоначчі можна знайти у кількості

відгалужень на стеблі кожної рослини, що росте, і в числі пелюсток.

Перерахуємо пелюстки деяких кольорів -іриса з його 3 пелюстками, примули з 5 пелюстками, амброзії з 13 пелюстками, нив'яника з 34 пелюстками, айстри з 55 пелюстками тощо. Чи це випадково, чи це закон природи? Подивіться на стебла та квіти деревію. Таким чином, сумарною послідовністю Фібоначчі можна легко трактувати закономірність проявів «Золотих» чисел, які у природі. Ці закони діють незалежно від нашої свідомості та бажання приймати їх чи ні. Закономірності «золотої» симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів, у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Числа Фібоначчі в архітектурі

«Золоте перетин» проявляється у багатьох чудових архітектурних творах протягом усієї історії людства. Виявляється, ще давньогрецькі та давньоєгипетські математики знали ці коефіцієнти задовго до Фібоначчі та називали їх «золотим перетином». Принцип «золотого перерізу» греки використовували під час будівництва Парфенона, єгиптяни – Великої піраміди у Гізі. Досягнення у галузі будівельної техніки та розробки нових матеріалів відкрили нові можливості для архітекторів ХХ століття. Американець Френк Ллойд Райт був одним із головних прихильників органічної архітектури. Незадовго до смерті він спроектував музей Соломона Гуггенхайма в Нью-Йорку, що є перекинутою спіралью, а інтер'єр музею нагадує раковину наутілуса. Польсько-ізраїльський архітектор Цві Хекер також використав спіральні конструкції у проекті школи імені Хайнца Галінскі у Берліні, побудованої у 1995 році. Хекер почав з ідеї соняшника з центральним колом, звідки

розходяться всі архітектурні елементи. Будівля є поєднанням

ортогональних та концентричних спіралей, символізуючи взаємодію обмежених людських знань та керованого хаосу природи. Його архітектура імітує рослину, яка слідує за рухом Сонця, тому класні кімнати освітлені протягом усього дня.

У Квінсі-парку, розташованому в Кембриджі, штат Массачусетс (США), «золоту» спіраль можна зустріти часто. Парк був спроектований у 1997 році художником Девідом Філліпсом і знаходиться недалеко від Математичного інституту Клея. Цей заклад є відомим центром математичних досліджень. У Квінсі-парку можна прогулюватися серед «золотих» спіралей та металевих кривих, рельєфів із двох раковин та скелі із символом квадратного кореня. На табличці написано інформацію про «золоту» пропорцію. Навіть паркування велосипедів використовує символ Ф.

Числа Фібоначчі у психології

У психології відзначені переломні моменти, кризи, перевороти, що знаменують на життєвому шляху людини перетворення структури та функції душі. Якщо людина успішно подолала ці кризи, стає здатною вирішувати завдання нового класу, про які раніше навіть не замислювався.

Наявність корінних змін дає підстави розглядати час життя як вирішальний чинник розвитку духовних якостей. Адже природа відмірює нам час не щедро, «ні скільки буде, стільки й буде», а рівно стільки, щоб процес розвитку матеріалізувався:

у структурах тіла;

у почуттях, мисленні та психомоториці — поки вони не придбають гармонію, необхідну для виникнення та запуску механізму

творчості;

у структурі енергопотенціалу людини.

Розвиток тіла не можна зупинити: дитина стає дорослою людиною. З механізмом творчості не так все просто. Його розвиток можна зупинити та змінити його напрямок.

Чи існує шанс наздогнати час? Безперечно. Але для цього необхідно виконати величезну роботу над собою. Те, що розвивається вільно, природним шляхом не вимагає спеціальних зусиль: дитина вільно розвивається і не помічає цієї величезної роботи, тому що процес вільного розвитку створюється без насильства над собою.

Як розуміється сенс життєвого шляху у повсякденному свідомості? Обиватель бачить його так: біля підніжжя - народження, на вершині - розквіт сил, а потім все йде під гірку.

Мудрець скаже: все набагато складніше. Сходження він поділяє на етапи: дитинство, юність, юність… Чому так? Мало хто здатний відповісти, хоча кожен упевнений, що це замкнуті, цілісні етапи життя.

Щоб з'ясувати, як розвивається механізм творчості, В.В. Клименко скористався математикою, а саме законами чисел Фібоначчі та пропорцією «золотого перерізу» — законами природи та життя людини.

Числа Фібоначчі ділять наше життя на етапи за кількістю прожитих років: 0 – початок відліку – дитина народилася. У нього ще немає як психомоторика, мислення, почуття, уяву, а й оперативний энергопотенциал. Він - початок нового життя, нової гармонії;

1 — дитина опанувала ходьбу та освоює найближче оточення;

2 - розуміє мову і діє, користуючись словесними вказівками;

3 - діє за допомогою слова, ставить запитання;

5 — «вік грації» — гармонія психомоторики, пам'яті, уяви та почуттів, які дозволяють дитині охопити світ у всій її цілісності;

8 - на передній план виходять почуття. Їм служить уява, а мислення силами своєї критичності спрямоване на підтримку внутрішньої та зовнішньої гармонії життя;

13 - починає працювати механізм таланту, спрямований на перетворення набутого в процесі наслідування матеріалу, розвиваючи свій власний талант;

21 - механізм творчості наблизився до стану гармонії та робляться спроби виконувати талановиту роботу;

34 - гармонія мислення, почуттів, уяви та психомоторики: народжується здатність до геніальної роботи;

55 - у цьому віці, за умови збереженої гармонії душі і тіла, людина готова стати творцем. І так далі…

Що таке засічки «Чисел Фібоначчі»? Вони можна порівняти з греблями на життєвому шляху. Ці греблі чекають на кожного з нас. Насамперед необхідно подолати кожну з них, а потім терпляче піднімати свій рівень розвитку, поки одного прекрасного дня вона не розвалиться, відкриваючи вільній течії шлях до наступної.

Тепер, коли нам зрозуміле значення цих вузлових точок вікового розвитку, спробуємо розшифрувати, як усе це відбувається.

В1 рікдитина опановує ходьбу. До цього він пізнавав світ передньою частиною голови. Тепер він пізнає світ руками — винятковий привілей людини. Тварина пересувається у просторі, а він, пізнаючи, опановує простір і освоює територію, де живе.

2 роки- розуміє слово і діє відповідно до нього. Це означає що:

дитина засвоює мінімальну кількість слів - смислів та образів дій;

поки що не відокремлює себе від навколишнього середовища і злитий у цілісність із навколишнім,

тому діє за чужою вказівкою. У цьому віці він найслухняніший і найприємніший для батьків. З людини чуттєвого дитина перетворюється на людину, що пізнає.

3 роки- Дія за допомогою власного слова. Вже відбулося відокремлення цієї людини від навколишнього середовища — і вона вчиться бути самостійною особистістю. Звідси він:

свідомо протистоїть середовищу та батькам, вихователям у дитячому садку тощо;

усвідомлює свій суверенітет і виборює самостійність;

намагається підкорити своїй волі близьких та добре знайомих людей.

Тепер для дитини слово – це дія. З цього починається дійова людина.

5 років- Вік грації. Він уособлення гармонії. Ігри, танці, спритні рухи – все насичене гармонією, яку людина намагається опанувати власними силами. Гармонійна психомоторика сприяє приведенню нового стану. Тому дитина спрямована на психомоторну активність і прагне максимально активних дій.

Матеріалізація продуктів роботи чутливості здійснюється за допомогою:

здібності до відображення довкілля і себе як частини цього світу (ми чуємо, бачимо, торкаємося, нюхаємо і т.д. - всі органи почуттів працюють на цей процес);

здатність до проектування зовнішнього світу, в тому числі і себе

(Створення другої природи, гіпотез - зробити завтра те й інше, побудувати нову машину, вирішити проблему), силами критичності мислення, почуттів та уяви;

здатності до творення другої, рукотворної природи, продуктів діяльності (реалізація задуманого, конкретні розумові чи психомоторні дії з конкретними предметами та процесами).

Після 5 років механізм уяви виходить уперед і починає домінувати над рештою. Дитина виконує гігантську роботу, створюючи фантастичні образи і живе у світі казок та міфів. Гіпертрофованість уяви дитини викликає у дорослих здивування, тому що уява не відповідає дійсності.

8 років- На передній план виходять почуття і виникають власні мірки почуттів (пізнавальних, моральних, естетичних), коли дитина безпомилково:

оцінює відоме та невідоме;

відрізняє моральне від аморального, моральне від аморального;

прекрасне від того, що загрожує життю, гармонії від хаосу.

13 років- Починає працювати механізм творчості. Але це не означає, що він працює на повну потужність. На перший план виходить один з елементів механізму, а решта сприяють його роботі. Якщо і в цьому віковому періоді розвитку зберігається гармонія, яка майже весь час перебудовує свою структуру, то отрок безболісно дістанеться наступної греблі, непомітно для себе подолає її і житиме у віці революціонера. У віці революціонера юнак повинен зробити новий крок уперед: відокремитися від найближчого соціуму і жити в ньому гармонійним життям та діяльністю. Не кожен може вирішити це завдання, яке постає перед кожним із нас.

21 рік.Якщо революціонер успішно подолав першу гармонійну вершину життя, то його механізм таланту здатний виконувати талановиту

роботу. Почуття (пізнавальні, моральні чи естетичні) іноді затьмарюють мислення, але загалом усі елементи працюють злагоджено: почуття відкриті світу, а логічне мислення здатне з цієї вершини називати та знаходити міри речей.

Механізм творчості, розвиваючись нормально, досягає стану, що дозволяє одержувати певні плоди. Він починає працювати. У цьому віці вперед виходить механізм почуттів. У міру того, як уява та його продукти оцінюються почуттями та мисленням, між ними виникає антагонізм. Перемагають почуття. Ця здатність поступово набирає потужність, і юнак починає нею користуватися.

34 роки- Врівноваженість і гармонійність, продуктивна дієвість таланту. Гармонія мислення, почуттів та уяви, психомоторики, яка поповнюється оптимальним енергопотенціалом, та механізм загалом народжується можливість виконувати геніальну роботу.

55 років- Людина може стати творцем. Третя гармонійна вершина життя: мислення підпорядковує собі силу почуттів.

Числа Фібоначчі називають етапи розвитку. Чи пройде людина цей шлях без зупинок, залежить від батьків і вчителів, освітньої системи, а далі — від неї самої і від того, як людина пізнаватиме і долатиме саму себе.

На життєвому шляху людина відкриває 7 предметів стосунків:

Від дня народження до 2-х років – відкриття фізичного та предметного світу найближчого оточення.

Від 2-х до 3-х років – відкриття себе: «Я – Сам».

Від 3-х до 5-ти років – мова, дієвий світ слів, гармонії та системи «Я – Ти».

Від 5-ти до 8-ми років – відкриття світу чужих думок, почуттів та образів – системи «Я – Ми».

Від 8 до 13 років – відкриття світу завдань та проблем, вирішених геніями та талантами людства – системи «Я – Духовність».

Від 13 до 21 року - відкриття здібностей самостійно вирішувати всім відомі завдання, коли думки, почуття та уява починають активно працювати, виникає система "Я - Ноосфера".

Від 21 до 34 років – відкриття здатності створювати новий світ чи його фрагменти – усвідомлення самоконцепції «Я – Творець».

Життєвий шлях має просторово-часову структуру. Він складається з вікових та індивідуальних фаз, що визначаються за багатьма параметрами життя. Людина опановує певною мірою обставинами свого життя, стає творцем своєї історії та творцем історії суспільства. Справді творче ставлення до життя, однак, з'являється далеко не відразу і навіть не у кожної людини. Між фазами життєвого шляху існують генетичні зв'язки, і це зумовлює його закономірний характер. Звідси випливає, що в принципі можна передбачати майбутній розвиток на основі знання про його ранні фази.

Числа Фібоначчі в астрономії

З історії астрономії відомо, що І.Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою ряду Фібоначчі знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи. Але один випадок, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Але після смерті Тиціуса на початку ХІХ ст. Зосереджене спостереження за цією ділянкою піднебіння призвело до відкриття поясу астероїдів.

Висновок

У процесі дослідження я з'ясував, що числа Фібоначчі знайшли широке застосування у технічному аналізі ціни біржі. Один із найпростіших способів застосування чисел Фібоначчі на практиці - визначення відрізків часу, через яке відбудеться та чи інша подія, наприклад, зміна ціни. Аналітик відраховує певну кількість фібоначчієвських днів або тижнів (13,21,34,55 і т.д.) від попередньої подібної події та робить прогноз. Але в цьому мені дуже складно розібратися. Хоча Фібоначчі і був найбільшим математиком середньовіччя, єдині пам'ятники Фібоначчі - це статуя навпроти Пізанської вежі та дві вулиці, які носять його ім'я: одна - у Пізі, а інша - у Флоренції. І все-таки у зв'язку з усім побаченим і прочитаним мною виникають цілком закономірні питання. Звідки взялися ці цифри? Хто цей архітектор всесвіту, який спробував зробити його ідеальним? Що буде далі? Знайшовши відповідь одне питання, отримаєш наступний. Розгадаєш його, отримаєш два нові. Розберешся з ними, з'являться ще три. Вирішивши і їх, обзаведешся п'ятьма невирішеними. Потім вісім, тринадцять і т.д. Не забувайте, що на двох руках по п'ять пальців, два з яких складаються з двох фалангів, а вісім - з трьох.

Література:

Волошинов О.В. «Математика та мистецтво», М., Просвітництво, 1992р.

Воробйов Н.М. "Числа Фібоначчі", М., Наука, 1984р.

Стахов А.П. «Код да Вінчі та ряд Фібоначчі», Пітер формат, 2006

Ф. Корвалан «Золотий перетин. Математична мова краси», М., Де Агостіні, 2014

Максименко С.Д. «Сенситивні періоди життя та його коди».

«Числа Фібоначчі». Вікіпедія

У всесвіті ще багато нерозгаданих таємниць, деякі з яких вчені вже змогли визначити та описати. Числа Фібоначчі та золотий перетин становлять основу розгадки навколишнього світу, побудови його форми та оптимального зорового сприйняття людиною, за допомогою яких вона може відчувати красу та гармонію.

Золотий перетин

Принцип визначення розмірів золотого перерізу лежить в основі досконалості цілого світу та його частин у своїй структурі та функціях, його прояв можна бачити у природі, мистецтві та техніці. Вчення про золоту пропорцію було закладено в результаті досліджень давніми вченими природи чисел.

В основі його лежить теорія про пропорції та співвідношення поділів відрізків, яке було зроблено ще давнім філософом та математиком Піфагором. Він довів, що при розділенні відрізка на дві частини: X (меншу) і Y (велику), відношення більшого до меншого буде рівним відношенню їх суми (всього відрізка):

В результаті виходить рівняння: х 2 - х - 1 = 0,яке вирішується як х=(1±√5)/2.

Якщо розглянути співвідношення 1/х, воно дорівнює 1,618…

Свідчення використання древніми мислителями золотої пропорції наведено у книзі Евкліда «Початку», написаної ще 3 в. до н.е., який застосовував це правило для побудови правильних 5-кутників. У піфагорійців ця фігура вважається священною, оскільки є одночасно симетричною та асиметричною. Пентаграма символізувала життя та здоров'я.

Числа Фібоначчі

Знаменита книга Liber abaci математика з Італії Леонардо Пізанського, який у подальшому став відомий, як Фібоначчі, побачила світ у 1202 р. У ній учений вперше наводить закономірність чисел, серед яких кожне число є сумою 2-х попередніх цифр. Послідовність чисел Фібоначчі полягає в наступному:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і т.д.

Також вчений навів низку закономірностей:

• Будь-яке число з ряду, розділене на наступне, дорівнюватиме значенню, яке прагне 0,618. Причому перші числа Фібоначчі не дають такого числа, але в міру просування від початку послідовності це співвідношення буде дедалі точнішим.
• Якщо ж поділити число із ряду на попереднє, то результат спрямує до 1,618.
• Одне число, поділене наступне через одне, покаже значення, що прагне 0,382.

Застосування зв'язку і закономірностей золотого перерізу, числа Фібоначчі (0,618) можна знайти у математиці, а й у природі, історія, архітектурі та будівництві й у багатьох інших науках.

Спіраль Архімеда та золотий прямокутник

Спіралі, дуже поширені у природі, було досліджено Архімедом, який навіть вивів її рівняння. Форма спіралі ґрунтується на законах про золотий переріз. При її розкручуванні виходить довжина, до якої можна застосувати пропорції та числа Фібоначчі, збільшення кроку відбувається рівномірно.

Паралель між числами Фібоначчі та золотим перетином можна побачити і побудувавши «золотий прямокутник», у якого сторони пропорційні, як 1,618:1. Він будується, переходячи від більшого прямокутника до малих так, що довжини сторін дорівнюватимуть числам з ряду. Побудову його можна зробити і у зворотному порядку, починаючи з квадратика «1». При з'єднанні лініями кутів цього прямокутника у центрі їх перетину виходить спіраль Фібоначчі або логарифмічна.

Історія застосування золотих пропорцій

Багато стародавніх пам'яток архітектури Єгипту зведено з використанням золотих пропорцій: знамениті піраміди Хеопса та ін. Архітектори Стародавньої Греції широко використовували їх при зведенні архітектурних об'єктів, таких як храми, амфітеатри, стадіони. Наприклад, були застосовані такі пропорції при будівництві античного храму Парфенон, (Афіни) та інших об'єктів, які стали шедеврами стародавнього зодчества, що демонструють гармонію на математичній закономірності.

У пізніші століття інтерес до золотого перетину вщух, і закономірності були забуті, проте знову відновився в епоху Ренесансу разом з книгою францисканського ченця Л. Пачолі ді Борго «Божественна пропорція» (1509). У ній було наведено ілюстрації Леонардо да Вінчі, який і закріпив нову назву «золотий перетин». Також було науково доведено 12 властивостей золотої пропорції, причому автор розповідав про те, як проявляється вона у природі, мистецтві та називав її «принципом побудови світу та природи».

Вітрувіанська людина Леонардо

Малюнок, яким Леонардо да Вінчі в 1492 проілюстрував книгу Вітрувія, зображує фігуру людини в 2-х позиціях з руками, розведеними в сторони. Фігура вписана у коло та квадрат. Цей малюнок прийнято вважати канонічними пропорціями людського тіла (чоловічого), описаними Леонардо з урахуванням вивчення в трактатах римського архітектора Вітрувія.

Центром тіла як рівновіддаленою точкою від кінця рук і ніг вважається пупок, довжина рук прирівнюється до зростання людини, максимальна ширина плечей = 1/8 росту, відстань від верху грудей до волосся = 1/7, від верху грудей до верху голови = 1/6 і т.д.

З того часу малюнок використовується у вигляді символу, що показує внутрішню симетрію тіла людини.

Термін "Золотий перетин" Леонардо використовував для позначення пропорційних відносин у фігурі людини. Наприклад, відстань від пояса до ніг співвідноситься до аналогічної відстані від пупка до верхівки так само, як зростання до першої довжини (від пояса вниз). Ці обчислення виробляється аналогічно співвідношенню відрізків при обчисленні золотої пропорції і прагне 1,618.

Всі ці гармонійні пропорції часто використовуються митцями для створення красивих і вражаючих творів.

Дослідження золотого перерізу у 16-19 століттях

Використовуючи золотий перетин та числа Фібоначчі, дослідницьку роботу з питання пропорції продовжують уже не одне століття. Паралельно з Леонардо да Вінчі німецький художник Альбрехт Дюрер займався також розробкою теорії правильних пропорцій тіла людини. Для цього їм навіть було створено спеціальний циркуль.

У 16 ст. питанню про зв'язок числа Фібоначчі та золотого перерізу були присвячені роботи астронома І. Кеплера, який вперше застосував ці правила для ботаніки.

Нове «відкриття» чекало на золотий перетин у 19 ст. з опублікуванням "Естетичного дослідження" німецького вченого професора Цейзіга. Він звів ці пропорції в абсолют і оголосив у тому, що вони універсальні всім природних явищ. Їм були проведені дослідження величезної кількості людей, вірніше їх тілесних пропорцій (близько 2 тис.), за підсумками яких зроблено висновки про статистичні підтверджені закономірності у співвідношеннях різних частин тіла: довжини плечей, передпліч, кистей, пальців і т.д.

Було досліджено також предмети мистецтва (вази, архітектурні споруди), музичні тони, розміри при написанні віршів — усе це Цейзіг відобразив через довжини відрізків і цифри, він запровадив термін «математична естетика». Після отримання результатів з'ясувалося, що виходить низка Фібоначчі.

Число Фібоначчі та золотий перетин у природі

У рослинному та тваринному світі існує тенденція до формоутворення у вигляді симетрії, яка спостерігається у напрямку зростання та руху. Поділ на симетричні частини, в яких дотримуються золоті пропорції, така закономірність властива багатьом рослинам і тваринам.

Природа навколо нас може бути описана за допомогою чисел Фібоначчі, наприклад:

• розташування листя або гілок будь-яких рослин, а також відстані співвідносяться з рядом наведених чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і далі;
• насіння соняшника (луска на шишках, осередки ананаса), розташовуючись двома рядами по закручених спіралях у різні боки;
• співвідношення довжини хвоста та всього тіла ящірки;
• форма яйця, якщо провести лінію умовно через його широку частину;
• співвідношення розмірів пальців на руці людини.

І, звичайно, найцікавіші форми представляють раковини равликів, що закручуються по спіралі, візерунки на павутині, рух вітру всередині урагану, подвійна спіраль в ДНК і структура галактик — всі вони включають послідовність чисел Фібоначчі.

Використання золотого перерізу мистецтво

Дослідники, які займаються пошуком у мистецтві прикладів використання золотого перерізу, докладно досліджують різноманітні архітектурні об'єкти та твори живопису. Відомі знамениті скульптурні роботи, творці яких дотримувалися золотих пропорцій, - статуї Зевса Олімпійського, Аполлона Бельведерського та

Один із творів Леонардо да Вінчі — «Портрет Мони Лізи» — вже багато років є предметом досліджень вчених. Ними було виявлено, що композиція роботи повністю складається із «золотих трикутників», об'єднаних разом у правильний п'ятикутник-зірку. Всі роботи да Вінчі є свідченням того, наскільки глибокими були його пізнання в будові та пропорціях тіла людини, завдяки чому він і зміг вловити неймовірно загадкову усмішку Джоконди.

Золотий перетин в архітектурі

Як приклад, вчені досліджували шедеври архітектури, створені за правилами «золотого перерізу»: єгипетські піраміди, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Парі, храм Василя Блаженного та ін.

Парфенон — одне з найкрасивіших будівель у Стародавню Грецію (5 в. е.) — має 8 колон і 17 з різних боків, відношення його висоти до довжини сторін дорівнює 0,618. Виступи на його фасадах зроблено за «золотим перерізом» (фото нижче).

Одним із вчених, який придумав та успішно застосовував удосконалення модульної системи пропорцій для архітектурних об'єктів (так званий «модулер»), був французький архітектор Ле Корбюзьє. В основу модулера покладено вимірювальну систему, пов'язану з умовним розподілом на частини людського тіла.

Російський архітектор М. Козаков, який збудував кілька житлових будинків у Москві, а також будівлі сенату в Кремлі та Голицинській лікарні (зараз 1-а Клінічна ім. М. І. Пирогова), був одним з архітекторів, які використовували при проектуванні та будівництві закони про золотий переріз.

Застосування пропорцій у дизайні

У дизайні одягу всі модельєри роблять нові образи та моделі з урахуванням пропорцій людського тіла та правил золотого перетину, хоча від природи не всі люди мають ідеальні пропорції.

При плануванні ландшафтного дизайну та створенні об'ємних паркових композицій за допомогою рослин (дерев та чагарників), фонтанів та малих архітектурних об'єктів також можуть застосовуватися закономірності «божественних пропорцій». Адже композиція парку має бути орієнтована на створення враження на відвідувача, який вільно зможе орієнтуватися у ньому та знаходити композиційний центр.

Всі елементи парку знаходяться в таких співвідношеннях, щоб за допомогою геометричної будови, взаєморозташування, освітлення та світла справити на людину враження гармонії та досконалості.

Застосування золотого перерізу в кібернетиці та техніці

Закономірності золотого перерізу та чисел Фібоначчі виявляються також у переходах енергії, у процесах, що відбуваються з елементарними частинками, що становлять хімічні сполуки, у космічних системах, у генній структурі ДНК.

Аналогічні процеси відбуваються і в організмі людини, виявляючись у біоритмах його життя, у дії органів, наприклад, головного мозку чи зору.

Алгоритми та закономірності золотих пропорцій широко використовуються в сучасній кібернетиці та інформатиці. Одне з нескладних завдань, яке дають вирішувати програмістам-початківцям, — написати формулу і визначити, суму чисел Фібоначчі до певного числа, використовуючи мови програмування.

Сучасні дослідження теорії про золоту пропорцію

Починаючи з середини 20 століття, інтерес до проблем та впливу закономірностей золотих пропорцій на життя людини різко зростає, причому з боку багатьох вчених різних професій: математиків, дослідників етносу, біологів, філософів, медичних працівників, економістів, музикантів та ін.

У США з 1970-х років починає випускатись журнал The Fibonacci Quarterly, де публікуються роботи на цю тему. У пресі з'являються роботи, у яких узагальнені правила золотого перерізу та ряду Фібоначчі використовують у різних галузях знань. Наприклад, для кодування інформації, хімічних досліджень, біологічних та ін.

Усе це підтверджує висновки древніх і сучасних вчених у тому, що золота пропорція багатосторонньо пов'язані з фундаментальними питаннями науку й проявляється у симетрії багатьох творінь і явищ навколишнього світу.