Статистичне визначення імовірності. Завдання на класичне визначення ймовірності.

Теорія ймовірностей - математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах. Виникнення теорії належить до середини XVII століття пов'язане з ім'ям Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернуллі.

Нерозкладні результати,..., деякого експерименту називатимемо елементарними подіями, які сукупність

(Кінцевим) простором елементарних подій, або простором результатів.

Приклад 21. а) При підкиданні гральної кістки простір елементарних подій складається із шести точок:

б) Підкидаємо монету двічі поспіль, тоді

де Г - "герб", Р - "решітка" і загальна кількість наслідків

в) Підкидаємо монету до першої появи "герба", тоді

І тут називається дискретним простором елементарних подій.

Зазвичай цікавляться тим, який саме результат має місце у результаті випробування, тим, чи належить результат тому чи іншому підмножині всіх результатів. Всі ті підмножини, для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: "вихід" або "вихід", називатимемо подіями.

У прикладі 21 б) безліч = (РР, ГР, РР) є подією, що полягає в тому, що випадає принаймні один "герб". Подія складається з трьох елементарних наслідків простору, тому

Сумою двох подій і називається подія, що полягає у виконанні події чи події.

Добутком подій і називається подія, що полягає у спільному виконанні події та події.

Протилежним по відношенню до події називається подія, яка полягає в непояві і, отже, доповнює її до.

Багато називається достовірною подією, порожня безліч - неможливим.

Якщо кожна поява події супроводжується появою, то пишуть і кажуть, що передує чи тягне за собою.

Події називаються рівносильними, якщо і.

Визначення. Імовірністю події називається число, що дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, що становлять подію, до всіх елементарних наслідків

Випадок рівноможливих подій, (називається "класичним", тому і ймовірність

називається "класичною".

Елементарні події (виходи досвіду), що входять у подію, називаються "сприятливими".

Властивості класичної ймовірності:

Якщо (і – несумісні події).

Приклад 22 (завдання Гюйгенса). В урні 2 білих та 4 чорні кулі. Один азартний чоловік тримає парі з іншим, що серед вийнятих 3 куль буде рівно одна біла. У якому відношенні перебувають шанси тих, хто сперечається?

Рішення 1 (традиційне). В даному випадку випробування = (виймання 3 куль), а подія - сприятливе одному з тих, хто сперечається:

= (дістати рівно одну білу кулю).

Оскільки порядок виймання трьох куль не важливий, то

Одну білу кулю можна дістати у випадках, а дві чорні - і тоді за основним правилом комбінаторики. Звідси а за п'ятою властивістю ймовірності Отже,

Рішення 2. Складемо ймовірне дерево результатів:

Приклад 23. Розглянемо скарбничку, в якій залишилося чотири монети – три по 2 руб. та одна в 5 руб. Виймаємо дві монети.

Рішення. а) Два послідовні вилучення (з поверненням) можуть призвести до таких результатів:

Якою є ймовірність кожного з цих результатів?

У таблиці показано усі шістнадцять можливих випадків.

Отже,

До тих самих результатів веде і таке дерево:

б) Два послідовні вилучення (без повторення) можуть призвести до наступних трьох результатів:

У таблиці покажемо всі можливі результати:

Отже,

До тих самих результатів веде і відповідне дерево:

Приклад 24 (завдання де Мере). Двоє грають у "орлянку" до п'яти перемог. Гра припинена, коли перший виграв чотири партії, а другий – три. Як у цьому випадку слід поділити початкову ставку?

Рішення. Нехай подія = (виграти приз першим гравцем). Тоді ймовірне дерево виграшу для першого гравця наступне:

Звідси і три частини ставки слід віддати першому гравцю, а другому - одну частину.

Покажемо ефективність розв'язання ймовірнісних завдань за допомогою графів та на наступному прикладі, який ми розглядали у §1 (приклад 2).

Приклад 25. Чи є вибір за допомогою "рахунку" справедливим?

Рішення. Складемо ймовірне дерево результатів:

і, отже, при грі в "рахунки" вигідніше стояти другим.

В останньому рішенні використані інтерпретації на графах теорем додавання та множення ймовірностей:

і зокрема

Якщо і - несумісні події

і, якщо і – незалежні події.

Статична ймовірність

Класичне визначення під час розгляду складних проблем наштовхується на труднощі непереборного характеру. Зокрема, у деяких випадках виявити рівноможливі випадки може бути неможливим. Навіть у випадку з монеткою, як відомо існує явно не рівноймовірна можливість випадання "ребра", яку з теоретичних міркувань оцінити неможливо (можна тільки сказати, що воно малоймовірне і це міркування швидше практичне). Тому ще на зорі становлення теорії ймовірностей було запропоновано альтернативне "частотне" визначення ймовірності. А саме формально ймовірність можна визначити як межу частоти спостережень події A, припускаючи однорідність спостережень (тобто однаковість усіх умов спостереження) та їх незалежність один від одного:

де – кількість спостережень, а – кількість настань події.

Незважаючи на те, що дане визначення скоріше вказує на спосіб оцінки невідомої ймовірності – шляхом великої кількості однорідних та незалежних спостережень – проте у такому визначенні відображено зміст поняття ймовірності. А саме, якщо події приписується деяка ймовірність, як об'єктивний захід його можливості, то це означає, що при фіксованих умовах і багаторазовому повторенні ми повинні отримати частоту його появи, близьку до (тим більш близьку, чим більше спостережень). Власне, у цьому полягає вихідний зміст поняття ймовірності. У основі лежить об'єктивістський погляд явища природи. Нижче будуть розглянуті так звані закони великих чисел, які дають теоретичну основу (у рамках сучасного аксіоматичного підходу, що викладається нижче) у тому числі для частотної оцінки ймовірності.

Основи теорії ймовірності

План:

1. Випадкові події

2. Класичне визначення ймовірності

3. Обчислення ймовірностей подій та комбінаторика

4. Геометрична ймовірність

Теоретичні відомості

Випадкові події

Випадкове явище- Явлення, результат якого однозначно не визначено. Це поняття можна трактувати у досить широкому значенні. А саме: все в природі досить випадково, поява і народження будь-якого індивідуума є випадкове явище, вибір товару в магазині також випадкове явище, отримання оцінки на іспиті є випадкове явище, захворювання та одужання є випадкові явища і т.д.

Приклади випадкових явищ:

~ Здійснюється стрілянина з гармати, встановленим під заданим кутом до горизонту. Попадання його в ціль випадково, але влучення снаряда в деяку "вилку" є закономірністю. Можна вказати відстань, ближче за яку і далі за яку, снаряд не полетить. Вийде деяка "вилка розсіювання снарядів"

~ Одне і тіло зважується кілька разів. Строго кажучи, щоразу виходитимуть різні результати, що нехай відрізняються на мізерно малу величину, але відрізнятимуться.

~ Літак, літаючи по тому самому маршруту, має деякий політний коридор, в межах якого може лавірувати літак, але ніколи у нього не буде строго однакового маршруту

~ Спортсмен ніколи не зможе пробігти одну і ту ж дистанцію з однаковим часом. Його результати також будуть у межах деякого чисельного проміжку.

Досвід, експеримент, спостереження є випробуваннями

Випробування– спостереження чи виконання деякого комплексу умов, виконуваних неодноразово, причому регулярно повторюваних у ній і послідовності, тривалості, з дотриманням інших однакових параметрів.

Розглянемо виконання спортсменом пострілу з мішені. Щоб він був зроблений, необхідно виконати такі умови як виготовлення спортсмена, зарядка зброї, прицілювання тощо. "Потрапив" та "не потрапив" – події, як результат пострілу.

Подія- Якісний результат випробування.

Подія може відбутися або не відбутися. Події позначаються великими латинськими літерами. Наприклад: D = "Стрілок потрапив у мішень". S="Вийнято білу кулю". K="Взятий лотерейний квиток без виграшу.".

Підкидання монети – випробування. Падіння її "гербом" - одна подія, падіння її "цифрою" - друга подія.

Будь-яке випробування передбачає настання кількох подій. Одні з них можуть бути необхідними в даний час дослідникові, інші - не потрібними.

Подія називається випадковою, якщо під час здійснення певної сукупності умов Sвоно може або статися, або статися. Надалі, замість того, щоб говорити "сукупність умов S здійснена", говоритимемо коротко: "Зроблено випробування". Таким чином, подія розглядатиметься як результат випробування.

~ Стрілець стріляє по мішені, розділеній на чотири області. Постріл – це випробування. Попадання у певну область мішені – подія.

~ У урні є кольорові кулі. З урни навмання беруть одну кулю. Вилучення кулі з урни є випробування. Поява кулі певного кольору – подія.

Види випадкових подій

1. Події називають несумісними,якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні.

~ З ящика з деталями навмання витягнуто деталь. Поява стандартної деталі унеможливлює появу нестандартної деталі. Події € з'явилася "стандартна деталь" і з'явилася "нестандартна деталь" - несумісні.

~ Покинута монета. Поява "герба" ​​виключає появу напису. Події "з'явився герб" і "з'явився напис" - несумісні.

Декілька подій утворюють повну групу,якщо в результаті випробування з'явиться хоч одне з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірною подією.

Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одна і тільки одна з цих подій. Цей окремий випадок представляє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

~ Придбано два квитки грошово-речової лотереї. Обов'язково відбудеться одна і лише одна з наступних подій:

1. "виграш випав на перший квиток і не випав на другий",

2. "виграш не випав на перший квиток і випав на другий",

3. "виграш випав на обидва квитки",

4. "на обидва квитки виграш не випав".

Ці події утворюють повну групу попарно несумісних подій,

~ Стрілець зробив постріл по меті. Обов'язково відбудеться одна з наступних двох подій: попадання, промах. Ці дві несумісні події також утворюють повну групу.

2. Події називають рівноможливими,якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інша.

~ Поява "герба" ​​та поява напису при киданні монети - рівноможливі події. Справді, передбачається, що монета виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму, і наявність карбування не впливає випадання тієї чи іншої боку монети.

~ Поява того чи іншого числа очок на кинутій гральній кістці – рівноможливі події. Справді, передбачається, що гральна кістка виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має форму правильного багатогранника, і наявність очок не впливає випадання будь-якої грані.

3. Подія називається достовірним,якщо воно не може не статися

4. Подія називається не достовірнимякщо воно не може статися.

5. Подія називаються протилежнимдо певної події, якщо вона складається з появи цієї події. Протилежні події не сумісні, але одна з них має обов'язково відбутися. Протилежні події прийнято позначати як заперечення, тобто. над літерою пишеться рисочка. Події протилежні: А та Ā; U та Ū і т.д. .

Класичне визначення ймовірності

Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей.

Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення та наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо ситуацію: У ящику міститься 6 однакових куль, причому 2 – червоні, 3 – сині та 1-білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з кольорової урни (тобто червоний або синій) кулю більше, ніж можливість витягти білу кулю. Цю можливість можна охарактеризувати числом, яке називають ймовірністю події (появи - кольорової кулі).

Ймовірність- Число, що характеризує ступінь можливості появи події.

У ситуації позначимо:

Подія А = "Витягування кольорової кулі".

Кожен із можливих результатів випробування (випробування полягає у вилученні кулі з урни) назвемо елементарним (можливим) результатом та подією.Елементарні наслідки можна позначати літерами з індексами внизу, наприклад: k 1 , k 2 .

У нашому прикладі 6 куль, тому 6 можливих результатів: з'явилася біла куля; з'явилася червона куля; з'явилася синя куля і т.д. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Елементарні результати, у яких цікава для нас подія настає, назвемо сприятливими наслідкамицій події. У нашому прикладі сприяють події А(Поява кольорової кулі) наступні 5 результатів:

Таким чином, подія Аспостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних результатів, що сприяють А.Це поява будь-якої кольорової кулі, яких у ящику 5 штук

У аналізованому прикладі елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А.Отже, Р(А)= 5/6. Це число дає кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі.

Визначення ймовірності:

Імовірністю події Аназивається відношення числа сприятливих цій події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу.

Р(А)=m/n або Р(А)=m: n, де:

m - число елементарних результатів, що сприяють А;

п- Число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні наслідки несумісні, рівноможливі та утворюють повну групу.

З визначення ймовірності випливають такі властивості:

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку m = nотже, p=1

2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. І тут m=0, отже, p=0.

3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею. 0т< n.

У наступних темах будуть наведені теореми, які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірність інших подій.

Промір. У групі студентів 6 дівчат та 4 юнаків. Яка ймовірність того, що навмання обраний студент буде дівчина? буде юнак?

p дів = 6 / 10 = 0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4

Поняття "імовірність" у сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовано на теоретико-множинні основі. Розгляньмо деякі моменти такого підходу.

Нехай у результаті випробування настає одна і лише одна з подій: w i(i = 1, 2, .... п). Події w i,- називається елементарними подіями (елементарними наслідками). Прозвідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подійΩ (грецька буква омега велика), а самі елементарні події - точками цього простору..

Подія Аототожнюють з підмножиною (простору Ω), елементи якого є елементарними наслідками, що сприяють А;подія Ує підмножина Ω , елементи якого є результати, що сприяють В,і т, д. Таким чином, безлічі всіх подій, які можуть наступити у випробуванні, є безліч всіх підмножин Ω, Само Ω настає за будь-якого результату випробування, тому Ω - достовірна подія; порожнє підмножина простору Ω - неможлива подія (вона не настає ні при якому результаті випробування).

Елементарні події виділяються з усіх подій тим, "по кожну з них містить тільки один елемент Ω

Кожному елементарному результату w iставлять у відповідність позитивне число р i- ймовірність цього результату, причому сума всіх р iдорівнює 1 або зі знаком суми цей факт запишеться у вигляді виразу:

За визначенням, ймовірність Р(А)події Адорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють А.Тому ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого – нулю, довільного – укладена між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливі, Число результатів дорівнює л, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці; отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1/п. Нехай події Асприяє m результатів.

Ймовірність події Адорівнює сумі ймовірностей наслідків, що сприяють А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Отримано класичне визначення ймовірності.

Існує ще аксіоматичнийпідхід до поняття "імовірність". У системі аксіом, запропонованої. Колмогоровим А. Н, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності.

Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події Апоставлене у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А).Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:

3. Імовірність настання хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей до залежності між ними виводять як теорем.

МУНІЦИПАЛЬНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА

ГІМНАЗІЯ №6

на тему "Класичне визначення ймовірності".

Виконала учениця 8 «Б» класу

Клімантова Олександра.

Вчитель з математики: Віденькіна В. А.

Воронеж, 2008

У багатьох іграх використовують гральний кубик. У кубика 6 граней, на кожній грані відзначено різну кількість точок-від 1 до 6. Граючий кидає кубик і дивиться, скільки точок є на грані, що випала (на тій грані, яка розташовується зверху). Досить часто точки на межі кубика замінюють відповідним числом і тоді говорять про випадання 1, 2 або 6. Кидання кубика можна вважати досвідом, експериментом, випробуванням, а отриманий результат - результатом випробування або елементарною подією. Людям цікаво вгадувати настання тієї чи іншої події, передбачати його результат. Які передбачення можуть зробити, коли кидають гральний кубик? Наприклад, такі:

1. подія А-випадає цифра 1, 2, 3, 4, 5 або 6;
2. подія В-випадає цифра 7, 8 або 9;
3. подія С-випадає цифра 1.

Подія А, передбачена у першому випадку, обов'язково настане. Взагалі подію, яка в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірною подією.

Подія, передбачена в другому випадку, ніколи не настане, це просто неможливо. Взагалі подію, яка в даному досвіді наступити не може, називають неможливою подією.

А подія С, передбачена у третьому випадку, настане чи не настане? На це питання ми з упевненістю відповісти не в змозі, оскільки 1 може випасти, а може і не випасти. Подія, яка в даному досвіді може як наступити, так і не наступити, називають випадковою подією.

Думаючи про настання достовірної події, ми слово «імовірно» використовувати, швидше за все, не будемо. Наприклад, якщо сьогодні середа, то завтра четвер, це достовірна подія. Ми в середу не говоритимемо: «Мабуть, завтра четвер», ми скажемо коротко і ясно: «Завтра четвер». Щоправда, якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: "Зі стовідсотковою ймовірністю стверджую, що завтра четвер". Навпаки, якщо сьогодні середа, то наступ завтра п'ятниці — неможлива подія. Оцінюючи цю подію у середу, ми можемо сказати так: «Упевнений, що завтра не п'ятниця». Або так: "Неймовірно, що завтра п'ятниця". Ну а якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: «Вірогідність того, що завтра п'ятниця дорівнює нулю». Отже, достовірна подія - це подія, що настає за даних умов зі стовідсотковою ймовірністю(т. е. настає у 10 випадках із 10, у 100 випадках зі 100 і т. д.). Неможлива подія - це подія, що не настає за даних умов ніколи, подія з нульовою ймовірністю.

Але, на жаль (а можливо, і на щастя), не все в житті так чітко і ясно: це буде завжди (достовірна подія), цього не буде ніколи (неможлива подія). Найчастіше ми стикаємося саме з випадковими подіями, одні з яких вірогідніші, інші менш ймовірні. Зазвичай люди використовують слова «імовірніше» або «менш імовірно», як то кажуть, з натхнення, спираючись на те, що називають здоровим глуздом. Але дуже часто такі оцінки виявляються недостатніми, оскільки важливо знати, на скількивідсотків ймовірно випадкова подія або у скільки разіводна випадкова подія імовірніша за іншу. Іншими словами, потрібні точні кількісніПоказники, необхідно вміти охарактеризувати можливість числом.

Перші кроки у цьому напрямі ми вже зробили. Ми говорили, що ймовірність настання достовірної події характеризується як стовідсоткова, а ймовірність настання неможливої ​​події-як нульова. Враховуючи, що 100% одно 1, люди домовилися про таке:

1. ймовірність достовірної події вважається рівною 1;
2. ймовірність неможливої ​​події вважається рівною 0.

А як підрахувати можливість випадкової події? Адже воно сталося випадковоотже, не підпорядковується закономірностям, алгоритмам, формулам. Виявляється, і у світі випадкового діють певні закони, що дозволяють обчислювати ймовірність. Цим займається розділ математики, який так і називається теорія імовірності.

Математика має справу з моделлюдеякого явища навколишньої дійсності. З усіх моделей, що використовуються в теорії ймовірностей, ми обмежимося найпростішим.

Класична імовірнісна схема

Для знаходження ймовірності події А під час проведення деякого досвіду слід:

1) знайти число N всіх можливих наслідків даного досвіду;

2) прийняти припущення про рівноймовірність (рівноможливість) всіх цих результатів;

3) визначити кількість N(А) тих результатів досвіду, у яких настає подія А;

4) знайти приватне ; воно і дорівнюватиме ймовірності події А.

Прийнято можливість події А позначати: Р(А). Пояснення такого позначення дуже просте: слово «імовірність» по-французьки probabilite, по англійськи- probability.У позначенні використовується перша літера слова.

Використовуючи це позначення, ймовірність події А за класичною схемою можна знайти за допомогою формули

Р(А)=.

Часто всі пункти наведеної класичної схеми ймовірності висловлюють однією досить довгою фразою.

Класичне визначення ймовірності

Імовірністю події А під час проведення деякого випробування називають відношення числа результатів, у яких настає подія А, до загального числа всіх рівноможливих між собою результатів цього випробування.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що за одного кидання грального кубика випаде: а) 4; б) 5; в) парне число очок; г) число очок, більше 4; д) число очок, не кратне трьох.

Рішення. Усього є N=6 можливих результатів: випадання грані куба з числом очок, рівним 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Ми вважаємо, що жоден з них не має жодних переваг перед іншими, тобто приймаємо припущення про рівноймовірність цих результатів.

а) Рівно в одному з результатів відбудеться цікава для нас подія А-випадання числа 4. Значить, N(A)=1 і

P(A)= =.

б) Рішення та відповідь такі самі, як і в попередньому пункті.

в) Подія, що цікавить нас, відбудеться рівно в трьох випадках, коли випадає число очок 2, 4 або 6. Значить,

N(B)=3 іP(B)==.

г) Подія, що цікавить нас, відбудеться рівно у двох випадках, коли випаде число очок 5 або 6. Значить,

N(C) =2 і Р(С)=.

д) З шести можливих чисел, що випали чотири (1, 2, 4 і 5) не кратні трьом, а решта два (3 і 6) діляться на три. Отже, подія, що цікавить нас, настає рівно в чотирьох з шести можливих і рівноймовірних між собою і рівноймовірних між собою результатах досвіду. Тому у відповіді виходить.

Відповідь: а); б); в); г); д).

Реальний гральний кубик цілком може відрізнятися від ідеального (модельного) кубика, тому для опису його поведінки потрібна точніша і детальніша модель, яка враховує переваги однієї грані перед іншою, можлива наявність магнітів тощо. Але «диявол криється в деталях», а велика точність веде, зазвичай, до більшої складності, і отримання відповіді стає проблемою. Ми ж обмежуємося розглядом найпростішої ймовірнісної моделі, де всі можливі результати є рівноймовірними.

Зауваження 1. Розглянемо ще приклад. Було поставлене запитання: "Яка ймовірність випадання трійки при одному киданні кубика?" Учень відповів так: «Вірогідність дорівнює 0, 5». І пояснив свою відповідь: «Трійка чи випаде, чи ні. Отже, всього є два результати і рівно в одному настає подія, що цікавить нас. За класичною схемою ймовірності отримуємо відповідь 0, 5 ». Чи є в цій міркуванні помилка? На перший погляд, ні. Однак вона все ж таки є, причому в принциповому моменті. Так, дійсно, трійка або випаде, чи ні, тобто при такому визначенні результату кидання N=2. Щоправда і те, що N(A)=1 і вже, очевидно, вірно, що =0, 5, т. е. три пункти вероятностной схеми враховані, тоді як виконання пункту 2) викликає сумніви. Звичайно, з суто юридичної точки зору, ми маємо право вважати, що випадання трійки рівноймовірне її невипадання. Але ось чи можемо ми так вважати, не порушуючи свої природні припущення про «однаковість» граней? Звичайно, ні! Тут ми маємо справу з правильним міркуванням усередині деякої моделі. Тільки ось сама ця модель «неправильна», яка не відповідає реальному явищу.

Зауваження 2. Розмірковуючи про ймовірність, не упускайте з уваги таку важливу обставину. Якщо ми говоримо, що при киданні кубика ймовірність випадання одного очка дорівнює, це зовсім не означає, що, кинувши кубик 6 разів, ви отримаєте одне очко рівно один раз, кинувши кубик 12 разів, ви отримаєте одне очко рівно два рази, кинувши кубик 18 раз, ви отримаєте одне очко рівно три рази і т. д. Слово ймовірно носить імовірний характер. Ми припускаємо, що, швидше за все, може статися. Імовірно, якщо ми кинемо кубик 600 разів, одне очко випаде 100 разів або близько 100 разів.

Теорія ймовірностей виникла XVII столітті під час аналізу різних азартних ігор. Не дивно тому, що перші приклади мають ігровий характер. Від прикладів із гральними кубиками перейдемо до випадкового витягування гральних карт із колоди.

Приклад 2. З колоди в 36 карт випадковим чином одночасно витягують 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них немає пікової жінки?

Рішення. У нас є багато з 36 елементів. Ми робимо вибір трьох елементів, порядок яких не важливий. Отже, можливе отримання N=C результатів. Будемо діяти за класичною схемою ймовірності, тобто припустимо, що всі ці результати рівноймовірні.

Залишилося обчислити необхідну можливість за класичним визначенням:

А чому рівна ймовірність того, що серед обраних трьох карт є пікова дама? Число всіх таких результатів неважко порахувати, треба просто від усіх результатів N відняти всі ті результати, в яких жінки пік немає, тобто відняти знайдене в прикладі 3 число N(A). Потім цю різницю N—N(A) відповідно до класичної схеми імовірності слід поділити на N. Ось що отримаємо:

Ми бачимо, що між ймовірностями двох подій є певний зв'язок. Якщо подія А полягає у відсутності дами пік, а подія полягає в її наявності серед обраних трьох карт, то

Р(В) = 1-Р(А),

Р(А)+Р(В)=1.

На жаль, у рівності Р(А)+Р(В)=1 немає жодної інформації про зв'язок подій А та В між собою; цей зв'язок нам доводиться пам'ятати. Зручніше було б заздалегідь дати події назва і позначення, що явно вказують на його зв'язок з А.

Визначення 1. Подія Вназивають протилежним події Аі позначають В=, якщо подія відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.

Теорема 1. Для знаходження ймовірності протилежної події слід з одиниці відняти ймовірність самої події: Р(?)= 1—Р(А). Справді,

Насправді обчислюють те, що найпростіше знайти: чи Р(А), чи Р(Ā). Після цього користуються формулою з теореми і знаходять, відповідно, або Р(?)= 1—Р(А), або Р(А)= 1—Р(?).

Часто використовується спосіб вирішення тієї чи іншої задачі «перебором випадків», коли умови завдання розбиваються на випадки, що взаємовиключають один одного, кожен з яких розглядається окремо. Наприклад, «направо підеш - коня втратиш, прямо підеш - завдання по теорії ймовірності вирішувати будеш, наліво підеш - ...». Або при побудові графіка функції у=│х+1│—│2х—5│ розглядають випадки х

Приклад 3. З 50 точок 17 зафарбовані в синій колір, а 13-оранжевий колір. Знайти ймовірність того, що випадково обрана точка виявиться зафарбованою.

Рішення. Усього зафарбовано 30 точок із 50. Значить, ймовірність дорівнює = 0,6.

Відповідь: 0,6.

Розглянемо, однак, цей простий приклад уважніше. Нехай подія А у тому, що обрана точка—синя, а подія У у тому, що обрана точка—помаранчева. За умовою, події А та В не можуть статися одночасно.

Позначимо буквою С подія, що цікавить нас. Подія С настає тоді і лише тоді, коли відбувається хоча б одна з подій А чи В. Зрозуміло, що N(C) = N(A)+N(B).

Поділимо обидві частини цієї рівності на N-число всіх можливих наслідків даного досвіду; отримаємо

Ми на простому прикладі розібрали важливу ситуацію, що часто зустрічається. Для неї є спеціальна назва.

Визначення 2. Події А та В називають несуміснимиякщо вони не можуть відбуватися одночасно.

Теорема 2. Імовірність настання хоча б однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей.

При перекладі цієї теореми на математичну мову виникає необхідність якось назвати і позначити подію, що полягає в настанні хоча б одного з двох даних подій А і В. Таку подію називають сумою подій А і В і позначають А + В.

Якщо А та В несумісні, то Р(А+В)= Р(А)+Р(В).

Справді,

Несумісність подій А та В зручно ілюструвати малюнком. Якщо всі результати досвіду - деяка безліч точок на малюнку, то події А і В - це деякі підмножини даної множини. Несумісність А і означає, що ці два підмножини не перетинаються між собою. Типовий приклад несумісних подій-будь-яка подія А і протилежна подія Ā.

Зрозуміло, зазначена теорема правильна і трьох, і чотирьох, і будь-якого кінцевого числа попарно несовместных подій. Імовірність суми будь-якого числа попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.Це важливе твердження якраз і відповідає способу вирішення завдань «перебором випадків».

Між подіями, що відбуваються в результаті деякого досвіду, і між ймовірностями цих подій можуть бути якісь співвідношення, залежності, зв'язку тощо. Наприклад, події можна «складати», а ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей.

На закінчення обговоримо наступне важливе питання: чи можна довести, Що ймовірність випадання «решки» при одному киданні монети дорівнює

Відповідь негативна. Взагалі кажучи, саме питання не коректне, незрозуміле точне значення слова «довести». Адже ми доводимо що-небудь завжди в рамках деякої моделі, в якій вже відомі правила, закони, аксіоми, формули, теореми і т. п. Якщо йдеться про уявну, «ідеальну» монету, то тому-то вона і вважається ідеальною, що, за визначенням, Імовірність випадання «решки» дорівнює ймовірності випадання «орла» А, в принципі, можна розглянути модель, в якій ймовірність випадання «решки» вдвічі більша за ймовірність випадання «орла» або втричі менша тощо. Тоді виникає питання: чому з різних можливих моделей кидання монети ми вибираємо ту, в якій обидва результати кидання рівноймовірні між собою?

Зовсім лобова відповідь така: «А нам так простіше, зрозуміліше і природніше!» Але є й змістовніші аргументи. Вони приходять із практики. У переважній більшості підручників з теорії ймовірностей наводять приклади французького дослідника природи Ж. Бюффона (XVIII ст.) і англійського математика-статистика К. Пірсона (кінець XIX ст.), які кидали монету, відповідно, 4040 і 24000 разів і підраховували число випадень « або «решки». У них «решка» випала, відповідно, 1992 та 11998 разів. Якщо підрахувати частоту випадання«Рішки», то вийде = = 0,493069 ... у Бюффона і = 0,4995 у Пірсона. Виникає природне припущення, Що з необмеженому збільшенні числа кидань монети частота випадання «решки», як і частота випадання «орла», дедалі більше наближатися до 0,5. Саме це припущення, що ґрунтується на практичних даних, є основою вибору на користь моделі з рівноймовірними наслідками.

Зараз можна підбити підсумки. Основне поняття- ймовірність випадкової події, підрахунок якої проводиться в рамках найпростішої моделі класичної імовірнісної схеми. Важливе значення і теорії, і практиці має поняття протилежної подіїі формула Р(?)= 1—Р(А) для знаходження ймовірності такої події.

Нарешті, ми познайомилися з несумісними подіямита з формулами.

Р(А+В)= Р(А)+Р(В),

Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С),

що дозволяють знаходити ймовірності сумитаких подій.

Список літератури

1.Події. Можливості. Статистична обробка даних: Дод. параграфи до курсу алгебри 7-9 кл. загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.-4-е вид.-М.: Мнемозіна, 2006.-112 с.: іл.

2.Ю. М. Макарічев, Н. Г. Міндюк «Алгебра. Елементи статистики та теорії ймовірностей».-Москва, «Освіта», 2006.

Спочатку, будучи лише зібранням відомостей та емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма та Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей завдячує багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує успіх своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами та програшами — це лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мере, який однаково був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність здобути 12 очок перевищувала 50%?". Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?" Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва питання де Мере, який став мимовільним основоположником розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в цій галузі, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише вороже рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою статистики і широко застосовується у сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченну кількість разів, можна дати визначення випадковому події. Це один із можливих результатів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій у постійних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е…

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складникам.

Імовірність події - це виражена в числовій формі міра можливості появи певної події (А або B) у результаті досвіду. Позначається ймовірність як P(A) або P(B).

Теоретично ймовірностей відрізняють:

• достовірнеподія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р(?) = 1;
• неможливеподія будь-коли може статися Р(Ø) = 0;
• випадковеподія лежить між достовірною та неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0≤Р(А)≤ 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В або обох - А і В.

Стосовно одна до одної події можуть бути:

• Рівноможливими.
• Сумісними.
• Несумісними.
• Протилежними (взаємовиключними).
• Залежними.

Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, вони рівноможливі.

Якщо поява події А не зводить до нуля вірогідність події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в тому самому досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети – гарний приклад: поява решки – це автоматично непоява орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається із суми ймовірностей кожної з подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Якщо наступ однієї події унеможливлює наступ іншого, їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше - (читається як «не А»). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу із сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи чи збільшуючи ймовірність одне одного.

Відносини між подіями. Приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей та комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результат кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один із можливих результатів досвіду - червона куля, синя куля, куля з номером шість і т.д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких забарвлені у синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольору із цифрами від однієї до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія.У вик. №2 подія «дістати синю кулю» достовірну, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, так як всі кулі сині і промахи бути не може. Тоді як подія «дістати кулю із цифрою 1» - випадкова.
• Неможлива подія.У вик. №1 з синіми та червоними кулями подія «дістати фіолетовий шар» неможлива, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівні події.У вик. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливі, а події «дістати кулю з парним числом» та «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
• Сумісні події.Двічі поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
• Несумісні події.У тому ж вик. №1 події «дістати червону кулю» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути поєднані в тому самому досвіді.
• Протилежні події.Найяскравіший приклад цього – підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей – це завжди 1 (повна група).
• Залежні події. Так, у вик. №1 можна поставити за мету витягти двічі поспіль червону кулю. Його вилучення чи невитяг уперше впливає можливість вилучення вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другої (40% та 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від ворожих роздумів до точних даних відбувається у вигляді перекладу теми в математичну площину. Тобто міркування про випадкову подію на зразок "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перекласти до конкретних числових даних. Такий матеріал вже припустимо оцінювати, порівнювати та вводити у складніші розрахунки.

З погляду розрахунку, визначення ймовірності події - це ставлення кількості елементарних позитивних наслідків до кількості всіх можливих наслідків досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р(А), де Р означає слово "probabilite", що з французької перекладається як "ймовірність".

Отже, формула ймовірності події:

Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо ісп. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 сині кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоні з цифрами 2/4/6.

З цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

• A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а лише варіантів 6. Це найпростіший приклад, у якому ймовірність події дорівнює Р(А)=3/6=0,5.
• B – випадання парного числа. Усього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р(B) = 3/6 = 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Усього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події З дорівнює Р(С)=4/6=0,67.

Як очевидно з розрахунків, подія має велику ймовірність, оскільки кількість можливих позитивних результатів вище, ніж у А і У.

Несумісні події

Такі події не можуть одночасно з'явитися в тому самому досвіді. Як у вик. №1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Так само в гральній кістці не можуть одночасно з'явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій сприймається як ймовірність їхньої суми чи твори. Сумою таких подій А+В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а добуток їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток одразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подію, яка передбачає появу принаймні одного з них. Твір кількох подій – це спільна поява їх усіх.

Теоретично ймовірності, зазвичай, вживання союзу " і " означає суму, союзу " чи " - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання та множення теоретично ймовірностей.

Ймовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, у такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих наслідків. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Імовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифри 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Тож якщо у досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад, у досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія, як відомо,

Р(А) + Р(?) = 1

Імовірність твору несумісних подій

Примноження ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з'являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р(А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб двічі з'явиться синя куля, що дорівнює

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб із вилученням куль буде вилучено лише сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко зробити практичні експерименти цього завдання і побачити, чи це так насправді.

Спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те, що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з'явилися одночасно, вони незалежні одна від одної - могла випасти лише одна шістка, друга кістка на неї не має впливу.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їхньої суми.

Ймовірність суми подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):

Р сум. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Припустимо, що можливість попадання на мету одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - попадання в ціль у першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки цілком можливо, що можна вразити мету і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Якою є ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Відповідь на запитання наступна: "Ймовірність потрапити в ціль із двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісних подій, де ймовірність спільної появи події Р(АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена ​​у вигляді двох областей А та В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їхнього об'єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їхнього перетину. Це геометричне пояснення роблять зрозумілішою нелогічну здавалося б формулу. Зазначимо, що геометричні рішення - не рідкість теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми множини (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб вирахувати її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Залежні події

Залежними події називаються у разі, якщо наступ одного (А) їх впливає ймовірність наступу іншого (В). Причому враховується вплив як події А, і його непоява. Хоча події називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р(В) чи ймовірність незалежних подій. У випадку із залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р A (В) , яка є ймовірністю залежної події У за умови події А (гіпотези), від якої воно залежить.

Але ж подія А теж випадкова, тому в неї також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в розрахунках, що здійснюються. Далі на прикладі буде показано, як працювати із залежними подіями та гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом до розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карток розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубнової масті, якщо перша вилучена:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:

Р A (В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і, як і раніше, збереглося повне число бубон (9), тоді ймовірність наступної події:

Р A (В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А умовлена ​​в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події зменшується, і навпаки.

Розмноження залежних подій

Керуючись попереднім розділом, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але, якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме вилучення бубна з колоди карт, дорівнює:

Р(А) = 9/36=1/4

Оскільки теорія немає як така, а покликана служити у практичних цілях, то справедливо відзначити, що найчастіше потрібна ймовірність твори залежних подій.

Відповідно до теореми про добуток ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):

Р(АВ) = Р(А) *Р A(В)

Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з мастиною бубни дорівнює:

9/36*8/35=0,0571, чи 5,7%

І ймовірність вилучення спочатку не бубни, та був бубни, дорівнює:

27/36*9/35=0,19, чи 19%

Видно, що ймовірність появи події більша за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний та зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методами його обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, саме А1,А2,…,А n , ..утворює повну групу подій за умови:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Отже, формула повної ймовірності для події при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А n дорівнює:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна у багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. буд. Деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана у будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки чи несправності.

Можна сміливо сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок у майбутнє, розглядаючи його через призму формул.

Класичне визначення імовірності.

Як було сказано вище, при великій кількості n випробувань частота P*(A)=m/ nпояви події A має стійкість і дає наближене значення ймовірності події A , тобто. .

Ця обставина дозволяє знаходити приблизно ймовірність події досвідченим шляхом. Практично такий спосіб знаходження ймовірності події не завжди є зручним. Адже нам потрібно заздалегідь знати можливість певної події, ще до досвіду. У цьому полягає евристична, передбачувана роль науки. У ряді випадків можливість події вдається визначити до досвіду за допомогою поняття рівноймовірності подій (або рівноможливості).

Дві події називаються рівноймовірними (або рівноможливими ), якщо немає жодних об'єктивних причин вважати, що одне з них може настати частіше, ніж інше.

Так, наприклад, появи герба або написи при киданні монети є рівноймовірними подіями.

Розглянемо інший приклад. Нехай кидають гральну кістку. Через симетрію кубика можна вважати, що поява будь-якої з цифр 1, 2, 3, 4, 5 або 6 однаково можливо (рівноймовірно).

Події у цьому досвіді утворюють повну групу якщо в результаті досвіду має відбутися хоча б одне з них. Так, в останньому прикладі повна група подій складається із шести подій – появ цифр 1, 2, 3, 4, 5 і 6.

Очевидно, будь-яка подія A та протилежна йому подія утворюють повну групу.

Подія B називається сприятливим події A , якщо настання події B тягне за собою настання події A . Так, якщо A - поява парного числа очок при киданні гральної кістки, то поява цифри 4 є подією, що сприяє подію A.

Нехай події у цьому досвіді утворюють повну групу рівноймовірних і попарно несумісних подій. Будемо називати їх наслідками випробування. Припустимо, що подію A сприяють наслідкам випробування. Тоді ймовірністю події A у цьому досвіді називають ставлення. Отже, ми приходимо до наступного визначення.

Імовірністю P(A) події в даному досвіді називається відношення числа результатів досвіду, що сприяють події A, до загального числа можливих результатів досвіду, що утворюють повну групу рівноймовірних попарно несумісних подій: .

Це визначення ймовірності часто називають класичним. Можна показати, що класичне визначення відповідає аксіомам ймовірності.

приклад 1.1.На завод привезли партію з 1000 підшипників. Випадково до цієї партії потрапило 30 підшипників, які не задовольняють стандарту. Визначити ймовірність P(A) того, що взятий навмання підшипник виявиться стандартним.

Рішення:Число стандартних підшипників дорівнює 1000-30=970 . Вважатимемо, що кожен підшипник має однакову ймовірність бути обраним. Тоді повна група подій складається з рівноймовірних наслідків, з яких події A сприяють наслідкам. Тому .

приклад 1.2.В урні 10 куль: 3 білих та 7 чорний. З урни виймають відразу дві кулі. Яка ймовірність р того, що обидві кулі виявляться білими?

Рішення:Число всіх рівноймовірних результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна з 10 куль вийняти два, т. е. числу поєднань з 10 елементів по 2 (Повна група подій):

Число сприятливих результатів (скількими способами можна з 3 куль вибрати 2) : . Отже, шукана ймовірність .

Забігаючи наперед, це завдання можна вирішити й іншим способом.

Рішення:Імовірність того, що при першому випробуванні (витягуванні кулі) буде вийнята біла куля, дорівнює (всього куль 10 , з них 3 білих). Імовірність того, що при другому випробуванні буде вийнята знову біла куля дорівнює (всього куль стало 9, т.к. один вийняли, білих стало 2, т.к. вийняли саме білий). Отже, можливість поєднання подій дорівнює добутку їх можливостей, тобто. .

приклад 1.3.В урні 2 зелених, 7 червоних, 5 коричневих та 10 білі кулі. Яка ймовірність появи кольорової кулі?

Рішення: Знаходимо відповідно ймовірності появи зеленої, червоної та коричневої куль: ; ; . Так як події, що розглядаються, очевидно, несумісні, то, застосовуючи аксіому складання, знайдемо ймовірність появи кольорової кулі:

Або іншим способом. Імовірність появи білої кулі дорівнює. Тоді ймовірність появи небілої кулі (тобто кольорової), тобто. ймовірність протилежної події дорівнює .

Геометричне визначення ймовірності. Щоб подолати нестачу класичного визначення ймовірності (воно не застосовується до випробувань з нескінченним числом результатів), вводять геометричні визначення ймовірності - ймовірності попадання точки в область (відрізок, частина площини тощо).

Нехай відрізок становить частину відрізка. На відрізку навмання поставлена ​​точка, що означає виконання наступних припущень: поставлена ​​точка може опинитися в будь-якій точці відрізка , ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування щодо відрізка . У цих припущеннях ймовірність влучення точки на відрізок визначається рівністю