Сума геометричної прогресії нескінченної спадної та сума її квадратів.

9 жовтня 2018

Геометрична прогресія є одним із найцікавіших числових рядів, які розглядають у шкільному курсі алгебри. Дана стаття присвячена окремому випадку згаданого ряду: спадної нескінченної геометричної прогресії та сумі її членів.

Про який ряд чисел йтиметься?

Прогресією геометричною називають одномірну послідовність дійсних чисел, які пов'язані один з одним наступним співвідношенням:

a 2 = a 1 * r, a 3 = a 2 * r, a 4 = a 3 * r, ...., a n = a n-1 * r

Узагальнюючи вирази вище, можна записати таку рівність:

a n = a 1 * r n-1

Як відомо з наведених записів, a n - це елемент прогресії з номером n. Параметр r, який слід помножити n-1 елемент, щоб отримати n-й, називають знаменником.

Які властивості має описана послідовність? Відповідь питання залежить від величини і знака r. Можливі такі варіанти:

Знаменник r позитивний і більше 1. Прогресія в цьому випадку завжди зростатиме за модулем, при цьому абсолютне значення її членів може і зменшуватися, якщо a 1 буде негативним.
Знаменник r негативний і більше 1. У разі члени прогресії з'являтимуться з чергуванням знака (+ і -). Подібні лави мало цікаві для практики.
Модуль знаменника r менший за 1. Цей ряд називається спадним, причому незалежно від знака r. Саме ця прогресія представляє великий практичний інтерес, про неї йтиметься у цій статті.

Формула для суми

Отримаємо спершу вираз, який дозволить обчислити суму довільної кількості елементів заданої прогресії. Почнемо вирішувати це завдання у лоб. Маємо:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Наведеною рівністю можна користуватися, якщо необхідно порахувати результат для невеликого числа членів (3-4 доданків), кожен із яких визначається за формулою для n-го члена (див. попередній пункт). Однак якщо доданків стає багато, то в лоб вважати незручно і можна припуститися помилки, тому користуються спеціальною формулою.

Обидві частини рівності вище помножимо на r, одержуємо:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Тепер попарно віднімемо ліві та праві частини цих двох виразів, маємо:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Виражаючи суму S n і користуючись формулою для члена a n+1 отримаємо:

S n = (a n+1 - a 1)/(r-1) = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Таким чином, ми отримали загальну формулу для суми перших n доданків типу числового ряду. Зауважимо, що формула справедлива, якщо r≠1. У разі має місце простий ряд однакових чисел, сума яких обчислюється як добуток одного числа з їхньої кількість.

Відео на тему

Як знаходити суму нескінченної геометричної прогресії спадної?

Щоб відповісти на це питання, слід нагадати, що ряд буде меншим, коли | r |<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Зауважимо, що будь-яке число, модуль якого менше 1, при зведенні більшою мірою прагне нуля, тобто r ∞ ->0. Перевірити цей факт можна на будь-якому прикладі:

r = -1/2, тоді (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4 , (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 тощо.

Встановивши цей факт, звернемо увагу на вираз суми: при n->∞ воно буде переписано таким чином:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Вийшов цікавий результат: сума нескінченної прогресії геометричної спадної прагне до кінцевого числа, яке не залежить від кількості доданків. Вона визначається лише першим членом та знаменником. Зауважимо, що знак суми однозначно визначається знаком a 1 оскільки знаменник завжди є позитивним числом (1-r>0).

Сума квадратів нескінченної геометричної прогресії спадної

Назва пункту визначає завдання, яке слід розв'язати. Для цього скористаємося методикою, яка повністю аналогічна до тієї, що застосовувалася для виведення загальної формули для S n . Маємо перший вираз:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Помножимо обидві частини рівності на r 2 записуємо другий вираз:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. + a n+1 2

Тепер знаходимо різницю цих двох рівностей:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Виражаємо M n і використовуємо формулу для n-го елемента, отримуємо рівність:

M n = (a n+1 2 - a 1 2)/(r 2 -1)=a 1 2 *(r 2n -1)/(r 2 -1)

У попередньому пункті було показано, що r ∞ -> 0, тоді кінцева формула набуде вигляду:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Порівняння двох отриманих сум

Порівняємо дві формули: для нескінченної суми і нескінченної суми квадратів на прикладі наступного завдання: сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює 2, відомо, що йдеться про спадну послідовність, для якої знаменник дорівнює 1/3. Необхідно знайти нескінченну суму квадратів цього ряду чисел.

Скористайтеся формулою для суми. Виразимо a 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Підставляємо цей вираз у формулу для суми квадратів, маємо:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Ми отримали потрібну формулу, тепер можна підставляти відомі з умови дані:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Таким чином ми отримали для нескінченної суми квадратів таке ж значення, що і для простої суми. Зауважимо, що цей результат справедливий лише для цього завдання. У випадку M ∞ ≠ S ∞ .

Завдання на обчислення площі прямокутника

Кожному школяреві відома формула S = a * b, що визначає площу прямокутника через його сторони. Мало хто знає, що завдання знаходження площі цієї фігури можна легко вирішити, якщо скористатися сумою нескінченної геометричної прогресії. Покажемо, як це робиться.

Розділимо подумки прямокутник навпіл. Площу однієї половинки приймемо за одиницю. Тепер поділимо другу половинку ще навпіл. Отримаємо дві половинки, одну з яких поділимо ще навпіл. Цю процедуру будемо продовжувати нескінченно (див. малюнок нижче).

У результаті площа прямокутника у вибраних нами одиницях дорівнюватиме:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Видно, що ці доданки є елементами спадного ряду, у якого a 1 = 1 і r = 1/2. Скориставшись формулою для нескінченної суми, отримаємо:

S ∞ = 1 /(1-1/2) = 2

У вибраному масштабі половинка прямокутника (одна одиниця) відповідає площі a*b/2. Це означає, що площа прямокутника дорівнює:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Отриманий результат є очевидним, проте він показав, як можна застосовувати спадну прогресію для вирішення задач у геометрії.

Санкції щодо російського енергетичного сектору з боку США можуть призвести до критичних наслідків – аж до краху енергосистеми Європи. Так вважає Роберт, голова британської нафтогазової компанії ВР.

«Я не думаю, що це станеться. Якщо на «Роснефть», або накласти санкції на кшталт тих, що були застосовані до «Русалу», то ви фактично відключите енергетичні системи Європи, а це вже трохи надто»,

— сказав Дадлі, виступаючи на конференції Oil & Money 2018 у Лондоні (цитата з ).

Було обмежено надання боргового та акціонерного капіталу підприємствам із Росії, а також заборонено постачання обладнання для розвідки та видобутку нафти на шельфі на глибині понад 150 метрів та для розробки сланцевих порід.

У серпні 2017 року США посилили фінансові санкції, запровадили додаткові заборони на постачання товарів та технологій для видобутку, а також законодавчо прописали можливість запровадження обмежень щодо експортних трубопроводів. Через санкції також було припинено практично всі спільні з іноземцями проекти з розробки шельфової та сланцевої нафти.

Експерти неодноразово зазначали, що в майбутньому ці обмеження можуть призвести до зниження рівня видобутку РФ, якщо в країні не буде більше уваги приділятися геологорозвідці та розвитку власних технологій.

Очевидно, що при прийнятті найжорсткішого пакету обмежень у листопаді взаємодія може бути ускладнена, але навряд чи вона перейде в розряд повної зупинки,

вважає Жарський.

Якби очікування були іншими, то з іншого зацікавленого боку почали б надходити такі ж тривожні новини, але нафтовики про такі прогнози не заїкаються, звертає увагу експерт.

Введення жорстких санкцій — це не лише проблеми для Росії, а й головний біль для наших закордонних контрагентів, до яких входять найближчі союзники США, погоджується інвестиційний стратег «БКС Прем'єр».

На думку аналітика, у разі посилення санкцій обмежувальні заходи швидше можуть мати виборчий характер і навряд чи будуть направлені на всю галузь.

Росія займає більше 10% світового ринку нафти, різкий догляд такого великого гравця означатиме бурхливе зростання нафтових. котирувань: потенційно це не тільки удар по європейських, а й решті споживачів нафти

Так, у вересні видобуток нафти в Росії становив 11,35 млн барелів на добу (б/д). За даними ЦДУ ПЕК Міненерго, за січень-вересень 2018 року Росія поставила до країн далекого зарубіжжя 190,212 млн. тонн нафти.

Щодо газового ринку, тут ситуація для ЄС ще серйозніша: на частку Росії припадає близько 34% усіх газових поставок до Європи. При цьому минулого року «Газпром» поставив у дальнє зарубіжжя (ЄС плюс Туреччина) близько 195 млрд. куб м газу. Цього року, за прогнозами експертів та самого монополіста, цей показник перевищить 200 млрд куб.

Оперативно замістити такі обсяги дуже складно. Не кажучи вже про те, що економічно газ із РФ вигідніший європейським країнам, ніж той самий скраплений природний газ (ЗПГ).

Раніше повідомляв, що проти Росії не можна запровадити санкції за жорстким сценарієм Ірану чи Північної Кореї, країна надто глибоко інтегрована у світову економіку. У листопаді буде введено ембарго на постачання нафти з Ірану, і ринок втратить приблизно 1-2 млн барелів. Тільки очікування цього вивело котирування на рівень $80-85 за барель Brent.

Втім, адміністрація не зважає на ризики, розв'язуючи торгові війни з ЄС і Китаєм. Міністр внутрішніх справ США Райан Зінк нещодавно заявив, що США можуть влаштувати морську блокаду Росії. Тож жоден, навіть найнеймовірніший сценарій виключати не можна.

Серед усіх послідовностей чисел геометрична прогресія, яку розглядають у курсі алгебри 9 класу, є однією з найвідоміших. Що вона є і як вирішити геометричну прогресію — на ці питання дана відповідь у цій статті.

Послідовність чисел, яка підпорядковується математичному закону

Назва цього пункту є загальним визначенням геометричної прогресії. Закон, яким вона описується, є досить простим: кожне наступне число відрізняється від попереднього на множник, який отримав назву "знаменник". Можна позначити його літерою r. Тоді можна записати таку рівність:

Тут a n – член прогресії з номером n.

Якщо r буде більше 1, то прогресія зростатиме за модулем (вона може зменшуватися, якщо перший її член матиме негативний знак). Якщо r буде менше одиниці, тоді вся прогресія буде прагнути нуля або знизу (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). У разі негативного знаменника (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Приклад розглянутого виду прогресії наведено нижче:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Тут перший член дорівнює 2, а знаменник дорівнює 1,5.

Важливі формули

Як у 9 класі вирішувати геометричну прогресію? Для цього слід знати не лише її визначення та розуміти, про що йдеться, а й запам'ятати дві важливі формули. Перша з них наводиться нижче:

Вираз дозволяє без особливих труднощів знайти довільний елемент послідовності, проте для цього необхідно знати два числа: знаменник і перший елемент. Довести цю формулу просто, потрібно лише згадати визначення геометричної прогресії: другий елемент виходить множенням першого на знаменник у першому ступені, третій елемент - множенням першого на знаменник у другому ступені тощо. Корисність цього виразу очевидна: немає необхідності в послідовному відновленні всього числового ряду, щоб дізнатися, яке значення набуде його n-й елемент.

Наступна формула є також корисною у відповідь питанням, як вирішувати геометричну прогресію. Йдеться про суму її елементів, починаючи з першого та закінчуючи n-ним. Відповідний вираз наведено нижче:

S n = a 1 *(r n -1)/(r-1).

Варто звернути увагу на його особливість: як і у формулі для знаходження n-ного елемента, тут теж достатньо знати ті самі два числа (a 1 і r). Цей результат не є дивовижним, адже кожен член прогресії пов'язаний із зазначеними числами.

Відновлення прогресії

Перший приклад, як вирішувати геометричну прогресію, має таку умову: відомо, що два числа 10 і 20 утворюють вид прогресії, що розглядається. При цьому числа є восьмим та п'ятнадцятим елементами ряду. Необхідно відновити весь ряд, знаючи, що він має бути меншим.

Це дещо заплутану умову завдання слід розібрати уважно: оскільки йдеться про спадаючий ряд, то число 10 має стояти в 15 позиції, а 20 - у 8. Приступаючи до рішення, випишіть для кожного з чисел відповідні рівності:

a 8 = a 1 * r 7 та a 15 = a 1 * r 14 .

Ви маєте дві рівністі з двома невідомими. Розв'яжіть їх, висловлюючи з першого a 1 і підставляючи його до другого. Вийде:

a 1 = a 8 * r -7 та a 15 = a 8 * r -7 * r 14 = a 8 * r 7 => r = 7 √ (a 15 / a 8).

Тепер залишається підставити відповідні значення з умови та обчислити корінь сьомого ступеня. Вийде:

r= 7 √(a 15 /a 8) = 7 √(10 /20) ≈ 0,9057.

Підставляючи отриманий знаменник у будь-який вираз для відомого n-ного елемента, виходить a 1:

a 1 = a 8 * r -7 = 20 * (0,9057) -7 ≈ 40,0073.

Таким чином, ви знайдете перший член та знаменник, що означає, що ви відновите всю прогресію. Перші кілька членів:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Варто зазначити, що при виконанні розрахунків було використано округлення до 4 знаків після коми.

Знаходження невідомого члена ряду

Тепер варто розглянути інший приклад: відомо, що сьомий елемент ряду дорівнює 27, чому дорівнює тринадцятий член, якщо знаменник r = -2. Як вирішити геометричну прогресію, користуючись цими даними? Дуже просто, потрібно виписати формулу для 7-го елемента:

Оскільки в цій рівності невідомо лише число a 1 , висловіть його:

Скористайтеся останньою рівністю, підставляючи її у формулу для 13-го члена, який необхідно знайти. Вийде:

a 13 = a 1 * r 12 = a 7 * r -6 * r 12 = a 7 * r 6 .

Залишилося підставити числа та записати відповідь:

a 13 = a 7 * r 6 = 27 * (-2) 6 = 1728.

Отримане число демонструє, наскільки швидко зростає геометрична прогресія.

Завдання на суму

Остання задача, що розкриває питання, як вирішити геометричну прогресію, пов'язана із знаходженням суми кількох елементів. Нехай a 1 = 1,5, r = 2. Слід обчислити суму членів цього ряду, починаючи з 5-го і до 10-го.

Щоб отримати відповідь на поставлене запитання, слід застосувати формулу:

Тобто спочатку потрібно знайти суму 10 елементів, потім суму перших 4-х і відняти їх між собою. Дотримуючись вказаного алгоритму, вийде:

S 10 = a 1 * (r n -1) / (r-1) = 1,5 * (2 10 -1) / (2-1) = 1534,5;
S 4 = a 1 * (r n -1) / (r-1) = 1,5 * (2 4 -1) / (2-1) = 22,5;
S 5 10 = 1534,5 – 22,5 = 1512.

Варто зазначити, що в кінцевій формулі віднімали суму саме 4 доданків, оскільки п'яте за умовою завдання має брати участь у сумі.

Геометрична прогресія є одним із найцікавіших числових рядів, які розглядають у шкільному курсі алгебри. Ця стаття присвячена окремому випадку згаданого ряду: і сумі її членів.

Про який ряд чисел йтиметься?

a 2 = a 1 * r, a 3 = a 2 * r, a 4 = a 3 * r, ...., a n = a n-1 * r

Узагальнюючи вирази вище, можна записати таку рівність:

a n = a 1 * r n-1

Знаменник r позитивний і більше 1. Прогресія в цьому випадку завжди зростатиме за модулем, при цьому абсолютне значення її членів може і зменшуватися, якщо a 1 буде негативним.
Знаменник r негативний і більше 1. У разі члени прогресії з'являтимуться з чергуванням знака (+ і -). Подібні лави мало цікаві для практики.
Модуль знаменника r менший за 1. Цей ряд називається спадним, причому незалежно від знака r. Саме ця прогресія представляє великий практичний інтерес, про неї йтиметься у цій статті.

Формула для суми

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Обидві частини рівності вище помножимо на r, одержуємо:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Тепер попарно віднімемо ліві та праві частини цих двох виразів, маємо:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Виражаючи суму S n і користуючись формулою для члена a n+1 отримаємо:

S n = (a n+1 - a 1)/(r-1) = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Як знаходити суму нескінченної геометричної прогресії спадної?

S n = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

r = -1/2, тоді (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4 , (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 тощо.

Встановивши цей факт, звернемо увагу на вираз суми: при n->∞ воно буде переписано таким чином:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Сума квадратів нескінченної геометричної прогресії спадної

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Помножимо обидві частини рівності на r 2 записуємо другий вираз:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. + a n+1 2

Тепер знаходимо різницю цих двох рівностей:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Виражаємо M n і використовуємо формулу для n-го елемента, отримуємо рівність:

M n = (a n+1 2 - a 1 2)/(r 2 -1)=a 1 2 *(r 2n -1)/(r 2 -1)

У попередньому пункті було показано, що r ∞ -> 0, тоді кінцева формула набуде вигляду:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Порівняння двох отриманих сум

Скористайтеся формулою для суми. Виразимо a 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Підставляємо цей вираз у формулу для суми квадратів, маємо:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Ми отримали потрібну формулу, тепер можна підставляти відомі з умови дані:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Завдання на обчислення площі прямокутника

У результаті площа прямокутника у вибраних нами одиницях дорівнюватиме:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

S ∞ = 1 /(1-1/2) = 2

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Послідовність чисел, яка підпорядковується математичному закону

Назва цього пункту є загальним визначенням геометричної прогресії. Закон, яким вона описується, є досить простим: кожне наступне число відрізняється від попереднього на множник, який отримав назву знаменник. Можна позначити його літерою r. Тоді можна записати таку рівність:

Тут an - член прогресії з номером n.

Якщо r буде більше 1, то прогресія зростатиме за модулем (вона може зменшуватися, якщо перший її член матиме негативний знак). Якщо r буде менше одиниці, тоді вся прогресія буде прагнути нуля або знизу (a1<0), либо сверху (a1>0). У разі негативного знаменника (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Приклад розглянутого виду прогресії наведено нижче:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Тут перший член дорівнює 2, а знаменник дорівнює 1,5.

Важливі формули

Sn = a1 * (rn-1) / (r-1).

Варто звернути увагу на його особливість: як і у формулі для знаходження n-ного елемента, тут теж достатньо знати ті самі два числа (a1 і r). Цей результат не є дивовижним, адже кожен член прогресії пов'язаний із зазначеними числами.

Відновлення прогресії

Цю дещо заплутану умову завдання слід розібрати уважно: оскільки йдеться про спадаючий ряд, то число 10 має стояти в 15 позиції, а 20 — у 8. Приступаючи до рішення, випишіть для кожного з чисел відповідні рівності:

a8 = a1 * r7 та a15 = a1 * r14.

Ви маєте дві рівністі з двома невідомими. Розв'яжіть їх, висловлюючи з першого a1 і підставляючи його до другого. Вийде:

a1 = a8*r-7 та a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Тепер залишається підставити відповідні значення з умови та обчислити корінь сьомого ступеня. Вийде:

r=7√(a15/a8) = 7√(10 /20) ≈ 0,9057.

Підставляючи отриманий знаменник у будь-який із виразів для відомого n-ного елемента, виходить a1:

a1 = a8 * r-7 = 20 * (0,9057) -7 ≈ 40,0073.

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Варто зазначити, що при виконанні розрахунків було використано округлення до 4 знаків після коми.

Знаходження невідомого члена ряду

Оскільки в цій рівності невідомо лише число a1, висловіть його:

Скористайтеся останньою рівністю, підставляючи її у формулу для 13-го члена, який необхідно знайти. Вийде:

a13 = a1 * r12 = a7 * r-6 * r12 = a7 * r6.

Залишилося підставити числа та записати відповідь:

a13 = a7 * r6 = 27 * (-2) 6 = 1728.

Отримане число демонструє, наскільки швидко зростає геометрична прогресія.

Завдання на суму

Остання задача, що розкриває питання, як вирішити геометричну прогресію, пов'язана із знаходженням суми кількох елементів. Нехай a1 = 1,5, r = 2. Слід обчислити суму членів цього ряду, починаючи з 5-го та закінчуючи 10-м.

Щоб отримати відповідь на поставлене запитання, слід застосувати формулу:

S510 = S10 - S4.

S10 = a1 * (rn-1) / (r-1) = 1,5 * (210-1) / (2-1) = 1534,5;

S4 = a1 * (rn-1) / (r-1) = 1,5 * (24-1) / (2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 - 22,5 = 1512.