Сума коренів квадратного рівняння. Формули коренів квадратних рівнянь

Квадратним рівнянням називають рівняння виду a * x ^ 2 + b * x + c = 0, де a, b, c деякі довільні речові (дійсні) числа, а x - змінна. Причому число а дорівнює 0.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами. Число а - називається старшим коефіцієнтом, число b коефіцієнтом при х, а число називають вільним членом. У деякій літературі трапляються й інші назви. Число а називається першим коефіцієнтом, а число b – другим коефіцієнтом.

Класифікація квадратних рівнянь

Квадратні рівняння мають власну класифікацію.

За наявністю коефіцієнтів:

1. Повні

2. Неповні

За значенням кофіцієнта старшого ступеня невідомого(значення старшого коефіцієнта):

1. Наведені

2. Ненаведені

Квадратне рівняння називається повнимякщо в ньому присутні всі три коефіцієнти і вони відмінні від нуля. Загальний вигляд повного квадратного рівняння: a*x^2 +b*x+c=0;

Квадратне рівняння називається неповнимякщо в рівнянні a*x^2 +b*x+c=0 один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю (b=0 або с=0), втім неповним квадратним рівнянням буде і рівняння якого і коефіцієнт b і коефіцієнт с одночасно рівні нулю (і b=0 і c=0).

Варто звернути увагу, що про старшому коефіцієнті тут нічого не говорити, оскільки він за визначенням квадратного рівняння має бути відмінний від нуля.

наведенимякщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці (a = 1). Загальний вигляд наведеного квадратного рівняння: x 2 + d * x + e = 0.

Квадратне рівняння називається ненаведеним,якщо старший коефіцієнт у рівнянні відмінний від нуля. Загальний вигляд квадратного рівняння: a*x^2 +b*x+c=0.

Слід зауважити, що будь-яке ненаведене квадратне рівняння може призвести до наведеного. І тому необхідно розділити коефіцієнти квадратного рівняння на старший коефіцієнт.

Приклади квадратного рівняння

Розглянемо приклад:маємо рівняння 2 * x ^ 2 - 6 * x +7 = 0;

Перетворимо його на наведене рівняння. Старший коефіцієнт дорівнює 2. Розділимо на нього коефіцієнти нашого рівняння та запишемо відповідь.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Як ви помітили, у правій частині квадратного рівняння стоїть багаточлен другого ступеня a*x^2+b*x+c. Його ще називають квадратним тричленом.

Продовжуємо вивчення теми « вирішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями та переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується у загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах докладно розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до розв'язання повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння та розглянемо розв'язання характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Що таке квадратне рівняння? Їхні види

Спочатку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмову про квадратні рівняння логічно розпочати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних із ним визначень. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені та ненаведені, а також повні та неповні рівняння.

Визначення та приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння– це рівняння виду a x 2 + b x + c = 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівняннямдругого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади квадратних рівнянь. Так 2 x 2 +6 x 1 = 0, 0,2 x 2 +2,5 x +0,03 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.

Визначення.

Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a x 2 +b x + c = 0 , причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2 b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x , а c - вільним членом.

Наприклад візьмемо квадратне рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 тут старший коефіцієнт є 5 , другий коефіцієнт дорівнює −2 , а вільний член дорівнює −3 . Зверніть увагу, коли коефіцієнти b та/або c негативні, як у щойно наведеному прикладі, використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2 ) · x + (-3) = 0 .

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a та/або b дорівнюють 1 або −1 , то вони в записі квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями запису таких . Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 −y+3=0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює −1 .

Наведені та ненаведені квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені та ненаведені квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1 називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є ненаведеним.

Згідно з цим визначенням, квадратні рівняння x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 тощо. – наведені, у кожному їх перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5·x 2 −x−1=0 і т.п. - Ненаведені квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1 .

Від будь-якого ненаведеного квадратного рівняння за допомогою поділу обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням , тобто отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне ненаведене квадратне рівняння, або так само як воно, не має коренів.

Розберемо з прикладу, як виконується перехід від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.

приклад.

Від рівняння 3 x 2 +12 x 7 = 0 перейдіть до відповідного наведеного квадратного рівняння.

Рішення.

Нам достатньо виконати розподіл обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3 він відрізняється від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , що те саме, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , і далі (3:3) · x 2 + (12:3) · x-7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

Відповідь:

Повні та неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння є умова a≠0 . Ця умова потрібна для того, щоб рівняння a x 2 + b x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b x + c = 0 .

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть дорівнювати нулю, причому як окремо, так і разом. У таких випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 називають неповнимякщо хоча б один з коефіцієнтів b , c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повне квадратне рівняння- Це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З наступних міркувань це стане зрозумілим.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набуває вигляду a x 2 +0 x + c = 0 і воно рівносильне рівнянню a x 2 + c = 0 . Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a x 2 + b x + 0 = 0, то його можна переписати як a x 2 + b x = 0 . А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a x 2 = 0 . Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданку зі змінною x, або вільного члена, або того й іншого. Звідси та його назва – неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 +x+1=0 і −2·x 2 −5·x+0,2=0 – це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

• a x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
• a x 2 + c = 0, коли b = 0;
• і a x 2 + b x = 0 , коли c = 0 .

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a x 2 = 0

Почнемо з розв'язання неповних квадратних рівнянь, у яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто з рівнянь виду a x 2 =0 . Рівнянню a x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Вочевидь, коренем рівняння x 2 =0 є нуль, оскільки 0 2 =0 . Іншого коріння це рівняння немає, що пояснюється , дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2 >0 , звідки випливає, що при p≠0 рівність p 2 =0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0 .

Як приклад наведемо розв'язок неповного квадратного рівняння −4·x 2 =0 . Йому рівносильне рівняння x 2 =0 його єдиним коренем є x=0 , отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Коротке рішення в цьому випадку можна оформити так:
−4·x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Тепер розглянемо, як розв'язуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c 0 , тобто рівняння виду a x 2 + c = 0 . Ми знаємо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a x 2 + c = 0 :

• перенести c у праву частину, що дає рівняння a x 2 = -c ,
• і розділити обидві його частини на a, отримуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a=1 і c=2 , то ) або позитивним, (наприклад, якщо a=−2 і c=6 , то ), воно не дорівнює нулю , оскільки за умовою c≠0. Окремо розберемо випадки та .

Якщо , то рівняння немає коріння. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом. З цього випливає, що коли , то ні для якого числа p рівність не може бути вірною.

Якщо , то справа з корінням рівняння йде інакше. У цьому випадку, якщо згадати про , то відразу стає очевидним корінь рівняння , ним є число , оскільки . Неважко здогадатися, як і число теж є коренем рівняння , дійсно, . Іншого коріння це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від протилежного. Зробимо це.

Позначимо щойно озвучені коріння рівняння як x 1 і −x 1 . Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2 відмінний від зазначених коренів x 1 і −x 1 . Відомо, що підстановка рівняння замість x його коренів звертає рівняння вірну числову рівність . Для x 1 і −x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівностей і дає x 1 2 −x 2 2 =0 . Властивості дій з числами дозволяють переписати отриману рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) = 0 . Ми знаємо, що добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманої рівності випливає, що x 1 −x 2 =0 та/або x 1 +x 2 =0 , що те саме, x 2 =x 1 та/або x 2 =−x 1 . Так ми дійшли протиріччя, оскільки спочатку сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і −x 1 . Цим доведено, що рівняння не має іншого коріння, окрім і .

Узагальним інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a x 2 +c=0 рівносильне рівнянню , яке

• не має коріння, якщо ,
• має два корені і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a x 2 + c = 0 .

Почнемо з квадратного рівняння 9 x 2 +7 = 0 . Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9·x 2 =−7 . Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як у правій частині вийшло негативне число, то це рівняння не має коріння, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 x 2 +7 = 0 не має коренів.

Розв'яжемо ще одне неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 . Переносимо дев'ятку до правої частини: −x 2 =−9 . Тепер ділимо обидві частини на −1, отримуємо х 2 =9. У правій частині є позитивне число, звідки укладаємо, що або . Після цього записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 має два корені x=3 або x=−3 .

a x 2 + b x = 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c=0. Неповні квадратні рівняння виду a x 2 + b x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо , що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x . Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильного рівняння виду x · (a x + b) = 0 . І це рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь x=0 і a·x+b=0 , останнє є лінійним і має корінь x=−b/a .

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 + b x = 0 має два корені x = 0 і x = - b / a .

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильне двом рівнянням x = 0 і . Вирішуємо отримане лінійне рівняння: , Виконавши поділ змішаного числа на звичайну дріб, знаходимо . Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і .

Після отримання необхідної практики рішення таких рівнянь можна записувати коротко:

Відповідь:

x = 0 .

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів. Запишемо формулу коренів квадратного рівняння: , де D=b 2 −4·a·c- так званий дискримінант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що .

Корисно знати, як було отримано формула коренів, і як вона застосовується під час знаходження коренів квадратних рівнянь. Розберемося із цим.

Висновок формули коріння квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 . Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

• Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо квадратне рівняння.
• Тепер виділимо повний квадрату його лівій частині: . Після цього рівняння набуде вигляду.
• На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків у праву частину із протилежним знаком, маємо .
• І ще перетворимо вираз, що опинилося у правій частині: .

У результаті ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратному рівнянню a x 2 + b x + c = 0 .

Аналогічні за формою рівняння ми вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали . Це дозволяє зробити такі висновки, що стосуються коренів рівняння:

• якщо , то рівняння немає дійсних рішень;
• якщо , то рівняння має вигляд , отже , звідки видно його єдиний корінь ;
• якщо , те чи , що те саме чи , тобто, рівняння має два корені.

Отже, наявність чи відсутність коренів рівняння , отже, і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу , що стоїть правої частини. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, оскільки знаменник 4·a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 −4·a·c . Цей вираз b 2 −4·a·c назвали дискримінантом квадратного рівнянняі позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанта - за його значенням і знаком роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсне коріння, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння , перепишемо з використанням позначення дискримінанта: . І робимо висновки:

• якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• якщо D=0 , це рівняння має єдиний корінь ;
• нарешті, якщо D>0 , то рівняння має два корені або , які можна переписати у вигляді або , а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо .

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд де дискримінант D обчислюється за формулою D=b 2 −4·a·c .

З їх допомогою при позитивному дискримінанті можна обчислити обидва дійсні корені квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінанті обидві формули дають те саме значення кореня, що відповідає єдиному рішенню квадратного рівняння. А при негативному дискримінанті при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося із вилученням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки та шкільні програми. При негативному дискримінанті квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно пов'язанихкоренів, які можна знайти за тими самими отриманими нами формулами коренів .

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Насправді при розв'язанні квадратних рівняння можна одночасно використовувати формулу коренів, з допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставиться до знаходження комплексного коріння.

Однак у шкільному курсі алгебри зазвичай йдеться не про комплексне, а про дійсне коріння квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він невід'ємний (інакше можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм розв'язання квадратного рівняння. Щоб розв'язати квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0, треба:

• за формулою дискримінанта D=b 2 −4·a·c обчислити його значення;
• зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант негативний;
• обчислити єдиний корінь рівняння за такою формулою , якщо D=0 ;
• знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що з рівному нулю дискримінанту можна використовувати формулу , вона дасть те значення, як і .

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму розв'язання квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо розв'язки трьох квадратних рівнянь із позитивним, негативним та рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх розв'язанням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 +2·x−6=0.

Рішення.

І тут маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=1 , b=2 і c=−6 . Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Так як 28>0, тобто, дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх за формулою коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореняз подальшим скороченням дробу:

Відповідь:

Переходимо до такого характерного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння −4·x 2 +28·x−49=0 .

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як , тобто,

Відповідь:

x = 3,5.

Залишається розглянути розв'язання квадратних рівнянь із негативним дискримінантом.

приклад.

Розв'яжіть рівняння 5·y 2 +6·y+2=0 .

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a = 5, b = 6 і c = 2. Підставляємо ці значення у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння немає дійсних коренів.

Якщо ж потрібно вказати комплексне коріння, то застосовуємо відому формулу коренів квадратного рівняння і виконуємо дії з комплексними числами:

Відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі: .

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якій вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексного коріння.

Формула коренів для парних других коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння , де D=b 2 −4·a·c дозволяє отримати формулу більш компактного виду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парним коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2·n , наприклад , або 14· ln5 = 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Допустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a x 2 +2 x x c = 0 . Знайдемо його коріння з використанням відомої формули. Для цього обчислюємо дискримінант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c), і далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 −a·c як D 1 (іноді його позначають D" ). Тоді формула коренів аналізованого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2·n набуде вигляду де D 1 =n 2 −a·c .

Нескладно помітити, що D=4·D 1 або D 1 =D/4 . Іншими словами, D1 – це четверта частина дискримінанта. Зрозуміло, що знак D 1 такий самий, як знак D . Тобто знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб розв'язати квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2n, треба

• Обчислити D 1 =n 2 −a·c;
• Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Якщо D 1 =0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
• Якщо ж D 1 >0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої у цьому пункті формули коренів.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння 5·x 2 −6·x−32=0 .

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна як 2·(−3) . Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , тут a=5 , n=−3 та c=−32 і обчислити четверту частину дискримінанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Так як його значення позитивне, то рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

Відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Деколи, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вигляд цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 x 2 −4 x 6 = 0, ніж 1100 x 2 −400 x 600 = 0 .

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або розподілу обох частин на деяке число. Наприклад, у попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 x 2 −400 x 600=0 розділивши обидві його частини на 100 .

Подібне перетворення проводять із квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є . При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння абсолютних величин його коефіцієнтів. Наприклад візьмемо квадратне рівняння 12 x 2 −42 x 48 = 0 . абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6 . Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильного йому квадратного рівняння 2 x 2 -7 x + 8 = 0 .

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай провадиться для позбавлення від дробових коефіцієнтів. У цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК(6, 3, 1)=6 , воно набуде простіший вигляд x 2 +4·x−18=0 .

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на −1 . Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння −2·x 2 −3·x+7=0 переходять до рішення 2·x 2 +3·x−7=0 .

Зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коріння квадратного рівняння виражає коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомі та застосовні формули з теореми Вієта виду та . Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3·x 2 −7·x+22=0 можна відразу сказати, що його коренів дорівнює 7/3 , а добуток коренів дорівнює 22/3 .

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна виразити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти: .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівнянняключовим словом є "квадратне".Воно означає, що у рівнянні обов'язковоповинен бути присутнім ікс у квадраті. Крім нього, у рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) просто ікс (у першому ступені) і просто число (Вільний член).І не повинно бути іксів у мірі, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння – це рівняння виду:

Тут a, b і с- Якісь числа. b та c- Зовсім будь-які, а а- Будь-яке, крім нуля. Наприклад:

Тут а =1; b = 3; c = -4

Тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

Тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутній повний набірчленів. Ікс у квадраті з коефіцієнтом а,ікс у першому ступені з коефіцієнтом bі вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b= 0, що в нас вийде? У нас пропаде ікс у першому ступені.Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х = 0,

-х 2 +4х = 0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнти, bі cрівні нулю, то все ще простіше:

2х 2 = 0,

-0,3 х 2 = 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями.Що цілком логічно.) Прошу помітити, що ікс у квадраті є у всіх рівняннях.

До речі, чому ане може дорівнювати нулю? А ви підставте замість анолик.) У нас зникне ікс у квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше.

Ось і всі основні види квадратних рівнянь. Повні та неповні.

Розв'язання квадратних рівнянь.

Розв'язання повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами та точними нескладними правилами. У першому етапі треба задане рівняння призвести до стандартного вигляду, тобто. до вигляду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, bі c.

Формула для знаходження коріння квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискримінант. Але про нього – нижче. Як бачимо, для знаходження ікса ми використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти із квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і су цю формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, у рівнянні:

а =1; b = 3; c= -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішено:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитись не можна? Ну так, як же…

Найпоширеніші помилки – плутанина зі знаками значень a, b і с. Точніше, не з їхніми знаками (де там плутатися?), а з підстановкою негативних значень у формулу для обчислення коріння. Тут рятує докладний запис формули із конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

Тут a = -6; b = -5; c = -1

Допустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву строчку займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма дужками та знаками:

Це здається неймовірно важким, так старанно розписувати. Але це лише здається. Спробуйте. Ну, чи вибирайте. Що краще, швидко, чи правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час зникне потреба так ретельно все розписувати. Саме правильно виходитиме. Особливо, якщо застосовуватимете практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться просто і без помилок!

Але, часто, квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! Це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Їх також можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно збагнути, чого тут дорівнюють a, b і с.

Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4;а c? Його взагалі нема! Так, правильно. У математиці це означає, що c = 0 ! От і все. Підставляємо у формулу нуль замість c,і все в нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без жодних формул. Розглянемо перше неповне рівняння. Що там можна зробити у лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А те, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли якийсь із множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульові числа, які при перемноженні нуль дадуть!
Не виходить? Отож…
Отже, можна впевнено записати: х 1 = 0, х 2 = 4.

Всі. Це і буде коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці кожного з них у вихідне рівняння, ми отримаємо правильну тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення набагато простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а яким другим абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядку, х 1- те, що менше, а х 2- Те, що більше.

Друге рівняння також можна вирішити просто. Переносимо 9 у праву частину. Отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. Вийде:

Теж два корені . х 1 = -3, х 2 = 3.

Так вирішуються усі неповні квадратні рівняння. Або з допомогою винесення икса за дужки, чи простим перенесенням числа вправо з наступним вилученням кореня.
Зплутати ці прийоми дуже складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь із іксу витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нема чого…

Дискримінант. Формула дискримінанту.

Чарівне слово дискримінант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість та обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанта не доводиться! Він простий і безвідмовний у зверненні.) Нагадую найзагальнішу формулу для вирішення будь-якихквадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискримінант позначається буквою D. Формула дискримінанта:

D = b 2 - 4ac

І чим же примітний цей вислів? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанта?Адже -b,або 2aу цій формулі спеціально ніяк не називають... Літери та літери.

Справа ось у чому. При розв'язанні квадратного рівняння за цією формулою, можливі лише три випадки.

1. Дискримінант позитивний.Це означає, що з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, або погано – питання інше. Важливо, що в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння – два корені. Два різні рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю.Тоді у вас буде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакові. Але, у спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний.З негативного числа квадратний корінь не витягується. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому розв'язанні квадратних рівнянь, поняття дискримінанта не особливо й потрібне. Підставляємо на формулу значення коефіцієнтів, і вважаємо. Там все само собою виходить, і два корені, і одне, і жодне. Однак, при вирішенні складніших завдань, без знання змісту та формули дискримінантане обійтись. Особливо – в рівняннях із параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДІА та ЄДІ!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняннячерез дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Умієте правильно визначати a, b і с. Вмієте уважнопідставляти їх у формулу коренів та уважнорахувати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут – уважно?

А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. За які потім буває боляче і прикро.

Прийом перший . Не лінуйтеся перед вирішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтесь! Мінус перед іксом у квадраті може дуже вас засмутити. Забути його легко… Позбавтеся мінуса. Як? Та як навчали у попередній темі! Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад. Дорішайте самостійно. У вас має вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! За теоремою Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! Перевіряємо останнєрівняння. Тобто. те, яким ми записували формулу коренів. Якщо (як у цьому прикладі) коефіцієнт а = 1, перевірити коріння легко. Достатньо їх перемножити. Має вийти вільний член, тобто. у разі -2. Зверніть увагу не 2, а -2! Вільний член зі своїм знаком . Якщо не вийшло – значить уже десь накосячили. Шукайте помилку.

Якщо вийшло – треба скласти коріння. Остання та остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт bз протилежним знаком. У разі -1+2 = +1. А коефіцієнт b, що перед іксом, дорівнює -1. Значить, все правильно!
Жаль, що це так просто тільки для прикладів, де ікс у квадраті чистий, з коефіцієнтом а = 1.Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Дедалі менше помилок буде.

Прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбавтеся дробів! Домножте рівняння на спільний знаменник, як описано в уроці "Як розв'язувати рівняння? Тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки чомусь так і лізуть.

До речі, я обіцяв злий приклад із купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, примножуємо рівняння на -1. Отримуємо:

От і все! Вирішувати – одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові – ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Тепер можна і вирішити.)

Розв'язати рівняння:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Відповіді (безладно):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - будь-яке число

х 1 = -3
х 2 = 3

рішень немає

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Все сходиться? Чудово! Квадратні рівняння – не ваш головний біль. Перші три вийшли, а решта – ні? Тоді проблема не у квадратних рівняннях. Проблема у тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся посиланням, це корисно.

Чи не зовсім виходить? Чи зовсім не виходить? Тоді вам допоможе Розділ 555. Там усі ці приклади розібрані по кісточках. Показано головніпомилки у вирішенні. Розповідається, зрозуміло, і застосування тотожних перетворень у вирішенні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Квадратне рівняння вирішується просто! *Далі у тексті «КУ».Друзі, здавалося б, може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним багато хто має проблеми. Вирішив подивитися скільки показів на запит на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70000 осіб на місяць шукають цю інформацію, причому це літо, а що буде серед навчального року — запитів буде вдвічі більше. Це й не дивно, адже ті хлопці та дівчата, які давно закінчили школу та готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив також зробити свій внесок і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться, щоб за цим запитом і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» даватиму посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його рішення трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Почнемо!Зміст статті:

Квадратне рівняння – це рівняння виду:

де коефіцієнти a,bі з довільними числами, причому a≠0.

У шкільному курсі матеріал дають у такому вигляді – умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два корені.

2. *Мають лише один корінь.

3. Не мають коріння. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюється коріння? Просто!

Обчислюємо дискримінант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

*Ці формули треба знати напам'ять.

Можна відразу записувати та вирішувати:

Приклад:

1. Якщо D > 0, то рівняння має два корені.

2. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, у шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але…

Дане уявлення дещо некоректне. Насправді виходить два корені. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівні корені, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два корені:

х 1 = 3 х 2 = 3

Але це так – невеликий відступ. У школі можете записувати та говорити, що корінь один.

Тепер такий приклад:

Як відомо – корінь із негативного числа не витягується, тому рішення у разі немає.

Ось і весь процес розв'язання.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це дуже важливо розуміти (надалі в одній із статей ми докладно розбиратимемо рішення квадратної нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с – задані числа, причому a ≠ 0

Графіком є ​​парабола:

Тобто виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискримінант позитивний), одна (дискримінант дорівнює нулю) і жодної (дискримінант негативний). Детально про квадратичну функцію можете подивитисястаттю в Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Відповідь: х 1 = 8 х 2 = -12

*Можна було відразу ж ліву та праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простішими.

Приклад 2: Вирішити x 2–22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Отримали, що х 1 = 11 та х 2 = 11

У відповіді можна записати х = 11.

Відповідь: х = 11

Приклад 3: Вирішити x 2 -8x + 72 = 0

а = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискримінант негативний, рішення у дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння у разі, коли виходить негативний дискримінант. Ви щось знаєте про комплексні числа? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їхня конкретна роль та необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Концепція комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z = a + bi

де a і b – дійсні числа, i – так звана уявна одиниця.

a+bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не додавання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучені корені.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнт «b» або «с» дорівнює нулю (або обидва рівні нулю). Вони легко вирішуються без будь-яких дискримінантів.

Випадок 1. Коефіцієнт b=0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо:

Приклад:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Випадок 2. Коефіцієнт = 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо, розкладаємо на множники:

*Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Приклад:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 або x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Випадок 3. Коефіцієнти b = 0 та c = 0.

Тут зрозуміло, що розв'язуванням рівняння завжди буде х = 0.

Корисні властивості та закономірності коефіцієнтів.

Існують властивості, які дозволяють вирішити рівняння з більшими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b+ с = 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a+ с =b, то

Ці властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, отже

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Виконується рівність a+ с =b, значить

Закономірність коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт "с" чисельно дорівнює коефіцієнту "а", то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = -а х 2 = -1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 6х2+37х+6=0.

х 1 = -6 х 2 = -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 – bx + c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 - (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 15х2 -226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Якщо у рівнянні ax 2 + bx - c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт "c" чисельно дорівнює коефіцієнту «a», то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = - а х 2 = 1 / a.

приклад. Розглянемо рівняння 17х2 +288х - 17 = 0.

х 1 = - 17 х 2 = 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 – bx – c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 – 1), а коефіцієнт чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 – (а 2 –1) х – а = 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 10х2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається на ім'я знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна виразити суму та добуток коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

У сумі число 14 дають лише 5 та 9. Це коріння. При певному навичці, використовуючи представлену теорему, багато квадратних рівнянь ви можете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після вирішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримане коріння можна перевіряти. Рекомендую робити це завжди.

СПОСІБ ПЕРЕБРОСКИ

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Якщо а± b+c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

За теоремою Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 = 10 х 2 = 1

Отримані коріння рівняння необхідно розділити на 2 (оскільки від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Яке обґрунтування? Подивіться, що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) та (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять лише різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходить у 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

*Якщо перекидатимемо трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие та ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанта необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до розв'язання квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто зазначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявною». Наприклад, можливий такий запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 або 15х+42+9x 2 - 45x=0 або 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися під час вирішення).

2. Пам'ятайте, що x це невідома величина і вона може бути позначена будь-якою іншою літерою - t, q, p, h та іншими.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.