Властивості логарифмів та приклади їх рішень. Вичерпний гід (2020)

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a xта log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Log 6 4 + Log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа cтакого, що c> 0 та c≠ 1, вірна рівність:

[Підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x, Отримаємо:

[Підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число nстає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число nможе бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.

Справді, що буде, якщо число bзвести в такий ступінь, що число bу цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. log a a= 1 – це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи aвід цього підстави дорівнює одиниці.
2. log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Заснування aможе бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Область допустимих значень (ОДЗ) логарифму

Тепер поговоримо про обмеження (ОДЗ – область допустимих значень змінних).

Ми пам'ятаємо, що, наприклад, квадратне коріння не можна витягувати з негативних чисел; або якщо у нас дріб, то знаменник не може дорівнювати нулю. Подібні обмеження є і у логарифмів:

Тобто і аргумент, і підстава має бути більше нуля, а підстава ще й не може дорівнювати.

Чому так?

Почнемо із простого: припустимо, що. Тоді, наприклад, число не існує, оскільки в який би ступінь ми не зводили, завжди виходить. Більше того, не існує для жодного. Але при цьому може дорівнювати будь-чому (з тієї ж причини - в будь-якій мірі одно). Тому об'єкт не становить жодного інтересу, і його просто викинули з математики.

Схожа проблема у нас і у випадку: у будь-якій позитивній мірі - це, а в негативну його взагалі не можна зводити, оскільки вийде поділ на нуль (нагадаю, що).

При цьому ми зіткнемося з проблемою зведення в дробовий ступінь (яка представляється у вигляді кореня: наприклад, (тобто), а ось не існує.

Тому і негативні підстави простіше викинути, ніж возитися з ними.

Ну а оскільки підстава a у нас буває тільки позитивна, то в який би ступінь ми її не зводили, завжди отримаємо число позитивно. Отже, аргумент має бути позитивним. Наприклад, немає, оскільки у жодній мірі нічого очікувати негативним числом (і навіть банкрутом, тому теж немає).

У завданнях із логарифмами насамперед потрібно записати ОДЗ. Наведу приклад:

Вирішимо рівняння.

Згадаймо визначення: логарифм - це ступінь, у якому треба звести основу, щоб отримати аргумент. І за умовою, цей ступінь дорівнює: .

Отримуємо стандартне квадратне рівняння: . Вирішимо його за допомогою теореми Вієта: сума коренів дорівнює, а твір. Легко підібрати, це числа в.

Але якщо відразу взяти і записати обидва ці числа у відповіді, можна отримати 0 балів за завдання. Чому? Давайте подумаємо, що буде, якщо підставити це коріння в початкове рівняння?

Це явно неправильно, оскільки основа може бути негативним, тобто корінь - «сторонній».

Щоб уникнути таких неприємних каверз, потрібно записати ОДЗ ще до початку рішення рівняння:

Тоді, отримавши коріння і, одразу відкинемо корінь, і напишемо правильну відповідь.

Приклад 1(Спробуй вирішити самостійно) :

Знайдіть корінь рівняння. Якщо коріння кілька, у відповіді вкажіть менший із них.

Рішення:

Насамперед напишемо ОДЗ:

Тепер згадуємо, що таке логарифм: у який ступінь треба звести основу, щоб отримати аргумент? По-друге. Тобто:

Здавалося б, менший корінь дорівнює. Але це не так: згідно з ОДЗ корінь - сторонній, тобто це взагалі не корінь цього рівняння. Отже, рівняння має лише одне корінь: .

Відповідь: .

Основне логарифмічне тотожність

Згадаймо визначення логарифму у загальному вигляді:

Підставимо у другу рівність замість логарифм:

Ця рівність називається основною логарифмічною тотожністю. Хоча по суті ця рівність просто по-іншому записана визначення логарифму:

Це ступінь, в який потрібно звести, щоб здобути.

Наприклад:

Виріши ще такі приклади:

приклад 2.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Згадаймо правило з розділу : тобто при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються. Застосуємо його:

приклад 3.

Доведіть, що.

Рішення:

Властивості логарифмів

На жаль, завдання не завжди такі прості - найчастіше спершу потрібно спростити вираз, привести його до звичного вигляду, і тільки потім буде можливо порахувати значення. Це найпростіше зробити, знаючи властивості логарифмів. Тож давай вивчимо основні властивості логарифмів. Кожне з них я доводитиму, адже будь-яке правило простіше запам'ятати, якщо знати, звідки воно береться.

Всі ці властивості потрібно обов'язково запам'ятати, без них більшість завдань з логарифмами вирішити не вдасться.

А тепер про всі властивості логарифмів докладніше.

Властивість 1:

Доведення:

Нехай тоді.

Маємо: , ч.т.д.

Властивість 2: Сума логарифмів

Сума логарифмів з однаковими підставами дорівнює логарифму твору: .

Доведення:

Нехай тоді. Нехай тоді.

Приклад:Знайдіть значення виразу: .

Рішення: .

Щойно вивчена формула допомагає спростити суму логарифмів, а чи не різницю, отже відразу ці логарифми не об'єднати. Але можна зробити навпаки - «розбити» перший логарифм на два: А ось обіцяне спрощення:
.
Навіщо це потрібно? Ну наприклад: чому одно?

Тепер очевидно, що.

Тепер спрости сам:

Завдання:

Відповіді:

Властивість 3: Різниця логарифмів:

Доведення:

Все так само, як і в пункті 2:

Нехай тоді.

Нехай тоді. Маємо:

Приклад із минулого пункту тепер стає ще простіше:

Приклад складніше: . Здогадаєшся сам, як вирішити?

Тут треба зауважити, що в нас немає жодної формули про логарифми у квадраті. Це щось схоже на вираз - таке відразу не спростити.

Тому відвернемося від формул про логарифми і подумаємо, які взагалі формули ми використовуємо в математиці найчастіше? Ще починаючи з 7 класу!

Це – . Потрібно звикнути до того, що вони скрізь! І в показових, і в тригонометричних, і в ірраціональних завданнях вони трапляються. Тому їх слід обов'язково пам'ятати.

Якщо придивитися до перших двох доданків, стає ясно, що це різницю квадратів:

Відповідь для перевірки:

Спрости сам.

Приклади

Відповіді.

Властивість 4: Винесення показника ступеня з аргументу логарифму:

Доведення:І тут теж використовуємо визначення логарифму: нехай тоді. Маємо: , ч.т.д.

Можна зрозуміти це правило так:

Тобто міра аргументу виноситься вперед логарифма, як коефіцієнт.

Приклад:Знайдіть значення виразу.

Рішення: .

Виріши сам:

Приклади:

Відповіді:

Властивість 5: Винесення показника ступеня з основи логарифму:

Доведення:Нехай тоді.

Маємо: , ч.т.д.
Запам'ятовуємо: із основиступінь виноситься як зворотнечисло, на відміну від попереднього випадку!

Властивість 6: Винесення показника ступеня з основи та аргументу логарифму:

Або якщо ступені однакові: .

Властивість 7: Перехід до нової основи:

Доведення:Нехай тоді.

Маємо: , ч.т.д.

Властивість 8: Заміна місцями основи та аргументу логарифму:

Доведення:Це окремий випадок формули 7: якщо підставити, отримаємо: , ч.т.д.

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 4.

Знайдіть значення виразу.

Використовуємо властивість логарифмів № 2 - сума логарифмів з однаковою основою дорівнює логарифму твору:

Приклад 5.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість логарифмів №3 та №4:

Приклад 6.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість № 7 – перейдемо до основи 2:

Приклад 7.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Як тобі стаття?

Якщо ти читаєш ці рядки, то ти прочитав усю статтю.

І це круто!

А тепер розкажи нам як тобі стаття?

Навчився ти вирішувати логарифми? Якщо ні, то у чому проблема?

Пиши нам у коментарях нижче.

І, так, удачі на іспитах.

На ЄДІ та ОДЕ та взагалі в житті

(від грецької λόγος - «слово», «ставлення» та ἀριθμός - «число») числа bна підставі a(log α b) називається таке число c, і b= a cтобто записи log α b=cі b=acеквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a>0, а ≠1, b>0.

Говорячи іншими словами логарифмчисла bна підставі аформулюється як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x= log α b, рівнозначно рішенню рівняння a x = b.

Наприклад:

log 2 8 = 3 тому, що 8 = 2 3 .

Виділимо, що зазначене формулювання логарифму дає можливість відразу визначити значення логарифмуколи число під знаком логарифму виступає деяким ступенем основи. І справді, формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа.

Обчислення логарифму називають логарифмуванням. Логарифмування – це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників трансформується у суми членів.

Потенціювання- це математична операція зворотна до логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів трансформуються у твір співмножників.

Досить часто використовуються речові логарифми з основами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) та 10 (десятковий).

На цьому етапі доцільно розглянути зразки логарифмів log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифму вміщено негативне число , у другій - негативне число основу, а третьої - і негативне число під знаком логарифму та одиниця в основі.

Умови визначення логарифму.

Варто окремо розглянути умови a > 0, a ≠ 1, b > 0. визначення логарифму.Розглянемо, чому взято ці обмеження. У цьому нам допоможе рівність виду x = log α b, зване основним логарифмічним тотожністю , яке безпосередньо випливає з цього визначення логарифму.

Візьмемо умову a≠1. Оскільки одиниця будь-якою мірою дорівнює одиниці, то рівність x=log α bможе існувати лише за b=1але при цьому log 1 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a≠1.

Доведемо необхідність умови a>0. При a=0за формулюванням логарифму може існувати тільки при b=0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, тому що нуль у будь-якій відмінній від нуля мірі є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умову a≠0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних та ірраціональних значень логарифму, оскільки ступінь з раціональним та ірраціональним показником визначено лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умову a>0.

І остання умова b>0випливає з нерівності a>0оскільки x=log α b, а значення ступеня з позитивною основою aзавжди позитивно.

Особливості логарифмів.

Логарифмихарактеризуються відмінними особливостями, які зумовили їхнє повсюдне вживання для значного полегшення копітких розрахунків. При переході «в світ логарифмів» множення трансформується на значно легше додавання, розподіл — на віднімання, а зведення в ступінь і витяг кореня трансформуються відповідно до множення і розподіл на показник ступеня.

Формулювання логарифмів та таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав у 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені та деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових та інженерних обчислень, і залишалися актуальними доки не стали застосовуватись електронні калькулятори та комп'ютери.

«Формули скороченого множення» - При множенні двох багаточленів кожен член першого багаточлена множиться на кожен член другого багаточлена та твори складаються. Формули скороченого множення. При складанні та відніманні многочленів використовуються правила розкриття дужок. Одночленами називаються добутки чисел, змінних та їх натуральних ступенів.

"Рішення системи рівнянь" - Графічний спосіб (алгоритм). Рівняння – це рівність, що містить одну або кілька змінних. Рівняння та його властивості. Метод визначників (алгоритм). Система рівнянь та її розв'язання. Рішення системи методом порівняння. Лінійне рівняння із двома змінними. Рішення системи методом складання.

"Рішення систем нерівностей" - Інтервали. Математичний диктант. Розглянуто приклади розв'язання систем лінійних нерівностей. Вирішення систем нерівностей. Щоб розв'язати систему лінійних нерівностей, достатньо вирішити кожну з нерівність, що входять до неї, і знайти перетин множини їх рішень. Записати нерівності, безліччю вирішення яких є проміжки.

"Показові нерівності" - Знак нерівності. Розв'яжіть нерівність. Вирішення найпростіших показових нерівностей. Вирішення показових нерівностей. Що потрібно врахувати під час вирішення показових нерівностей? Вирішення найпростіших показових нерівностей. Нерівність, що містить невідому в показнику ступеня, називається показовою нерівністю.

Відносини чисел - Що таке пропорція? Як називаються числа m та n у пропорції а: m =n: в? Частка двох чисел називають ставленням двох чисел. Маркетингове лан. У правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів і навпаки. Що таке ставлення? Пропорції. Відношення можна виражати у відсотках.

«Дискримінант квадратного рівняння» – Теорема Вієта. Квадратні рівняння. Дискримінант. Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? Скільки коренів має рівняння, якщо його дискримінант дорівнює нулю? Розв'язання неповних квадратних рівнянь. Скільки коренів має рівняння, якщо дискримінант є негативним числом?

Всього у темі 14 презентацій