Властивості ступенів із натуральним показником правила. Властивості ступенів: формулювання, докази, приклади

Попередній перегляд:

МУНІЦИПАЛЬНИЙ БЮДЖЕТНИЙ ЗАГАЛЬНООСВІТНИЙ ЗАКЛАД

СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 11

МУНІЦИПАЛЬНОЇ ОСВІТИ МІСТО – КУРОРТ АНАПА

Номінація "Фізико-математичні науки (математика)"

План – конспект уроку на тему:

7 клас

Розробила: Бикова Є.А., учитель математики вищої кваліфікаційної категорії

Анапа, 2013

Відкритий урок з алгебри у 7-му класі на тему:

«Властивості ступеня з натуральним показником»

Цілі уроку:

Освітні:– відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати знання про ступінь із натуральним показником, закріпити та вдосконалити навички найпростіших перетворень виразів, що містять ступеня з натуральним показником.

Виховні: - Виховання пізнавальної активності, почуття відповідальності, культури спілкування, культури діалогу.

Розвиваючі: - Розвиток зорової пам'яті, математично грамотної мови, логічного мислення, свідомого сприйняття навчального матеріалу.

Завдання:

1. Предметні: повторити, узагальнити та систематизувати знання на тему, створити умови контролю (взаємоконтролю) засвоєння знань та умінь; продовжити формування мотивації учнів до вивчення предмета.

2. Метапредметні: розвивати операційний стиль мислення, сприяти набуттю учнями навичок спілкування при спільній роботі, активізувати їхнє творче мислення; продовжити формування певних компетенцій учнів, які сприятимуть їхній ефективній соціалізації, навичкам самоосвіти та самовиховання

3. Особистісні: виховувати культуру, сприяти формуванню особистісних якостей, спрямованих на доброзичливе, толерантне ставлення до людей, життя; виховувати ініціативу та самостійність у діяльності; підвести до розуміння необхідності теми, що вивчається, для успішної підготовки до державної підсумкової атестації.

Тип уроку: узагальнюючий урок на тему.

Вигляд уроку: комбінований.

Структура уроку:

1. Організаційний момент.

2. Повідомлення теми, цілей та завдань уроку.

3. Відтворення вивченого та його застосування у стандартних ситуаціях.

4. Перенесення набутих знань, їхнє первинне застосування в нових або змінених умовах, з метою формування умінь.

5.Елементи здоров'язберігаючих технологій.

6. Самостійне виконання учнями завдань під контролем вчителя.

7.Підведення підсумків уроку та постановка домашнього завдання.

Обладнання: мультимедійний проектор, комп'ютер.

Презентація у Microsoft Office Power Point 2007(Додаток 1)

План уроку:

Література:

1. Алгебра: навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/Ю.М. Макарічев, Н.Г.Міндюк та ін; за редакцією С.А. Теляковського. - М.: Просвітництво, 2008.

2. Звавіч Л.І., Кузнєцова Л.В., Суворова С.Б. Дидактичні матеріали з алгебри для 7 класу. - М.: Просвітництво, 2009.

3. Збірник тестових завдань для тематичного та підсумкового контролю. Алгебра 7 клас. / С.А. Пушкін, І.Л. Гусєва. - М.: «Інтелект», 2013.

4. Т.Ю.Дюміна, А.А.Махоніна, «Алгебра. Поурочні плани.», - Волгоград: «Учитель», 2013 р.

Хід уроку

1.Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання

3. Тема уроку. Цілі та завдання уроку.

Математика, друзі,

Абсолютно всім потрібна.

На уроці працюй старанно,

І успіх на тебе чекає обов'язково!

4.Усна робота.

а) Повторення властивостей ступеня із натуральним показником. Дано таблицю. У лівому стовпці заповнити пропущені місця, правому – виконати завдання.

б) Виконуючи завдання на перетворення виразів, що містять ступеня, учень припустився таких помилок:(запис на дошці)

1) а) ; б) ;

в) ; г) ;

2) а) ; б) ;

в) ; г) ;

3) а) ; б) ;

в) .

Які визначення, властивості, правила не знає учень?

5. Тренувальні вправи.

№ 447 – на дошці та у зошитах з докладним коментуванням, використовуючи властивості ступенів;

№ 450 (а, в) – на дошці та у зошитах;

№ 445 – усно.

6. Фізмінутка

Швидко встали, посміхнулися,

Вище-вище підтяглися.

Ану плечі розпряміть,

Підніміть, опустіть.

Вправо, вліво поверніть,

Рук колінами торкніться.

Сіли, встали, сіли, встали,

І на місці побігли.

Вчиться з тобою молодь

Розвивати і волю, і кмітливість.

7. Індивідуальна перевірна робота.

Кожен учень виконує завдання, до них додається ключ, у якому використано весь алфавіт, щоб унеможливити вгадування відповідей за буквами. У разі правильного рішення – правильне слово.

Завдання для кожного ряду індивідуальні.

Ключ

Результати роботи висвічуються на слайді для самоперевірки:

Математика

8. Підсумки уроку:

Підбиття підсумків уроку, виставлення оцінок.

– Перерахуйте властивості ступеня із натуральним показником.

Оцінки за урок поставимо після перевірки роботи з тестами з огляду на відповіді тих учнів, які відповідали протягом уроку.

Відгадайте кросворд

По вертикалі:

1. Він ділить ділене
2. Елементарна фігура на площині
3. Вірна рівність
4. Одиниця з дев'ятьма нулями
5. Його складають із подібним
6. Два в ступені три

По горизонталі:

2. Число сторін у трикутнику

4. Сума одночленів

5. Підсумовувати

7. Відрізок, що з'єднує точку кола з її центром

8. Має чисельник та знаменник

9. Завдання додому:

Ступенем числа а з натуральним показником п називається ____________ п ____________, кожен з яких дорівнює а. 1. Подайте у вигляді ступеня добуток: а). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; б). (x-y) * (x-y) * (x-y) * (x-y) *; 2. Зведіть у ступінь: 3 4; (-0,2) 3; (2 /3) 2 Назвіть основу та показник записаних ступенів. При множенні ступенів з однаковими основами ___________ залишають колишнім, а ___________ складають. Виконайте дії: а 4 * а 12; а 6*а 9*а; 3 2 * 3 3 При розподілі ступенів з однаковими підставами ___________ залишають тим самим, а з __________ чисельника _________ __________ знаменника. Виконайте дії: а 12: а 4; п 9: п 3: п; 3 5: 3 2 При зведенні ступеня в ступінь _______________ залишають колишнім, а __________ перемножують. Виконайте дії: ; (m 3) 7; (k 4) 5; (4 2) 3 При зведенні до ступеня твору зводять у цей ступінь _____________ ____________ і результати перемножують. Виконати зведення у ступінь: (-2 a 3 b 2) 5; (1 /3p 2 q 3) 3 Ступінь числа a , що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює Обчисліть: 3 x 0 при x = 2,6 Повторимо!

Мозковий штурм

Швидко встали, посміхнулися, Вище-вище підтяглися. Ану плечі розпряміть, Підніміть, опустіть. Праворуч, ліворуч поверніть Рук колінами торкніться. Сіли, підвелися, сіли, підвелися, І на місці побігли. Вчиться з тобою молодь Розвивати і волю, і кмітливість.

Індивідуальна перевірочна робота № п/п Завдання 1 ряд № п/п Завдання 2 ряд № п/п Завдання 3 ряд 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) * (- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2 * 3 7: 3 14 9 (3 4) 2 * (3 2) 3: 3 11

Перевір себе! Ключ! А Б В Г Д Е Ж З І К m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 Л М Н О П Р С Т У Ф 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a 8 Х Ц Ч Ш Щ Ь Ь Е Е 81a 3 c 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 Я x 5

математика

ВІДГАДАЙТЕ КРОЗВОРД За вертикаллю: 1. Він ділить поділене 2. Елементарна фігура на площині 3. Вірна рівність 4. Одиниця з дев'ятьма нулями 5. Його складають з подібним 6. Два в ступені три По горизонталі: 2. Число сторін у трикутнику 4 . одночленів 5. Підсумовувати 7. Відрізок, що з'єднує точку кола з її центром 8. Має чисельник та знаменник

Підсумок уроку Виставлення оцінок Завдання додому Відповісти на запитання стор 101, № 450(б, г) , № 534, № 453.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань

Вигляд уроку: комбінований

Форми роботи: індивідуальна, фронтальна, робота в парах

Обладнання: комп'ютер, медіапродукт (презентація у програміMicrosoftOfficePower Point 2007); картки із завданнями для самостійної роботи

Цілі уроку:

Освітні : відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати знання про ступінь із натуральним показником, закріпити та вдосконалити навички найпростіших перетворень виразів, що містять ступеня з натуральним показником.

- розвиваючі: сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми узагальнення, порівняння, виділення головного, розвитку математичного кругозору, мислення, мови, уваги та пам'яті.

- Виховні: сприяти вихованню інтересу до математики, активності, організованості, формувати позитивний мотив навчання, розвиток умінь навчально-пізнавальної діяльності

Пояснювальна записка.

Цей урок проводиться у загальноосвітньому класі із середнім рівнем математичної підготовки. Основне завдання уроку - відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати знання про ступінь із натуральним показником реалізується у процесі виконання різних вправ.

Розвиваючий характер проявляється у підборі вправ. Використання мультимедійного продукту дозволяє заощадити час, зробити матеріал найбільш наочним, показати зразки оформлення рішень. На уроці використовуються різні види робіт, що знімає втому дітей.

Структура уроку:

1. Організаційний момент.

2. Повідомлення теми, постановка цілей уроку.

4. Усна робота.

5. Систематизація опорних знань.

6. Елементи здоров'язберігаючих технологій.

7. Виконання тестового завдання

9. Підсумки уроку.

10. Домашнє завдання.

Хід уроку:

I. Організаційний момент

Вчитель: Здрастуйте, хлопці! Я рада вітати Вас сьогодні на нашому уроці. Сідайте. Сподіваюся, що сьогодні на уроці на нас чекає і успіх, і радість. І ми, працюючи в колективі, покажемо свою обдарованість.

Будьте уважні протягом уроку. Думайте, питайте, пропонуйте – оскільки дорогою до істини ми йтимемо разом.

Відкрийте зошити та запишіть число, класна робота

II. Повідомлення теми, постановка цілей уроку

1) Тема уроку. Епіграф уроку.(Слайд 2,3)

«Нехай хтось спробує викреслити з математики

ступеня, і він побачить, що без них далеко не поїдеш» М.В. Ломоносів

2) Постановка цілей уроку.

Отже, на уроці ми повторимо, узагальним і наведемо в систему вивчений матеріал. Ваше завдання показати свої знання властивостей ступеня з натуральним показником та вміння застосовувати їх під час виконання різних завдань.

III. Повторення основних понять теми, властивостей ступеня з натуральним показником

1) розгадати анаграму: (слайд 4)

Ньспете (ступінь)

Ктореоз (відрізок)

Ованіосне (підстава)

Козапотель (показник)

Багатоунієж (множення)

2) Що таке ступінь із натуральним показником?(Слайд 5)

(ступенем числа a з натуральним показником n , великим 1, називається вираз a n , що дорівнює твору n множників, кожен з яких дорівнює a а-основа, n -показник)

3) Прочитайте вираз, назвіть основу та показник ступеня: (Слайд 6)

4) Основні властивості ступеня (дописати праву частину рівності)(Слайд 7)

• a n a m =

• a n :a m =

• (a n ) m =

• (ab) n =

• ( a / b ) n =

• a 0 =

• a 1 =

IV У стна робота

1) усний рахунок (Слайд8)

Вчитель: А тепер перевіримо, як ви вмієте застосовувати ці формули при вирішенні.

1)х 5 х 7 ; 2) а 4 а 0 ;

3) до 9 : до 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) з 4 : с; 8) 7 3 : 49;

9)у 4 у 6 у 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13) ссс 3 ; 14) а 2 n a n ;

15) х 9 : х m ; 16) у n : у

2) гра «Виключи зайве» ((-1) 2 )(слайд9)

-1

Молодці. Добре впоралися із завданням. Далі вирішуємо такі приклади.

VСистематизація опорних знань

1. З'єднайте лініями виразу, що відповідають один одному:(слайд 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Розставте в порядку зростання числа:(слайд 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3.Виконання завдання з подальшою самоперевіркою(слайд 12)

• А1 уявіть твір у вигляді ступеня:

а) а) х 5 х 4 ; б) 3 7 3 9 ; в 4) 3 (-4) 8 .

• А 2 спростіть вираз:

а) х 3 х 7 х 8 ; б) 2 21 :2 19 2 3

• А 3 виконайте зведення в ступінь:

а) (а 5 ) 3 ; б) (-в 7 ) 2

VIЕлементи здоров'язберігаючих технологій (слайд13)

Фізкультхвилинка: повторення ступеня чисел 2 та 3

VIIТестове завдання (слайд14)

Відповіді до тесту записані на дошці: 1 д 2 про 3б 4и 5 год 6а (видобуток)

VIII Самостійна робота за картками

На кожній парті картки із завданням за варіантами після виконання роботи здаються на перевірку

Варіант 1

1) Спростіть вирази:

а) б)

в) г)

а) б)

в) г)

Варіант 2

1) Спростіть вирази:

а) б)

в) г)

2) Знайдіть значення виразу:

а)б)

в) г)

3) Покажіть за допомогою стрілки, чому дорівнює значення виразу: нулю, позитивному чи негативному числу:

IX Підсумки уроки

№ п/п

Вид діяльності

самооцінка

Оцінка вчителя

1

Анаграма

2

Прочитай вираз

3

Правила

4

Усний рахунок

5

З'єднай лініями

6

Розставь у порядку зростання

7

Завдання із самоперевіркою

8

Тест

9

Самостійна робота за картками

X Домашнє завдання

Картки з тестами

А1. Знайдіть значення виразу: .

Урок на тему: «Ступінь та її властивості».

Мета уроку:

Узагальнити знання учнів на тему: «Ступінь з натуральним показником».

Домагатися від учнів усвідомленого розуміння визначення ступеня, властивостей, уміння застосовувати їх.

Навчити застосовувати знання, навик для різних за складністю завдань.

Створити умову прояви самостійності, наполегливості, розумової активності, прищеплювати любов до математики.

Обладнання: перфокарти, картки, тести, таблиці.

Урок розроблено з метою систематизації та узагальнення знань, що вчаться про властивості ступеня з натуральним показником. Матеріал уроку формує у дітей математичні знання та розвиває інтерес до предмета, кругозір в історичному аспекті.

Хід роботи.

Повідомлення теми та мети уроку.

Сьогодні у нас з вами узагальнюючий урок на тему «Ступінь з натуральним показником та його властивості».

Завдання нашого уроку повторити весь пройдений матеріал та підготуватися до контрольної роботи.

Перевірка домашнього завдання.

(Мета: перевірити засвоєння зведення у ступінь, твори та ступеня).

№ 238(б) №220 (а; г) №216.

За дошкою 2 особи з індивідуальними картками.

Усна робота.

(Мета: повторити ключові моменти, які закріплюють алгоритм множення та поділу ступенів, зведення у ступінь).

Сформулюйте визначення ступеня числа із натуральним показником.

Виконайте дії.

При якому значенні x виконується рівність.

Визначте вираз, не виконуючи обчислень.

Спростіть.

а)
; б) (а 4) 6:

Мозковий штурм.

(Ціль : перевірити опорні знання учнів, властивостей ступеня).

Робота з перфокарт, на швидкість.

(2а 2) 2; (-2а 3) 3; (3а 4) 2; (-2а 2 b) 4 .

Завдання: Спростити вираз (працюємо парами, клас вирішує завдання а, б, в, перевіряємо колективно).

(Мета: відпрацювання властивостей ступеня з натуральним показником.)

а)
; б)
; в)

6 . Обчисліть:

а)
(колективно )

б)
(самостійно )

в)
(самостійно )

г)
(колективно )

д)
(самостійно ).

7 . Перевір себе сам!

(Мета: розвиток елементів творчої діяльності учнів та умінь контролювати свої дії).

Робота з тестами, 2 учні за дошкою, самоперевірка.

І – ст.

Обчисліть вирази.

║ - в.

Спростіть вирази.

Обчисліть.

Обчисліть вирази.

Д/з домашня к/р (за картками).

Підбиття підсумків уроку, виставлення оцінок.

(Мета: Щоб учні бачили наочний результат своєї праці, розвивали пізнавальний інтерес).

Хто вперше почав вивчати ступінь?

Як звести а n ?

Щоб у енний ступінь намазвести

Потрібно а перемножити n раз

Якщо n одиниця – жодного разу

Якщо більше – тоді множайа на а ,

повторюю, n разів.

3)Можемо, чи ми звести число в n ступінь, дуже швидко?

Якщо мікрокалькулятор ти візьмеш

Число а ти лише одного разу набереш

А потім знак "множення" - теж раз,

Знак «виходить» натиснеш ти стільки разів

Скільки n без одиниці нам покаже

І відповідь – готова, без шкільної ручкиНАВІТЬ.

4) Перерахуйте властивості ступеня із натуральним показником.

Оцінки за урок поставимо після перевірки роботи з перфокартами, з тестами з огляду на відповіді тих учнів, які відповідали протягом уроку.

Ви сьогодні добре працювали, дякую вам.

Література:

1.А.Г.Мордкович Алгебра-7 клас.

2.Дидактичні матеріали –7 клас.

3.А.Г.Мордкович Тести-7 клас.

Раніше ми вже говорили, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх та всі можливі показники ступеня ми розберемо у цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести та правильно застосувати на практиці.

Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це добуток n-ної кількості множників, кожен з яких дорівнює а. Також нам доведеться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:

Визначення 1

1. Головна властивість ступеня: a m · a n = a m + n

Можна узагальнити до: a n 1 · an 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

2. Властивість частки для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n = a m − n

3. Властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n

Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Властивість частки в натуральному ступені: (a: b) n = a n: b n

5. Зводимо ступінь у ступінь: (a m) n = a m · n ,

Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Порівнюємо ступінь з нулем:

• якщо a > 0 то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
• при a , рівному 0 , a n також дорівнюватиме нулю;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Нерівність a m > a n буде правильною за умови, що m і n – натуральні числа, m більше n і а більше за нуль і не менше одиниці.

У результаті ми здобули кілька рівностей; якщо дотриматися всіх умов, зазначених вище, то вони будуть тотожними. Для кожної з рівностей, наприклад, для основної властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n = a m + n - те саме, що і a m + n = a m · a n . У такому вигляді воно часто використовується при спрощенні виразів.

1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m · a n = a m + n буде вірним за будь-яких натуральних m і n і дійсному a . Як довести це твердження?

Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність на твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:

Це можна скоротити до (Згадаймо основні властивості множення). У результаті ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n означає основну властивість ступеня доведено.

Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.

Приклад 1

Отже, у нас є два ступені з основою 2 . Їхні натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшла рівність: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.

Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

У результаті ми вийшло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Властивість доведено.

У силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох і більшої кількості ступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1 , n 2 та ін. літерою k , ми отримаємо правильну рівність:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = an 1 + n 2 + … + n k .

Приклад 2

2. Далі нам необхідно довести таку властивість, яка називається властивістю приватного і властиво ступеням з однаковими підставами: це рівність a m: a n = a m n , яка справедлива за будь-яких натуральних m і n (причому m більше n)) і будь-якого відмінного від нуля дійсного a .

Для початку пояснимо, який саме зміст умов, згаданих у формулюванні. Якщо ми візьмемо a, що дорівнює нулю, то у результаті вийде поділ на нуль, чого робити не можна (адже 0 n = 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли утриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднімаючи n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умови не буде дотримано, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів із натуральними показниками.

Тепер ми можемо перейти до підтвердження. З раніше вивченого пригадаємо основні властивості дробів та сформулюємо рівність так:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

З нього можна вивести: a m − n · a n = a m

Згадаймо про зв'язок поділу та множення. З нього випливає, що a m n - приватна ступенів a m і a n . Це і є підтвердження другої якості ступеня.

Приклад 3

Підставимо конкретні числа для наочності в показники, а основу ступеня позначимо π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n за будь-яких дійсних a і b і натурального n .

Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:

Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те саме, що і a n · b n .

Приклад 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Якщо множників у нас три і більше, то ця властивість також поширюється на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Приклад 5

З конкретними числами отримаємо таку правильну рівність: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. Після цього ми спробуємо довести властивість частки: (a: b) n = a n: b n за будь-яких дійсних a і b , якщо b не дорівнює 0 , а n – натуральне число.

Для підтвердження можна використовувати попередню властивість ступеня. Якщо (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то з цього виходить, що (a: b) n є приватним від розподілу a n на b n .

Приклад 6

Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Приклад 7

Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, який доведе нам вірність рівності:

Якщо у нас у прикладі є ступеня ступенів, то ця властивість є справедливою для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то правильно буде:

a p q y s = a p · q · y · s

Приклад 8

Додамо конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 · 2 · 5 = (5 , 2) 30

6. Ще одна властивість ступенів із натуральним показником, яку нам потрібно довести, – властивість порівняння.

Для початку порівняємо ступінь із нулем. Чому a n > 0 за умови, що більше 0 ?

Якщо помножити одне позитивне число інше, ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить – результат множення будь-якої кількості позитивних чисел є позитивним. А що таке ступінь, як результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивною основою та натуральним показником це буде правильно.

Приклад 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 і 34 9 13 51 > 0

Також очевидно, що ступінь з основою, що дорівнює нулю, сама є нуль. Який би ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.

Приклад 10

0 3 = 0 та 0 762 = 0

Якщо основа ступеня – негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності/непарності показника. Візьмемо спочатку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m , де m – натуральне число.

Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а отже, воно буде позитивним числом. Тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.

Приклад 11

Наприклад, (−6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 та - 2 9 6 > 0

Якщо показник ступеня з негативним підставою – непарне число? Позначимо його 2 · m − 1 .

Тоді

Всі твори a · a згідно властивостей множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине число, що залишилося a , то кінцевий результат буде від'ємний.

Тоді отримаємо: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Як це довести?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Приклад 12

Наприклад, вірні нерівності: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Нам залишилося довести останню властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові та позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більша, показник якої менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший.

Доведемо ці твердження.

Для початку нам потрібно переконатися, що am< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m − n − 1) . Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно з початковими умовами, m − n > 0 , тоді a m − n − 1 –негативно, а перший множник позитивний, як і будь-який натуральний ступінь із позитивною основою.

У нас вийшло, що a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Залишилося навести доказ другої частини твердження, сформульованого вище: a m > a справедливо при m > n та a > 1 . Вкажемо різницю і винесемо a n за дужки: (a m − n − 1) .Ступінь a n при а, більшому за одиницю, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивною через початкові умови, і при a > 1 ступінь a m n більше одиниці. Виходить, a m − a n > 0 і a m > a n , що нам потрібно було довести.

Приклад 13

Приклад із конкретними числами: 3 7 > 3 2

Основні властивості ступенів із цілими показниками

Для ступенів з цілими позитивними показниками властивості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а отже, всі рівні, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або рівні нулю (за умови, що сама основа ступеня ненульова).

Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a та b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) та будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:

Визначення 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m · n

6. a n< b n и a − n >b − n за умови цілого позитивного n , позитивних a та b , a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n та 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Якщо підстава ступеня дорівнює нулю, записи a m і a n мають сенс лише у разі натуральних і позитивних m і n . У результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовою основою, якщо дотримуються всі інші умови.

Докази цих властивостей у разі нескладні. Нам потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним та цілим показником, а також властивості дій із дійсними числами.

Розберемо властивість ступеня в міру і доведемо, що воно правильне і для позитивних, і для непозитивних чисел. Почнемо з доказу рівностей (a p) q = a p · q , (a - p) q = a (- p) · q, (a p) - q = a p · (- q) та (a - p) - q = a (− p) · (− q)

Умови: p = 0 чи натуральне число; q – аналогічно.

Якщо значення p і q більше 0, то в нас вийде (a p) q = a p · q. Таку рівність ми вже доводили раніше. Якщо p = 0, то:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

Отже, (a 0) q = a 0 · q

Для q = 0 так само:

(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

Підсумок: (a p) 0 = a p · 0 .

Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 і a 0 · 0 = a 0 = 1 означає, (a 0) 0 = a 0 · 0 .

Згадаймо доведену вище властивість частки в мірі і запишемо:

1 a p q = 1 q a p q

Якщо 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 і a p q = a p · q, то 1 q a p q = 1 a p · q

Цей запис ми можемо перетворити з основних правил множення в a (− p) · q .

Також: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

І (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)

Інші властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятись ми на цьому не будемо, зазначимо лише складні моменти.

Доказ передостанньої властивості: пригадаємо, a − n > b − n правильне будь-яких цілих негативних значень nі будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b .

Тоді нерівність можна перетворити так:

1 a n > 1 b n

Запишемо праву та ліву частини у вигляді різниці та виконаємо необхідні перетворення:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Згадаймо, що в умові a менше b тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n у результаті дає позитивне число, оскільки його множники є позитивними. У результаті маємо дріб b n - a n a n · b n , яка у результаті також дає позитивний результат. Звідси 1 a n > 1 b n звідки a − n > b − n , що нам треба було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться аналогічно до властивості ступенів з показниками натуральними.

Основні властивості ступенів з раціональними показниками

У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь із раціональним (дрібним) показником. Їхні властивості такі ж, що й у ступенів з цілими показниками. Запишемо:

Визначення 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість добутку степенів з однаковими основами).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 якщо a > 0 (властивість приватного).

3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 та (або) b ≥ 0 (властивість твору в дробового ступеня).

4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m n > 0 , то при a ≥ 0 і b > 0 (властивість приватного дробового ступеня).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).

6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; якщо p< 0 - a p >b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).

7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q

Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь із дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n-ного ступеня та які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожну властивість.

Відповідно до того, що собою являє ступінь з дробовим показником, отримаємо:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 і a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Властивості кореня дозволять нам вивести рівність:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Перетворюємо:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показник ступеня можна записати у вигляді:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Це є доказ. Друга властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Докази інших рівностей:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

Наступна властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0 якщо а менше b буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Уявимо раціональне число p як m n . У цьому m –ціле число, n –натуральне. Тоді умови p< 0 и p >0 будуть поширюватися на m< 0 и m >0 . При m > 0 та a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Використовуємо властивість коріння і виведемо: a m n< b m n

Враховуючи позитивність значень a і b перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Так само при m< 0 имеем a a m >b m отримуємо a m n > b m n означає, a m n > b m n і a p > b p .

Нам залишилося навести доказ останньої якості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 буде правильно a p > a q.

Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника та отримати дроби m 1 n і m 2 n

Тут m1 і m2 – цілі числа, а n – натуральне. Якщо p > q , то m 1 > m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нерівність a 1 m > a 2 m.

Їх можна переписати в наступному вигляді:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Тоді можна зробити перетворення та отримати в результаті:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Підбиваємо підсумок: при p > q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - a p > a q.

Основні властивості ступенів із ірраціональними показниками

На такий ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими має рівень з раціональними показниками. Це випливає із самого її визначення, яке ми давали в одній із попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a > 0, b > 0, показники p і q – ірраціональні числа):

Визначення 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , a p > a q .

Таким чином, всі ступеня, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a > 0 мають ті ж властивості.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter