Зв'язки – відносини між елементами систем. §12

Концепція відповідності. Способи задання відповідностей

Спочатку алгеброю називали вчення про розв'язання рівнянь. За багато століть свого розвитку алгебра перетворилася на науку, яка вивчає операції та відносини на різних множинах. Тому не випадково вже в початковій школі діти знайомляться з такими алгебраїчними поняттями, як вираз (числове та зі змінними), числова рівність, числова нерівність, рівняння. Вони вивчають різні властивості арифметичних процесів над числами, які дозволяють раціонально виконувати обчислення. І, звичайно, у початковому курсі математики відбувається їхнє знайомство з різними залежностями, відносинами, але щоб використовувати їх з метою розвитку мисленнєвої діяльності дітей, вчитель повинен опанувати деякими загальними поняттями сучасної алгебри - поняттям відповідності, відносини, алгебраїчної операції та ін. засвоюючи математичну мову, що використовується в алгебрі, вчитель зможе глибше зрозуміти сутність математичного моделювання реальних явищ та процесів.

Вивчаючи навколишній світ, математика розглядає як його об'єкти, а й переважно зв'язок між ними. Ці зв'язки називають залежностями, відповідністю, відносинами, функціями. Наприклад, при обчисленні довжин предметів встановлюються відповідності між предметами та числами, які є значеннями їх довжин; при вирішенні завдань на рух встановлюється залежність між пройденою відстанню та часом, якщо швидкість руху постійна.

Конкретні залежності, відповідності, відносини між об'єктами математики вивчалися з її виникнення. Але питання про те, що загальне мають різні відповідності, яка сутність будь-якої відповідності, було поставлено в кінці XIX - початку XX століття, і відповідь на нього була знайдена в рамках теорії множин.

У початковому курсі математики вивчаються різні взаємозв'язки між елементами одного, двох та більше множин. Тому вчителю треба розуміти їхню суть, що допоможе йому забезпечити єдність у методиці вивчення цих взаємозв'язків.

Розглянемо три приклади відповідностей, вивчених у початковому курсі математики.

У першому випадку ми встановлюємо відповідність між заданими виразами та їх числовими значеннями. У другому з'ясовуємо, скільки відповідає кожної з цих фігур, характеризуючи її площу. У третьому шукаємо число, яке є розв'язком рівняння.

Що спільне мають ці відповідності?

Бачимо, що у всіх випадках ми маємо дві множини: у першому - це безліч із трьох числових виразів і безліч N натуральних чисел (йому належать значення даних виразів), у другому - це безліч із трьох геометричних фігур та безліч N натуральних чисел; у третьому - це безліч із трьох рівнянь та безліч N натуральних чисел.

Виконуючи запропоновані завдання, ми встановлюємо зв'язок між елементами цих множин. Її можна уявити, за допомогою графів (рис. 1).

Можна задати ці відповідності, перерахувавши всі пари елементів, що знаходяться в заданій відповідності:

I. ((у 1, 4), (у 3, 20));

ІІ. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

ІІІ. ((у 1, 4), (у 2, 11), (у 3, 4)).

Отримані множини показують, що будь-яку відповідність між двома множинами X і Y можна розглядати як безліч упорядкованих пар , утворених з їх елементів. Оскільки впорядковані пари - це елементи декартового твори, то приходимо до наступного визначення загального поняття відповідності.

Визначення. Відповідністю між елементами безліч X і Y називається всяке підмножина декартового твору цих множин.

Відповідності прийнято позначати літерами Р, S, T, R та ін Якщо S - відповідність між елементами множин X і Y, то, згідно з визначенням, S Х х Y.

З'ясуємо тепер, як задають відповідності між двома множинами. Оскільки відповідність - це підмножина, його можна ставити як будь-яка безліч, тобто. або перерахувавши всі пари елементів, що у заданій відповідності, або вказавши характеристичне властивість елементів цього підмножини. Так, відповідність між множинами X = (1, 2, 4, 6) та Y = (3, 5) можна задати:

1) за допомогою пропозиції з двома змінними: а< b при условии, что а X, b Y;

2) перерахувавши пари чисел, що належать підмножині декартового твору XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). До цього способу завдання відносять також завдання відповідності за допомогою графа (рис. 2) та графіка (рис. 3)

Рис. 2 Мал. 3

Нерідко, вивчаючи відповідності між елементами множин X і Y, доводиться розглядати і відповідність йому зворотне. Нехай, наприклад,

S - відповідність «більше на 2» між елементами множин

Х = (4,5,8, 10) та Y= (2,3,6). Тоді S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) та його граф буде таким, як на малюнку 4а.

Відповідність, протилежна цьому, - це відповідність «менше на 2». Воно розглядається між елементами множин Y і X, і щоб його уявити, достатньо на графі відношення S напрямок стрілок поміняти на протилежний (рис. 4б). Якщо відповідність «менше на 2» позначити S -1, то S -1 = ((2,4), (3,5), (6,8)).

Умовимося пропозиція «елемент х знаходиться відповідно до елемента у» записувати коротко так: xSy. Запис xSy можна як узагальнення записів конкретних відповідностей: х = 2у; х > 3у+1 та ін.

Скористаємося введеним записом визначення поняття відповідності, зворотного даному.

Визначення. Нехай S - відповідність між елементами множин X і Y. Відповідність S -1 між елементами множин Y і X називається зворотним даному, якщо yS -x тоді і тільки тоді, коли xSy .

Відповідності S та S -1 називають взаємно зворотними. З'ясуємо особливості їхніх графіків.

Побудуємо графік відповідності S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (рис. 5а). При побудові графіка відповідності S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) ми повинні першу компоненту вибирати з множини Y = (2, 3, 6), а другу - з множини = (4, 5, 8, 10). В результаті графік відповідності S -1 збігається з графіком відповідності S. Щоб розрізняти графіки відповідності S і S -1 ,

домовилися першу компоненту пари відповідності S-1 вважати абсцисою, а другу - ординатою. Наприклад, якщо (5, 3) S, (3, 5) S -1 . Крапки з координатами (5, 3) і (3, 5), а в загальному випадку (х, у) і (у, х) симетричні щодо бісектриси 1-го та 3-го координатних кутів. Отже, графіки взаємно зворотних відповідностей S і S -1 симетричні щодо бісектриси 1-го та 3-го координатних кутів.

Щоб побудувати графік відповідності S -1 досить зобразити на координатній площині точки, симетричні точкам графіка S щодо бісектриси 1-го і 3-го координатних кутів.

ПРО РІШЕННЯ ТРИКУТНИКІВ.

IX. Прямокутні трикутники.

§ 83. Співвідношення між елементами прямокутного трикутника.

У § 20 було виведено тригонометричні співвідношення між елементами прямокутного трикутника; а саме, з визначення тригонометричних функцій було виведено формули (чорт. 40):

sin A = a / c; cos A = b / c; tg A = a / b

Визначаючи з цих формул а, bі з, знайдемо:

1) а= з sin A 2) b= з cos A; 3) а= b tg A.

Словесні формулювання наведені в § 20-21. До цих формул треба додати ще три, відомі з геометрії:

A + B = 90 °; c 2 = a 2 + b 2; S = 1/2 ab.

§ 84.Між елементами будь-якого трикутника існують лише три незалежні співвідношення. До складу трикутника входять три сторони та три кути; але з цих шести елементів достатньо мати три (виключай випадок трьох кутів), щоб можна було побудувати трикутник і тим самим отримати решту трьох елементів. Звідси випливає, що при обчисленні в трикутнику можна визначити три елементи за даними іншим; а для цього число різних рівнянь між елементами трикутника має бути рівним також трьом. Якщо рівнянь отримано більше трьох, деякі з них будуть наслідком інших.

У прямокутному трикутнику основними співвідношеннями вважаються зазвичай такі:

A + В = 90 °; а= з sin A; b= з cos A.

Інші можна вивести з них.

§ 85. Розв'язання прямокутних трикутників.

Основними елементами трикутника вважаються сторони та кути. Тому при вирішенні прямокутного трикутника в залежності від того, які елементи дані, можуть представитися 4 випадки, розібрані у наступних параграфах. При цьому в числі даних неодмінно повинен бути один лінійний елемент, тому що інакше не можна дізнатися розміри трикутника: по трьох кутах можна побудувати скільки завгодно подібних трикутників.

Рішення трикутників (як і рішення будь-яких математичних завдань) проводиться спочатку, наскільки можна, остаточно у загальному вигляді; потім підставляються числові дані та проводяться обчислення. Всі наведені нижче приклади вирішені за допомогою таблиць Брадіса, спочатку за натуральними значеннями тригонометричних функцій, потім - за логарифмами.

На випадок користування п'ятизначними таблицями збережено приклади розв'язання трикутників та за цими таблицями.

§ 86. 1-й випадок.Дані гіпотенуза та гострий кут ( зта А). Знайти інший гострий кут, катети та площа (В, a, b, S).

I. Рішення у загальному вигляді.

ІІ. Числовий приклад: з= 627; A = 23 ° 30"

Рішення.

В = 90 ° - 23 ° 30 "= 66 ° 30"; а= 627 sin 23°30"

За таблицею VIII Брадіса знаходимо sin 23°30" = 0,3987; отже:

а = 627 0,3987 = 249,9849;
а≈ 250 (лін. одиниць);
b= 627 cos 23 ° 30" = 627 0,9171 = 575,0227.
b≈ 575 (лін. одиниць);
S = 1/2 249,98 575,02 = 71 872 (кв. одиниць). л

§ 87. 2-й випадок.Дано катет і гострий кут ( ата А). Знайти В, с, b, S.

I. Рішення у загальному вигляді.

ІІ. Числовий приклад: а=18; А = 47 °.

Рішення.

§ 88. 3-й випадок.Дано гіпотенузу та катет ( зі а). Знайти А, В, b, S.

I. Рішення у загальному вигляді.

sin A = a / c; cos B = a / c ; b = √c 2 - a 2 ; S = a / 2 √c 2 - a 2 .

ІІ. Числовий приклад: з = 65; а =16.

I Рішення.

sin A = 16/65 = 0,2461; А = 14 ° 12 "+ 3" = 14 ° 15";
В = 90 ° - 14 ° 15 "= 75 ° 45";

b = √65 2 -16 2 = √(65 + 16) (65 -16) = √81 49 = 9 7;
b= 63 (лін. одиниць);

S = 16/2 63 = 504 (кв. одиниць).

§ 89. 4-й випадок.Дано обидва катеты ( аі b). Знайти А, В, з, S.

I. Рішення у загальному вигляді.

tg A = a / b; tg B = b / a ; c = √a 2 + b 2 ; S = ab / 2

ІІ. Числовий приклад: a = 25; b = 40.

Рішення.

tg A = 25/40 = 0,625; A = 32 °; B = 58 °;
c= √25 2 +40 2 ≈ 47,2; S = 500 (кв. одиниць).

1. Ранг матриці

3
5
2
4

2. Алгебраїчне доповнення елемента

А 23 = 12
А 23 = -34
А 23 = 34
А 23 = -12

3. Добуток матриць

- Правильно

4. Якщо всі елементи одного рядка прямокутної матриці А розмірності n x m помножити на два, то ранг матриці А …
збільшиться на 2
не зміниться
збільшиться вдвічі

5. Вірне співвідношення

- Правильно

6. Значення визначника

2
4
5
3

7. Взаємне розташування прямих 4x - 2y - 6 = 0 і 8x - 4y - 2 = 0 на площині - прямі …
паралельні
перетинаються
перпендикулярні
збігаються

8. Нехай х і рішення системи

4
7
5
6

9. Серед наведених нижче рівнянь вказати рівняння еліпса

10. Нехай пряма задана нормальним рівнянням x sinα + y sinα – p = 0. Вірне твердження
Якщо ОА – перпендикуляр, відновлений з початку координат до прямої, то α – кут утворений перпендикуляром ОА з віссю Ох
Якщо ОА – перпендикуляр, відновлено з початку координат до прямої, то α – довжина цього перпендикуляра
р - величина відрізка, що відсікається прямою на осі Ох
α - кут нахилу прямої до позитивного напрямку осі Ох

11. Дана лінійна система

система має безліч рішень
система не має рішень
система має єдине рішення
про наявність рішень нічого сказати не можна (система може мати так і не мати рішення)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y - 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Знайти скалярний добуток векторів

Щоб побудувати математичну теорію потрібні як самі елементи, а й відносини з-поміж них. Для чисел сенс поняття рівності: а = b. Якщо числа а та b різні, а? b, тоді можливо або > b, або а

Дві прямі площини можуть бути перпендикулярними, паралельними перетинатися під деяким кутом.

Усі ці стосунки стосуються двох об'єктів. Тому вони називаються бінарними стосунками.

Для вивчення відносин між об'єктами математики створена теорія бінарних відносин.

Коли ми розглядаємо ті чи інші відносини, ми завжди маємо справу з упорядкованими парами, утвореними з елементів цієї множини. Наприклад, для відношення «більше на 4», яке розглядається на множині Х = (2, 6, 10, 14), це будуть упорядковані пари (2, 6), (6, 10), (10, 14), а для відносини «ділиться» - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Можна помітити, що безліч пар, які визначають відносини «більше на 4», «ділиться», є підмножинами декартового твору.

Х ' Х = ((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Визначення 1. Бінарним ставленням між елементами множини Х або ставленням на множині Х називається всяке підмножина декартового твору Х ´Х.

Бінарні відносини зазвичай позначають великими літерами латинського алфавіту: P, T, S, R, Q і т. д. Отже, якщо Р–відношення на множині Х, то Р Ì Х ´ Х. Часто для запису відносин використовуються різні спеціальні символи, наприклад , =, >, ~, ½½, ^ і т. д. Безліч всіх перших елементів пар з Р називається областю визначення відношення Р. Безліч значень відношення Р називається безліч всіх інших елементів пар з Р.

Для наочності бінарні відносини зображують графічно з допомогою спеціального малюнка графа. Елементи множини Х зображують точками. Якщо має місце (х, у) Р(хРу), то з точки х проводять стрілку в точку у. Таке креслення називають графом відношення Р, а точки, що зображують елементи множини Х, вершинами графа. стрілки ребра графа.

приклад. Нехай відношення Р: «число х – дільник числа у», заданого на множині

Х = (5, 10, 20, 30, 40), зображено малюнку 25.

Стрілки графа, у яких початком і кінцем є та сама точка, називаються петлями. Якщо на графі відношення Р змінити напрямки всіх стрілок на протилежні, то вийде нове відношення, яке називають зворотним для Р. Його позначають Р-1. Зазначимо, що хРу уР–1х.

Способи завдання бінарних відносин.

Оскільки відношення R між елементами множини Х - це безліч, елементами якого є впорядковані пари, то його можна задати тими самими способами, що будь-яка безліч.

1. Найчастіше відношення R на множині Х задають за допомогою характеристичної властивості пар елементів, що знаходяться у відношенні R. Цю властивість формулюють у вигляді речення з двома змінними.

Наприклад, серед відносин на множині Х = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), можна розглядати такі: «число х менше числа у в 2 рази», «число х - дільник числа у», «число х більше, ніж число у» та інші.

2. Відношення R на множині Х можна задати шляхом перерахування всіх пар елементів множини Х, пов'язаних ставленням R.

Наприклад, якщо записати безліч пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), то на множині Х = (1, 2, 3, 4) ми задамо деяке відношення R. Це ж відношення R можна задати і

3. з допомогою графа (рис. 26).

Властивості бінарних відносин.

Визначення 2. Відношення R на множині Х називається рефлексивним, якщо кожен елемент із множини Х сам із собою знаходиться в цьому відношенні.

Коротше: R рефлексивно на Х хRx для будь-якого x X X.

або, що також: у кожній вершині графа відносини є петля. Вірно і зворотне: якщо кожна вершина графа відносини має петлю, це рефлексивне ставлення.

приклад. Рефлексивні відносини: «бути рівними на багатьох трикутників площині», «? і £ на багатьох дійсних чисел».

Відзначимо, що існують відносини, які не володіють властивістю рефлексивності. (Навести приклад «х більше у»)

Визначення 3. Бінарне відношення R на множині Х називається антирефлексивним на Х, якщо для кожного х з Х (х, х) R, тобто. для кожного х із Х не виконується умова хRх.

Якщо відношення R є антирефлексивним, то жодна вершина його графа не має петлі. Назад: якщо жодна вершина графа немає петлі, то граф представляє антирефлексивне ставлення.

Приклади антирефлексивних відносин: бути старшим, бути менше, бути дочкою та ін.

Визначення 4. Відношення R на множині Х називається симетричним, якщо для будь-яких елементів х, Î X виконується умова: якщо х і у знаходяться у відношенні R, то у х теж знаходяться в цьому відношенні.

Коротше: R симетрично на Х? хRу? УRх.

Граф симетричного відношення має властивість: якщо є стрілка, що з'єднує пару елементів, то обов'язково є друга, яка з'єднує ці ж елементи, але йде в протилежному напрямку. Правильне і зворотне твердження.

Прикладами симетричних відносин є відносини: «бути взаємно перпендикулярними до множини всіх прямих площині», «бути подібними до множини всіх прямокутників площини».

Визначення 5. Якщо ні для яких елементів х і у з множини Х не може статися, що одночасно і хRу, і уRх, то відношення R на множині Х називається асиметричним.

Приклад асиметричного відношення: «бути батьком» (якщо х – батько, то у не може бути батьком х).

Визначення 6. Відношення R на множині Х називається антисиметричним, якщо для різних елементів х, у Х з того, що елемент х знаходиться у відношенні R з елементом у, слід, що елемент у не знаходиться у відношенні R з елементом х.

Коротше: R антисиметрично на Х хRу і х? у? .

Наприклад, відношення «менше» на безлічі цілих чисел є антисиметричним.

Граф антисиметричного відношення має особливість: якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна. Справедливим є зворотне твердження.

Зауважимо, що є відносини, які мають ні властивістю симетричності, ні властивістю антисиметричності.

Визначення7. Відношення R на множині Х називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів х, у, z Î Х виконується умова: якщо х знаходиться відносно R с у і у відносно R з z, то елемент х знаходиться відносно R з елементом z.

Коротше: R транзитивно на Х х хру та у Rz? хRz.

Наприклад, відношення «пряма х паралельна прямій у», задане на безлічі прямих площин, є транзитивним.

Граф транзитивного відношення має особливість: з кожною парою стрілок, що йдуть від х до у і від у до z, він містить і стрілку, що йде від х до z. Правильне і зворотне твердження.

Зауважимо, що є відносини, які мають властивістю транзитивності. Наприклад, ставлення "стояти поруч на полиці" не транзитивне.

Усі загальні властивості відносин можна розбити втричі группы:

рефлексивності (кожне відношення рефлексивно або антирефлексивно),

симетричності (відношення завжди або симетрично або асиметрично, або антисиметрично),

транзитивності (кожне відношення транзитивно чи транзитивно). Відносинам, що володіють певним набором властивостей, надано спеціальні назви.

Слово «відповідність» у російській мові вживається досить часто, воно означає співвідношення між чимось, що виражає узгодженість, рівність у будь-якому відношенні (тлумачний словник Ожегова).

У житті часто доводиться чути: «Цей підручник відповідає цій програмі, а цей підручник не відповідає (але може відповідати іншій програмі); це яблуко відповідає найвищому сорту, а це лише першому». Ми говоримо, що цій відповіді на іспиті відповідає оцінка «відмінно», цій – «добре». Ми говоримо, що цій людині відповідає (себто підходить) одяг 46 розміру. Відповідно до інструкції слід чинити так, а не інакше. Спостерігається відповідність між кількістю сонячних днів у році та врожайністю культури.

Якщо спробувати проаналізувати ці приклади, можна помітити, що у всіх випадках мова йде про два класи об'єктів, причому між об'єктами з одного класу встановлюється за певними правилами якийсь зв'язок з об'єктами іншого класу. Наприклад, у разі відповідності одягу певного розміру, один клас об'єктів – це люди, а інший клас об'єктів – це деякі натуральні числа, які відіграють роль розмірів одягу. Правило, яким встановлюється відповідність, можемо поставити, наприклад, з допомогою природного алгоритму – примірки конкретного костюма чи визначення «на око» його придатності.

Ми розглядатимемо відповідності, для яких класи об'єктів, між якими встановлюється відповідність і правило встановлення відповідності, цілком визначені. Численні приклади таких відповідностей вивчалися у школі. Насамперед, це, звичайно, функції. Будь-яка функція є прикладом відповідності. Справді, розглянемо, наприклад, функцію у = х+ 3. Якщо не говориться спеціально про область визначення функції, то вважають, що кожному числовому значенню аргументу хвідповідає числове значення у, що знаходиться за правилом: до хпотрібно додати 3. У цьому випадку відповідність встановлюється між множинами R і R дійсних чисел.

Зауважимо, що встановлення зв'язків між двома множинами Xі Yпов'язано з розглядом пар об'єктів, утворених з елементів множини Xта відповідних елементів множини Y.

Визначення. Відповідністюміж множинами Xі Yназивають всяку непусту підмножину декартового твору X ´ Y.

Безліч Xназивається областю відправленнявідповідності, безліч Y – областю прибуттявідповідності.

Відповідності між множинами прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту, наприклад, R, S, Т. Якщо R- деяка відповідність між множинами Xі Y, то, згідно з визначенням, відповідності, RÍ Х´ Yі R≠ Æ. Раз відповідність між множинами Xі Yє всяке підмножина декартового твору Х ´ Y, тобто. є безліччю впорядкованих пар, то способи завдання відповідності по суті такі самі, як і способи завдання множин. Отже, відповідність Rміж множинами Xі Yможна задати:

а) перерахуванням усіх пар елементів ( х, y) Î R;

б) зазначенням характеристичної властивості, яким володіють усі пари ( х, у) множини Rі не має жодна пара, яка не є його елементом.

Приміри.

1) Відповідність Rміж множинами X= (20, 25) та Y= (4, 5, 6) задано вказівкою характеристичного властивості: « хкратно у»,
х Î Х, у Î Y. Тоді безліч R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Відповідність Rміж множинами X= (2, 4, 6, 8) та

Y= (1, 3, 5) задано безліччю пар R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Якщо R- Відповідність між двома числовими множинами Xі Y, то, зобразивши всі пари чисел, що знаходяться у відповідності Rна координатній площині, отримаємо фігуру, яка називається графіком відповідності R. Назад, будь-яке підмножина точок координатної площини вважають графіком деякої відповідності між числовими множинами Xі Y.

Граф відповідності

Для наочного зображення відповідності між кінцевими множинами крім графіка застосовуються графи. (Від грецького слова "графо" - пишу, порівняйте: графік, телеграф).

Для побудови графа відповідності між множинами Xі Yелементи кожної з множин зображують точками на площині, після проводять стрілки від х Î Хдо у Î Yякщо пара ( х, у) належить цій відповідності. Виходить креслення, що складається з точок та стрілок.

П р і м е р. Відповідність Rміж множинами X= (2, 3, 4, 5) та Y= (4, 9) задано перерахуванням пар R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Так само можна записати 4 R 4, 3R 9. І взагалі, якщо пара
(х, y) Î R, то кажуть, що елементу х Î Хвідповідає елемент у Î Yта записують хRу. Елемент 2 Î Хназивається прообразом елемента
4 Î Yвідповідно Rі позначається 4 R-1 2. Аналогічно можна записати 4 R -1 4, 9R -1 3.