Текстові задачі. Завдання працювати з рішеннями

Завдання на спільну роботу та продуктивність

Завдання цього типу зазвичай містять відомості про виконання кількома суб'єктами (робочими, механізмами, насосами тощо) деякої роботи, обсяг якої не вказується і не є шуканим (наприклад, передрук рукопису, виготовлення деталей, риття траншей, заповнення через труби водоймища і і т.д.). Передбачається, що виконувана робота проводиться поступово, тобто. із постійною для кожного суб'єкта продуктивністю. Так як величина виконуваної роботи (або обсяг басейну, що заповнюється, наприклад) нас не цікавлять, то обсяг всієї роботи. або басейн приймається за одиницю. Часt, необхідне виконання всієї роботи, і Р - виробникність праці, тобто величина роботи, зробленої за одиницю часу, пов'язані

співвідношеннямP= 1/t .Корисно знати стандартну схему вирішення типових завдань.

Нехай один робітник виконує деяку роботу за годинник, а інший - за годинник. Тоді за одну годину вони виконають відповідно 1/xта 1/yчастина роботи. Разом за одну годину вони виконають 1/x +1/ yчастина роботи. Отже, якщо вони працюватимуть разом, то вся робота буде виконана за 1/ (1/x+ 1/ y)

Вирішення завдань на спільну роботу викликає у учнів труднощі, тому під час підготовки до іспиту можна розпочати з вирішення найпростіших завдань. Розглянемо тип завдань, під час вирішення яких досить запровадити лише одну змінну.

Завдання 1. Один штукатур може виконати завдання на 5 годин швидше за інше. Обидва разом виконають це завдання за 6 годин. За скільки годин кожен із них виконає завдання?

Рішення. Нехай перший штукатур виконує завдання заxгодин, тоді другий штукатур виконає це завдання заx+5 годин. За 1 годину спільної роботи вони виконають 1/x + 1/( x+5) завдання. Складемо рівняння

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 абоx² - 7 x-30 = 0. Вирішивши дане рівняння, отримаємоx= 10 іx= -3. За умовою завданняx- Величина позитивна. Отже перший штукатур може виконати роботу за 10 годин, а другий - за 15 годин.

Завдання 2 . Двоє робітників виконали роботу за 12 днів. За скільки днів може виконати роботу кожен робітник, якщо одному з них на виконання всієї роботи знадобилося на 10 днів більше, ніж іншому?

Рішення . Нехай перший робітник витрачає на всю роботуxднів, тоді другий-(x-10 днів. За 1 день спільної роботи вони виконують 1/x+ 1/( x-10) Завдання. Складемо рівняння

12×(1/x+ 1/( x-10) = 1 абоx²- 34x+120 = 0. Вирішивши дане рівняння, отримаємоx=30 іx= 4. Умову завдання задовольняє лишеx= 30. Тому перший робітник може виконати роботу за 30 днів, а другий - за 20 днів.

Завдання 3. За 4 дні спільної роботи двома тракторами було зорано 2/3 поля. За скільки днів можна було зорати все поле кожним трактором, якщо першим його можна зорати на 5 днів швидше, ніж другим?

Рішення. Нехай перший трактор витрачаєна виконання завдання x днів, тоді другий – x + 5 днів. За 4 дні спільної роботи обидва трактори зорали 4×(1/ x + 1/( x +5)) завдання, тобто 2/3 поля. Складемо рівняння 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 абоx² -7x-30 = 0. . Вирішивши дане рівняння, отримаємоx= 10 іx= -3. За умовою завданняx- Величина позитивна. Отже перший трактор може зорати поле за 10 годин, а другий - за 15 годин.

Завдання 4 . Маша може надрукувати 10 сторінок за 1 год. Таня – 4 сторінки за 0,5, а Оля – 3 сторінки за 20 хвилин. Як дівчаткам розподілити 54 сторінки тексту між собою, щоб кожна працювала протягом одного і того ж часу?

Рішення . За умовою Таня друкує 4 сторінки за 0,5 год, тобто. 8 сторінок за 1ч., а Оля – 9 сторінок за 1ч. Позначивши за Х годин-час, протягом якого дівчатка працювали, отримаємо рівняння

10Х +8Х+9Х =54, звідки Х=2.

Отже, Таня має надрукувати 20 сторінок, Таня-16 сторінок, а Оля – 18 сторінок.

Завдання 5. На двох розмножувальних апаратах, що працюють одночасно, можна зробити копію рукопису за 20 хв. За який час можна виконати цю роботу на кожному апараті окремо, якщо відомо, що при роботі на першому для цього потрібно на 30 хв менше, ніж при роботі на другому?

Рішення. Нехай Х хв - час, який потрібно виконання копії першому апараті, тоді Х+30 хв- час роботи другого апарату. Тоді 1/Х копії виконує перший апарат за 1 хв, а 1/(Х +30) копії-другий апарат.

Складемо рівняння: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, отримаємоX²-10X-600 = 0. Звідки Х = 30 і Х = - 20. Умову задачі задовольняє Х = 30. Отримали: 30 хв - час, за який перший апарат зробить копію, 60 хв - другий.

Завдання 6. Фірма А може виконати деяке замовлення на виробництво іграшок на 4 дні швидше, ніж фірма В. За який час може виконати це замовлення кожна фірма, якщо відомо, що при роботі за 24 дні вони виконують замовлення в 5 разів більше?

Рішення. Позначивши за Х днів-час, необхідний фірмі А виконання замовлення, тоді Х + 4 днів - час фірми У. При складанні рівняння необхідно врахувати, що з 24 дні спільної роботи буде виконано не 1 замовлення, а 5 замовлень. Отримаємо, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5.Звідки слідує 5 Х²- 28Х-96 = 0. Розв'язавши квадратне рівняння отримуємо, Х = 8 і Х = - 12/5. Перша фірма може виконати замовлення за 8 днів, фірма – за 12 днів.

При вирішенні наступних завдань необхідно вводити більше однієї змінноїі вирішувати вже системи рівнянь.

Завдання 7 . Двоє робітників виконують деяку роботу. Після 45 хв спільної роботи перший робітник був переведений на іншу роботу, і другий робітник закінчив частину роботи, що залишилася, за 2 год 15 хв. За який час міг би виконати всю роботу кожен робітник окремо, якщо відомо, що другому для цього знадобиться на 1 год більше ніж першому?

Рішення. Нехай перший робітник виконує всю роботу за годинник, а другий - за годинник. З умови завдання маємо х = у -1. За 1 год перший

робітник виконає 1/xчастина роботи, а друга – 1/yчастина роботи.Т.к. вони працювали разом ¾ год, то за цей час вони виконали ¾ (1/x + 1/ y)

частина роботи. За2і 1/4год роботи другий виконав 9/4× (1/y) частина роботи.Т.к. вся робота виконана, то складаємо рівняння ¾ (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 або

¾ ×1/x+ 3×1/y =1

Підставивши значенняxу це рівняння, отримуємо ?× 1/ (y-1) + 3×1/y= 1. Зводимо це рівняння до квадратного 4у2 -19у + 12 =0, яке має

рішення у 1 = ч іу 2 = 4 год. Перше рішення не підходить (обидва рабпрочі тільки разом працювали ¾ год!). Тоді у = 4, а х =3.

Відповідь. 3 години, 4:00.

Завдання 8. Басейн може наповнитися водою із двох кранів. Якщо перший кран відкрити на 10 хв, а другий - на 20 хв, басейн буде наповнений.

Якщо перший кран відкрити на 5 хв, а другий – на 15 хв, то заповниться 3/5 басейну.

За який час із кожного крана окремо може заповнитись весь басейн?

Рішення. Нехай з першого крана можна заповнити басейн за х хв, а з другого - за 1 хв. Перший кран заповнює частина басейну, а другий . За 10 хв із першого крана заповниться частина басейну, а за 20 хв із другого крана - . Т.к. басейн буде заповнений, то отримуємо перше рівняння: . Аналогічно складаємо друге рівняння (Заповнюється на весь басейн, а тільки його обсягу). Для спрощення розв'язання задачі введемо нові змінні: Тоді маємо лінійну систему рівнянь:

10u + 20v = 1,

рішення якої буде u = v =. Звідси отримуємо відповідь: x = хв, y = 50 хв.

Завдання 9 . Двоє виконують роботу. Спочатку перший працював часу, протягом якого другий виконує всю роботу. Потім другий працював часу, за який перший закінчив би роботу, що залишилася. Обидва вони виконали тільки всієї роботи. Скільки часу потрібно кожному для виконання цієї роботи, якщо відомо, що при спільній роботі вони зроблять її за3 год36 хв?

Рішення. Позначимо через х годин і годин годин, за який виконують всю роботу перший і другий відповідно. Тоді і

Ті частини роботи, які вони виконують за1ч.Працюючи (за умовою) часу, перший виконає частина роботи. Залишиться невиконаною частина роботи, на яку перший витратив би годин. За умовою другої працює 1/3 цього часу. Тоді він виконає частина роботи. Удвох вони виконали тільки всієї роботи. Отже, отримуємо рівняння . Працюючи спільно, за1 годину обидва зроблять + частина роботи. Оскільки за умовою завдання вони зроблять цю роботу за3 год36 хв (тобто зa 3 години), то за1 годину вони зроблять всієї роботи. Звідси 1/x + 1/ y = 5/18. Позначивши у першому рівнянні , отримаємо квадратне рівняння

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , коріння якого дорівнюєt 1 =2/3 , t 2 =3/2. Оскільки невідомо, хто працює швидше, то розглядаємо обидва випадки.

а)t = => у = х. Підставляємо у друге рівняння: Очевидно, що це не є рішенням

завдання, оскільки разом вони роблять роботу більше ніж за 3 год.

б) t=3/2 => y=3/2 x. З другого рівняння маємо 1/x+2/3× 1/x=5/18.Звідсих = 6,у =9.

Задача10. В резервуар надходить вода із двох труб різних діаметрів. Першого дня обидві труби, працюючи одночасно, подали 14m 3 води. На другий день була включена лише мала труба. Вона подала 14 м 3 води, пропрацювавши на 5 год довше, ніж першого дня. Третього дня робота тривала стільки ж часу, скільки другого, але спочатку працювали обидві труби, подавши 21 м 3 води. А потім працювала лише велика труба, що подала ще 20 м. 3 води. Знайти продуктивність кожної труби.

Рішення. У цьому завдання немає абстрактного поняття "обсяг водоймища", а вказуються конкретні обсяги води, що надходять трубами. Проте методика розв'язання завдання фактично залишається незмінною.

Нехай менша і більша труби перекачують за 1 годину х і у м3 води. Працюючи разом, обидві труби подають х + у м3 води.

Отже, першого дня труби працювали 14/(x+ y) годин. На другий день мала труба працювала на 5 годин більше, тобто 5+14/(x+ y) . За це

час вона подала 14 м 3 води. Звідси отримуємо перше рівняння 14 або 5+14/(x+ y)=14/ x. Третього дня обидві труби разом працювали21/(x+ y) годин, а потім велика труба працювала 20/xгодин. Сумарний час труб збігається з часом роботи першої труби другого дня, тобто.

5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Оскільки ліві частини рівняння рівні, то маємо . Звільнившись від знаменників, отримуємо однорідне рівняння 20x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Розділивши рівняння наy 2 і позначившиx/ y= t, маємо 20t 2 +27 t-14 = 0. З двох коренів цього квадратного рівняння (t 1 = , t 2 = ) за змістом завдання підходить тількиt= . Отже,x= y. Підставившиxу перше рівняння, знаходимоy=5. Тодіx=2.

Завдання 11. Дві бригади, працюючи разом, викопали траншею за два дні. Після цього вони почали рити траншею тієї ж глибини і ширини, але довшою за першу в 5 разів. Спочатку працювала тільки перша бригада, а потім лише друга бригада, виконавши у півтора рази менший обсяг роботи, ніж перша бригада. Риття другої траншеї було закінчено за 21 день. За скільки днів друга бригада змогла б вирити першу траншею, якщо відомо, що обсяг роботи, що виконується першою бригадою за один день, більший за обсяг роботи, що виконується за один день другою бригадою?

Рішення.Це завдання зручніше вирішувати, якщо привести роботу до одного масштабу. Якщо обидві бригади вирили, працюючи разом, першу траншею за 2 дні, то, очевидно, другу траншею (вп'ятеро довшу) вони вирили б за 10 днів. Нехай перша бригада вирила б цю траншею за х днів, а друга - за у, тобто. за 1 день перша вирила б частина траншеї, друга - за 1/y , а разом -1/x+1/ y частина траншеї.

Тоді маємо . Бригади під час копання другої траншеї працювали окремо. Якщо друга бригада виконала обсяг роботиm, то (за умовою завдання) – перша бригада . Так якm + m = m дорівнює обсягу всієї роботи, що приймається за одиницю, тоm = . Отже, друга бригада викопала траншеї та витратила на це у днів. Перша бригада викопала траншеї та витратила х днів. Звідси маємо абох = 35- . Підставляючи їх у перше рівняння, приходимо до квадратного рівняння2у 2 - 95у +1050 = 0, корінням якого будуть у 1 = і у 2 = 30. Тоді відповіднох 1 = і х 2 =15. З умови завдання вибираємо потрібне: у = 30. Так як знайдене значення відноситься до другої траншеї, то першу траншею (у п'ять разів коротше) друга бригада вирила б за 6 днів.

Завдання 12. Три екскаватори брали участь у копанні котловану об'ємом 340 м. 3 . За годину перший екскаватор виймає 40 м 3 фунта, другий - на м 3 менше першого, а третій - на 2с більше першого. Спочатку працювали одночасно перший та другий екскаватори, та викопали 140 м 3 ґрунту. Потім частину котловану, що залишилася, викопали, працюючи одночасно, перший і третій екскаватори. Визначити значення з(0<с<15), при якому котлован було викопано за 4 год, якщо робота велася без перерви.

Рішення. Оскільки перший екскаватор виймає 40 м 3 ґрунту на годину, то другий - (40-с) м 3 , а третій – (40+2с) м 3 фунта на годину. Нехай перший і другий екскаватори разом працювали з годин. Тоді з умови завдання випливає (40+40-с)х = 140 або (80-с)х = 140. Якщо перший і третій екскаватори працювали разом біля годинника, то маємо (40+40+2с)у = 340-140 або (80+2с)у - 200. Так як загальний час роботи дорівнює 4 годин, то отримуємо для визначення наступне рівняння х + у = 4 або

Це рівняння рівносильне квадратному рівняннюз 2 -30с + 200 =0, рішеннями якого будуть з 1 = 10 м 3 і з 2 = 20м 3 . За умовою завдання підходить тольдо

з = 10 м 3 .

Завдання 10. Кожному із двох робітників доручили обробити однакову кількість деталей. Перший почав роботу відразу і виконав її за 8 год. Другий витратив спочатку більше 2 год на налагодження пристосування, а потім з його допомогою закінчив роботу на 3 год раніше першого. Відомо, що другий робітник за годину після початку своєї роботи обробив стільки ж деталей, скільки до цього моменту обробив перший. У скільки разів пристрій збільшує продуктивність верстата (тобто кількість оброблюваних деталей за годину роботи)?

Рішення. Це приклад завдання, у якому не всі невідомі треба шукати.

Позначимо час налагодження верстата другим робітником через х (за умовою х>2). Нехай необхідно було обробити кожному поnдеталей.

Тоді перший робітник за годину обробляє деталей, а другий деталей. Обидва робітники однакову кількість деталей обробили через годину після початку другої роботи. Це означає, що Звідси отримуємо рівняння визначення х: х 2 -4х + 3-0 корінням якого будуть х 1 = 1 іх 2 = 3. Т. до.

х > 2 то необхідне значення - це х = 3. Отже, другий робочий обробляє в годину деталей. Т. до. перший робітник за годину обробляє

деталей, то звідси знаходимо, що пристрій збільшує продуктивність праці = 4 рази.

Завдання 1 3. Троє робітників повинні виготовити кілька деталей. Спочатку роботу почав лише один робітник, а через деякий час до нього приєднався другий. Коли 1/6 частину всіх деталей було виготовлено, до роботи приступив і третій робітник. Роботу вони закінчили одночасно, причому кожен зробив однакову кількість деталей. Скільки часу працював третій робітник, якщо відомо, що він працював на дві години менше за другу і що перша і друга, працюючи разом, могли б виготовити всю необхідну кількість деталей на 9 годин раніше, ніж це зробив би третій, працюючи окремо?

Рішення. Нехай перший робітник працював х годин, а третій - у годин. Тоді другий робітник працював на 2 години більше, тобто у +2 години. Кожен їх виготовив однакову кількість деталей, т. е. по 1/3 всіх деталей. Отже, всі деталі перший виготовив би за 3 годин, другий за 3 (+2) годин, а третій - за 3 годин. Тому перший виготовляє за годину частина всіх деталей, другий - і третій - .

Бо всі троє за час спільної роботи виготовили всіх деталей, то отримуємо перше рівняння (всі троє разом працювали біля годинника)

. (1)

Перший і другий, працюючи разом, виготовили б всі деталі на 9 годин раніше, ніж це зробив би третій робітник, працюючи один. Звідси отримуємо друге рівняння

. (2)

Ці два рівняння легко наводяться до рівносильної системи

Виражаючи з другого рівняння х і підставляючи перше рівняння, отримуємо у 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Це рівняння розкладається на множники(y- 9) (у +2) 2 = 0.

Т. до. у > 0, то рівняння має лише один потрібний корінь у = 9.Відповідь:у = 9.

Завдання 14. У котлован поступово поступає вода, 10 однакових насосів, діючи одночасно, можуть відкачати воду із заповненого котловану за 12 годин, а 15 таких насосів - за 6год.За скільки часу можуть відкачати воду із заповненого котловану 25 таких насосів під час спільної роботи?

Рішення.Нехай обсяг котловануVm 3 , а продуктивність кожного насоса - х м 3 на годину. Вода в котлован надходить безперервно.Т.до. невідомо кількість її надходження, то позначимо через у м 3 на годину - обсяг надходження води до котловану. Десять насосів за 12 годин відкачають х= 120х води. Ця кількість води дорівнює повному об'єму котловану та об'єму тієї води, яка надійде в котлован за 12 годин. Весь цей обсяг дорівнюєV+12 y. Прирівнюючи ці обсяги, складаємо перше рівняння 120х =V + 12 y .

Аналогічно складається рівняння для 15 таких насосів:15-6 x = V + 6 yабо 90x = V + 6 y. З першого рівняння маємо V = 120х – 12у. Підставляючи V у друге рівняння, отримуємо у = 5х.

Час, протягом якого діятимуть 25 таких насосів, невідомий. Позначимо його черезt. Тоді, з огляду на умови завдання, за аналогією складаємо останнє рівняння. Маємо 25tx= V +ty. Підставляючи це рівняння у і V знаходимо 25tx= 120х -12 5х +t 5х або 20tx= 60х. Звідси отримуємоt= 3:00.Відповідь: за 3:00.

Завдання 15. Дві бригади працювали разом 15 днів, а потім до них приєдналася третя бригада і через 5 днів після цього вся робота була закінчена. Відомо, що друга бригада виробляє за день на 20% більше за першу. Друга та третя бригади разом могли б виконати всю роботу за того часу, який потрібний для виконання всієї роботи першою та третьою бригадами при їх спільній роботі. За який час могли б виконати всю роботу всі три бригади, працюючи разом?

Рішення. Нехай всю роботу, працюючи окремо, перша, друга та третя бригади виконують відповідно за х, у іzднів. Тоді щодня вони виконують частина роботи. Перетворюючи першу умову завдання на рівняння, вважаючи, що весь обсяг роботи дорівнює одиниці, отримуємо

15 або

(1)

20 .

Так як друга бригада виробляє 120% того, що робить перша (на 20% більше), маємо або . (2)

Друга та третя бригади виконали б усю роботу за 1/ днів, а перша та третя – за 1/ днів. За умовою перша величина дорівнює

(3)

Другий, тобто 1/ . Звідси отримуємо третє рівняння .

У задачі потрібно визначити час виконання всієї роботи трьома бригадами, які працюють разом, тобто величину1/ .

Очевидно, що вирішувати систему рівнянь (1)-(3) зручніше, якщо запровадити нові змінні: , Потрібно знайти величину

l/(u + v+ w) .Тоді маємо рівносильну систему

Вирішуючи цю лінійну систему, легко знаходимоu= Тоді шукана величина дорівнює 1/ ТакимТаким чином, працюючи разом усі три бригади виконають усю роботу за 16 днів.

Відповідь: за 16 днів.Якби продуктивність другої фабрики збільшилася в 2 рази, то вона дорівнювала б Майже всі типи завдань на продуктивність.

Завдання

Двоє робітників разом можуть виконати деяку роботу за 10 днів. Після 7 днів спільної роботи один із них захворів, і інший закінчив роботу, пропрацювавши ще 9 днів. У скільки днів какожен робітник окремо може виконати всю роботу?

Декілька робітників виконали роботу за кілька днів. Якщо кількість робітників збільшися на 3, то робота буде зроблена на 2 дні швидше, а якщо кількість робітників збільшиться на 12, то на 5 днів швидше. Визначити кількість робітників та час, необхідний для виконання цієї роботи.

Два насоси різної потужності, працюючи разом, наповнюють басейн за 4 години. Для заповнення половини басейну першому насосу потрібно часу на 4 години більше, ніж другому для заповнення трьох чвертей басейну. За який час може заповнити басейн кожен насос окремо?

10. Теплохід завантажується підйомними кранами. Спочатку протягом 2 годин працювали чотири крани однакової потужності, потім до них приєдналися ще два крани, але меншої потужності, і через 3 години після цього навантаження було закінчено. Якби всі крани почали працювати одночасно, то навантаження було б за роботи, що залишилася. Продуктивність третьої бригади дорівнює напівсумі продуктивностей першої та другої бригад. У скільки разів продуктивність другої бригади більша за продуктивність третьої бригади?

15. Дві бригади штукатурів, працюючи спільно, оштукатурили житловий будинок за 6 днів. Іншим разом вони оштукатурили клуб та виконали втричі більший обсяг роботи, ніж на штукатурці житлового будинку. У клубі спочатку працювала перша бригада, а потім її змінила друга бригада і довела роботу до кінця, причому перша бригада виконала обсяг роботи вдвічі більший, ніж друга. Клуб вони оштукатурили за 35 днів. За скільки днів перша бригада змогла б оштукатурити житловий будинок, якщо відомо, що друга бригада витратила б на це понад 14 днів?

Дві бригади розпочали роботу о 8 год. Зробивши разом 72 деталі, вони почали працювати окремо. О 15 год з'ясувалося, що з час роздільної роботи перша бригада зробила на 8 деталей більше, ніж друга. На другий день перша бригада робила за одну годину на одну деталь більше, а друга бригада за одну годину на одну деталь менше, ніж у перший день. Роботу бригади розпочали разом о 8 год і, зробивши 72 деталі, знову почали працювати окремо. Тепер за час роздільної роботи перша бригада зробила на 8 деталей більше, ніж друга, вже до 13 год. Скільки деталей за годину робила кожна бригада?

Троє робітників мають зробити 80 однакових деталей. Відомо, що всі три разом роблять за годину 20 деталей. До роботи приступив спочатку перший робочий. Він зробив 20 деталей, витративши на їх виготовлення більше 3 год. Решту роботи виконували разом другий і третій робітники. На всю роботу пішло 8 год. Скільки годин знадобилося б першому робітнику на виготовлення всіх 80 деталей?

Басейн заповнюється водою через першу трубу на 5 годин швидше, ніж через другу трубу, і на 30 годин швидше, ніж через третю трубу. Відомо, що пропускна здатність третьої труби в 2,5 рази менше пропускної спроможності першої труби та на 24 м 3 /год менше пропускної спроможності другої труби. Знайдіть пропускну здатність першої та третьої труб.

Два екскаватори, з яких перший має меншу продуктивність, вирили при сспільній роботі котлован об'ємом 240 м 3 . Потім перший почав рити другий котлован, а другий продовжував рити перший. Через 7 год після початку їхньої роботи обсяг першого котловану виявився на 480 м. 3 більше обсягу другого котловану. Другого дня другий екскаватор збільшив свою продуктивність на 10 м. 3 /год, а перший зменшив на 10 м 3 /год. Спочатку вони разом викопали котлован за 240 м. 3 , після чого перший почав рити інший котлован, а другий продовжував рити перший. Тепер обсяг першого котловану став на 480 м. 3 більше обсягу другого котловану вже за 5 год після початку роботи екскаваторів. Скільки ґрунту за годину виймали екскаватори в перший день роботи?

Три автомашини перевозять зерно, завантажуючись у кожному рейсі повністю. За один рейс перша та друга машини перевозять разом6 т зерна, а перша і третя разом за 2 рейси перевозять стільки ж зерна, скільки друга за 3 рейси. Яка кількість зерна перевозить за один рейс друга автомашина, якщо відомо, що деяку кількість зерна друга і третя перевозять разом,верша в 3 рази менше рейсів, ніж знадобилося б третій машині для перевезення тієї ж кількості зерна?

Два екскаватори різної конструкції повинні прокласти дві траншеї однакової поперек.чного перерізу завдовжки 960ми180 м. Вся робота тривала 22 дні, протягом яких перший екскаватор прокладав велику траншею. Другий екскаватор почав працювати на 6 днів пізніше першого, відрив меншу траншею, 3 дні ремонтувався і потім допомагав першому. Якби не потрібно було витрачати часу на ремонт, то роботу було б закінчено за 21 день. Скільки метрів траншеї може відкрити в день кожен екскаватор?

Три бригади зорали два поля загальною площею 120 га. Перше поле було зорано за 3 дні, причому всі три бригади працювали разом. Друге поле було зоране за 6 днів першої та другої брігадами. Якби всі три бригади пропрацювали на другому полі 1 день, то частину другого поля, що залишилася, перша бригада могла б зорати за 8 днів. Скільки гектарів за день орала друга бригада?

До двох басейнів підведено дві труби рівного діаметра(докожному басейну своя труба). Через першу трубу налили в перший басейн певний об'єм води і відразу після цього в другий басейн через другу трубу налили такий же об'єм води, причому на все це пішло 16 год. Якби через першу трубу вода текла стільки часу, скільки через другу, а через другу - стільки часу, скільки через першу, то через першу трубу налили б води на 320 м 3 менше, ніж через другу. Якби через першу проходило б на 10 м 3 менше, а через другу – на 10 м 3 більше води, то щоб налити в басейн (спочатку в перший, а потім у другий) початкові обсяги води, пішло б 20 год. Скільки часу лилася вода через кожну з труб?

Дві автоколони, що складаються з однакової кількості машин, перевозять вантаж. У кожній з автнавколо машини мають однакову вантажопідйомність і під час рейсів завантажуються повністю. Вантажопідйомність машин у різних колонах різна, і за 1 рейс перша автоколона перевозить на 40 т вантажу більше, ніж друга автоколона. Якщо зменшити кількість машин у першій автоколонні на 2, а у другій автоколонні - на 10, то перша автоколона перевезе 90 т вантажу за 1 рейс, а друга автоколона перевезе 90 т вантажу за 3 рейси. Яка вантажопідйомність машин другої автоколони?

Один робітник може виготовити партію деталей за 12 год. Роботу почав один робітник, за годину до нього приєднався ще один, ще за годину - третій і т. д., поки робота не була виконана. Скільки часу пропрацював перший робітник? (Продуктивність праці всіх робочих однакова.)

Бригада робітників однакової кваліфікації мала виготовити партію деталей. Сначала до роботи приступив один робітник, через годину до нього приєднався другий, ще за годину - третій і т. д., доки до роботи не приступила вся бригада. Якби з самого початку працювали всі члени бригади, то робота була б виконана на 2 години швидше. Скільки робітників у бригаді?

Троє робітників копали канаву. Спочатку перший робітник пропрацював половину часу, небходимого двом іншим, щоб вирити всю канаву, потім другий робітник пропрацював половину часу, необхідного двом іншим, щоб вирити всю канаву, і, нарешті, третій робітник пропрацював половину часу, необхідного двом іншим, щоб вирити всю канаву. В результаті канава була вирита. У скільки разів швидше було б викопано канаву, якби з самого початку працювали всі троє робітників одночасно?

РОЗДІЛ 8

АЛГЕБРАЇЧНІ ТА АРИФМЕТИЧНІ ЗАВДАННЯ

793. Машиністка розрахувала, що якщо вона друкуватиме щодня на 2 аркуші більше встановленої для неї норми, то закінчить роботу раніше запланованого терміну на 3 дні; якщо ж друкуватиме по 4 аркуші понад норму, то закінчить роботу на 5 днів раніше строку. Скільки аркушів вона має передрукувати та в який термін? .Рішення

794. Робочий виготовив у призначений йому термін кілька однакових деталей. Якби він щодня виготовляв їх на 10 штук більше, то виконав би цю роботу на 4 1/2 дні раніше терміну, а якби він робив на день на 5 деталей менше, то запізнився б на 3 дні проти призначеного терміну. Скільки деталей та в який термін він виконав? .Рішення

795. Машиністка мала виконати роботу у певний термін, щодня друкуючи певну кількість аркушів. Вона розрахувала, що якщо буде друкувати щодня на 2 аркуші більше встановленої норми, то закінчить роботу раніше за намічений термін на 2 дні, якщо ж буде друкувати на 60% більше норми, то закінчивши роботу на 4 дні раніше за термін, надрукує на 8 аркушів більше за намічену. роботи. Скільки аркушів вона повинна друкувати за день і в який термін закінчити роботу? .Рішення

796. Двоє робітників, працюючи разом, виконують деяку роботу за 8 год. Перший із них, працюючи окремо, може виконати всю роботу на 12 год. скоріше, ніж другий робітник, якщо цей останній працюватиме окремо. О котрій годині кожен із них, працюючи окремо, може виконати роботу?.

797. Басейн наповнюється двома трубами за 6 год. Одна перша труба заповнює його на 5:00. скоріше, ніж одна друга. У скільки часу кожна труба, діючи окремо, може наповнити басейн?

798. Двом робітникам було доручено виготовити партію однакових деталей. Після того, як перший пропрацював 7 годин, а другий 4 години, виявилося, що вони виконали 5/9 усієї роботи. Пропрацювавши спільно ще 4 години, вони встановили, що їм залишається виконати 1/18 усієї роботи. О котрій годині кожен із них, працюючи окремо, міг би виконати всю роботу?.

799. Пароплав вантажиться підйомними кранами. Спочатку почали вантажити 4 крани однакової потужності. Після того як вони пропрацювали 2 години, до них приєднали ще 2 крани меншої потужності, і після цього навантаження було закінчено через 3 години. Якби всі крани почали працювати одночасно, то навантаження було б закінчено о 4,5 годині. Визначити, скільки годин міг би закінчити навантаження один кран більшої і один кран меншої потужності. .Рішення

800. Для будівництва потрібно протягом 8 год. перевезти зі станції будівельний матеріал. Для перевезення було направлено спочатку 30 тритонних машин. Після двогодинної роботи цих машин було надіслано на допомогу їм ще 9 п'ятитонних машин, разом із якими перевезення і було закінчено вчасно. Якби спочатку були направлені п'ятитонні машини, а через 2 години-тритонні, то за вказаний термін було б вивезено лише 13/15 всього вантажу. Визначити, о котрій годині могла б перевезти весь цей вантаж одна тритонна машина, одна п'ятитонна і в який термін перевезли б весь вантаж 30 п'ятитонних машин.

801. Двом друкарам було доручено виконати деяку роботу. Друга з них приступила до роботи на 1 годину пізніше за першу. Через 3 години після того, як перша розпочала роботу, їм залишалося виконати ще 9/20 усієї роботи. Після закінчення роботи виявилося, що кожна друкарка виконала половину всієї роботи. О котрій годині кожна з них окремо могла б виконати всю роботу?.

802. Зі станції А і В вийшли два поїзди назустріч один одному, причому другий з них вийшов на півгодини пізніше першого. Через 2 години після виходу першого поїзда відстань між поїздами становила 19/30 всього шляху між А та В. Продовжуючи рух, вони зустрілися на середині шляху між А та В. Скільки часу потрібно кожному поїзду, щоб пройти весь шлях між кінцевими станціями? Рішення

803. Для промивання фотографічних негативів служить ванна, що має форму прямокутного паралелепіпеда, розмірами 20 х 90 х 25 см. Для постійного змішування води у ванні в неї надходить вода через один кран і одночасно витікає через інший. Для того, щоб випорожнити за допомогою другого крана повну ванну, потрібно на 5 хв. менше часу, ніж для того, щоб заповнити її першим краном, якщо закрити другий. Якщо ж відкрити два крани, то повна ванна спорожниться за 1 годину. Знайти кількість води, що пропускається кожним краном за 1 хв. .Рішення

804. При будівництві будівлі потрібно вийняти 8000 м 3 землі у визначений термін. Роботу було закінчено раніше терміну на 8 днів внаслідок того, що бригада землекопів щодня перевиконувала план на 50 м 3 . Визначити, у який термін має бути закінчено роботу, та знайти щоденний відсоток перевиконання. Рішення

805. Ремонт колії робили дві бригади. Кожна з них відремонтувала по 10 км, незважаючи на те, що друга бригада працювала на один день менше за першу. Скільки кілометрів шляху ремонтувала кожна бригада за день, якщо обидві разом ремонтували за день 4,5 км? .Рішення

806. Двоє робітників виконали разом деяку роботу за 12 год. Якби спочатку перший зробив половину цієї роботи, а потім іншу решту, то вся робота була б виконана за 25 год. За який час міг виконати цю роботу кожен окремо?

807. Два трактори різної потужності, працюючи спільно, зорали поле за t днів. Якби спочатку працював тільки один трактор і зорав половину поля, а потім один другий закінчив би роботу, то за таких умов поле було б зорано за k днів. За скільки днів кожен трактор, працюючи окремо, може зорати все поле? .Рішення

808. Для поглиблення фарватера при вході в гавань працювали 3 різних землечерпалки. Якби діяла лише перша з них, то на роботу знадобилося б на 10 днів більше часу; якби працювала лише друга, то робота затягнулася б на 20 днів. При роботі однієї лише третьої землечерпалки поглиблення фарватеру зайняло б у шість разів більше часу, ніж за одночасної дії всіх трьох машин. Скільки часу потрібно для виконання всієї роботи кожною землечерпалкою окремо?

809. Двоє робітників, з яких другий починає працювати 1 1/2 днями пізніше першого, можуть виконати роботу за 7 днів. Якби цю роботу виконував кожен окремо, то першому потрібно на 3 дні більше, ніж другому. За скільки днів кожен із них окремо виконає цю роботу? Рішення

810. При спільній роботі двох тракторів різної потужності колгоспне поле було зоране за 8 днів. Якби половину поля зорати спочатку одним трактором, то за подальшої роботи двох тракторів всю роботу було закінчено за 10 днів. За скільки днів можна було зорати все поле кожним трактором окремо? .Рішення

811. Декілька людей взялися вирити канаву і могли б закінчити роботу за 6 годин, якби почали її одночасно, але вони приступили до роботи один за одним через однакові проміжки часу. Через такий самий проміжок часу після виходу на роботу останнього учасника канава була вирита, причому кожен із учасників залишався на роботі до кінця. Скільки часу вони рили канаву, якщо той, хто приступив до роботи, першим пропрацював у 5 разів більше часу, ніж той, що приступив останнім? .Рішення

812. Троє робітників можуть спільно виконати деяку роботу за t година. Перший з них, працюючи один, може виконати цю роботу вдвічі швидше за третю і на одну годину швидше за другу. За скільки часу кожен із них, працюючи окремо, може виконати цю роботу? .Рішення

813. Басейн наповнюється водою із двох кранів. Спочатку перший кран було відкрито одну третину того часу, яке потрібно було б наповнити басейн, відкривши тільки другий кран. Потім, навпаки, другий кран було відкрито одну третину того часу, що потрібно наповнення басейну одним першим краном. Після цього виявилося наповненим 13/18 басейну. Обчислити, скільки часу потрібно для наповнення басейну кожним краном окремо, якщо обидва крани, відкриті разом, наповнюють басейн за 3 години 36 хв.

814. При будівництві електростанції бригада мулярів мала у певний термін укласти 120 тисяч цегли. Бригада виконала роботу на 4 дні раніше за термін. Визначити, якою була норма щоденної кладки цегли і скільки вкладали цегли щодня насправді, якщо відомо, що бригада за 3 дні вкладала на 5000 цегли більше, ніж потрібно укладати за 4 дні за нормою. .Рішення

815. У трьох судинах налито воду. Якщо 1/3 води з першої посудини перелити в другу, потім 1/4 води, що опинилася в другій, перелити в третю і, нарешті, 1/10 води, що опинилася в третій, перелити в першу, то в кожній посудині виявиться по 9 л. . Скільки води було у кожній посудині? Рішення

816. З бака, наповненого чистим спиртом, вилили частину спирту і долили тією самою кількістю води; потім із бака вилили стільки ж літрів суміші; тоді у баку залишилося 49 л чистого спирту. Місткість бака 64 л. Скільки спирту вилили вперше та скільки вдруге? Завдання складено у припущенні, що обсяг суміші дорівнює сумі обсягів спирту та води. Насправді він дещо менший.Рішення

817. Посудина в 20 л наповнена спиртом. З нього виливають деяку кількість спирту в інший, рівний йому, і, доповнивши решту другої посудини водою, доповнюють цією сумішшю перший посудину. Потім з першого відливають 6 2/3 л на другий, після чого в обох судинах міститься однакова кількість спирту. Скільки спочатку відлито спирту з першої посудини до другої? .Рішення

818. Посудина ємністю 8 л наповнена повітрям, що містить 16% кисню. З цієї судини випускають деяку кількість повітря і впускають таку ж кількість азоту, після чого знову випускають таку ж, як і вперше, кількість суміші знову доповнюють такою ж кількістю азоту. У новій суміші виявилося кисню 9%. Визначити, скільки літрів випускалося щоразу з судини. .Рішення

819. Дві колгоспниці принесли на ринок разом 100 яєць. Продавши яйця за різною ціною, обидві виручили однакові суми. Якби перша продала стільки яєць, скільки друга, вона виручила б 9 крб., якби друга продала стільки яєць, скільки перша, вона виручила б 4 крб. Скільки яєць було в кожній? .Рішення

820. .Дві колгоспниці, маючи разом а л молока, що отримали при продажу його однакові суми, продаючи молоко за різною ціною. Якби перша продала стільки, скільки друга, то отримала б т руб., а якби друга продала стільки, скільки перша, то отримала б п , руб. ( т>п ). Скільки літрів молока було у кожної колгоспниці? Рішення

821. При випробуванні на економічність двох двигунів внутрішнього згоряння однакової потужності було встановлено, що один із них витратив 600 г бензину, а другий, який працював на 2 години менше, 384 г. Якби перший двигун витрачав за годину стільки бензину, скільки другий, а другий, навпаки, стільки, скільки перший, то за той же час роботи витрата бензину в обох двигунах була б однаковою. Скільки бензину за годину витрачає кожен двигун? .Рішення

822. Є два сплави золота та срібла; в одному кількість цих металів знаходиться у відношенні 2:3, в іншому - у відношенні 3: 7. Скільки потрібно взяти кожного сплаву, щоб отримати 8 кг нового сплаву, в якому золото та срібло були б у відношенні 5:11? .Рішення

823. Одна бочка містить суміш спирту з водою щодо 2: 3, а інша - щодо 3:7. Скільки відер треба взяти з кожної бочки, щоб скласти 12 відер суміші, в якій спирт і вода були б щодо 3:5? Рішення

824. Деякий сплав складається з двох металів, що входять до 1:2, а інший містить ті ж метали щодо 2:3. З кількох частин обох сплавів можна отримати третій сплав, що містить ті ж метали щодо 17: 27?

Завдання працювати з рішеннями

Двоє робітників виконують деяку роботу. Після 45 хв спільної роботи перший робітник був переведений на іншу роботу, і другий робітник закінчив частину роботи, що залишилася, за 2 год 15 хв. За який час міг би виконати всю роботу кожен робітник окремо, якщо відомо, що другому для цього знадобиться на 1 год більше ніж першому?
Дві бригади, працюючи одночасно, обробляють ділянку землі за 12 год. За який час ця ділянка могла б обробити перша бригада окремо, якщо швидкості виконання роботи першої та другої бригадами відносяться як 3:2?
Одна бригада може усунути поле за 12 днів, а інша виконує ту ж роботу за 75% часу, необхідного першій бригаді. Після того, як протягом 5 днів працювала перша бригада, до неї приєдналася друга і вони разом закінчили роботу. Скільки днів бригади працювали разом?
Два майстри, з яких другий починає працювати на 1,5 дні пізніше за перший, можуть виконати завдання за 7 днів. Якби це завдання виконував кожен окремо, то першому потрібно на 3 дні більше, ніж другому. За скільки днів кожен майстер окремо виконав це завдання?
Басейн може наповнитися водою із двох кранів. Якщо перший кран відкрити на 10 хв, а другий - на 20 хв, басейн буде наповнений. Якщо перший кран відкрити на 5 хв, а другий - на 15 хв, заповниться 3/5 басейну. За який час із кожного крана окремо може заповнитись весь басейн?
Двом друкарок було доручено виконати деяке завдання. Друга розпочала роботу на 1 год пізніше першої. Через 3 години після того як перша почала роботу, їм залишилося виконати ще всього завдання. Після закінчення роботи виявилося, що кожна друкарка виконала половину всього завдання. За скільки годин кожна з них могла б виконати всі завдання окремо?
Є два двигуни однакової потужності. Один із них, працюючи, витратив 600 г бензину, а другий, який працював на 2 год менше, витратив 384 г бензину. Якби перший двигун витрачав за годину стільки бензину, скільки другий, а другий, навпаки, стільки, скільки перший, то за той самий час роботи витрата бензину в обох двигунах була б однаковою. Скільки бензину за годину витрачає кожен двигун?
Двоє виконують роботу. Спочатку перший працював часу, протягом якого другий виконує всю роботу. Потім другий працював часу, за який перший закінчив би частину роботи, що залишилася. Вони виконали лише всі роботи. Скільки часу потрібно кожному для виконання цієї роботи, якщо відомо, що при спільній роботі вони зроблять її за 3 год 36 хв?
Дві бригади, працюючи разом, мають відремонтувати деяку ділянку за 18 днів. Насправді вийшло так, що спочатку працювала тільки перша бригада, а закінчувала ремонт ділянки одна друга бригада, продуктивність якої вище, ніж у першої бригади. В результаті ремонт ділянки тривав 40 днів, причому перша бригада свого робочого часу виконала всієї роботи. За скільки днів було б відремонтовано ділянку дороги кожною бригадою окремо?
Три муляри (різної кваліфікації) виклали цегляну стіну, причому перший пропрацював 6 год, другий - 4 год, а третій - 7 год. Якби перший муляр працював 4 год, другий -2 год, третій - 5 год, то було б виконано лише всієї роботи. За скільки годин муляри закінчили б кладку, якби вони працювали разом один і той самий час?
У котлован поступово поступає вода. Десять однакових насосів, діючи одночасно, можуть відкачати воду із заповненого котловану за 12 год, а 15 таких насосів – за 6 годин. За скільки часу можуть відкачати воду із заповненого котловану 25 таких насосів під час спільної роботи?
В резервуар надходить вода із двох труб різних діаметрів. Першого дня обидві труби, працюючи одночасно, подали 14 м 3 води. На другий день працювала лише мала труба і подала також 14 м 3 води, оскільки пропрацювала на 5 год довше, ніж попереднього дня. Третього дня обидві труби спочатку подали 21 м 3 води, а потім працювала лише велика труба, що подала ще 20 м 3 води, причому загальна тривалість часу подача води була такою ж, як і другого дня. Визначити продуктивність кожної труби.

Завдання для самостійного вирішення

Басейн наповнюється двома трубами за 6 год. Одна перша труба заповнює його на 5 год швидше, ніж одна друга труба. За який час кожна труба, діючи окремо, заповнити басейн? Відповідь: 10 год; 15 год
Школяр прочитав книгу на 480 сторінок. Щодня він прочитував однакову кількість сторінок. Якби він щодня читав на 16 сторінок більше, то прочитав би книгу за 5 днів. Скільки днів школяр читав книгу? Відповідь: 6 днів
Для розвантаження пароплава виділено дві бригади. Якщо скласти проміжки часу, за які можуть самостійно розвантажити пароплав перша та друга бригади, то вийде 12 год. Визначити ці проміжки, якщо їхня різниця становить 45% часу, за яке обидві бригади можуть розвантажити пароплав спільно. Відповідь: год; год
Бригада монтерів могла б закінчити проводку о 16 год, прокладаючи за годину по 8 м кабелю. Після виконання половини всього завдання один робітник вибув із бригади. У зв'язку з цим бригада почала прокладати по 6 м кабелю на годину та закінчила заплановану на день роботу о 18 год. Скільки метрів кабелю було прокладено і за скільки годин? Відповідь: 96 хв, за 14 год
До басейну підключено дві труби. Через першу басейн наповнюється, а через другу вода з басейну витікає. Через півгодини після одночасного початку роботи труб першу з них також переключили на спуск води з басейну. Через який час після перемикання першої труби рівень води в басейні стане початковим, якщо продуктивність першої труби вдвічі більша за продуктивність другої? Відповідь: через 10 хв
Декілька робітників виконали роботу за кілька днів. Якщо кількість робочих збільшиться на 3, то робота буде зроблено на 2 дні швидше, а якщо кількість робочих збільшиться на 12, то на 5 днів швидше. Визначте кількість робочих та час, необхідний для виконання цієї роботи. Відповідь: 12 робочих, 10 днів
Басейн може наповнюватися водою за допомогою двох насосів різної продуктивності. Якщо половину басейну наповнити, увімкнувши лише перший насос, а потім, вимкнувши його, продовжити наповнення за допомогою другого насоса, весь басейн наповниться за 2 год 30 хв. При одночасному роботі обох насосів басейн наповниться за 1 год 12 хв. Яку частину басейну наповнює насос меншої продуктивності за 20 хв роботи? Відповідь: 1/9
П'ятеро людей виконують певне завдання. Перші три з них, працюючи разом, виконають усі завдання за 7,5 год; перший, третій та п'ятий – за 5 год; перший, третій та четвертий - за 6 год; другий, четвертий та п'ятий – за 4 год. За який час виконають це завдання усі п'ять осіб, працюючи разом? Відповідь: за 3 години
Двоє робітників виконали разом деяку роботу за 12 год. Якби спочатку перший робітник зробив половину цієї роботи, а потім інший - решту, то вся робота була б виконана за 25 годин. За який час міг би виконати цю роботу кожен робітник окремо? Відповідь: 16 год, 16/3 год
Майстри A та B працювали однакову кількість днів. Якби A працював на день менше, а B - на 7 днів менше, то A заробив би 7200 р, а B - 6480 р. Якби, навпаки, A працював на 7 днів менше, а B – на один день менше, то B заробив би на 3240 грн. більше A. Скільки заробив кожен майстер насправді? Відповідь: 7500 р.; 9000 нар.
Для заповнення резервуара були відкриті дві труби, якими подавали воду 20 хв, потім відкрили третю трубу, і через 5 хв після цього резервуар був заповнений, а всі труби закриті. Продуктивність другої труби в 1,2 рази більша за продуктивність першої. Через другу та третю труби, відкриті одночасно, резервуар заповнюється за 0,9 того часу, який потрібний для заповнення його через першу та третю труби при їх спільній роботі. За який час заповниться резервуар, якщо одночасно відкрити три труби? Відповідь: 16 хв
Три автоматичні лінії випускають однакову продукцію, але мають різну продуктивність. Продуктивність всіх трьох одночасно діючих ліній у 1,5 рази вище продуктивності першої та другої ліній, що працюють одночасно. Друга та третя лінії, працюючи одночасно, можуть виконати змінне завдання першої лінії на 4 год 48 хв швидше, ніж його виконує перша лінія; це завдання друга лінія виконує на 2 год швидше проти першої. Знайти час виконання першої лінії свого змінного завдання. Відповідь: 8 год