Теорема байєсу формулювання. Просте пояснення теореми байєсу

Нехай відомі їхні ймовірності та відповідні умовні ймовірності. Тоді ймовірність настання події дорівнює:

Ця формула отримала назву формули повної ймовірності. У підручниках вона формулюється теоремою, доказ якої елементарно: згідно алгебри подій, (відбулася подія і абосталася подія іпісля нього настала подія абосталася подія іпісля нього настала подія або …. абосталася подія іпісля нього настала подія ). Оскільки гіпотези несумісні, а подія – залежно, то за теореми складання ймовірностей несумісних подій (перший крок)і теоремі множення ймовірностей залежних подій (другий крок):

Напевно, багато хто передчує зміст першого прикладу =)

Куди не плюнь – скрізь урна:

Завдання 1

Є три однакові скриньки. У першій урні знаходяться 4 білих та 7 чорних куль, у другій – лише білі та у третій – тільки чорні кулі. Навмання вибирається одна урна і з неї навмання витягається куля. Яка ймовірність того, що ця куля чорна?

Рішення: розглянемо подію – з навмання обраної урни буде вилучено чорну кулю. Ця подія може статися в результаті здійснення однієї з наступних гіпотез:
– буде обрано 1-у урну;
– буде обрано 2-у урну;
– буде обрано 3-ту урну.

Так як урна вибирається навмання, то вибір будь-якої з трьох урн рівноможливий, отже:

Зверніть увагу, що ці гіпотези утворюють повну групу подій, тобто за умовою чорна куля може з'явитися тільки з цих урн, а наприклад, не прилетіти з більярдного столу. Проведемо просту проміжну перевірку:
, ОК, їдемо далі:

У першій урні 4 білих + 7 чорних = 11 куль, класичному визначенню:
- Імовірність вилучення чорної кулі за умови, що буде обрано 1-у урну.

У другій урні тільки білі кулі, тому у разі її виборупояви чорної кулі стає неможливим: .

І, нарешті, у третій урні одні чорні кулі, а отже, відповідна умовна ймовірністьвилучення чорної кулі складе (Подія достовірна).

- Імовірність того, що з навмання обраної урни буде витягнуто чорну кулю.

Відповідь:

Розібраний приклад знову наводить на думку про те, як важливо ВНИКАТИ В УМОВУ. Візьмемо ті ж завдання з урнами та кулями – при їх зовнішній схожості способи вирішення можуть бути зовсім різними: десь потрібно застосувати тільки класичне визначення ймовірності, десь події незалежні, десь залежні, а десь мова про гіпотези. У цьому немає чіткого формального критерію вибору шляху рішення – з нього майже завжди треба думати. Як підвищити свою кваліфікацію? Вирішуємо, вирішуємо та ще раз вирішуємо!

Завдання 2

У тирі є 5 різних за точністю бою гвинтівок. Імовірності влучення в ціль для даного стрілка відповідно дорівнюють 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 та 0,4. Чому дорівнює можливість попадання в ціль, якщо стрілець робить один постріл з випадково обраної гвинтівки?

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

У більшості тематичних завдань гіпотези, звичайно ж, не є рівноймовірними:

Завдання 3

У піраміді 5 гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність те, що стрілок вразить мішень під час пострілу з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мета буде вражена, якщо стрілець здійснює один постріл з удачу взятої гвинтівки.

Рішення: у цьому завданні кількість гвинтівок точно така ж, як і в попередній, але гіпотези всього дві:
- стрілець вибере гвинтівку з оптичним прицілом;
– стрілець вибере рушницю без оптичного прицілу.
за класичному визначенню ймовірності: .
Контроль:

Розглянемо подію: - стрілець вразить мету з навмання взятої гвинтівки.
За умовою: .

За формулою повної ймовірності:

Відповідь: 0,85

На практиці цілком допустимо укорочений спосіб оформлення завдання, який вам теж добре знайомий:

Рішення: за класичним визначенням: - Імовірності вибору гвинтівки з оптичним і без оптичного прицілу відповідно.

За умовою, - Можливості попадання в ціль з відповідних типів гвинтівок.

За формулою повної ймовірності:
- Можливість того, що стрілець вразить мету з навмання обраної гвинтівки.

Відповідь: 0,85

Наступне завдання для самостійного вирішення:

Завдання 4

Двигун працює у трьох режимах: нормальному, форсованому та на холостому ходу. У режимі холостого ходу ймовірність його виходу з ладу дорівнює 0,05, за нормального режиму роботи – 0,1, а за форсованого – 0,7. 70% часу двигун працює у нормальному режимі, а 20% – у форсованому. Якою є ймовірність виходу з ладу двигуна під час роботи?

Про всяк випадок нагадаю – щоб отримати значення ймовірностей відсотки потрібно розділити на 100. Будьте дуже уважні! За моїми спостереженнями, умови завдань на формулу повної ймовірності часто намагаються підплутати; і я спеціально підібрав такий приклад. Скажу по секрету - сам мало не заплутався =)

Рішення наприкінці уроку (оформлено коротким способом)

Завдання на формули Байєса

Матеріал тісно пов'язаний із змістом попереднього параграфу. Нехай подія настала внаслідок здійснення однієї з гіпотез . Як визначити ймовірність того, що мала місце та чи інша гіпотеза?

За умови, що подія вже сталосяймовірності гіпотез переоцінюютьсяза формулами, які отримали прізвище англійського священика Томаса Байєса:

- Імовірність того, що мала місце гіпотеза;
- Імовірність того, що мала місце гіпотеза;
…
- Імовірність того, що мала місце гіпотеза.

На перший погляд здається повною нісенітницею – навіщо перераховувати ймовірності гіпотез, якщо вони й так відомі? Але насправді різниця є:

– це апріорні(оцінені довипробування) ймовірності.

– це апостеріорні(оцінені післявипробування) ймовірності тих же гіпотез, перераховані у зв'язку з нововиявленими обставинами - з урахуванням того факту, що подія достовірно сталося.

Розглянемо цю різницю на конкретному прикладі:

Завдання 5

На склад надійшло дві партії виробів: перша – 4000 штук, друга – 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів у першій партії складає 20%, а у другій – 10%. Навмання взятий зі складу виріб виявився стандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії; б) з другої партії.

Перша частина рішенняполягає у використанні формули повної ймовірності. Іншими словами, обчислення проводяться у припущенні, що випробування ще не зробленота подія «виріб виявився стандартним»поки що не настало.

Розглянемо дві гіпотези:
- навмання взятий виріб буде з 1-ї партії;
- навмання взятий виріб буде з 2-ї партії.

Усього: 4000 + 6000 = 10000 виробів на складі. За класичним визначенням:
.

Контроль:

Розглянемо залежну подію: – навмання взятий зі складу виріб будестандартним.

У першій партії 100% - 20% = 80% стандартних виробів, тому: за умови, що належить 1-ї партії.

Аналогічно, у другій партії 100% - 10% = 90% стандартних виробів та - ймовірність того, що навмання взятий на складі виріб буде стандартним за умови, що належить 2-ї партії.

За формулою повної ймовірності:
- Імовірність того, що навмання взятий на складі виріб буде стандартним.

Частина друга. Нехай навмання взятий зі складу виріб виявився стандартним. Ця фраза прямо прописана за умови, і вона констатує той факт, що подія сталося.

За формулами Байєса:

а) – ймовірність того, що вибраний стандартний виріб належить 1-й партії;

б) – ймовірність того, що вибраний стандартний виріб належить 2-й партії.

Після переоцінкигіпотези, зрозуміло, як і раніше утворюють повну групу:
(перевірка;-))

Відповідь:

Зрозуміти сенс переоцінки гіпотез нам допоможе Іван Васильович, який знову змінив професію та став директором заводу. Він знає, що сьогодні 1-й цех відвантажив на склад 4000, а 2-й цех – 6000 виробів, і доводиться впевнитись у цьому. Припустимо, вся продукція є однотипною і знаходиться в одному контейнері. Звичайно, Іван Васильович попередньо підрахував, що виріб, який він зараз витягне для перевірки, з ймовірністю буде випущено 1-м цехом і з ймовірністю - другим. Але після того, як обраний виріб виявляється стандартним, він вигукує: «Який класний болт! - Його швидше випустив 2-й цех». Таким чином, ймовірність другої гіпотези переоцінюється на краще , а ймовірність першої гіпотези занижується: . І ця переоцінка небезпідставна - адже 2-й цех зробив не тільки більше виробів, а й працює вдвічі краще!

Ви скажете чистий суб'єктивізм? Почасти – так, більше того, сам Байєс інтерпретував апостеріорніймовірності як рівень довіри. Однак не все так просто – у байєсівському підході є об'єктивне зерно. Адже ймовірність того, що виріб буде стандартним (0,8 та 0,9 для 1-го та 2-го цехів відповідно)це попередні(апріорні) та середніоцінки. Але, висловлюючись філософськи - все тече, все змінюється, і ймовірність у тому числі. Цілком можливо, що на момент дослідженнябільш успішний 2-й цех підвищив відсоток випуску стандартних виробів (І/або 1-й цех знизив), і якщо перевірити більшу кількість або всі 10 тисяч виробів на складі, то переоцінені значення виявляться набагато ближче до істини.

До речі, якщо Іван Васильович витягне нестандартну деталь, то навпаки – він більше «підозрюватиме» 1-й цех і менше – другий. Пропоную переконатися у цьому самостійно:

Завдання 6

На склад надійшло дві партії виробів: перша – 4000 штук, друга – 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів у першій партії – 20%, у другій – 10%. Навмання взятий зі складу виріб виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії; б) з другої партії.

Умова відрізнятиметься двома літерами, які я виділив жирним шрифтом. Завдання можна вирішити з «чистого листа» або скористатися результатами попередніх обчислень. У зразку я провів повне рішення, але щоб не виникло формальної накладки із Завданням №5, подія «навдачу взятий зі складу виріб буде нестандартним»позначено через .

Байєсовская схема переоцінки ймовірностей зустрічається повсюдно, причому її активно експлуатують і різноманітних шахраї. Розглянемо загальне АТ на три літери, яке залучає вклади населення, нібито кудись їх інвестує, справно виплачує дивіденди і т.д. Що відбувається? Проходить день за днем, місяць за місяцем і все нові й нові факти, донесені шляхом реклами та «сарафанного радіо», тільки підвищують рівень довіри до фінансової піраміди. (Апостеріорна байєсовська переоцінка у зв'язку з подіями, що відбулися!). Тобто в очах вкладників відбувається постійне збільшення ймовірності того, що «Це серйозна контора»; при цьому ймовірність протилежної гіпотези («це чергові кидали»), само собою, зменшується та зменшується. Подальше, гадаю, зрозуміло. Цікаво, що зароблена репутація дає організаторам час успішно втекти від Івана Васильовича, який залишився не лише без партії болтів, а й без штанів.

До не менш цікавих прикладів ми повернемося трохи пізніше, а поки що на черзі, мабуть, найпоширеніший випадок із трьома гіпотезами:

Завдання 7

Електролампи виготовляються на трьох заводах. 1-й завод виробляє 30% загальної кількості ламп, 2-й – 55%, а 3-й – решту. Продукція 1-го заводу містить 1% бракованих ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Куплена лампа виявилася із шлюбом. Яка ймовірність того, що вона зроблена 2-м заводом?

Зауважте, що у завданнях на формули Байєса за умови обов'язковофігурує якесь те, що сталосяподія, у разі – купівля лампи.

Події побільшало, і Рішеннязручніше оформити у «швидкому» стилі.

Алгоритм такий самий: на першому кроці знаходимо ймовірність того, що куплена лампа взагалі виявитьсябракованою.

Користуючись вихідними даними, переводимо відсотки на ймовірність:
- Імовірності того, що лампа вироблена 1-м, 2-м і 3-м заводами відповідно.
Контроль:

Аналогічно: – ймовірність виготовлення бракованої лампи для відповідних заводів.

За формулою повної ймовірності:

- Імовірність того, що куплена лампа одружиться.

Крок другий. Нехай куплена лампа виявилася бракованою (подія сталася)

За формулою Байєса:
- Імовірність того, що куплена бракована лампа виготовлена ​​другим заводом

Відповідь:

Чому початкова ймовірність 2-ї гіпотези після переоцінки збільшилася? Адже другий завод виробляє середні за якістю лампи (перший – краще, третій – гірший). Так чому ж зросла апостеріорнаймовірність, що бракована лампа саме з 2-го заводу? Це вже не «репутацією», а розміром. Так як завод №2 випустив найбільшу кількість ламп, то на нього (щонайменше суб'єктивно) і нарікають: «швидше за все, ця бракована лампа саме звідти».

Цікаво зауважити, що ймовірності 1-ї та 3-ї гіпотез, переоцінилися в очікуваних напрямках і зрівнялися:

Контроль: , Що і потрібно перевірити.

До речі, про занижені та завищені оцінки:

Завдання 8

У студентській групі 3 особи мають високий рівень підготовки, 19 осіб – середній та 3 – низький. Імовірності успішного складання іспиту для даних студентів відповідно дорівнюють: 0,95; 0,7 та 0,4. Відомо, що деякий студент склав іспит. Яка ймовірність того, що:

а) він був дуже добре підготовлений;
б) було підготовлено середньо;
в) було підготовлено погано.

Проведіть обчислення та проаналізуйте результати переоцінки гіпотез.

Завдання наближене до реальності та особливо правдоподібне для групи студентів-заочників, де викладач практично не знає здібностей того чи іншого студента. При цьому результат може спричинити досить-таки несподівані наслідки. (особливо це стосується іспитів у 1-му семестрі). Якщо погано підготовленому студенту пощастило з квитком, то викладач з великою ймовірністю визнає його успішним або навіть сильним студентом, що принесе непогані дивіденди в майбутньому (Звісно, ​​потрібно «піднімати планку» і підтримувати свій імідж). Якщо ж студент 7 днів і 7 ночей вчив, зубрив, повторював, але йому просто не пощастило, то подальші події можуть розвиватися у найгіршому ключі – з численними перездаваннями та балансуванням на межі вильоту.

Що й казати, репутація - це найважливіший капітал, не випадково багато корпорацій носять імена-прізвища своїх батьків-засновників, які керували справою 100-200 років тому і прославилися своєю бездоганною репутацією.

Так, байєсівський підхід певною мірою суб'єктивний, але... так влаштоване життя!

Закріпимо матеріал заключним індустріальним прикладом, в якому я розповім про технічні тонкощі рішення, що досі не зустрічалися:

Завдання 9

Три цехи заводу виробляють однотипні деталі, які надходять на збирання до загального контейнера. Відомо, що перший цех виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий цех, і вчетверо більше третього цеху. У першому цеху шлюб становить 12%, у другому – 8%, у третьому – 4%. Для контролю контейнера береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою? Яка ймовірність того, що одержану браковану деталь випустив 3-й цех?

Таки Іван Васильович знову на коні =) Має бути у фільму щасливий кінець =)

Рішення: На відміну від Задач №№5-8 тут у явному вигляді поставлене питання, яке дозволяється за допомогою формули повної ймовірності. Але з іншого боку, умова трохи «зашифрована», і розгадати цей ребус нам допоможе шкільна навичка складати найпростіші рівняння. За «ікс» зручно прийняти найменше значення:

Нехай частка деталей, що випускається третім цехом.

За умовою, перший цех виробляє вчетверо більше третього цеху, тому частка одного цеху становить .

З іншого боку, перший цех виробляє виробів удвічі більше, ніж другий цех, отже, частка останнього: .

Складемо і розв'яжемо рівняння:

Таким чином: – ймовірність того, що витягнута з контейнера деталь випущена 1-м, 2-м та 3-м цехами відповідно.

Контроль: . Крім того, буде не зайвим ще раз подивитися на фразу «Відомо, що перший цех виробляє виробів у 2 рази більше за другий цех і в 4 рази більше за третій цех»і переконатися, що отримані значення ймовірностей справді відповідають цій умові.

За «ікс» спочатку можна було прийняти частку одного або частку другого цеху - можливості вийдуть такими ж. Але, так чи інакше, найважча ділянка пройдено, і рішення входить до накатаної колії:

З умови знаходимо:
– ймовірність виготовлення бракованої деталі для відповідних цехів.

За формулою повної ймовірності:
- Імовірність того, що навмання витягнута з контейнера деталь виявиться нестандартною.

Питання друге: яка ймовірність того, що одержану браковану деталь випустив 3-й цех? Це питання припускає, що деталь вже витягнута, і вона виявилася бракованою. Переоцінюємо гіпотезу за формулою Байєса:
- Шукана ймовірність. Цілком очікувано – адже третій цех виробляє не лише найменшу частку деталей, а й лідирує за якістю!

У цьому випадку довелося спрощувати чотириповерховий дріб, що у завданнях на формули Байєса доводиться робити досить часто. Але для цього уроку я якось випадково підібрав приклади, в яких багато обчислень можна провести без звичайних дробів.

Якщо в умові немає пунктів «а» і «бе», то відповідь краще забезпечити текстовими коментарями:

Відповідь: - Імовірність того, що витягнута з контейнера деталь виявиться бракованою; - Імовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех.

Як бачите, завдання на формулу повної ймовірності і формули Байєса досить прості, і, напевно, з цієї причини в них так часто намагаються ускладнити умову, про що я вже згадував на початку статті.

Додаткові приклади є у файлі з готовими рішеннями на Ф.П.В. та формули БайєсаКрім того, напевно, знайдуться охочі глибше ознайомитися з цією темою в інших джерелах. А тема дійсно дуже цікава – чого тільки стоїть один парадокс Байєса, який обґрунтовує та життєва рада, що якщо у людини діагностована рідкісна хвороба, то їй має сенс провести повторне і навіть два повторні незалежні обстеження. Здавалося б, це роблять винятково від розпачу… ​​– а ось і ні! Але не будемо про сумне.

а) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений дуже добре. Об'єктивна вихідна ймовірність виявляється завищеною, оскільки майже завжди деяким «середнячкам» щастить з питаннями і вони дуже сильно відповідають, що викликає помилкове враження бездоганної підготовки.

б) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений середньо. Вихідна можливість виявляється трохи завищеною, т.к. студентів із середнім рівнем підготовки зазвичай більшість, крім того, сюди викладач віднесе «відмінників», які невдало відповіли, а зрідка й погано встигаючого студента, якому пощастило з квитком.

в) - Імовірність того, що студент, який склав іспит, був підготовлений погано. Вихідна можливість переоцінилася на гірший бік. Не дивно.

ІНФОРМАТИКА, ВИЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА УПРАВЛІННЯ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT

Про застосовність формули Байєса

DOI 10.12737/16076

А. І. Долгов **

1Акціонерне товариство «Конструкторське бюро з радіоконтролю систем управління, навігації та зв'язку», м. Ростов-на-Дону, Російська Федерація

On applicability of Bayes" formula*** A. I. Dolgov1**

1«Дизайн bureau on monitoring control, navigation and communication systems» JSC, Ростов-он-Дон, Російська Федерація

Предметом цього дослідження є формула Байєса. Мета цієї роботи - аналіз та розширення сфери застосування формули. Першочерговим завданням є вивчення публікацій, присвячених зазначеній проблемі, що дозволило виявити недоліки застосування формули Байєса, що призводять до некоректних результатів. Наступне завдання – побудова модифікацій формули Байєса, які забезпечують облік різних одиночних свідоцтв із отриманням коректних результатів. І, нарешті, з прикладу конкретних вихідних даних порівнюються некоректні результати, одержувані із застосуванням формули Байєса, і коректні результати, обчислювані з допомогою запропонованих модифікацій. Під час проведення дослідження використано два методи. По-перше, проведено аналіз принципів побудови відомих виразів, які застосовуються для запису формули Байєса та її модифікацій. По-друге, виконано порівняльну оцінку результатів (у тому числі кількісну). Пропоновані модифікації забезпечують більш широке застосування формули Байєса в теорії та на практиці, у тому числі при вирішенні прикладних завдань.

Ключові слова: умовні ймовірності, несумісні гіпотези, сумісні та несумісні свідчення, нормування.

Bayes" formula is the research subject. The work objective is to analyze the formula application and widen the scope of its applicability. результатів. Next task is to construct the Bayes" formula modifications to provide an accounting of different single indications to obtain correct results. And finally, the incorrect results obtained with application of Bayes" наведено формули зміни на те, що міститься в конкретних ініціальних даних. Два методи є використані в дослідженнях. Перший, analysis of principles of constructing the known expressions used to record the Bayesian formula and its modifications is conducted. Зрештою, comparative evaluation of the results (включаючи the quantitative one) is performed. Зазначені зміни виконують широке застосування bays" формула в теорії і практика в тому числі й відповідні проблеми.

Keywords: конкретні проблеми, несприятливі hypotheses, надійні і некомпітальні показники, нормалізовані.

Вступ. Формула Байєса знаходить дедалі ширше застосування у теорії та практиці, зокрема під час вирішення прикладних завдань з допомогою обчислювальної техніки. Використання взаємно незалежних обчислювальних процедур дозволяє особливо ефективно застосовувати дану формулу під час вирішення завдань на багатопроцесорних обчислювальних системах , оскільки у разі паралельна реалізація виконується лише на рівні загальної схеми, і за додаванні чергового алгоритму чи класу завдань немає необхідності повторно проводити роботу з розпаралелювання.

Предметом даного дослідження є застосування формули Байєса для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей несумісних гіпотез при різних одиночних свідченнях. Як показує аналіз, у таких випадках порівнюються нормовані ймовірності несумісних комбінованих подій, що на-

S X<и ч и

IS eö І IS X X<и H

"Робота виконана у рамках ініціативної НДР.

**E-mail: [email protected]

""Research is done within frame of the independent R&D.

спраглих різним повним групам подій. У цьому порівнювані результати виявляються неадекватними реальним статистичним даним. Це зумовлено такими факторами:

Використовується некоректне нормування;

Не береться до уваги наявність або відсутність перетинів свідчень, що враховуються.

З метою усунення виявлених недоліків виявляються випадки застосування формули Байєса. Якщо зазначена формула не застосовна, вирішується завдання побудови її модифікації, що забезпечує облік різних одиночних свідоцтв з отриманням коректних результатів. На прикладі конкретних вихідних даних виконано порівняльну оцінку результатів:

Некоректних – одержуваних з використанням формули Байєса;

Коректних - обчислюваних за допомогою запропонованої модифікації.

Вихідні становища. В основу викладених далі тверджень покладемо принцип збереження відносин ймовірностей: «Коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише при нормуванні із застосуванням одного загального нормуючого дільника, що забезпечує рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей» . Даний принцип є суб'єктивною основою теорії ймовірностей, проте не відображається належним чином у сучасній навчальній та науково-технічній літературі.

При порушенні зазначеного принципу спотворюються відомості про ступінь можливості подій, що розглядаються. Отримані з урахуванням спотворених відомостей результати і прийняті рішення виявляються неадекватними реальним статистичним данным.

У пропонованій статті будуть використані такі поняття:

Елементарна подія - подія, що не поділяється на елементи;

Комбіноване подія - подія, що представляє те чи інше поєднання елементарних подій;

Сумісні події - події, які у одних випадках порівняльної оцінки їх ймовірностей може бути несумісними, інших випадках спільними;

Несумісні події - події, які завжди є несумісними.

Відповідно до теореми множення ймовірностей, ймовірність Р (І ^ Е) твори елементарних подій І ^ і

Е обчислюється як твори ймовірностей Р(Ик Е) = Р(Е)Р(И^Е) . У зв'язку з цим формула Байєса часто

записується у вигляді Р(Ік\Е) =--- , що описує визначення апостеріорних умовних ймовірностей

Р(І^Е) гіпотез Ік (к = 1,...п) на основі нормування апріорних ймовірностей Р(І^Е) врахованих комбінованих несумісних подій І до Є. Кожна з таких подій представляє твір, співмножниками якого є одна з аналізованих гіпотез і одне свідчення, що враховується. При цьому все розглядає-

події ІкЕ (к = 1,...п) утворюють повну групу іІкЕ несумісних комбінованих подій, у зв'язку з

з чим їх ймовірності Р(Ік Е) повинні бути нормовані з урахуванням формули повної ймовірності згідно з кото-

рій Р(Е) = 2 Р(Ік)Р(Е\Ік). Тому формула Байєса найчастіше записується в найбільш вживаному вигляді:

Р(Ік) Р(ЄІк)

Р(Ік\Е) = -. (1)

^ кацією формули Байєса.

й Аналіз особливостей побудови формули Байєса, націленої на вирішення прикладних завдань, а також приклади

«та її практичного застосування дозволяють зробити важливий висновок щодо вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (кожна з яких є твором двох елементарних подій – однією з гіпотез та свідоцтва, що враховується). Такий вибір здійснюється суб'єктивно особою, що приймає рішення, на основі об'єктивних вихідних даних, властивих типовим умовам обстановки: види і кількість оцінюваних гіпотез і свідоцтво, що конкретно враховується.

Незрівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Формула Байєса традиційно застосовується у разі визначення не порівнюваних за ступенем можливості апостеріорних умовних віро-

ятностей гіпотез Н^ ​​при поодиноких несумісних свідченнях, кожне з яких може з'явитися

тільки в комбінації з будь-якою з цих гіпотез». При цьому вибираються повні групи та НкЕ, комбіні-

ванних подій у вигляді творів, співмножниками яких є одне із свідоцтв ц. (1=1,...,т) та одна

з п аналізованих гіпотез.

Формула Байєса застосовується для порівняльної оцінки ймовірностей комбінованих подій кожної такої повної групи, що відрізняється від інших повних груп не тільки свідченням е, що враховується, але і в загальному випадку видами гіпотез Н ^ і (або) їх кількістю п (див., наприклад, )

РНкИ = Р(Нк) Р(еН)

% Р(Нк) Р(Ег\Нк) до = 1

В окремому випадку при п = 2

РНк\Е,~ Р(Нк) Р(ЕН)

% Р(Нк) Р(Е,\Н к) до = 1

і отримані результати є правильними, зважаючи на дотримання принципу збереження відносин ймовірностей:

Р(Н1Е,) _ Р(Н 1)Р(Е,\Н1) / Р(Н2) Р(Е,\Н2) = Р(Н 1) Р(Е,\Н1)

Р(Н 2 = % РШ1!) РЕ, \ Н0 % ^) РЕ, \ Н) "Р (Н 2> 2>"

Суб'єктивність вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (з

тими чи іншими елементарними подіями, що змінюються) дозволяє вибрати повну групу подій і Нк Е ■ с

запереченням елементарної події Е ■ () і записати формулу Байєса (1 = 1,.. .,т) так:

Р(Нк\Е) -=-РНШ±.

% Р(Нк)Р(Е,Нк)

Така формула також застосовна і дає можливість отримати правильні результати, якщо обчислювані до

нормовані ймовірності порівнюються при різних аналізованих гіпотезах, але не при різних свід- ^

ствах. ¡^

Порівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Судячи з відомих публ- ^

няється для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез при різних одиночних свід- ^

ствах. При цьому не приділяється увага наступному факту. У зазначених випадках порівнюються ймовірності, що нормуються ^ несумісних (несумісних) комбінованих подій, що належать різним повним групам н подій. Однак у даному випадку формула Байєса не застосовна, тому що порівнюються комбіновані події, що не входять в одну повну § групу, нормування ймовірностей яких здійснюється з використанням різних л нормуючих дільників. Нормовані ймовірності несумісних (несумісних) комбінованих подій можна порівнювати тільки в тому випадку, якщо вони належать одній і тій же повній групі подій і нормовані ¡3 з використанням загального дільника, що дорівнює сумі ймовірностей всіх подій, що входять у повну §

У загальному випадку як несумісні свідчення можуть розглядатися:

Два свідчення (наприклад, свідчення та його заперечення); ^

Три свідчення (наприклад, в ігровій ситуації виграш, програш та нічия); ^

Чотири свідоцтва (зокрема, у спорті виграш, програш, нічия та перегравання) тощо.

Розглянемо досить простий приклад (відповідний прикладу, наведеному в) застосування формули ^ Байєса для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотези Н ^ при двох несумісних подіях

вигляді свідоцтва Л]- та її заперечення Л]

Р(Н,к) - ^. ^ Р (А ^ до », (2)

] Е Р (Нк> Р (А] \ вк> до - 1

■ _ Р(НкА]) Р(Нк> Р(А]\нк>

Р(Н,\А,) ----к-]-. (3)

V к\Л]> Р(А > п

] Е Р(Нк) Р(А]\Нк) до -1

У випадках (2) і (3) суб'єктивно обраними повними групами порівнюваних за ступенем можливості ком-

бінованих подій є відповідно безлічі і Н до А і Н до А. Це той випадок, коли формула

до-1 до ] до-1 до ]

Байєса не застосовується, тому що порушено принцип збереження відносин ймовірностей - не дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:

Р(Н до А]] Р(Нк) Р(А]\Нк) / Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)

Р(Нк Е Р(Нк) Р(А]\Нк)/ Е Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)

до - 1 /к - 1 Відповідно до принципу збереження відносин ймовірностей, коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише за нормування із застосуванням одного загального нормуючого дільника, рівного сумі всіх порівнюваних нормованих виразів. Тому

Е Р(Нк)Р(А]\Нк) + Е Р(Нк)Р(А]\Нк) - Е Р(Нк)[Р(А]\Нк) + Р(Нк) Р(А]\Нк )] - ЕР(Нк) - 1. до -1 до -1 до -1 до -1

Таким чином, виявляється той факт, що існують різновиди формули Байєса, що відрізняються від

відомих відсутністю нормуючого дільника:

А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А) - Р(Н) Р(А, Н к). (4)

J до I ■> до

При цьому дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:

т^А^ Р(Нк) Р(А]\Нк)

А,) Р(Н к) Р(А,Нк)

На основі суб'єктивного вибору нетрадиційно записуваних повних груп несумісних комбінованих подій можна збільшити кількість модифікацій формули Байєса, що включають свідчення, а також ту чи іншу кількість їх заперечень. Наприклад, найповнішій групі комбінованих подій

і і Нк /"./^ і і Нк Е відповідає (з урахуванням відсутності нормуючого дільника) модифікація формула; =1 А"=1 ; =1 ли Байєса

Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЕ^^^

де елементарна подія у вигляді свідоцтва Е II II / "/ є одним з елементів зазначеного множини-

о За відсутності заперечень свідчень, тобто при Ё\ = // е і /"./,

^ Р(Н\Е) Р(Нк) Р(Е,\Нк)

Р(Нк) Р(Е\Нк) до - 1

Таким чином, модифікація формули Байєса, призначена для визначення порівнюваних за рівнем можливості умовних ймовірностей гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях виглядає наступним чином. У чисельнику міститься нормована ймовірність однієї з комбінованих несумісних подій, про-110 разующих повну групу, виражену як твори апріорних ймовірностей, а знаменнику - сума всіх

нормованих ймовірностей. При цьому дотримується принцип збереження відносин ймовірностей - і результат, що отримується, є правильним.

Ймовірність гіпотез при одиночних сумісних свідченнях. Формули Байєса традиційно застосовуються визначення порівнюваних за рівнем можливості апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Нк (к = 1,...,п) при одному з кількох аналізованих сумісних свідчень ЕЛ (1 = 1,...,т). Зокрема (див.

наприклад, і ), щодо апостеріорних умовних ймовірностей Р(Н 1Е^) і Р(Н 1 Е2) при кожному з двох сумісних свідоцтв Е1 і Е2 використовуються формули виду:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-і P(H J E 2) =--1-. (5)

I P (Hk) PE \ Hk) I P (Hk) P (E2 Hk)

k = 1 k = 1 Необхідно врахувати, що це ще один випадок, коли формула Байєса не застосовується. Причому в даному випадку мають бути усунені дві недоліки:

Проілюстроване нормування ймовірностей комбінованих подій некоректно, зважаючи на належність різним повним групам подій, що розглядаються;

У символічних записах комбінованих подій HkEx і HkE2 не знаходить відображення той факт, що свідоцтва E х і E 2, що враховуються, є сумісними.

Для усунення останньої вади може бути використаний більш розгорнутий запис комбінованих подій з урахуванням того, що сумісні свідоцтва E1 та E2 в одних випадках можуть бути несумісними, а в інших спільними:

HkE1 = HkE1 E2 та HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, де E1 та E 2 є свідченнями, протилежними E1 та E 2.

Очевидно, що у таких випадках добуток подій Hk E1E2 враховується двічі. Крім того, воно може бути враховано ще раз окремо, проте цього не відбувається. Справа в тому, що в ситуації, що розглядається, на оцінювану обстановку впливають три ймовірних несумісних комбінованих події: HkE1E2, HkE 1E2 і

Hk E1E2. При цьому для особи, яка приймає рішення, цікавить оцінка за рівнем можливості лише

двох несумісних комбінованих подій: HkE1 E2 та HkE 1E2, що відповідає розгляду тільки g

одиночних свідоцтв. ¡Ц

Таким чином, при побудові модифікації формули Байєса для визначення апостеріорних умовних ве-^

роятностей гіпотез при одиночних сумісних свідченнях необхідно виходити з наступного. Особа, при- ^

що має рішення, цікавить, яка саме елементарна подія, представлена ​​тим чи іншим свідченням з

числа аналізованих реально відбулося в конкретних умовах. Якщо відбувається інша елементарна подія до

вигляді одиночного свідоцтва, потрібно перегляд рішення, обумовленого результатами порівняльної оцінки н

апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез з неодмінним врахуванням інших умов, що впливають на реальну загальну

становлення. 3

Введемо наступне позначення: HkE- для одного (і тільки одного) несумісного комбінованого со-

буття, що у тому, що з m > 1 аналізованих елементарних подій Ei (i = 1,...,m) разом із гіпотезою «

Hk сталася одна елементарна подія Ex і не відбулися інші елементарні події. се"

У найпростішому випадку розглядаються два поодинокі несумісні свідчення. Якщо підтвер-

очікується одне з них, умовна ймовірність свідоцтва у загальному вигляді виражається формулою л

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

У справедливості формули можна переконатися (рис. 1).

Мал. 1. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,2 При умовно незалежних свідченнях

Р(К1К2\Нк) = р(Е\Нк)Р(Е2\Нк),

тому з урахуванням (6)

Р(Нк Е-) = РЕ Нк) - Р(Е1 Нк) Р(Е21Нк) = 1,.,2. (7)

Аналогічно ймовірність Р(НкЕ-) одного з трьох (/ = 1,...,3) несумісних подій НкЕ виражається формулою

Наприклад, при i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk)] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)-P(E]E^Hk)-P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Справедливість цієї формули наочно підтверджує геометрична інтерпретація, подана на

Мал. 2. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,3

Методом математичної індукції можна довести загальну формулу для ймовірності Р(Нк Е-) за будь-якої кількості свідчення, 0=1,...,т):

Р(НкЕ-) = Р(Е,Нк)- т РЕ\Нк) Р(Е]\Нк) + 1 Р(Е\Нк) Р(Е]\Нк) Р(Е^Нк) +■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Використовуючи теорему множення ймовірностей, запишемо умовну ймовірність Р(НкЕ~-) у двох формах:

^ з яких випливає, що

P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

З використанням формули повної ймовірності P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) виходить, що

Е-) = Р(НкЕТ)

2 Р(НкЕ-) до = 1

Підставивши в отриману формулу виразу для Р(НкЕ-) у вигляді правої частини (8), отримаємо остаточний вид формули для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Н^ ​​(к = 1,.. .,п) при одному з декількох несумісних одиночних свідчень, що розглядаються. : (Е ^ \Нк)

Р(Нк)[Р(Е,\Нк) - 2 Р(Е,\Нк) Р(Ер к) +...+ (-1)т-1 Р(П Р(Єрк)] Р(Н, Е~) =-] = 1(] * ■----(9)

до 1 п т т т

2 Р(Н к) 2 [Р(Е,\Н к) - 2 Р(ЕгНк) Р(Е^Нк) + ...+ (-1)т-1 Р(П Р (Єр к)]

к = 1, = 1) = 1 () *,) ■! =1

Порівняльні оцінки. Розглядаються досить прості, але наочні приклади, що обмежуються аналізом обчислюваних апостеріорних умовних ймовірностей однієї з двох гіпотез при двох одиночних свідченнях. 1. Імовірність гіпотез при несумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані із застосуванням формул Байєса (2) і (3), на прикладі двох свідчень Л. = Л і Л. = Л при вихідних даних:

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6 Р(Л\Н2) = 0,4 У аналізованих прикладах з гіпотезою Н1 традиційні формули (2) і (3) призводять до наступних результатів:

Р(Н.) Р(А\Але 007

Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,28,

2 Р(Н к) Р(А\Нк) до = 1

Р(Н Л Р(А\Н 1) 0 63

Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,84,

2 Р(Нк) Р(А\Нк) до = 1

ормуючих ділить Р(Н 1 Л) = Р(Н^ Р(Л\Нр = 0,07; Р(Н^ А) = Р(Н1) Р(л|Н^ = 0,63).

Р<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

а при запропонованих формулах (4), які не мають нормуючих дільників: «і

Таким чином, у разі застосування запропонованих формул відношення нормованих ймовірностей дорівнює відношенню до нормованих ймовірностей: До

гт ж Р(Н1) Р(А\Н1) А11 |

При використанні відомих формул при такому ж відношенні -;-=-= 0,11 нормованих веро- н

Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§

ятностей, зазначених у чисельниках, відношення одержуваних нормованих ймовірностей: 2

Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0,63

Р(Н1 Л) = 0,28 Р(Н1 Л) = 0,84

Тобто принцип збереження відносин імовірностей не дотримується і виходять невірні результати. При цьому £

у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (11) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (10) виявляється дуже суттєвим, оскільки становить

°, 33 - °, П х 100 = 242%.

2. Імовірність гіпотез при сумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані з застосуванням формул Байєса (5) та побудованої коректної модифікації (9), використовуючи наступні вихідні дані: ^

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Е1Н1) = 0,4; Р(Е2Н1) = 0,8; Р(Е1\Н2) = 0,7; Н2) = 0,2 113

У прикладах з гіпотезою H 2 у випадку використання традиційних формул (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

I p (Hk) p (El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) =-2-- = - = 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

У разі застосування запропонованої формули (9) з урахуванням (7) P(H

P(H2) 0,168

E.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z "

P(H2) 0,018

E0) ----- 0,031.

Z P (Hk) Z k - 1 i - 1

При використанні пропонованих коректних формул, зважаючи на однакові знаменники, відношення P(H2) -

Нормованих ймовірностей, що вказуються в чисельниках, дорівнює відношенню

P(H2)

нормованих ймовірностей:

Тобто принцип збереження відносин імовірностей дотримується.

Однак у разі застосування відомих формул щодо зазначених у чисельниках нормованих ймовірностей

Р(Н 2) Р(Е1\Н 2) _ 0,21 _3 5 Р(Н 2)Р(Е 2 Н 2) 0,06 ,

відношення нормованих ймовірностей:

Р(Н 2 = 0.429 = 4,423. (13)

Р(Н 2 \е2) 0,097

Тобто принцип збереження відносин ймовірностей, як і раніше, не дотримується. При цьому у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (13) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (12) також виявляється дуже суттєвим:

9,387 4,423 х 100 = 52,9%.

Висновок. Аналіз побудови конкретних формульних співвідношень, що реалізують формулу Байєса та її модифікації, які пропонуються для вирішення практичних завдань, дозволяють стверджувати наступне. Повна група порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій може вибиратися суб'єктивно особою, яка приймає рішення. Цей вибір грунтується на об'єктивних вихідних даних, що враховуються, характерних для типової об-ї становки (конкретні види і кількість елементарних подій - оцінюваних гіпотез і свідчень). Представляє практичний інтерес суб'єктивний вибір інших варіантів повної групи порівнюваних за ступенем можли-

ності комбінованих подій - таким чином забезпечується суттєва різноманітність формульних співвідношень при побудові нетрадиційних варіантів модифікацій формули Байєса. На цьому, у свою чергу, може ґрунтуватися вдосконалення математичного забезпечення програмної реалізації, а також розширення області застосування нових формульних співвідношень для вирішення прикладних завдань.

бібліографічний список

1. Гнеденко, В.В. Kinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144р.

2. Вентцель, Є. С. Теорія ймовірностей/Є. С. Вентцель. - 10-те вид., стер. – Москва: Вища школа, 2006. – 575 с.

3. Андронов. А. М., Теорія ймовірностей та математична статистика / А. М. Андронов, Є. А. Копитов, Л. Я. Грінглаз. – Санкт-Петербург: Пітер, 2004. – 481 с.

4. Змітрович, А. І. Інтелектуальні інформаційні системи / А. І. Змітрович. – Мінськ: ТетраСі-стемс, 1997. – 496 с.

5. Чорноруцький, І. Г. Методи прийняття рішень / І. Г. Чорноруцький. – Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 p.

7. Романов, В. П. Інтелектуальні інформаційні системи економіки / В. П. Романов. - 2-ге вид., стер.

Москва: Іспит, 2007. – 496 с.

8. Економічна ефективність та конкурентоспроможність / Д. Ю. Муромцев [та ін.]. - Тамбов: Вид-во Тамб. держ. техн. ун-ту, 2007. - 96 с.

9. Долгов, А. І. Коректні модифікації формули Байєса для паралельного програмування / А. І. Долгов // Суперкомп'ютерні технології: матеріали 3-й всерос. наук-техн. конф. - Ростов-на-Дону. – 2014. – Т. 1 – С. 122-126.

10. Долгов, А. І. Про коректність модифікацій формули Байєса / А. І. Долгов // Вісник Дон. держ. техн. ун-ту.

2014. – Т. 14, № 3 (78). – С. 13-20.

1. Гнеденко, В.В., Хінчін, А.Я. Як елементарне введення в теорію проблеми. New York: Dover Publications, 1962, 144р.

2. Ventsel, E.S. Теорія веройатности. 10th ed., reimpr. Moscow: Vysshaya shkola, 2006, 575 p. (in Ukrainian).

3. Андронов, А.М., Копитов, Е.А., Грінглаз, Л.І. Теорія веройатности і математична статистика. St.Petersburg: Piter, 2004, 481 p. (in Ukrainian).

4. Змітровіч, А.1. Інтеллектуальні" інформаційні системи. Мінськ: TetraSistems, 1997, 496 р. (у Росії).

5. Чернорутскій, І.Г. Методи принятія решенії. St.Petersburg: BKhV-Peterburg, 2005, 416 p. (in Ukrainian).

6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 p.

7. Романов, V.P. Інтеллектуальні" інформаційні системи в ekonomice. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 p. (in Russian).

8. Муромцев, Д.І., та ін. Економічна ефективність "і konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. gos. tekhn. un-ta, 2007, 96 p. (in Ukrainian). IB

9. Дольгов, А1. Коректні modifikatsii формули Bayesa для parallel'nogo programmirovania. Superkomp'uternye технології: mat-ly 3-й veros. nauch-tekhn. konf. Rostov-on-Don, 2014, vol. 1, pp. 122-126 (in Ukrainian). ^

10. Дольгов, А1. Про коректність modifikatsij формули Bayesa. ^ Vestnik of DSTU, 2014, vol. 14, no. 3 (78), pp. 13-20 (у Russian). *

Сибірський державний університет телекомунікацій та інформатики

Кафедра вищої математики

з дисципліни: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

«Формула повної ймовірності та формула Бейєса(Байєса) та їх застосування»

Виконав:

Керівник: професор Б.П.Зеленцов

Новосибірськ, 2010

Вступ 3

1. Формула повної ймовірності 4-5

2. Формула Баєса (Бейєса) 5-6

3. Завдання з рішеннями 7-11

4. Основні сфери застосування формули Байєса (Бейєса) 11

Висновок 12

Література 13

Вступ

Теорія ймовірностей одна із класичних розділів математики. Вона має тривалу історію. Основи цього розділу науки було закладено великими математиками. Назву, наприклад, Ферма, Бернуллі, Паскаля.
Пізніше розвиток теорії ймовірностей визначилися на роботах багатьох учених.
Великий внесок у теорію ймовірностей зробили вчені нашої країни:
П.Л.Чебишев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.М.Колмогоров. Імовірнісні та статистичні методи в даний час глибоко проникли у додатки. Вони використовуються у фізиці, техніці, економці, біології та медицині. Особливо зросла їх у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки.

Наприклад, вивчення фізичних явищ проводять спостереження чи досліди. Їхні результати зазвичай реєструють у вигляді значень деяких спостережуваних величин. При повторенні дослідів виявляємо розкид їх результатів. Наприклад, повторюючи вимірювання однієї і тієї ж величини одним і тим же приладом при збереженні певних умов (температура, вологість тощо), ми отримуємо результати, які хоч трохи, але все ж таки відрізняються один від одного. Навіть багаторазові виміри не дають змоги точно передбачити результат наступного виміру. У цьому сенсі кажуть, що результат виміру є випадковою. Ще більш наочним прикладом випадкової величини може бути номер виграшного квитка в лотереї. Можна навести багато інших прикладів випадкових величин. Все ж таки у світі випадковостей виявляються певні закономірності. Математичний апарат вивчення таких закономірностей і дає теорія ймовірностей.
Отже, теорія ймовірностей займається математичним аналізом випадкових подій пов'язаних із нею випадкових величин.

1. Формула повної ймовірності.

Нехай є група подій H 1 ,H 2 ,..., H n, що має наступні властивості:

1) всі події попарно несумісні: H i

2) їхнє об'єднання утворює простір елементарних результатів W:

У цьому випадку говоритимемо, що H 1 , H 2 ,...,H nутворюють повну групу подій. Такі події іноді називають гіпотезами .

Нехай А- Деяка подія: АÌW (діаграма Венна представлена ​​малюнку 8). Тоді має місце формула повної ймовірності:

P (A) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /H n)P (H n) =

Доведення. Очевидно: A =

P (A) = P (

Якщо врахувати, що з теореми множення P (

приклад. У магазині продаються електролампи виробництва трьох заводів, причому частка першого заводу – 30%, другого – 50%, третього – 20%. Шлюб у їхній продукції становить відповідно 5%, 3% та 2%. Якою є ймовірність того, що випадково обрана в магазині лампа виявилася бракованою.

Нехай подія H 1 полягає в тому, що обрана лампа зроблена на першому заводі, H 2 на другому, H 3 – на третьому заводі. Очевидно:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Нехай подія Аполягає в тому, що обрана лампа виявилася бракованою; A/H iозначає подію, що полягає в тому, що обрана бракована лампа з ламп, вироблених на i-му заводі. З умови завдання випливає:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

За формулою повної ймовірності отримуємо

2. Формула Байєса (Бейєса)

Нехай H 1 ,H 2 ,...,H n- повна група подій та АÌ W – певна подія. Тоді за формулою для умовної ймовірності

Тут P (H k /A) – умовна ймовірність події (гіпотези) H kабо ймовірність того, що H kреалізується за умови, що подія Асталося.

По теоремі множення ймовірностей чисельник формули (1) можна подати у вигляді

P = P = P (A /H k)P (H k)

Для представлення знаменника формули (1) можна використати формулу повної ймовірності

P (A)

Тепер із (1) можна отримати формулу, звану формулою Байєса :

За формулою Байєса обчислюється ймовірність реалізації гіпотези H kза умови, що подія Асталося. Формулу Байєса ще називають формулою ймовірності гіпотезЙмовірність P (H k) називають апріорною ймовірністю гіпотези H k, а ймовірність P (H k /A) – апостеріорною ймовірністю.

Теорема. Імовірність гіпотези після випробування дорівнює добутку ймовірності гіпотези до випробування на відповідну їй умовну ймовірність події, що сталася при випробуванні, поділеному на повну ймовірність цієї події.

приклад.Розглянемо наведене вище завдання про електролампи, тільки змінимо питання задачі. Нехай покупець купив електролампу у цьому магазині, і вона виявилася бракованою. Знайти можливість того, що ця лампа виготовлена ​​на другому заводі. Величина P (H 2) = 0,5 в даному випадку це апріорна ймовірність події, що полягає в тому, що куплена лампа виготовлена ​​на другому заводі. Отримавши інформацію про те, що куплена лампа бракована, ми можемо виправити нашу оцінку можливості виготовлення цієї лампи на другому заводі, обчисливши апостеріорну ймовірність цієї події.

При виведенні формули ймовірності передбачалося, що ймовірності гіпотез відомі до досвіду. Формула Байєса дозволяє проводити переоцінку початкових гіпотез у світлі нової інформації, що полягає в тому, що подія сталося. Тому формулу Байєса називають формулою уточнення гіпотез.

Теорема (Формула Байєса). Якщо подія може відбуватися лише з однією з гіпотез
, які утворюють повну групу подій, то ймовірність гіпотез за умови, що подія сталося, обчислюється за формулою

,
.

Доведення.

Формула Байєса чи байесовський підхід до оцінки гіпотез грає значної ролі економіки, т.к. дає можливість коригувати управлінські рішення, оцінки невідомих параметрів розподілу ознак, що вивчаються в статистичному аналізі і.т.п.

приклад. Електролампи виготовляються на двох заводах. Перший завод виробляє 60% загальної кількості електроламп, другий – 40%. Продукція першого заводу містить 70% стандартних ламп, другого – 80%. До магазину надходить продукція обох заводів. Лампочка, куплена в магазині, виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що лампа виготовлена ​​першому заводі.

Запишемо умову завдання, вводячи відповідні позначення.

Дано: подія полягає в тому, що стандартна лампа.

Гіпотеза
полягає в тому, що лампа виготовлена ​​на першому заводі

Гіпотеза
полягає в тому, що лампа виготовлена ​​на другому заводі.

Знайти
.

Рішення.

5. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі

Розглянемо схему незалежних випробуваньабо схему Бернуллі, яка має важливе наукове значення та різноманітні практичні застосування.

Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких може статися певна подія .

Визначення. Випробування називаютьсянезалежними якщо в кожному з них подія

, яка не залежить від того з'явилася чи не з'явилася подія
у інших випробуваннях.

приклад. На випробувальний стенд поставлено 20 ламп розжарювання, які випробовуються під навантаженням протягом 1000 годин. Імовірність того, що лампа витримає випробування, дорівнює 0,8 і не залежить від того, що сталося з іншими лампами.

У цьому прикладі під випробуванням розуміється перевірка лампи на її здатність витримати навантаження протягом 1000 годин. Тому кількість випробувань дорівнює
. У кожному окремому випробуванні можливі лише два результати:

Визначення. Серія повторних незалежних випробувань, у кожному з яких подія
настає з однією і тією ж ймовірністю
, яка не залежить від номера випробування, називаєтьсясхемою Бернуллі.

Ймовірність протилежної події позначають
, причому, як було доведено вище,

Теорема. В умовах схеми Бернуллі ймовірність того, що при незалежних випробуваннях подія з'явиться
раз, визначається за формулою

де
кількість проведених незалежних випробувань;

кількість появи події
;

ймовірність настання події
в окремому випробуванні;

ймовірність не настання події
в окремому випробуванні;

При виведенні формули ймовірності передбачалося, що подія А, Імовірність якого слід визначити, могло статися з однією з подій Н 1 , Н 2 , ... , Н n, що утворюють повну групу попарно несумісних подій У цьому ймовірності зазначених подій (гіпотез) відомі заздалегідь. Припустимо, що зроблено експеримент, в результаті якого подія Анастало. Ця додаткова інформація дозволяє провести переоцінку ймовірностей гіпотез Н i ,вирахувавши Р(Ні/А).

або, скориставшись формулою повної ймовірності, отримаємо

Цю формулу називають формулою Байєса або теоремою гіпотез. Формула Байєса дозволяє «переглянути» ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат досвіду, в результаті якого з'явилася подія А.

Ймовірності Р(Н i)− це апріорні ймовірності гіпотез (вони обчислені до досвіду). Імовірності ж Р(Ні/А)− це апостеріорні ймовірності гіпотез (вони обчислені після досвіду). Формула Байєса дозволяє обчислити апостеріорні ймовірності за їх апріорними ймовірностями та за умовними ймовірностями події А.

приклад. Відомо, що 5% всіх чоловіків та 0.25% всіх жінок дальтоніки. Навмання обрана особа за номером медичної картки страждає на дальтонізм. Яка ймовірність того, що це чоловік?

Рішення. Подія А– людина страждає на дальтонізм. Простір елементарних подій для досвіду – обрано людину за номером медичної картки – Ω = ( Н 1 , Н 2 ) складається з 2 подій:

Н 1 −обраний чоловік,

Н 2 − обрана жінка.

Ці події можуть бути обрані як гіпотези.

За умовою завдання (випадковий вибір) ймовірності цих подій однакові та рівні Р(Н 1 ) = 0.5; Р(Н 2 ) = 0.5.

При цьому умовні ймовірності того, що людина страждає на дальтонізм, рівні відповідно:

Р(А/Н 1 ) = 0.05 = 1/20; Р(А/Н 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Оскільки відомо, що обраний людина дальтонік, т. е. подія сталося, то використовуємо формулу Байєса для переоцінки першої гіпотези:

приклад.Є три однакові на вигляд ящики. У першому ящику 20 білих куль, у другому – 10 білих та 10 чорних, у третій – 20 чорних куль. З вибраного навмання ящика вийняли білу кулю. Обчислити ймовірність того, що кулю вийнято з першої скриньки.

Рішення. Позначимо через Аподія – поява білої кулі. Можна зробити три припущення (гіпотези) про вибір скриньки: Н 1 ,Н 2 , Н 3 − вибір відповідно першої, другої та третьої скриньки.

Оскільки вибір будь-якого з ящиків рівноможливий, то ймовірності гіпотез однакові:

Р(Н 1 )=Р(Н 2 )=Р(Н 3 )= 1/3.

За умовою завдання ймовірність вилучення білої кулі з першої скриньки

Імовірність вилучення білої кулі з другої скриньки

Імовірність вилучення білої кулі з третьої скриньки

Шукану ймовірність знаходимо за формулою Байєса:

Повторення випробувань. Формула Бернуллі.

Проводиться n випробувань, у кожному з яких подія може статися чи відбутися, причому ймовірність події А кожному окремому випробуванні постійна, тобто. не змінюється від досвіду до досвіду. Як знайти ймовірність події? А в одному досвіді ми вже знаємо.

Представляє особливий інтерес можливість появи певного числа разів (m разів) події А в n дослідах. подібні завдання вирішуються легко, якщо випробування є незалежними.

Опр.Кілька випробувань називаюсь незалежними щодо події А якщо ймовірність події А в кожному з них не залежить від результатів інших дослідів.

Імовірність Р n (m) настання події А рівно m разів (ненастання n-m разів, подія) у цих n випробуваннях. Подія А з'являється в різних послідовностях m раз).

– формулу Бернуллі.

Очевидні такі формули:

Р n (m менше k разів у n випробуваннях.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - ймовірність настання події А більше k разів у n випробуваннях.