Теорема менша визначення. Теореми чеви та менша на еге

Клас: 9

Цілі уроку:

1. узагальнити, розширити та систематизувати знання та вміння учнів; навчити використовувати знання під час вирішення складних завдань;
2. сприяти розвитку навичок самостійного застосування знань під час вирішення завдань;
3. розвивати логічне мислення та математичну мову учнів, уміння аналізувати, порівнювати та узагальнювати;
4. виховувати в учнів впевненість у собі, працьовитість; вміння працювати в колективі.

Завдання уроку:

• Освітня:повторити теореми Менелая та Чеви; застосувати їх під час вирішення завдань.
• Розвиваюча:вчити висувати гіпотезу та вміло доказово відстоювати свою думку; перевірити вміння узагальнювати та систематизувати свої знання.
• Виховна:підвищити інтерес до предмета та підготувати до вирішення складніших завдань.

Тип уроку:урок узагальнення та систематизації знань.

Обладнання:картки для колективної роботи на уроці на цю тему, індивідуальні картки для самостійної роботи, комп'ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку

І етап. Організаційний момент (1 хв.)

Вчитель повідомляє тему та мету уроку.

ІІ етап. Актуалізація опорних знань та умінь (10 хв.)

Вчитель:На уроці згадаємо теореми Менелая та Чеви для того, щоб успішно перейти до вирішення завдань. Давайте разом із вами подивимося на екран, де представлений. Для якої теореми дано цей рисунок? (Теорема Менела). Намагайтеся чітко сформулювати теорему.

Малюнок 1

Нехай точка A 1 лежить на стороні BC трикутника АВС, точка C 1 – на стороні AB, точка B 1 – на продовженні сторони АС за точку С. виконується рівність

Вчитель:Давайте разом розглянемо наступний рисунок. Сформулюйте теорему цього малюнка.

Малюнок 2

Пряма AD перетинає дві сторони та продовження третьої сторони трикутника ВМС.

Теорема Менелая

Пряма МВ перетинає дві сторони та продовження третьої сторони трикутника АDС.

Теорема Менелая

Вчитель:Якій теоремі відповідає рисунок? (Теорема Чеви). Сформулюйте теорему.

Малюнок 3

Нехай у трикутнику АВС точка A 1 лежить за ВС, точка B 1 – за АС, точка C 1 – за АВ. Відрізки AA 1 BB 1 і CC 1 перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

ІІІ етап. Вирішення задач. (22 хв.)

Клас розбивається на 3 команди, кожна отримує картку з двома різними завданнями. Надається час на рішення, потім на екрані з'являються<Рисунки 4-9>. За готовими кресленнями до завдань представники команд почергово пояснюють своє рішення. Після кожного пояснення слід обговорення, відповіді на запитання та перевірка правильності рішення на екрані. В обговоренні беруть участь усі члени команд. Чим активніша команда, тим вище вона оцінюється при підбитті підсумків.

Картка 1.

1. У трикутнику АВС на стороні ВС взято точку N так, що NC = 3BN; на продовженні сторони АС за точку А взято точку М так, що МА = АС. Пряма MN перетинає бік АВ у точці F. Знайдіть відношення

2. Доведіть, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Рішення 1

Малюнок 4

За умовою задачі МА = АС, NC = 3BN. Нехай MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Пряма MNперетинає дві сторони трикутника АВС та продовження третьої.

Теорема Менелая

Відповідь:

Доказ 2

Малюнок 5

Нехай AM 1 BM 2 СМ 3 - медіани трикутника АВС. Щоб довести, що ці відрізки перетинаються в одній точці, достатньо показати, що

Тоді теорема Чеви (зворотної) відрізки AM 1 , BM 2 і СM 3 перетинаються в одній точці.

Маємо:

Отже, доведено, що медіани трикутника перетинаються лише у точці.

Картка 2.

1. На стороні PQ трикутника PQR взято точку N, а на стороні PR – точку L, причому NQ = LR. Точка перетину відрізків QL і NR ділить QL щодо m:n, рахуючи від точки Q. Знайдіть

2. Доведіть, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Рішення 1

Малюнок 6

За умовою NQ = LR, Нехай NA = LR = a, QF = km, LF = kn. Пряма NR перетинає дві сторони трикутника PQL та продовження третьої.

Теорема Менелая

Відповідь:

Доказ 2

Малюнок 7

Покажемо, що

Тоді за теоремою Чеви (зворотної) AL 1, BL 2, CL 3 перетинаються в одній точці. За властивістю бісектрис трикутника

Перемножуючи почленно отримані рівності, отримуємо

Для бісектрис трикутника рівність Чеви виконується, отже вони перетинаються в одній точці.

Картка 3.

1. У трикутнику АВС AD – медіана, точка O – середина медіани. Пряма ВО перетинає бік АС у точці К. У якому відношенні точка К ділить АС, рахуючи від точки А?

2. Доведіть, якщо в трикутник вписано коло, то відрізки, що з'єднують вершини трикутника з точками торкання протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

Рішення 1

Малюнок 8

Нехай BD = DC = a, AO = OD = m. Пряма ВК перетинає дві сторони та продовження третьої сторони трикутника ADC.

Теорема Менелая

Відповідь:

Доказ 2

Малюнок 9

Нехай A 1 , B 1 і C 1 – точки торкання вписаного кола трикутника АВС. Для того, щоб довести, що відрізки AA 1 , BB 1 і CC 1 перетинаються в одній точці, достатньо показати, що виконується рівність Чеви:

Використовуючи властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки, введемо позначення: C1B=BA1=x, AC1=CB1=y, BA1=AC1=z.

Рівність Чеви виконується, отже, бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

ІV етап. Розв'язання задач (самостійна робота) (8 хв.)

Вчитель: Робота команд закінчена і зараз приступимо до самостійної роботи за індивідуальними картками для 2-х варіантів.

Матеріали до уроку для самостійної роботи учнів

Варіант 1.У трикутнику АВС, площа якого дорівнює 6, на стороні AB взято точку К, що ділить цю сторону щодо АК:BK = 2:3, а на стороні АС – точку L, що ділить АС щодо AL:LC = 5:3. Точка Qперетину прямих СК і BL віддалена від прямої AB на відстані. Знайдіть довжину сторони АВ. (Відповідь: 4.)

Варіант 2.На стороні АС у трикутнику АВС взято точку К. АК = 1, КС = 3. На стороні АВ взято точку L. AL:LВ = 2:3, Q – точку перетину прямих ВК і СL. Знайдіть довжину висоти трикутника АВС, опущеної з вершини В. (Відповідь: 1,5.)

Роботи здаються вчителю для перевірки.

V етап. Підсумок уроку (2 хв.)

Аналізуються допущені помилки, відзначаються оригінальні відповіді та зауваження. Підбиваються підсумки роботи кожної команди та виставляються оцінки.

VI етап. Домашнє завдання (1 хв.)

Домашнє завдання складено із завдань №11, 12 стор. 289-290, №10 стор. 301 .

Заключне слово вчителя (1 хв).

Сьогодні ви почули з боку математичну мову один одного та оцінили свої можливості. Надалі застосовуватимемо такі обговорення для більшого розуміння предмета. Аргументи під час уроку товаришували з фактами, а теорія з практикою. Вам дякую всім.

Література:

1. Ткачук В.В. Математика абітурієнту. - М.: МЦНМО, 2005.

— Що спільного між теоремою Менелая та наркотиками?
— Про них усі знають, але ніхто не каже.
Типова розмова з учнем

Це прикольна теорема, яка допоможе вам у той момент, коли здається, що вже нічого не допоможе. В уроці ми сформулюємо саму теорему, розглянемо кілька варіантів її використання, а як десерт на вас чекає суворе домашнє завдання. Поїхали!

Для початку – формулювання. Можливо, я дам не саму «красиву» версію теорему, але найзрозумілішу і зручнішу.

Теорема Менела. Розглянемо довільний трикутник $ABC$ і якусь пряму $l$, яка перетинає дві сторони нашого трикутника внутрішнім чином і одну на продовженні. Позначимо точки перетину $M$, $N$ і $K$:

Трикутник $ABC$ і січна $l$

Тоді вірне таке співвідношення:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Хочу зазначити: не треба зубрити розташування букв у цій злісній формулі! Зараз я розповім вам алгоритм, яким ви завжди зможете відновити всі три дроби буквально на льоту. Навіть на іспиті може стресу. Навіть якщо ви сидите за геометрією о 3 годині ночі і взагалі нічого не розумієте.:)

Схема проста:

1. Чортимо трикутник і січучу. Наприклад, як показано в теоремі. Позначаємо вершини та точки якими-небудь літерами. Це може бути довільні трикутник $ ABC $ і пряма з точками $ M $, $ N $, $ K $, або якась інша - суть не в цьому.
2. Ставимо ручку (олівець, маркер, гусяче перо) у будь-яку вершину трикутника і починаємо обхід сторін цього трикутника з обов'язковим заходом у точки перетину з прямою. Наприклад, якщо спочатку піти з точки $A$ в точку $B$, то отримаємо відрізки: $AM$ і $MB$, потім $BN$ і $NC$, а потім (увага!) $CK$ і $KA$ . Оскільки точка $K$ лежить на продовженні сторони $AC$, то під час руху з $C$ у $A$ доведеться тимчасово звалити з трикутника.
3. А тепер просто ділимо сусідні відрізки один на одного рівно в тому порядку, в якому ми отримали їх при обході: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ — отримаємо три дроби, добуток яких дасть нам одиницю .

На кресленні це виглядатиме ось так:

І одразу кілька зауважень. Точніше, це навіть не зауваження, а відповіді на типові запитання:

• Що буде, якщо пряма $l$ пройде через вершину трикутника? Відповідь: нічого. Теорема Менела в цьому випадку не працює.
• Що буде, якщо вибрати іншу вершину для старту чи піти в інший бік? Відповідь: буде те саме. Просто зміниться послідовність дробів.

Думаю, із формулюванням розібралися. Давайте подивимося, як вся ця дичина застосовується для вирішення складних геометричних завдань.

Навіщо це все потрібно?

Попередження. Надмірне застосування теореми Менела для вирішення планиметричних завдань може завдати непоправної шкоди вашій психіці, оскільки дана теорема значно прискорює обчислення і змушує згадувати інші важливі факти зі шкільного курсу геометрії.

Доведення

Я не буду її доводити.:)

Гаразд, доведу:

Тепер залишилося порівняти два отримані значення для відрізка $CT$:

\[\frac(AMcdot BNcdot CK)(BMcdot CNcdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

Ну от і все. Залишилося лише «зачесати» цю формулу, правильно розставивши букви всередині відрізків — і формула готова.

А.В. Шевкін

ФМШ №2007

Теореми Чеви та Менелая на ЄДІ

Детальна стаття "Навколо теорем Чеви і Менела" опублікована на нашому сайті в розділі СТАТТІ. Вона адресована вчителям математики та учням старших класів, мотивованим хороше знання математики. До неї можна повернутися, якщо з'явиться бажання докладніше розібратися у питанні. У цій нотатці ми наведемо короткі відомості зі згаданої статті та розберемо вирішення завдань зі збірки для підготовки до ЄДІ-2016.

Теорема Чеви

Нехай дано трикутник ABCта на його сторонах AB, BCі ACвідзначені точки C 1 , A 1 і B 1 відповідно (рис. 1).

а) Якщо відрізки AА 1 , BB 1 і CС 1 перетинаються в одній точці, то

б) Якщо правильна рівність (1), то відрізки AА 1 , BB 1 і CС 1 перетинаються в одній точці.

На малюнку 1 зображено випадок, коли відрізки AА 1 , BB 1 і CС 1 перетинаються в одній точці усередині трикутника. Це так званий випадок внутрішньої точки. Теорема Чеви справедлива і у разі зовнішньої точки, коли одна з точок А 1 , B 1 або З 1 належить стороні трикутника, а дві інші - продовження сторін трикутника. У цьому випадку точка перетину відрізків AА 1 , BB 1 і CС 1 лежить поза трикутником (рис. 2).

Як запам'ятати рівність Чеви?

Звернімо увагу до прийому запам'ятовування рівності (1). Вершини трикутника у кожному відношенні та самі відносини записуються у напрямку обходу вершин трикутника ABC, починаючи з точки A. Від точки Aйдемо до точки B, зустрічаємо крапку З 1 , записуємо дріб
. Далі від точки Уйдемо до точки З, зустрічаємо крапку А 1 , записуємо дріб
. Нарешті, від точки Зйдемо до точки А, зустрічаємо крапку У 1 , записуємо дріб
. У разі зовнішньої точки порядок запису дробів зберігається, хоча дві «точки розподілу» відрізка виявляються поза своїми відрізками. У разі говорять, що точка ділить відрізок зовнішнім чином.

Відзначимо, що будь-який відрізок, що з'єднує вершину трикутника з будь-якою прямою точкою, що містить протилежну сторону трикутника, називають чевіаною.

Розглянемо кілька способів доказу затвердження: а) теореми Чеви для випадку внутрішньої точки. Щоб довести теорему Чеви, треба довести твердження а) будь-яким із запропонованих нижче способів, а також довести твердження б). Доказ затвердження б) наведено після першого способу доказу затвердження а). Докази теореми Чеви на випадок зовнішньої точки проводяться аналогічно.

Доказ затвердження а) теореми Чеви за допомогою теореми про пропорційні відрізки

Нехай три чевіани AA 1 , BB 1 і CC 1 перетинаються у точці Zвсередині трикутника ABC.

Ідея доказу полягає в тому, щоб відносини відрізків із рівності (1) замінити відносинами відрізків, що лежать на одній прямій.

Через точку Упроведемо пряму, паралельну чевіані СС 1 . Пряма АА 1 перетинає побудовану пряму в точці М, а пряма, що проходить через точку Cта паралельна АА 1 , - у точці Т. Через крапки Аі Зпроведемо прямі, паралельні чевіані ВВ 1 . Вони перетнуть пряму ВМу точках Nі Rвідповідно (рис. 3).

П про теорему про пропорційні відрізки маємо:

,
і
.

Тоді справедливі рівності

.

У паралелограмах ZСTMі ZСRВвідрізки TM, СZі ВRрівні як протилежні сторони паралелограма. Отже,
і вірна рівність

.

За доказом затвердження б) використовуємо таке твердження. Мал. 3

Лемма 1.Якщо точки З 1 і З 2 ділять відрізок ABвнутрішнім (або зовнішнім) чином в тому самому відношенні, рахуючи від однієї і тієї ж точки, то ці точки збігаються.

Доведемо лему для випадку, коли точки З 1 і З 2 ділять відрізок ABвнутрішнім чином в тому самому відношенні:
.

Доведення.З рівності
слідують рівності
і
. Останнє виконується лише за умови, що З 1 Bі З 2 Bрівні, тобто за умови, що точки З 1 і З 2 збігаються.

Доказ леми для випадку, коли точки З 1 і З 2 ділять відрізок ABзовнішнім чином проводиться аналогічно.

Доказ затвердження б) теореми Чеви

Нехай тепер вірна рівність (1). Доведемо, що відрізки AА 1 , BB 1 і CС 1 перетинаються в одній точці.

Нехай чевіани АА 1 і ВВ 1 перетинаються у точці Z, проведемо через цю точку відрізок CС 2 (З 2 лежить на відрізку AB). Тоді на підставі затвердження а) отримуємо правильну рівність

. (2)

І з порівняння рівностей (1) і (2) укладаємо, що
, тобто точки З 1 і З 2 ділять відрізок ABв тому самому відношенні, рахуючи від однієї і тієї ж точки. З леми 1 випливає, що точки З 1 і З 2 збігаються. Це означає, що відрізки AА 1 , BB 1 і CС 1 перетинаються в одній точці, що потрібно було довести.

Можна довести, що процедура запису рівності (1) не залежить, від якої точки і в якому напрямку відбувається обхід вершин трикутника.

Завдання 1.Знайдіть довжину відрізка АNмалюнку 4, у якому вказані довжини інших відрізків.

Відповідь. 8.

Завдання 2.Чевіани AM, BN, CKперетинаються в одній точці всередині трикутника ABC. Знайдіть відношення
, якщо
,
. Мал. 4

Відповідь.
.

П риведемо доказ теореми Чеви зі статті. Ідея доказу полягає в тому, щоб замінити відносини відрізків із рівності (1) відносинами відрізків, що лежать на паралельних прямих.

Нехай прямі AA 1 , BB 1 , CC 1 перетинаються у точці Oвсередині трикутника АВС(Рис. 5). Через вершину Зтрикутника АВСпроведемо пряму, паралельну AB, та її точки перетину з прямими AA 1 , BB 1 позначимо відповідно A 2 , B 2 .

З подоби двох пар трикутників CB 2 B 1 і ABB 1 , BAA 1 і CA 2 A 1, Мал. 5

маємо рівності

,
. (3)

З подоби трикутників BС 1 Oі B 2 CO, AЗ 1 Oі A 2 COмаємо рівності
, з яких випливає, що

. (4)

П еремножив рівності (3) і (4), отримаємо рівність (1).

Твердження а) теореми Чеви доведено.

Розглянемо докази затвердження: а) теореми Чеви за допомогою площ для внутрішньої точки. Воно викладено у книзі А.Г. Мякішева і спирається на твердження, які ми сформулюємо у вигляді завдань 3 і 4 .

Завдання 3.Відношення площ двох трикутників із загальною вершиною та основами, що лежать на одній прямій, дорівнює відношенню довжин цих основ. Доведіть це твердження.

Завдання 4.Доведіть, що якщо
, то
і
. Мал. 6

Нехай відрізки AА 1 , BB 1 і CС 1 перетинаються у точці Z(рис. 6), тоді

,
. (5)

І з рівностей (5) та другого затвердження завдання 4 випливає, що
або
. Аналогічно отримаємо, що
і
. Перемноживши три останні рівністі, отримаємо:

,

тобто правильна рівність (1), що і потрібно довести.

Твердження а) теореми Чеви доведено.

Завдання 15.Нехай чевіани перетинаються в одній точці всередині трикутника та розбивають його на 6 трикутників, площі яких рівні S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (рис. 7). Доведіть, що . Мал. 7

Завдання 6.Знайдіть площу Sтрикутника CNZ(площі інших трикутників вказані малюнку 8).

Відповідь. 15.

Завдання 7.Знайдіть площу Sтрикутника CNOякщо площа трикутника АNOдорівнює 10 і
,
(Рис. 9).

Відповідь. 30.

Завдання 8.Знайдіть площу Sтрикутника CNOякщо площа трикутника АBCдорівнює 88 і ,
(Рис. 9).

Р ешение.Так як , то позначимо
,
. Так як , то позначимо
,
. З теореми Чеви випливає, що
, і тоді
. Якщо
, то
(Рис. 10). У нас три невідомі величини ( x, y і S), тому для знаходження Sскладемо три рівняння.

Так як
, то
= 88. Оскільки
, то
, звідки
. Так як
, то
.

Отже,
, звідки
. Мал. 10

Завдання 9. У трикутнику ABCкрапки Kі Lналежать відповідно до сторін AB і BC.
,
. P ALі CK. Площа трикутника PBCдорівнює 1. Знайдіть площу трикутника ABC.

Відповідь. 1,75.

Т еорема Менелая

Нехай дано трикутник ABCта на його сторонах ACі CВвідзначені точки B 1 і A 1 відповідно, а на продовженні сторони ABвідзначено точку C 1 (рис. 11).

а) Якщо точки А 1 , B 1 і З 1 лежать на одній прямій, то

. (6)

б) Якщо правильна рівність (7), то точки А 1 , B 1 і З 1 лежать на одній прямій. Мал. 11

Як запам'ятати рівність Менела?

Прийом запам'ятовування рівності (6) той самий, що й рівності (1). Вершини трикутника у кожному відношенні та самі відносини записуються у напрямку обходу вершин трикутника ABC- від вершини до вершини, проходячи через точки поділу (внутрішні чи зовнішні).

Завдання 10.Доведіть, що при записі рівності (6) від будь-якої вершини трикутника у будь-якому напрямку виходить один і той самий результат.

Щоб довести теорему Менелая, треба довести твердження а) будь-яким із запропонованих способів, а також довести твердження б). Доказ затвердження б) наведено після першого способу доказу затвердження а).

Доказ затвердження а) за допомогою теореми про пропорційні відрізки

IМетод.а) Ідея доказу полягає у заміні відносин довжин відрізків у рівності (6) відносинами довжин відрізків, що лежать на одній прямій.

Нехай крапки А 1 , B 1 і З 1 лежать на одній прямій. Через точку Cпроведемо пряму l, паралельну прямий А 1 B 1 , вона перетинає пряму АBу точці M(Рис. 12).

Р
іс. 12

За теоремою про пропорційні відрізки маємо:
і
.

Тоді вірні рівності
.

Доказ затвердження б) теореми Менела

Нехай тепер вірна рівність (6), доведемо, що точки А 1 , B 1 і З 1 лежать на одній прямій. Нехай прямі АBі А 1 B 1 перетинаються у точці З 2 (рис. 13).

Оскільки точки А 1 B 1 і З 2 лежать на одній прямій, то за твердженням а) теореми Менелая

. (7)

З порівняння рівностей (6) та (7) маємо
звідки випливає, що вірні рівності

,
,
.

Остання рівність вірна лише за умови
, тобто якщо точки З 1 і З 2 збігаються.

Твердження б) теореми Менелая доведено. Мал. 13

Доказ затвердження: а) за допомогою подібності трикутників

Ідея доказу полягає в тому, щоб замінити відносини довжин відрізків із рівності (6) відносинами довжин відрізків, що лежать на паралельних прямих.

Нехай крапки А 1 , B 1 і З 1 лежать на одній прямій. З крапок A, Bі Cпроведемо перпендикуляри АА 0 , BB 0 та СС 0 до цієї прямої (рис. 14).

Р
іс. 14

З подоби трьох пар трикутників AA 0 B 1 і CC 0 B 1 , CC 0 A 1 і BB 0 A 1 , C 1 B 0 Bі C 1 A 0 A(по двох кутах) маємо вірні рівності

,
,
,

перемноживши їх, отримаємо:

.

Твердження а) теореми Менела доведено.

Доказ затвердження а) за допомогою площ

Ідея доказу полягає у заміні відношення довжин відрізків із рівності (7) відносинами площ трикутників.

Нехай крапки А 1 , B 1 і З 1 лежать на одній прямій. З'єднаємо точки Cі C 1 . Позначимо площі трикутників S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (рис. 15).

Тоді справедливі рівності

,
,
. (8)

Перемноживши рівності (8), отримаємо:

Твердження а) теореми Менела доведено.

Р
іс. 15

Подібно до того, як теорема Чеви залишається справедливою і в тому випадку, якщо точка перетину чевіан знаходиться поза трикутником, теорема Менела залишається справедливою і в тому випадку, якщо січна перетинає лише продовження сторін трикутника. У цьому випадку можна говорити про перетин сторін трикутника у зовнішніх точках.

Доказ затвердження: а) для випадку зовнішніх точок

П усть січна перетинає сторони трикутника ABCу зовнішніх точках, тобто перетинає продовження сторін AB,BCі ACу точках C 1 , A 1 і B 1 відповідно і ці точки лежать на одній прямій (рис. 16).

За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

та .

Тоді вірні рівності

Твердження а) теореми Менела доведено. Мал. 16

Зауважимо, що наведений доказ збігається з доказом теореми Менела для випадку, коли січна перетинає дві сторони трикутника у внутрішніх точках та одну у зовнішній.

Доказ затвердження б) теореми Менела для випадку зовнішніх точок аналогічно доказу, наведеному вище.

З адання11. У трикутнику АВСкрапки А 1 , У 1 лежать відповідно на сторонах НДі AЗ. P- точка перетину відрізків АА 1 і ВВ 1 .
,
. Знайдіть відношення
.

Рішення.Позначимо
,
,
,
(Рис. 17). По теоремі Менела для трикутника BCУ 1 і січній PA 1 запишемо правильну рівність:

,

звідки випливає, що

. Мал. 17

Відповідь. .

З адання12 (МДУ, заочні підготовчі курси). У трикутнику АВС, площа якого дорівнює 6, на стороні АВвзято крапку До, ділить цю сторону щодо
, а на боці АС- крапка L, ділить АСу відносинах
. Крапка P перетину прямих СКі УL віддалена від прямої АВна відстань 1,5. Знайдіть довжину сторони АВ.

Рішення.З точок Рі Зопустимо перпендикуляри PRі СМна пряму АВ. Позначимо
,
,
,
(Рис. 18). По теоремі Менела для трикутника AKCта сікучою PLзапишемо правильну рівність:
, звідки отримаємо, що
,
. Мал. 18

З подоби трикутників ДоMCі ДоRP(по двох кутах) отримаємо, що
звідки випливає, що
.

Тепер, знаючи довжину висоти, проведеної до сторони ABтрикутника ABС, і площу цього трикутника, обчислимо довжину сторони:
.

Відповідь. 4.

З адання13. Три кола з центрами А,У,З, радіуси яких відносяться як
, стосуються один одного зовнішнім чином у точках X, Y, Zяк показано на малюнку 19. Відрізки AXі BYперетинаються у точці O. В якому відношенні, рахуючи від точки B, відрізок CZділить відрізок BY?

Рішення.Позначимо
,
,
(Рис. 19). Так як
, то за твердженням б) теореми Чеви відрізки АX, BYі ЗZперетинаються в одній точці - точці O. Тоді відрізок CZділить відрізок BYу відносинах
. Знайдемо це ставлення. Мал. 19

По теоремі Менела для трикутника BCYта сікучою OXмаємо:
звідки випливає, що
.

Відповідь. .

Завдання 14 (ЄДІ-2016).

Крапки У 1 і З АСі АВтрикутника ABC, причому АВ 1:B 1 З =
= АС 1:З 1 B. Прямі ВВ 1 і СС 1 перетинаються у точці О.

а ) Доведіть, що пряма АТділить навпіл НД.

AB 1 OC 1 до площі трикутника ABCякщо відомо, що АВ 1:B 1 З = 1:4.

Рішення.а) Нехай пряма AO перетинає бік BC у точці A 1 (рис. 20). За теоремою Чеви маємо:

. (9)

Так як АВ 1:B 1 З = АС 1:З 1 B, то з рівності (9) випливає, що
, тобто CA 1 = А 1 B, що й потрібно було довести. Мал. 20

б) Нехай площа трикутника AB 1 O дорівнює S. Так як АВ 1:B 1 З CB 1 O дорівнює 4 S, а площа трикутника AOC дорівнює 5 S. Тоді площа трикутника AOB теж дорівнює 5 S, так як трикутники AOB і AOCмають загальну основу AO, а їхні вершини Bі Cрівновіддалені від прямої AO. Причому площа трикутника AOC 1 дорівнює S, так як АС 1:З 1 B = 1:4. Тоді площа трикутника ABB 1 дорівнює 6 S. Так як АВ 1:B 1 З= 1:4, то площа трикутника CB 1 O дорівнює 24 S, а площа трикутника ABC дорівнює 30 S. Тепер знайдемо відношення площі чотирикутника AB 1 OC 1 (2S) до площі трикутника ABC (30S), воно дорівнює 1:15.

Відповідь. 1:15.

Завдання 15 (ЄДІ-2016).

Крапки У 1 і З 1 лежать на сторонах відповідно АСі АВтрикутника ABC, причому АВ 1:B 1 З =
= АС 1:З 1 B. Прямі ВВ 1 і СС 1 перетинаються у точці О.

а) Доведіть, що пряма АТділить навпіл НД.

б) Знайдіть відношення площі чотирикутника AB 1 OC 1 до площі трикутника ABCякщо відомо, що АВ 1:B 1 З = 1:3.

Відповідь. 1:10.

З адання 16 (ЄДІ-2016).На відрізку BDвзято крапку З. Бісектриса BL ABCз основою НД BLDз основою BD.

а) Доведіть, що трикутник DCLрівнобедрений.

б) Відомо, що cos
ABC DL, тобто трикутник BDвзято крапку З. Бісектриса BLрівнобедреного трикутника ABCз основою НДє бічною стороною рівнобедреного трикутника BLDз основою BD.

а) Доведіть, що трикутник DCLрівнобедрений.

б) Відомо, що cos ABC=. В якому відношенні пряма DL ділить бік АВ?

Відповідь. 4:21.

Література

1. Смирнова І.М., Смирнов В.А. Чудові точки та лінії трикутника. М: Математика, 2006, № 17.

2. Мякішев А.Г. Елементи трикутника геометрії. (Серія "Бібліотека "Математичне просвітництво""). М.: МЦНМО, 2002. – 32 с.

3. Геометрія. Додаткові розділи до підручника 8 класу: Навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін - М.: Віта-Прес, 2005. - 208 с.

4. Ерднієв П., Манцаєв Н. Теореми Чеви та Менелая. М.: Квант, 1990 № 3, С. 56-59.

5. Шаригін І.Ф. Теореми Чеви та Менелая. М.: Квант, 1976 № 11, С. 22-30.

6. Вавілов В.В. Медіани та середні лінії трикутника. М.: Математика, 2006 № 1.

7. Єфремов Дм. Нова геометрія трикутника. Одеса, 1902. – 334 с.

8. Математика. 50 варіантів типових тестових завдань/І.В. Ященко, М.О. Волкевич, І.Р. Висоцький та ін; за ред. І.В. Ященко. - М.: Видавництво "Іспит", 2016. - 247 с.

Вирішення самої задачі нескладне – ознайомитися з ним можна нижче. У цій статті нас цікавить головним чином трохи інший момент, який часто опускається, розуміється, як сам собою зрозумілий, як очевидний. Але очевидне – це те, що можна довести. А довести це можна у різний спосіб, - зазвичай доводять виключно за допомогою подоби, - але можна і за допомогою теореми Менелая.
З умови випливає, що, оскільки кути при нижній підставі трапеції в сумі становлять 90 °, то якщо продовжити бічні сторони, вийде прямокутний трикутник. Далі з точки перетину продовжень бічних сторін, що вийшла, проводять відрізок, який проходить через середини основ. А чому цей відрізок проходить через ці три точки? Зазвичай про це у вирішенні завдання, що зустрічаються в Інтернеті, не йдеться ні слова. Відсутня навіть посилання до теореми про чотири точки трапеції, не кажучи вже про доказ цього твердження. А тим часом, воно може бути доведено за допомогою теореми Менелая, яка є умовою приналежності трьох точок до однієї прямої.

Формулювання теореми Менела
Настав час сформулювати теорему. У різних підручниках і посібниках зустрічаються різні її формулювання, хоча суть залишається незмінною. У підручнику Атанасяна та інших. за 10-11 класи наводиться таке формулювання теореми Менелая, назвемо її " векторної " :

У підручнику «Геометрія 10-11 клас» Александрова та ін., а також у навчальному посібнику цих авторів «Геометрія. 8 клас» наводиться дещо інше формулювання теореми Менела, причому і для 10-11 класів і для 8 класу воно однакове:
Тут потрібно зробити три примітки.
Примітка 1. На іспитах немає завдань, які необхідно вирішити лише за допомогою векторів, для яких і використовується саме «мінус одиниця». Тому для практичного використання найбільш зручне формулювання, що представляє, по суті, наслідок теореми для відрізків (це друге формулювання, виділене жирними літерами). Нею і обмежимося для подальшого вивчення теореми Менелая, оскільки наша мета навчитися застосовувати її для вирішення завдань.
Примітка 2. Незважаючи на те, що у всіх підручниках чітко обговорюється і той випадок, коли всі три точки A 1 , B 1 і C 1 можуть лежати на продовженнях сторін трикутника (або на прямих сторонах трикутника, що містять), на декількох репетиторських сайтах Інтернету формулюється лише той випадок, коли дві точки лежать на двох сторонах, а третя – на продовженні третьої сторони. Навряд це можна виправдати тим, що у іспитах зустрічаються лише завдання першого типу і що неспроможні зустрітися завдання, коли всі ці точки лежать на продовженнях трьох сторін.
3. Зворотна теорема, тобто. Умова для того, щоб три точки лежали на одній прямій, зазвичай не розглядається зовсім, а деякі репетитори навіть радять займатися тільки прямою теоремою, і не розглядати зворотну теорему. Тим часом доказ зворотного затвердження досить повчальний і дозволяє доводити твердження, схожі на те, що наведено у розв'язанні задачі 1. Досвід доказу зворотної теореми, безсумнівно, дасть відчутну користь учню під час вирішення задач.

Малюнки та закономірності

Для того, щоб навчити учня бачити теорему Менелая в завданнях і користуватися нею при рішеннях важливо звернути увагу на малюнки та закономірності запису теореми для конкретного випадку. Оскільки сама теорема у " чистому " вигляді, тобто. без оточення іншими відрізками, сторонами різних постатей у завданнях зазвичай не зустрічається, то доцільніше показувати теорему на конкретних завданнях. А якщо і показувати малюнки як пояснення, то робити їх багатоваріантними. При цьому виділяти одним кольором (наприклад, червоним) пряму, яка утворюється трьома точками, а синім – відрізки трикутника, що беруть участь у записі Менелаї теореми. При цьому ті елементи, які не беруть участь, залишаються чорними:

На перший погляд може здатися, що формулювання теореми досить складне і не завжди зрозуміле; адже в ній беруть участь три дроби. Справді, якщо досвіду у учня недостатньо, він легко може помилитися у написанні, як наслідок, неправильно вирішити завдання. І ось тут, буває, починаються проблеми. Річ у тім, що у підручниках зазвичай акцентується у тому, як «здійснювати обхід» під час написання теореми. Нічого не йдеться і про закономірності запису самої теореми. Тому деякі репетитори навіть малюють різні стрілки, як записувати формулу. І пропонують учням суворо дотримуватися таких установок. Частково це правильно, але значно важливіше зрозуміти суть теореми, ніж чисто механічно її записувати, користуючись «правилом обходу» та стрілками.
Насправді, важливо зрозуміти лише логіку "обходу", а вона настільки точна, що помилитися в написанні формули неможливо. В обох випадках a) та b) напишемо формулу для трикутника AMC.
Спочатку визначаємо собі три точки - вершини трикутника. У нас це точки A, M, C. Потім визначаємо точки, що лежать на прямій (червоній прямій), що перетинає, це - B, P, K. Починаємо "рух" з вершини трикутника, наприклад, з точки C. З цієї точки "йдемо" до точки, яка утворюється перетином, наприклад, сторони AC і перетинає прямий - у нас це точка K. Пишемо в чисельник першого дробу - СК. Далі з точки K "йдемо" в точку, що залишилася, на прямій AC - в точку A. У знаменник першого дробу пишемо - KA. Оскільки точка A належить ще й прямий AM, то робимо те саме з відрізками на прямий AM. І тут знову, починаємо з вершини, далі "йдемо" в точку на прямій, що перетинає, після чого переходимо у вершину M. "Очутившись" на прямій BC проробляємо те ж саме і з відрізками на цій прямій. З M "йдемо" звичайно ж у B, після чого повертаємося в C. Цей "обхід" можна здійснювати як за годинниковою стрілкою, так і проти годинникової стрілки. Важливо тільки зрозуміти правило обходу – з вершини до точки на прямій, і від точки на прямій – до іншої вершини. Приблизно так і пояснюють правило запису твору дробів. У результаті виходить:
Звернімо увагу на те, що весь "обхід" відображений у записі і для зручності показаний стрілками.
Однак запис можна отримати не виконуючи ніякого "обходу". Після того, як виписані точки - вершини трикутника (A, M, C ) і точки - що лежать на прямій (B, P, K ), що перетинає, записують ще й трійки літер, що позначають точки, що лежать на кожній з трьох прямих. У наших випадках, це I) B, M, C; II) A, P, M і III) A, C, K. Після цього правильну ліву частину формули можна написати навіть не дивлячись на креслення та в будь-якому порядку. Нам достатньо з кожної трійки букв написати вірні дроби, які підкоряються правилу - умовно "середні" букви - це точки прямої (червоні), що перетинають. Умовно "крайні" літери – це точки вершин трикутника (сині). При написанні формули таким способом треба стежити тільки за тим, щоб будь-яка "синя" буква (вершина трикутника) потрапила б по разу і в чисельник і знаменник Наприклад.
Цей метод буває особливо корисним для випадків типу b), а також для самоперевірки.

Теорема Менела. Докази
Існує кілька різних способів доказу теореми Менела. Іноді доводять за допомогою подібності трикутників, для чого з точки M (як на даному кресленні) проводять відрізок, паралельний AC. Інші проводять додаткову пряму, не паралельну прямій, що перетинає, а потім прямими, паралельними перетинає немов "проектують" всі потрібні відрізки на цю пряму і за допомогою узагальнення теореми Фалеса (тобто теореми про пропорційні відрізки) виводять формулу. Однак, мабуть, найбільш простий спосіб доказу виходить, якщо з точки M провести пряму, паралельну перетину. Доведемо теорему Менелая у такий спосіб.
Дано: Трикутник ABC. Пряма PK перетинає сторони трикутника та продовження сторони MC у точці B.
Довести, що виконується рівність:
Доведення. Проведемо промінь MM 1 паралельно BK. Запишемо відносини, у яких беруть участь відрізки, які входять у запис формули теореми Менелая. В одному випадку розглянемо прямі, що перетинаються в точці A, а в іншому випадку, що перетинаються в точці C. Перемножимо ліві та праві частини цих рівнянь:

Теорему доведено.
Аналогічно доводиться теорема і випадку b).

З точки C проведемо відрізок CC 1 паралельний прямий BK. Запишемо відносини, у яких беруть участь відрізки, які входять у запис формули теореми Менелая. В одному випадку розглянемо прямі, що перетинаються в точці A, а в іншому випадку, що перетинаються в точці M. Оскільки в теоремі Фалеса нічого не йдеться про розташування відрізків на двох прямих, що перетинаються, то відрізки можуть розташовуватися і по різні сторони від точки M. Тому

Теорему доведено.

Тепер доведемо зворотну теорему.
Дано:
Довести, що точки B, P, К лежать на одній прямій.
Доведення. Нехай пряма BP перетинає AC у певній точці K 2 , не збігається з точкою K. Оскільки BP - це пряма, що містить точку K 2 , то справедлива тільки що доведена теорема Менелая. Значить, для неї запишемо
Однак щойно ми довели, що
Звідси випливає, що точки K і K 2 збігаються, тому що ділять сторону AC в тому самому відношенні.
Для випадку b) теорема доводиться аналогічно.

Розв'язання задач за допомогою теореми Менелая

Спочатку повернемося до Задачі 1 і вирішимо її. Прочитаємо ще раз. Зробимо креслення:

Дано трапецію ABCD. ST – середня лінія трапеції, тобто. одна з даних відстаней. Кути A і D у сумі становлять 90°. Подовжуємо бічні сторони AB і CD і їх перетині отримуємо точку K. З'єднаємо точку K з точкою N - серединою BC. Тепер доведемо, що точка P, що є серединою основи AD, також належить прямий KN. Розглянемо послідовно трикутники ABD та ACD. Дві сторони кожного трикутника перетинають пряму KP. Припустимо, пряма KN перетинає основу AD у певній точці X. За теоремою Менелая:
Так як трикутник AKD прямокутний, то точка P, що є серединою гіпотенузи AD, рівновіддалена від A, D і K Аналогічно точка N рівновіддалена від точок B, C і K. Звідки одна основа дорівнює 36, а інша 2.
Рішення. Розглянемо трикутник BCD. Його перетинає промінь AX, де X - точка перетину цього променя з продовженням сторони BC. За теоремою Менелая:
Підставивши (1) до (2) отримуємо:

Рішення. Позначимо літерами S 1 , S 2 , S 3 і S 4 площі відповідно до трикутників AOB, AOM, BOK і чотирикутника MOKC.

Оскільки BM - медіана, то S ABM = S BMC.
Значить, S1 + S2 = S3 + S4.
Так як треба знайти відношення площ S 1 і S 4 поділимо обидві частини рівняння на S 4:
Підставимо ці значення у формулу (1): З трикутника BMC при січній AK теореми Менелая маємо: З трикутника AKC при січній BM теореми Менелая маємо: Всі необхідні відносини виражені через k і тепер можна підставити їх у вираз (2):
Вирішення цієї задачі за допомогою теореми Менелая розглянуто на сторінці .

Репетитор з математики.Застосування теореми Менелая у цій задачі - це той самий випадок, коли цей метод дозволяє суттєво заощадити час на іспиті. Це завдання пропонується у демоваріанті вступного іспиту до ліцею при ВШЕ до 9-го класу (2019 р.).

© Репетитор з математики у Москві, Олександр Анатолійович, 8-968-423-9589.

Вирішіть самостійно

1) Завдання простіше. На медіані BD трикутника ABC відзначено точку M так, що BM: MD = m: n. Пряма AM перетинає бік BC у точці K.
Знайдіть відношення BK: KC.
2) Завдання складніше. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає сторону ВС у точці P, а діагональ BD - у точці T. Відомо, що AB: AD = k (0 3) Завдання № 26 ОДЕ. У трикутнику ABC бісектриса BE та медіана AD перпендикулярні і мають однакову довжину 36. Знайдіть сторони трикутника ABC.
Підказка репетитора з математики.В Інтернеті зустрічається вирішення такого завдання за допомогою додаткової побудови і далі або подібності, або знаходження площ, і тільки після цього трикутника сторін. Тобто. обидва ці способи вимагають додаткової побудови. Однак рішення такого завдання за допомогою властивості бісектриси та теореми Менелая не потребує жодних додаткових побудов. Воно набагато простіше і раціональніше.