Теорема вієта завдання. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта

Будь-яке повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0можна привести до вигляду x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0, якщо попередньо розділити кожен доданок на коефіцієнт a перед x 2. А якщо ввести нові позначення (b/a) = pі (c/a) = q, то матимемо рівняння x 2 + px + q = 0, яке в математиці називається наведеним квадратним рівнянням.

Коріння наведеного квадратного рівняння та коефіцієнти pі qзв'язані між собою. Це підтверджується теорема Вієта, названою так на честь французького математика Франсуа Вієта, який жив наприкінці XVI ст.

Теорема. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0дорівнює другому коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену q.

Запишемо дані співвідношення у такому вигляді:

Нехай x 1і x 2різне коріння наведеного рівняння x 2 + px + q = 0. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -pі x 1 · x 2 = q.

Для доказу підставимо кожен із коренів x 1 і x 2 до рівняння. Отримуємо дві вірні рівності:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Віднімемо з першої рівності другу. Отримаємо:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Перші два доданки розкладаємо за формулою різниці квадратів:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

За умовами коріння x 1 і x 2 різні. Тому ми можемо скоротити рівність на (x 1 – x 2) ≠ 0 та виразити p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x1+x2) = -p.

Першу рівність доведено.

Для доказу другої рівності підставимо на перше рівняння

x 1 2 + px 1 + q = 0 замість коефіцієнта p дорівнює йому число - (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Перетворивши ліву частину рівняння, отримуємо:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, що потрібно було довести.

Теорема Вієта хороша тим, що, навіть не знаючи коренів квадратного рівняння, ми можемо обчислити їх суму та добуток .

Теорема Вієта допомагає визначати ціле коріння наведеного квадратного рівняння. Але у багатьох учнів це спричиняє труднощі через те, що вони не знають чіткого алгоритму дії, особливо якщо коріння рівняння має різні знаки.

Отже, наведене квадратне рівняння має вигляд x 2 + px + q = 0 де x 1 і x 2 його коріння. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q.

Можна зробити наступний висновок.

Якщо в рівнянні перед останнім членом стоїть знак мінус, то коріння x 1 і x 2 мають різні знаки. Крім того, знак меншого кореня збігається зі знаком другого коефіцієнта рівняння.

Виходячи з того, що при додаванні чисел з різними знаками їх модулі віднімаються, а перед отриманим результатом ставиться знак більшого за модулем числа, слід діяти таким чином:

визначити такі множники числа q, щоб їхня різниця дорівнювала числу p;
поставити перед меншим із отриманих чисел знак другого коефіцієнта рівняння; другий корінь матиме протилежний знак.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння x 2 – 2x – 15 = 0.

Рішення.

Спробуємо вирішити це рівняння за допомогою запропонованих вище правил. Тоді можна точно сказати, що це рівняння матиме два різні корені, т.к. D = b 2 - 4ac = 4 - 4 · (-15) = 64> 0.

Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Це будуть числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо знак «мінус», тобто. знак другого коефіцієнта рівняння. Отже, отримаємо коріння рівняння x 1 = -3 і x 2 = 5.

Відповідь. x 1 = -3 та x 2 = 5.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння x 2 + 5x – 6 = 0.

Рішення.

Перевіримо, чи має це рівняння коріння. Для цього знайдемо дискримінант:

D = b 2 - 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Рівняння має два різні корені.

Можливі множники числа 6 - це 2 і 3, 6 і 1. Різниця дорівнює 5 у пари 6 і 1. У цьому прикладі коефіцієнт другого доданку має знак «плюс», тому і менше число матиме такий самий знак. А ось перед другим числом стоятиме знак мінус.

Відповідь: x 1 = -6 та x 2 = 1.

Теорему Вієта можна записати і для повного квадратного рівняння. Так, якщо квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0має коріння x 1 і x 2 , то для них виконуються рівності

x 1 + x 2 = -(b/a)і x 1 · x 2 = (c/a). Проте застосування цієї теореми у квадратному рівнянні досить проблематично, т.к. за наявності коренів, хоча один із них є дробовим числом. А працювати з підбором дробів досить складно. Але все ж таки вихід є.

Розглянемо повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Помножимо його ліву та праву частини на коефіцієнт a. Рівняння набуде вигляду (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Тепер введемо нову змінну, наприклад t = ax.

У цьому випадку отримане рівняння перетворитися на наведене квадратне рівняння виду t 2 + bt + ac = 0, коріння якого t 1 і t 2 (за їх наявності) може бути визначено за теоремою Вієта.

У цьому випадку коріння вихідного квадратного рівняння буде

x 1 = (t 1 /a) та x 2 = (t 2 / a).

Приклад 3.

Розв'язати рівняння 15x2 – 11x+2=0.

Рішення.

Складаємо допоміжне рівняння. Помножимо кожне доданок рівняння на 15:

15 2 x 2 - 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Робимо заміну t = 15x. Маємо:

t 2 - 11t + 30 = 0.

За теоремою Вієта корінням даного рівняння будуть t 1 = 5 і t 2 = 6.

Повертаємося до заміни t = 15x:

5 = 15x або 6 = 15x. Таким чином, x 1 = 5/15 та x 2 = 6/15. Скорочуємо та отримуємо остаточну відповідь: x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.

Відповідь. x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.

Щоб освоїти розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта, учням необхідно якнайбільше тренуватися. Саме в цьому полягає секрет успіху.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай ми маємо наведене квадратне рівняння виду x^2+b*x + c = 0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді за теоремою такі твердження допустимі:

1) Сума коренів x1 і x2 дорівнюватиме негативному значенню коефіцієнта b.

2) Твір цього самого коріння даватиме нам коефіцієнт c .

Але що таке наведене рівняння

Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння, коефіцієнт старшого ступеня, який дорівнює одиниці, тобто. це рівняння виду x^2 + b * x + c = 0. (А рівняння a * x ^ 2 + b * x + c = 0 ненаведене). Іншими словами, щоб привести рівняння до наведеного виду, ми повинні розділити це рівняння на коефіцієнт при старшому ступені (a). Завдання привести дане рівняння до наведеного вигляду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5 * x ^ 2 + 7,5 * x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Поділимо кожне рівняння на коефіцієнт старшого ступеня, отримаємо:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Як можна побачити з прикладів, навіть рівняння, що містять дроби, можна привести до наведеного вигляду.

Використання теореми Вієта

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1 * x2 = 6;

одержуємо коріння: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1 * x2 = 8;

в результаті одержуємо коріння: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 * x2 = 4;

одержуємо коріння: x1 = −1; x2 = -4.

Значення теореми Вієта

Теорема Вієта дозволяє вирішити будь-яке квадратне наведене рівняння практично за секунди. На перший погляд це здається досить складним завданням, але після 5-10 рівнянь, можна навчитися бачити коріння відразу.

З наведених прикладів, і користуючись теоремою, видно як можна значно спростити розв'язання квадратних рівнянь, адже використовуючи цю теорему, можна вирішити квадратне рівняння практично без складних розрахунків і обчислення дискримінанта, а як відомо чим менше розрахунків, тим складніше припуститися помилки, що важливо.

У всіх прикладах ми використовували це правило, спираючись на два важливі припущення:

Наведене рівняння, тобто. коефіцієнт при старшому ступені дорівнює одиниці (ця умова легко уникнути. Можна використовувати ненаведений вид рівняння, тоді будуть допустимі наступні твердження x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, але зазвичай складніше вирішувати:))

Коли рівняння матиме два різні корені. Ми припускаємо, що нерівність вірна і дискримінант строго більше за нуль.

Тому ми можемо скласти загальний алгоритм рішення з теореми Вієта.

Загальний алгоритм рішення з теореми Вієта

Наводимо квадратне рівняння до виду, якщо рівняння дано нам у ненаведеному вигляді. Коли коефіцієнти у квадратному рівнянні, яке раніше ми представили як наведене, вийшли дробовими (не десятковими), то тут слід вирішувати наше рівняння через дискримінант.

Також трапляються випадки коли повернення до початкового рівняння дозволяє нам працювати зі “зручними” числами.

Теорема Вієта (точніше, теорема, обернена до теореми Вієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми говоритимемо лише про рішення за теоремою Вієта наведеного квадратного рівняння. Наведене квадратне рівняння — це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.

Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння

При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.

I. Якщо q - позитивне число,

це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

І.а. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

ІІ. Якщо q - від'ємне число,

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел від'ємне число виходить лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знаками ми віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше за інший (за модулем).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.

Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Розв'язати наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q=12>0, тому коріння x1 і x2 числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Отже, 3 і 4 — коріння рівняння.

У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

За допомогою цієї математичної програми ви можете розв'язати квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь задачі, а й відображає процес розв'язання двома способами:
- за допомогою дискримінанта
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому відповідь виводиться точна, а не наближена.
Наприклад, для рівняння $81x^2-16x-1=0$ відповідь виводиться у такій формі:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ а не такою: $x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05 $

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного багаточлена, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення квадратного багаточлена

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 $

При введенні виразу можна використовувати дужки. У цьому випадку при розв'язанні квадратного рівняння введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Вирішити

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння та його коріння. Неповні квадратні рівняння

Кожне із рівнянь
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
має вигляд
$ax^2+bx+c=0, $
де x – змінна, a, b та c – числа.
У першому рівнянні a = -1, b = 6 та c = 1,4, у другому a = 8, b = -7 та c = 0, у третьому a = 1, b = 0 та c = 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
Квадратним рівняннямназивається рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому (a \neq 0 \).

Числа a, b та c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b – другим коефіцієнтом та число c – вільним членом.

У кожному із рівнянь виду ax 2 +bx+c=0, де (a \neq 0 \), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси й назва квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, оскільки його ліва частина є багаточленом другого ступеня.

Квадратне рівняння, у якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Якщо у квадратному рівнянні ax 2 +bx+c=0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неповні квадратні рівняння. У першому їх b=0, у другому c=0, у третьому b=0 і c=0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 +c=0, де (c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, де (b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного із цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 +c=0 при (c \neq 0 \) переносять його вільний член у праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Оскільки $c \neq 0 $, то $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Якщо $-\frac(c)(a)>0 $, то рівняння має два корені.

Якщо $-\frac(c)(a) Для розв'язання неповного квадратного рівняння виду ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 $ розкладають його ліву частину на множники і одержують рівняння
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

Отже, неповне квадратне рівняння виду ax 2 +bx=0 при (b \neq 0 \) завжди має два корені.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 = 0 рівносильне рівнянню x 2 = 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнти за невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати під час вирішення будь-якого квадратного рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння ax 2 +bx+c=0

Розділивши обидві його частини на a, отримаємо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Підкорене вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0 («дискримінант» латиною - розрізняльник). Його позначають буквою D, тобто.
$D = b^2-4ac $

Тепер, використовуючи позначення дискримінанта, перепишемо формулу для коріння квадратного рівняння:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, де $D= b^2-4ac $

Очевидно, що:
1) Якщо D>0, то квадратне рівняння має два корені.
2) Якщо D=0, то квадратне рівняння має один корінь $x=-\frac(b)(2a) $.
3) Якщо D Таким чином, залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння може мати два корені (при D > 0), один корінь (при D = 0) або не мати коріння (при D При вирішенні квадратного рівняння за даною формулою доцільно чинити наступним чином:
1) обчислити дискримінант та порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант негативний, то записати, що коріння немає.

Теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x+10=0 має коріння 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Такою властивістю має будь-яке наведене квадратне рівняння, що має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Тобто. теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0 мають властивість:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

Одним із методів розв'язків квадратного рівняння є застосування формули ВІЄТА, яку назвали на честь Франсуа Вієта.

Він був відомим юристом і служив у 16 столітті у французького короля. У вільний час займався астрономією та математикою. Він встановив зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння.

Переваги формули:

1 . Застосувавши формулу, можна швидко знайти рішення. Тому що не потрібно вводити в квадрат другий коефіцієнт, потім віднімати 4ас, знаходити дискримінант, підставляти його значення в формулу для знаходження коренів.

2 . Без рішення можна визначити знаки коріння, підібрати значення коренів.

3 . Вирішивши систему з двох записів, нескладно знайти саме коріння. У наведеному квадратному рівнянні сума коренів дорівнює значенню другого коефіцієнта зі знаком мінус. Добуток коренів у наведеному квадратному рівнянні дорівнює значенню третього коефіцієнта.

4 . За цим корінням записати квадратне рівняння, тобто вирішити обернену задачу. Наприклад, цей спосіб застосовують при вирішенні задач у теоретичній механіці.

5 . Зручно застосовувати формулу, коли старший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Недоліки:

1 . Формула не є універсальною.