Теорія суперструн. Хокінг про квантову космологію

Вступ……………………………………………………………….…….……3

1. Основи струнної теорії……………………………….....……..............5

2. D-брани……………………………………………………………………8

3. Додаткові виміри…………………………………….…..….10

4. Дуальність…………………………………………………………….…13

5. М-теорія……………………………………………………………….…15

6. Чорні діри………………………………………………………….….18

Заключение………………………………………………………………….……21

Список використаної литературы………………………………….………..24

Вступ

Струнна теорія - одна з найбільш чудових і глибоких теорій у сучасній теоретичній фізиці. На жаль, це все ж таки досить важка для розуміння річ, зрозуміти яку можна лише з позицій квантової теорії поля. Чи не зашкодить розумінню і знання математики типу теорії груп, диференціальної геометрії і т.д. Таким чином, для більшості вона залишається "річчю в собі".

Я обрала цю тему, тому що струнна теорія - область знань, що динамічно розвивається, і до цього дня; щодня приносить щось нове про неї. Ця галузь знань досить цікава, оскільки ми не стикаємося з нею у звичайні дні. Метою даної доповіді є виявити інтерес слухачів до питань, наведених нижче. Поки ми не знаємо точно, чи струнна теорія описує наш Всесвіт, і в яких межах. Але вона цілком може її описувати, що можна побачити у цій доповіді.

Хоча Стандартна Модель і описує більшість явищ, які ми можемо спостерігати з використанням сучасних прискорювачів, все ж таки багато питань, що стосуються Природи, залишаються без відповіді. Мета сучасної теоретичної фізики полягає саме у поєднанні описів Всесвіту. Історично цей шлях досить вдалий. Наприклад, Спеціальна Теорія Відносності Ейнштейна об'єднала електрику та магнетизм в електромагнітну силу. У роботі Глешоу, Вайнберга та Салама, яка отримала Нобелівську премію 1979 року, показано, що електромагнітна та слабка взаємодії можуть бути об'єднані в електрослабку. Далі є всі підстави вважати, що всі сили в рамках Стандартної Моделі з'єднуються. Якщо ми почнемо порівнювати сильну та електрослабку взаємодії, то нам доведеться йти в області все більших енергій, поки вони не зрівняються по силі в районі

Мета теорії струн полягає якраз у поясненні знака. ? на діаграмі вище.

Характерний енергетичний масштаб для квантової гравітації називається Планківською масою і виражається через постійну Планку, швидкість світла та гравітаційну постійну наступним чином:

• Яким є походження відомих нам 4-х сил Природи?
• Чому маси та заряди частинок саме такі, які вони є?
• Чому ми живемо у просторі з чотирма просторовими вимірами?
• Яка природа простору-часу та гравітації?

Якраз на ці запитання я спробую відповісти у своїй роботі.

1.Основи струнної теорії

Ми звикли думати про елементарні частинки (типу електрона) як про точкові 0-мірні об'єкти. Дещо загальнішим є поняття фундаментальних струн як 1-мірних об'єктів. Вони нескінченно тонкі, а довжина їхнього порядку

Струни бувають відкритими та замкнутими. Рухаючись у просторі-часі, вони покривають поверхню, яку називають світовим листом.

Ці струни мають певні коливальні моди, які визначають властиві частинці квантові числа, такі, як маса, спин, тощо. Основна ідея полягає в тому, що кожна мода несе в собі набір квантових чисел, що відповідають певному типу частинок. Це і є остаточне об'єднання – всі частинки можуть бути описані через один об'єкт – струну!

Як приклад розглянемо замкнуту струну, яка виглядає так:

Така струна відповідає безмасовому гравітону зі спином 2 - частинкою, яка переносить гравітаційну взаємодію. До речі, це одна з особливостей струнної теорії - вона природно і неминуче включає гравітацію як одну з фундаментальних взаємодій.

Струни взаємодіють шляхом поділу та злиття. Наприклад, анігіляція двох замкнутих струн в одну замкнуту виглядає так:

Зазначимо, що поверхня світового листа – гладка поверхня. З цього випливає ще одна "хороша" властивість струнної теорії - в ній немає ряду розбіжностей, властивих квантовій теорії поля з точковими частинками. Фейнманівська діаграма для такого самого процесу

містить топологічну сингулярність у точці взаємодії.

Якщо ми "склеєм" дві найпростіші струнні взаємодії між собою, то отримаємо процес, в якому дві замкнуті струни взаємодіють через об'єднання в проміжну замкнуту струну, яка потім знову розпадається на дві:

Цей основний внесок у процес взаємодії називається деревним наближенням. Для того, щоб обчислити квантовомеханічні амплітуди процесів, використовуючи теорію збурень, додають вклади від квантових процесів вищих порядків. Теорія обурень дає хороші результати, оскільки вклади стають дедалі менше, коли ми використовуємо дедалі вищих порядків. Навіть якщо обчислити лише перші кілька діаграм, можна отримати досить точні результати. У струнної теорії вищі порядки відповідають більшій кількості дірок (або "ручок") на світових аркушах.

Добре в цьому підході те, що кожному порядку теорії збурення відповідає лише одна діаграма (наприклад, теоретично поля з точковими частинками число діаграм зростає експоненційно у вищих порядках). Погано те, що точні розрахунки діаграм із більш ніж двома дірками дуже складні через складність математичного апарату, використовуваного під час роботи з подібними поверхнями. Теорія обурень дуже корисна для дослідження процесів зі слабким зв'язком, і більшість відкриттів у сфері фізики елементарних частинок і струнної теорії пов'язані саме з нею. Однак все це ще далеко від завершення. Відповіді на найглибші питання теорії можна буде отримати лише після завершення точного опису цієї теорії.

2.D-брани

У струн можуть бути цілком довільні умови на кордоні. Наприклад, замкнута струна має періодичні граничні умови (струна "переходить сама в себе"). У відкритих струн можуть бути два типи граничних умов - умови Неймана і умови Діріхле. У першому випадку кінець струни може вільно рухатися, щоправда, не забираючи при цьому імпульсу. У другому випадку кінець струни може рухатися по деякому різноманіттю. Це різноманіття і називається D-браною або Dp-браною (при використанні другого позначення "p" - ціле число, що характеризує кількість просторових вимірювань різноманіття). Приклад - дві струни, у яких один або обидва кінці закріплені на 2-мірній D-брані або D2-брані:

D-брани можуть мати число просторових вимірів від -1 до числа просторових вимірів нашого простору-часу. Наприклад, у теорії суперструн 10 вимірів - 9 просторових та одне тимчасове. Таким чином, у суперструнах що максимум може існувати, це D9-брана. Зазначимо, що в цьому випадку кінці струн фіксовані на різноманітті, що покриває весь простір, тому вони можуть рухатися всюди, так що насправді накладено умову Неймана! У разі p=-1 усі просторові та часові координати фіксовані, і така конфігурація називається інстантоном або D-інстантоном. Якщо p=0, то всі просторові координати фіксовані, і кінець струни може існувати лише в одній точці в просторі, так що D0-брани часто називають D-частинками. Абсолютно аналогічно D1-брани називають D-струнами. До речі, саме слово "брана" походить від слова "мембрана", яким називають 2-мірні брани, або 2-брани.

Теорія суперструн

Коротко про теорію суперструн

Теорія ця виглядає настільки дико, що, цілком можливо, вона правильна!

Різні версії теорії струн сьогодні розглядаються як головні претенденти на звання всеосяжної універсальної теорії, що пояснює природу всього сущого. А це - свого роду Священний Грааль фізиків-теоретиків, які займаються теорією елементарних частинок та космології. Універсальна теорія (вона ж теорія всього сущого) містить всього кілька рівнянь, які поєднують у собі всю сукупність людських знань про характер взаємодій та властивості фундаментальних елементів матерії, з яких побудовано Всесвіт. Сьогодні теорію струн вдалося об'єднати з концепцією суперсиметрії, внаслідок чого народилася теорія суперструн, і на сьогоднішній день це максимум того, що вдалося досягти в плані об'єднання теорії всіх чотирьох основних взаємодій (діючих у природі сил). Сама по собі теорія суперсиметрії вже побудована на основі апріорної сучасної концепції, згідно з якою будь-яка дистанційна (польова) взаємодія зумовлена ​​обміном частинками-носіями взаємодії відповідного роду між взаємодіючими частинками (Стандартна модель). Для наочності взаємодіючі частки можна вважати «цеглинами» світобудови, а частинки-носії – цементом.

У рамках стандартної моделі в ролі цегли виступають кварки, а в ролі носіїв взаємодії - калібрувальні бозони, якими ці кварки обмінюються між собою Теорія ж суперсиметрії йде ще далі і стверджує, що й самі кварки та лептони не фундаментальні: всі вони складаються з ще більш важких і не відкритих експериментально структур (цеглинок) матерії, скріплених ще міцнішим «цементом» наденергетичних частинок-носіїв взаємодій, ніж кварки у складі адронів та бозонів. Природно, в лабораторних умовах жодне з передбачень теорії суперсиметрії досі не перевірено, проте приховані гіпотетичні компоненти матеріального світу вже мають назви - наприклад, електрон(Суперсиметричний напарник електрона), скваркі т. д. Існування цих частинок, однак, теоріями такого роду передбачається однозначно.

Картину Всесвіту, пропоновану цими теоріями, проте, досить легко уявити наочно. У масштабах близько 10 -35 м, тобто на 20 порядків менше діаметра того ж протона, до складу якого входять три пов'язані кварки, структура матерії відрізняється від звичної нам навіть на рівні елементарних частинок. На настільки малих відстанях (і при настільки високих енергіях взаємодій, що це й уявити немислимо) матерія перетворюється на серію польових стоячих хвиль, подібних до тих, що порушуються в струнах музичних інструментів. Подібно до гітарної струни, в такій струні можуть збуджуватися, крім основного тону, безліч обертонівабо гармонік.Кожній гармоніці відповідає власний енергетичний стан. Згідно принципом відносності(Теорія відносності), енергія і маса еквівалентні, а значить, чим вище частота гармонійної хвильової вібрації струни, тим вище його енергія, і тим вище маса частки, що спостерігається.

Однак, якщо стоячу хвилю в гітарній струні уявити наочно досить просто, стоячі хвилі, пропоновані теорією суперструн наочному уявленню піддаються насилу - справа в тому, що коливання суперструн відбуваються в просторі, що має 11 вимірювань. Ми звикли до чотиривимірного простору, який містить три просторові та один тимчасовий вимір (вліво-вправо, вгору-вниз, вперед-назад, минуле-майбутнє). У просторі суперструн все набагато складніше (див. вставку). Фізики-теоретики обходять слизьку проблему «зайвих» просторових вимірів, стверджуючи, що вони «приховуються» (або, висловлюючись науковою мовою, «компактифікуються») і тому не спостерігаються при звичайних енергіях.

Зовсім уже недавно теорія струн отримала подальший розвиток у вигляді теорії багатовимірних мембран- по суті, це самі струни, але плоскі. Як схожий пожартував хтось із її авторів, мембрани відрізняються від струн приблизно тим же, чим локшина відрізняється від вермішелі.

Ось, мабуть, і все, що можна коротко розповісти про одну з теорій, не безпідставно претендують на сьогодні на звання універсальної теорії Великого об'єднання всіх силових взаємодій. На жаль, і ця теорія небезгрішна. Перш за все, вона досі не приведена до суворого математичного вигляду через недостатність математичного апарату для її приведення до суворої внутрішньої відповідності. Пройшло вже 20 років, як ця теорія з'явилася на світ, а несуперечливо узгодити одні її аспекти та версії з іншими так нікому і не вдалося. Ще неприємніше те, що ніхто з теоретиків, що пропонують теорію струн (і, тим більше суперструн) досі не запропонував жодного досвіду, на якому ці теорії можна було б перевірити лабораторно. На жаль, боюся, що доти, доки вони цього не зроблять, вся їхня робота так і залишиться химерною грою фантазії та вправами в осягненні езотеричних знань за межами основного русла природознавства.

Введення в суперструни

переклад Сергія Павлюченка

Струнна теорія - одна з найбільш чудових і глибоких теорій у сучасній теоретичній фізиці. На жаль, це все ж таки досить важка для розуміння річ, зрозуміти яку можна лише з позицій квантової теорії поля. Не зашкодить розумінню і знання математики типу теорії груп, диференціальної геометрії і т.д. Таким чином, для більшості вона залишається "річчю в собі".

Це введення призначене всім, хто цікавиться як "читабельне" коротке введення в основні концепції струнної теорії. На жаль, нам доведеться платити строгістю та повнотою за доступність викладу. Сподіваємося, воно дасть Вам відповіді на найпростіші питання щодо струнної теорії, і Ви перейметеся красою цієї галузі науки.

Струнна теорія - область знань, що динамічно розвивається, і до цього дня; щодня приносить щось нове про неї. Поки ми не знаємо точно, чи описує струнна теорія наш Всесвіт і в яких межах. Але вона цілком може її описувати, що видно з цього огляду.

Оригінальна версія знаходиться на http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html.

Чому саме струнна теорія?

Характерний енергетичний масштаб для квантової гравітації називається Планківською масоюі виражається через постійну Планку, швидкість світла та гравітаційну постійну наступним чином:

Можна припустити, що у своєму остаточному вигляді струнна теорія дасть відповіді на такі питання:

• Яким є походження відомих нам 4-х сил Природи?
• Чому маси та заряди частинок саме такі, які вони є?
• Чому ми живемо у просторі з чотирма просторовими вимірами?
• Яка природа простору-часу та гравітації?

  Основи струнної теорії

  Ми звикли думати про елементарні частинки (типу електрона) як про точкові 0-мірні об'єкти. Дещо загальнішим є поняття фундаментальних струняк 1-мірних об'єктів. Вони нескінченно тонкі, а довжина їхнього порядку. Але це просто мізерно мало в порівнянні з довжинами, з якими ми зазвичай маємо справу, тому можна вважати, що вони практично точкові. Але, як ми побачимо, їхня струнна природа досить важлива.

  Струни бувають відкритимиі замкнутими. Рухаючись у просторі-часі, вони покривають поверхню, яку називають світовим листом.

  

  Ці струни мають певні коливальні моди, які визначають властиві частинці квантові числа, такі, як маса, спин, тощо. Основна ідея полягає в тому, що кожна мода несе в собі набір квантових чисел, що відповідають певному типу частинок. Це і є остаточне об'єднання – всі частинки можуть бути описані через один об'єкт – струну!

  Як приклад розглянемо замкнуту струну, яка виглядає так:

  Така струна відповідає безмасовому гравітонузі спином 2 - частки, що переносить гравітаційну взаємодію. До речі, це одна з особливостей струнної теорії - вона природно і неминуче включає гравітацію як одне з фундаментальних взаємодій.

  Струни взаємодіють шляхом поділу та злиття. Наприклад, анігіляція двох замкнутих струн в одну замкнуту виглядає так:

  
  

  Зазначимо, що поверхня світового листа – гладка поверхня. З цього випливає ще одна "хороша" властивість струнної теорії - в ній немає ряду розбіжностей, властивих квантової теорії поля з точковими частинками. Фейнманівська діаграма для такого самого процесу

  

  містить топологічну сингулярність у точці взаємодії.

  Якщо ми "склеєм" дві найпростіші струнні взаємодії між собою, то отримаємо процес, в якому дві замкнуті струни взаємодіють через об'єднання в проміжну замкнуту струну, яка потім знову розпадається на дві:
  

  Цей основний внесок у процес взаємодії називається деревним наближенням. Для того, щоб обчислити квантовомеханічні амплітуди процесів використовуючи теорію обуреньдодають вклади від квантових процесів вищих порядків. Теорія обурень дає хороші результати, оскільки вклади стають дедалі менше, коли ми використовуємо дедалі вищих порядків. Навіть якщо обчислити лише перші кілька діаграм, можна отримати досить точні результати. У струнної теорії вищі порядки відповідають більшій кількості дірок (або "ручок") на світових аркушах.
  
  

  Добре в цьому підході те, що кожному порядку теорії обурення відповідає тільки одна діаграма (наприклад, в теорії поля з точковими частинками число діаграм зростає експоненційно у вищих порядках). Погано те, що точні розрахунки діаграм із більш ніж двома дірками дуже складні через складність математичного апарату, використовуваного під час роботи з подібними поверхнями. Теорія обурень дуже корисна при дослідженні процесів зі слабким зв'язком, і велика частина відкриттів у галузі фізики елементарних частинок і струнної теорії пов'язана саме з нею. Однак все це ще далеко від завершення. Відповіді на найглибші питання теорії можна буде отримати лише після того, як буде завершено точний опис цієї теорії.

  D-брани

  У струн можуть бути цілком довільні умови на кордоні. Наприклад, замкнута струна має періодичні граничні умови (струна "переходить сама в себе"). У відкритих струн можуть бути два типи граничних умов - умови Нейманата умови Діріхле. У першому випадку кінець струни може вільно рухатися, щоправда, не забираючи при цьому імпульсу. У другому випадку кінець струни може рухатися по деякому різноманіттю. Це різноманіття і називається D-браноюабо Dp-браною(При використанні другого позначення "p" - ціле число, що характеризує кількість просторових вимірювань різноманіття). Приклад - дві струни, у яких один або обидва кінці закріплені на 2-мірній D-брані або D2-брані:

  

  D-брани можуть мати число просторових вимірів від -1 до числа просторових вимірів нашого простору-часу. Наприклад, в теорії суперструн 10 вимірів - 9 просторових і одне тимчасове. Таким чином, у суперструнах що максимум може існувати, це D9-брана. Зазначимо, що в цьому випадку кінці струн фіксовані на різноманітті, що покриває весь простір, тому вони можуть рухатися всюди, так що насправді накладено умову Неймана! У разі p=-1 всі просторові та часові координати фіксовані, і така конфігурація називається інстантономабо D-інстантоном. Якщо p=0, то всі просторові координати фіксовані, і кінець струни може існувати лише в одній єдиній точці у просторі, так що D0-брани найчастіше називають D-частинками. Абсолютно аналогічно D1-брани називають D-струнами. До речі, саме слово "брана" походить від слова "мембрана", яким називають 2-мірні брани, або 2-брани.

  Насправді D-лайки динамічні, вони можуть флуктуювати і рухатися. Наприклад, вони взаємодіють гравітаційно. На діаграмі нижче можна побачити, як одна замкнута струна (у нашому випадку гравітон) взаємодіє з D2-браною. Особливо варто відзначити той факт, що при взаємодії замкнута струна стає відкритою з обома кінцями на D-брані.
  
  
  Так що, струнна теорія це щось більше, ніж просто теорія струн!

  Додаткові виміри

  Суперструни існують у 10-мірному просторі-часі, у той час як ми живемо у 4-мірному. І якщо суперструни описують наш Всесвіт, нам необхідно якось зв'язати між собою два ці простори. Для цього згорнемо 6 вимірів до дуже маленького розміру. Якщо при цьому розмір компактного виміру виявиться порядку розміру струн (), то через небагато цього виміру просто не зможемо його безпосередньо побачити. Зрештою ми отримаємо наш (3+1)-мірний простір, в якому кожній точці нашого 4-мірного Всесвіту відповідає крихітний 6-мірний простір. Дуже схематично це представлено на малюнку знизу:

  

  Насправді це досить стара ідея, яка сягає робіт Калуци (Kaluza) та Клейна (Klein) 1920-х років. При цьому описаний вище механізм називають теорією Калуци-Клейнаабо компактифікацією. У самій роботі Калуци показано, що якщо ми візьмемо теорію відносності в 5-мірному просторі-часі, потім згорнемо один вимір в коло, то отримаємо 4-мірний простір-час з теорією відносності плюс електромагнетизм! А так виходить через те, що електромагнетизм це U(1) калібрувальна теорія. U(1) це група обертань навколо точки на площині. Механізм Калуци-Клейна дає просту геометричну інтерпретацію цього кола - це той самий згорнутий п'ятий вимір. Хоча згорнуті вимірювання і малі для прямого детектування, проте вони можуть мати глибокий фізичний зміст. [Зовсім випадково просочившись у пресу, робота Калуци та Клейна викликала багато розмов з приводу п'ятого виміру.]

  Як ми зможемо дізнатися, чи є насправді додаткові виміри і як ми зможемо їх "відчути", маючи прискорювачі з досить високими енергіями? З квантової механіки відомо, що й простір періодично, то імпульс квантований: , тоді як простір необмежено, то спектр значень імпульсу безперервний. Якщо зменшувати радіус компактифікації (розмір додаткових вимірювань), діапазон дозволених значень імпульсу буде збільшуватися. Так отримують вежу станів імпульсу – вежу Калуци Клейна.

  

  А якщо радіус кола взяти дуже великим ("декомпактифікуємо" вимір), то діапазон можливих значень імпульсу буде досить вузьким, але буде "майже безперервним". Такий спектр схожий на спектр мас світу без компактифікацій. Наприклад, безмасові у більшій кількості вимірювань стану у меншому числі вимірювань виглядатимуть саме як описана вище вежа станів. Тоді має спостерігатися "набір" частинок з масами, рівновідданими один від одного. Щоправда, для того, щоб "побачити" найпотужніші частинки, необхідні прискорювачі, значно кращі за ті, які ми зараз маємо.

  У струн є ще одна чудова властивість - вони можуть намотуватися на компактифікований вимір, що призводить до появи оборотних моду спектрі мас. Замкнена струна може обернутися навколо компактифікованого виміру цілу кількість разів. Аналогічно випадку Калуци-Клейна вони дають внесок у імпульс як . Істотна різниця полягає саме в іншому зв'язку з радіусом компактифікації. В цьому випадку для малих розмірів додаткових вимірів оборотні моди стають дуже легкими!
  
  

  Тепер нам необхідно перейти до нашого 4-мірного простору. Для цього нам потрібна 10-мірна суперструнна теорія на 6-мірному компактному різноманітті. Природно, що при цьому описана вище картина стає складнішою. Найпростіше покласти, що всі ці 6 вимірів - 6 кіл, таким чином всі вони є 6-мірним тором. Більше того, така схема дозволяє зберегти суперсиметрію. Вважається, що деяка суперсиметрія існує і в нашому 4-мірному просторі на енергетичних масштабах близько 1 ТеВ (саме на цих енергіях останнім часом і шукають суперсиметрію на сучасних прискорювачах). Для того, щоб зберегти мінімальну суперсиметрію, N=1 у 4-мірії, компактифікувати треба на спеціальному 6-мірному різноманітті, що називається різноманітністю Калабі-Йо (Calabi-Yau manifold).

  Властивості різноманіття Калабі-Йо можуть мати важливі додатки до фізики низьких енергій - до частинок, які ми спостерігаємо, їх мас і квантових чисел, а також до поколінь частинок. Проблемою тут є те, що, взагалі кажучи, існує безліч різноманітностей Калабі-Йо, і ми не знаємо, яке з них треба використовувати. У цьому сенсі, маючи фактично одну 10-мірну струнну теорію ми отримуємо, що 4-мірна теорія стає зовсім не єдино можливою, принаймні, на нашому (ще неповному) рівні розуміння. "Струнні люди" (вчені, що працюють в галузі струнних теорій) покладають надії на те, що володіючи повною непертурбативною теорією струн (теорією, НЕ побудованою на обуреннях, описаних дещо вище), ми зможемо пояснити, як Всесвіт перейшов від 10- мірної фізики, яка, можливо, мала місце протягом високоенергетичного періоду одразу після Великого Вибуху, до 4-мірної, з якою ми маємо справу зараз. [Іншими словами, ми знайдемо єдине різноманіття Калабі-Йо.] Андрій Стромінгер (Andrew Strominger) показав, що різноманіття Калабі-Йо можна безперервно пов'язати один з одним через конічних перетворень (conifold transitions)і, таким чином, можна рухатися між різними різноманіттями Калабі-Йо, змінюючи параметри теорії. Але це передбачає можливість того, що різні 4-мірні теорії, що виникають від різних різноманітностей Калабі-Йо, є різними фазами однієї теорії.

  Дуальність

  П'ять описаних вище суперструнних теорій виявляються дуже різними з точки зору слабо-пов'язаної пертурбативної теорії (теорії збурень, розвиненої вище). Але насправді, як з'ясувалося в останні кілька років, всі вони пов'язані між собою різними струнними дуальностями. Назвемо теорії дуальнимиякщо вони описують ту саму фізику.

  Перший тип дуальності, яку ми тут обговоримо, - Т-дуальність (T-duality). Такий тип дуальності пов'язує теорію, компактифіковану на колі радіуса, з теорією, компактифікованою на колі радіуса. Таким чином, якщо в одній теорії простір згорнуто в коло малого радіусу, то в іншій воно буде згорнуто в коло великого радіусу, але обидві вони описуватимуть одну і ту ж фізику! Суперструнні теорії типу IIA і типу IIB пов'язані через Т-дуальність, SO(32) і E8 x E8 гетеротичні теорії також пов'язані через неї.

  Ще одна дуальність, яку ми розглянемо S-дуальність. Простіше кажучи, ця дуальність пов'язує межу сильного зв'язку однієї теорії з межею слабкого зв'язку іншої теорії. (Зазначимо, що при цьому слабо пов'язані описи обох теорій можуть дуже відрізнятися.) Наприклад, SO(32) Гетеротична струнна теорія і теорія Типу I S-дуальні в 10-мерії. Це означає, що в межі сильного зв'язку SO(32) Гетеротична теорія переходить у теорію Типу I в межі слабкого зв'язку і навпаки. Знайти свідчення дуальності між сильним і слабким межами можна, порівнявши спектри легких станів у кожній з картин і виявивши, що вони узгоджуються між собою. Наприклад, у струнній теорії Типу I є D-струна, яка важка при слабкому зв'язку і легка при сильній. Ця D-струна переносить ті ж легкі поля, що і світовий лист SO(32) Гетеротичної струни, так що коли теорія Типу I дуже сильно пов'язана, D-струна стає дуже легкою, і ми просто побачимо, що опис стає таким же, як і через слабко пов'язану гетеротичну струну. Інший S-дуальністю в 10-мерії є самодуальність IIB струн: межа IIB струни це просто інша IIB теорія, але слабо пов'язана. У IIB теорії теж є D-струна (правда, більш суперсиметрична, ніж D-струни теорії Типу I, так що і фізика тут інша), яка стає легкою при сильному зв'язку, але ця D-струна також є іншою фундаментальною струною теорії ії Типу IIB.

  

  Дуальності між різними струнними теоріями є свідченням того, що всі вони просто різні межі однієї теорії. Кожна з меж має свою застосовність, і різні межі різних описів перетинаються. Що це за М-теорія, представлена ​​на зображенні? Читайте далі!

  М-теорія

  При низьких енергіях М-теорія описується теорією, званою 11-мірною супергравітацією. У цій теорії є мембрана і п'ятьбрана як солітони, але немає струн. Як же нам можна тут отримати струни, що вже полюбилися нам? Можна компактифікувати 11-мірну М-теорію на колі малого радіусу для отримання 10-вимірної теорії. Тоді якщо наша мембрана мала топологію тора, то згортаючи одне з цих кіл, ми отримаємо замкнуту струну! У межі, коли радіус дуже малий, ми отримуємо суперструну типу IIA.

  

  Але як ми дізнаємося, що М-теорія на колі дасть саме суперструну Типу IIA, а не IIB чи гетеротичні суперструни? Відповідь на це питання можна отримати після ретельного аналізу безмасових полів, які ми отримуємо внаслідок компактифікації 11-вимірної супергравітації на колі. Інший простою перевіркою може бути виявлення того, що D-брана з М-теорії унікальна для IIA теорії. Згадаємо, що IIA теорія містить D0, D2, D4, D6, D8-брани і NS п'ятьбрану. Наступна таблиця узагальнює все сказане вище:
  

  Тут опущені D6 та D8-брани. D6-брану можна проінтерпретувати як "монополь Калуци-Клейна", який є спеціальним рішенням 11-мірної супергравітації при компактифікації на коло. D8-брана не має ясної інтерпретації в термінах М-теорії, це все ще відкрите питання.

  Інший шлях для отримання узгодженої 10-мірної теорії - компактифікація М-теорії на маленький відрізок. Це означає, що ми припускаємо, що один із вимірів (11-е) має кінцеву довжину. При цьому кінці відрізка визначають межі 9 просторових вимірів. На цих межах можна збудувати відкриту мембрану. Так як перетин мембрани з кордоном - струна, то можна бачити, що (9+1)-мірний "світовий обсяг" (worldvolume) може містити струни, що "стирчать" з мембрани. Після всього цього, щоб уникнути аномалій, необхідно, щоб кожна з кордонів несла на собі калібрувальну групу E8. Отже, якщо зробимо простір між кордонами дуже маленьким, ми отримаємо 10-мірну теорію зі струнами та E8 x E8 калібрувальною групою. А це є E8 x E8 гетеротична струна!

  

  Таким чином, розглядаючи різні умови та різні дуальності між струнними теоріями, ми прийдемо до того, що в основі всього цього лежить одна теорія. М-теорія. При цьому п'ять суперструнних теорій та 11-мірна супергравітація є її класичними межами. Спочатку ми намагалися отримати відповідні квантові теорії, "розширюючи" класичні межі, використовуючи пертурбативну теорію (теорію обурень). Однак пертурбативна теорія має свої межі застосування, так що, вивчаючи непертурбативні аспекти цих теорій, використовуючи дуальності, суперсиметрію, і т.д. ми приходимо до висновку, що всі вони об'єднані однією єдиною квантовою теорією. Ця єдиність дуже приваблива, так що робота над побудовою повної квантової М-теорії йде повним ходом.
  
  

  Чорні діри

  Класичний опис гравітації - Загальна Теорія Відносності (ОТО) - містить рішення, звані "чорні дірки" (ЧД). Існує досить багато типів чорних дірок, але вони показують подібні загальні властивості. Горизонт подій це поверхня у просторі-часі, яка, простіше кажучи, відокремлює область усередині ЧД від області поза нею. Гравітаційне тяжіння ЧД настільки велике, що ніщо, навіть світло, проникнувши під обрій, не може вирватися назад. Таким чином, класичні ЧД можуть бути описані лише за допомогою таких параметрів як маса, заряд і кутовий момент.

  (Пояснення діаграми Пенроуз а)

  Чорні діри - хороші лабораторії з вивчення струнних теорій, оскільки ефекти квантової гравітації важливі навіть для досить великих чорних дірок. Чорні дірки насправді не "чорні", оскільки вони випромінюють! Використовуючи напівкласичні аргументи Стівен Хокінг показав, що ЧД випромінюють теплове випромінювання зі свого горизонту. Оскільки струнна теорія, окрім іншого ще й теорія квантової гравітації, вона може узгоджено описати ЧД. А ще є ЧД, які задовольняють рівняння руху для струн. Ці рівняння схожі на рівняння з ОТО, але в них є деякі додаткові поля, що прийшли туди зі струн. У суперструнних теоріях є спеціальні рішення типу ЧД, які самі по собі ще й суперсиметричні.

  Одним з найдраматичніших результатів у струнній теорії був висновок формули для ентропії Бекенштейна-ХокінгаЧД, отриманий із розгляду мікроскопічних струнних станів, що формують ЧД. Бекенштейн зазначив, що ЧД підпорядковуються "закону площ", dM = K dA, де "A" - площа горизонту, а "K" - константа пропорційності. Так як повна маса ЧД це її енергія спокою, то ситуація дуже схожа на термодинаміку: dE = T dS, що показав Бекенштейн. Хокінг пізніше у напівкласичному наближенні показав, що температура ЧД дорівнює T = 4k, де "k" - константа, що називається "поверхневою гравітацією". Таким чином, ентропія ЧД може бути переписана як . Більше того, недавно Стромінгер (Strominger) і Вафа (Vafa) показали, що ця формула для ентропії може бути отримана мікроскопічно (аж до фактора 1/4), використовуючи виродження квантових станів струн і D-бран, відповідних певним суперсиметричним ЧД в струнної теорії ІІ. До речі, D-брани дають на малих відстанях опис як за слабкого зв'язку. Наприклад, ЧД, розглянуті Стромінгером і Вафою, описуються 5-бранами, 1-бранами і відкритими струнами, що "живуть" на 1-брані, всі згорнуті в 5-мірний тор, що ефективно дає 1-мірний об'єкт - ЧД.

  

  При цьому хокінгівське випромінювання можна описати в рамках цієї структури, але якщо відкриті струни можуть "подорожувати" в обох напрямках. Відкриті струни взаємодіють між собою і випромінювання випромінюється у формі замкнутих струн.

  

  Точні обчислення показують, що для одних і тих же типів ЧД струнна теорія дає ті ж прогнози, що і напівкласична супергравітація, включаючи нетривіальну поправку, яка залежить від частоти і називається "параметром сірості" ( greybody factor).

  Квантову гравітацію виявлено на Землі?
  

  << Вчера

  Завтра >>

  
  Пояснення:Чи існують окремі порції гравітації? Теорія, відома як квантова механіка, описує закони, яким підпорядковується Всесвіт на малих відстанях, у той час як Загальна теорія відносності Ейнштейна пояснює природу гравітації та Всесвіту у великих масштабах. Досі не було створено теорії, здатної об'єднати їх. Дослідження, нещодавно проведені у Франції, можливо, показали, що гравітація є квантовим полем. Стверджується, що гравітаційне поле Землівиявило свою квантову природу. В експерименті, здійсненому Валерієм Незвижевським з колегами в, було показано, що надхолодні нейтрони, що рухаються в полі тяжіння, виявляються лише на дискретних висотах. Вчені у всьому світі очікують незалежного підтвердження цих результатів. На малюнку показано у штучних кольорах поверхню, яка може утворитися при еволюції одномірної струни. Описуючи елементарні частинки як крихітні струни, багато фізиків працюють над створенням дійсно квантової теорії гравітації.

  (Прим. ред.: Описані в цій замітці експерименти Французьких та Російських фізиків, опубліковані в Nature, 415 , 297 (2002) не мають жодного відношення до квантової гравітації. Їхнє пояснення(як це авторами експериментів, так і наведене в журналі New Scientist і на сайті Physicsweb.org) зовсім інше.

  Експериментатори шукають нові сили, передбачені теоріями суперструн

  Дослідникам з Університету Колорадо (University of Colorado at Boulder) вдалося провести найчутливіший на даний час експеримент з оцінки гравітаційної взаємодії між масами, розділеними відстанню, яка лише вдвічі перевищує товщину людського волосся, але вони не спостерігали при цьому жодних передбачуваних нових сил.

  Отримані результати дозволяють виключити деякі варіанти теорії суперструн, в яких відповідний параметр впливу нових сил з "згорнутих" вимірювань знаходиться в діапазоні від 0,1 до 0,01 мм.

  У теорії струн або суперструн, стрінгів (string theory), яку вважають найперспективнішим підходом до довгоочікуваного великого об'єднання - єдиного опису всіх відомих сил і матерії, передбачається, що все у Всесвіті складено з крихітних петель вібруючих струн. Згідно з різними варіантами теорії суперструн, повинні існувати ще принаймні шість-сім додаткових просторових вимірювань, крім тих трьох, які для нас доступні, і теоретики вважають, що ці додаткові вимірювання згорнуті в маленькі простори. Ця "компактифікація" ("compactification") породжує те, що називають областями модулі (moduli fields), які описують розмір та форму згорнутих вимірювань у кожній точці простору-часу.

  Області модулі впливають, порівняні за силою зі звичайною гравітацією, і згідно з недавніми передбаченнями, вони можуть бути виявлені вже на відстанях близько 0,1 мм. Межа чутливості, досягнута в попередніх експериментах, дозволяла перевірити силу тяжіння між двома масами, розведеними лише на 0,2 мм, тому питання залишалося відкритим. Проте відкритим він залишається і зараз.

  "Якщо ці сили справді існують, то ми тепер знаємо, що вони повинні виявлятися на менших відстанях, ніж ми перевіряли, - пояснює керівник лабораторії, професор Університету Колорадо Джон Прайс (John Price). - Проте ці результати самі по собі не спростовують теор ІІ. Необхідно тільки мати на увазі, що ефект доведеться шукати на більш коротких відстанях і використовувати установки з більш високою чутливістю. Крім того, дослідники запевняють, що подібні експерименти самі по собі і не призначені для того, щоб підтверджувати або спростовувати теорію суперструн. "Ідеї, які ми перевіряємо - це лише деякі можливі сценарії, натхненні струнами, а не точні передбачення власне самої теорії, - заявив Джон Прайс в інтерв'ю Space.com. - Поки що для струнної теорії немає жодної можливості зробити точні передбачення такого роду , І я сказав би, що ніхто не знає, чи буде струнна теорія коли-небудь здатна до цього ". Втім, експерименти на менших відстанях можуть все ж таки "додати більше латок до стьобаної ковдри фізики", і тому дуже важливо продовжувати такого роду дослідження, тому що "щось нове і "дуже фундаментальне" може бути виявлено".

  Експериментальна установка дослідників з Університету Колорадо, названа високочастотним резонатором (high-frequency resonator), була двома тонкими вольфрамовими пластинками (довжиною 20 мм і товщиною 0,3 мм). Одну з цих платівок змусили вагатися із частотою 1000 Гц. Рухи другої платівки, спричинені впливом першої, замірялися дуже чутливою електронікою. Йдеться про сили, що вимірюються у фемтоньютонах (10 –15 н), або про одну мільйонну частину ваги піщинки. Сила тяжіння, що діє на таких невеликих відстанях, виявилася цілком традиційною, яка описується відомим законом Ньютона.

  Професор Прайс має намір продовжити експерименти, щоб спробувати виміряти сили на ще більш коротких відстанях. Щоб зробити наступний крок, колорадські експериментатори видаляють покритий золотом сапфіровий екран між вольфрамовими смужками, який блокував електромагнітні сили, і замінюють його тоншою мідно-берилієвою фольгою, дозволяючи масам зблизитися сильніше. Вони також планують охолодити експериментальне встановлення, щоб зменшити перешкоди від теплових коливань.

  Безвідносно до долі теорії суперструн, ідеї додаткових вимірів, введені в ужиток майже сто років тому (тоді над ними потішалися багато фізиків) стають надзвичайно популярними у зв'язку з кризою стандартних фізичних моделей, не здатних пояснити нові спостереження. Серед найбільш кричучих фактів - прискорене розширення Всесвіту, що має безліч підтверджень. Таємнича нова сила, названа поки що темною енергією (dark energy), розштовхує наш космос, діючи подібно до якоїсь антигравітації. Ніхто не знає, що за фізичне явище є основою цього. Що космологи дійсно знають, так це те, що в той час як гравітація скріплює галактики на "локальному" рівні, таємничі сили розштовхують їх у б про ших масштабах.

  Темна енергія може бути пояснена взаємодіями між вимірами, тими, що ми бачимо, і тими, що поки що від нас приховані, вважають деякі теоретики. На щорічній зустрічі AAAS (American Association for the Advancement of Science – Американській асоціації розвитку науки), проведеній у Денвері на початку місяця, найавторитетніші космологи та фізики висловлювали з цього приводу обережний оптимізм.

  "Є невиразна надія, що новий підхід дозволить вирішити весь комплекс проблем відразу", - каже фізик Шон Керрол (Sean Carroll), доцент з університету Чикаго.

  Всі ці проблеми неминуче групуються навколо гравітації, сила якої була розрахована ще Ньютон понад три століття тому. Гравітація була першою з фундаментальних сил, описаної математично, але вона все ще найбільш погано вивчена. Розроблена в 20-х роках минулого століття квантова механіка добре описує поведінку об'єктів на атомному рівні, але не дуже "дружить" з гравітацією. Справа в тому, що хоча гравітація і діє на великих відстанях, все ж таки вона дуже слабка в порівнянні з іншими трьома фундаментальними силами (електромагнітні, сильні та слабкі взаємодії, які панують у мікросвіті). Розуміння гравітації на квантовому рівні, як очікується, зв'яже квантову механіку з повним описом інших сил.

  Зокрема, вчені довго не могли визначити, чи дійсний закон Ньютона (зворотна пропорційність сили квадрату відстані) на дуже маленьких відстанях, у так званому квантовому світі. Ньютон розвивав свою теорію для астрономічних відстаней, на кшталт взаємодій Сонця з планетами, але тепер виявилося, що він дієвий і в мікросвіті.

  "Те, що відбувається прямо зараз у фізиці елементарних частинок, гравітаційної фізики та космології, дуже нагадує той час, коли квантова механіка почала об'єднуватися", - каже Марія Спіропалу (Maria Spiropulu), дослідник з університету Чикаго, організатор семінару AAAS з фізики додаткових вимірювань (Physics of extra dimensions).

  Вперше вдалося виміряти швидкість гравітації

  

  Російський фізик Сергій Копєйкін, який працює в Університеті Міссурі в Колумбії і американець Едвард Фомалонт (Edward Fomalont) з Національної радіоастрономічної обсерваторії в Шарлоттсвіллі (National Radio Astronomy Observatory in Charlottesville), Вірджинія. Їхній експеримент підтверджує думку більшості фізиків: швидкість гравітації дорівнює швидкості світла. Це уявлення лежить в основі сучасних теорій, у тому числі і Загальної теорії відносності Ейнштейна, але досі нікому не вдавалося виміряти цю величину безпосередньо в експерименті. Дослідження було оприлюднено у вівторок на 201 конференції Американського астрономічного товариства (American Astronomical Society) у Сіетлі. Результати були представлені раніше для публікації в науковий журнал, але були розкритиковані деякими фахівцями. Сам Копєйкін вважає критику необґрунтованою.

  Теорія тяжіння Ньютона виходить із того, що вплив сили тяжіння передається миттєво, але Ейнштейн припустив, що гравітація подорожує зі швидкістю світла. Цей постулат став однією з основ його теорії відносності 1915 року.

  Рівність швидкості гравітації і швидкості світла означає, що, якби Сонце раптово зникло з центру Сонячної системи, Земля залишалася б на своїй орбіті протягом приблизно 8,3 хвилин - такий час потрібен світла, щоб дістатися від Сонця до Землі. Через ці кілька хвилин Земля, відчувши визволення від сонячної гравітації, покинула б свою орбіту і полетіла геть у космос по прямій.

  Як можна виміряти "швидкість тяжкості"? Один із шляхів вирішення цієї проблеми полягає в тому, щоб спробувати виявити гравітаційні хвилі - невелику "брижі" в просторово-часовому континуумі, яка розходиться від будь-яких мас, що рухаються з прискоренням. Різні установки для уловлювання гравітаційних хвиль побудовані вже у безлічі, але жодна з них досі не змогла зареєструвати подібний ефект через виняткову його слабкість.

  Копєйкін пішов іншим шляхом. Він переписав рівняння Загальної теорії відносності таким чином, щоб висловити поле тяжіння тіла, що рухається в термінах його маси, швидкості і швидкості гравітації. Як масивне тіло вирішено було використовувати Юпітер. Досить рідкісний випадок представився у вересні 2002 року, коли Юпітер проходив перед квазаром (такі події відбуваються приблизно раз на 10 років), що інтенсивно випускає радіохвилі. Копєйкін і Фомалонт скомбінували результати спостережень від десятка радіотелескопів у різних частинах земної кулі, від Гаваїв до Німеччини (використовувалися як 25-метрові радіотелескопи Національної радіоастрономічної обсерваторії, так і 100-метровий німецький інструмент в Еффельсберзі). вигином радіохвиль від цього джерела в полі тяжіння Юпітера. Досліджуючи характер впливу поля тяжіння Юпітера на радіохвилі, що проходять при знанні його маси і швидкості руху, можна обчислити швидкість гравітації.

  Спільна робота земних радіотелескопів дозволила досягти точності в 100 разів більше, ніж це можна досягти за допомогою космічного телескопа "Хаббл". Зміщення, що вимірюються в експерименті, були дуже крихітними - зміни в положенні квазара (вимірювалася кутова відстань між ним та квазаром-еталоном) були в межах 50 мільйонних арксекунди. Еквівалентом таких вимірювань може бути величина срібного долара на Місяці або товщина людського волосся з відстані 250 миль, кажуть астрономи (західні джерела, мабуть, не здогадалися звернути увагу на значення російського прізвища одного з авторів досліджень, інакше вони порівнювали б розміри не з доларом, а з нашою грошовою одиницею...).

  Отриманий результат: сила тяжіння передається з 0,95 швидкості світла, можлива помилка експерименту становить плюс-мінус 0,25. "Ми тепер знаємо, що швидкість гравітації, ймовірно, дорівнює швидкості світла, - сказав Фомалонт. - І ми можемо впевнено виключити будь-який результат, який вдвічі перевищить цю величину".

  Стівен Карліп (Steven Carlip), професор фізики з Каліфорнійського університету, вважає експеримент "хорошою демонстрацією" принципу Ейнштейна. Він каже, що експеримент передували вимірювання відхилення світла Сонцем, але вони були набагато менш точними. Причому нові виміри гравітаційної швидкості у найближчому майбутньому мають уточнити і це значення. Безліч інтерферометрів гравітаційних хвиль було введено в дію за останні місяці, який-небудь з них повинен нарешті виявити гравітаційні хвилі безпосередньо і таким чином виміряти їхню швидкість - важливу фундаментальну константу нашого Всесвіту.

  Втім, необхідно помітити, що сам по собі експеримент не є однозначним підтвердженням саме ейнштейнівської теорії гравітації. З тим самим успіхом його можна вважати підтвердженням існуючих альтернативних теорій. Наприклад, релятивістська теорія гравітації академіка Логунова (РТГ), що стала відомою широкому загалу років десять тому, в цьому з ЗТО не розходиться. Є в РТГ і гравітаційні хвилі, хоча, як відомо, немає чорних дірок. А чергове "спростування" теорії гравітації Ньютона особливої ​​цінності не має. Проте результат важливий з точки зору "закриття" деяких варіантів сучасних теорій та підтримки інших - він пов'язаний з космологічними теоріями множинних всесвітів і так званої теорії струн або суперструн, але дуже рано робити остаточні висновки, вважають дослідники. У новітній так званій єдиній М-теорії, що є розвитком теорії суперструн, крім "струн" ("стрінгів" - strings) з'явилися нові багатовимірні об'єкти - брани (brane). Суперстрінгові теорії за своєю природою включають гравітацію, оскільки вироблені на їх основі розрахунки незмінно передбачають існування гравітону, невагомої гіпотетичної частинки зі спином, рівним 2. Передбачається, що існують додаткові просторові вимірювання, тільки "згорнуті". І гравітація могла б впливати "коротким шляхом" через ці додаткові виміри, на перший погляд подорожуючи швидше швидкості світла, але не порушуючи при цьому рівняння Загальної теорії відносності.

  Два фізики-релятиви ста представляють свої точки зору на Всесвіт,
  її еволюцію і роль квантової теорії

  У Scientific Americanдані лекції були опубліковані зі скороченнями, відповідні місця в тексті зазначеними крапками

  Вступ

  У 1994 Стівен Хокінг і Роджер Пенроуз прочитали цикл публічних лекцій з загальної теорії відносності в Інституті Математичних Наук імені Ісаака Ньютона при Кембриджському університеті. Наш журнал представляє вам витяг з цих лекцій, випущених цього року видавництвом Princeton University Press під назвою "Природа простору та часу", які дозволяють порівняти погляди цих двох вчених. Хоча обидва вони і належать до однієї школи у фізиці (Пенроуз асистував докторську дисертацію Хокінга в Кембриджі), їхні погляди на роль квантової механіки в еволюції всесвіту відрізняються один від одного. Зокрема Хокінг і Пенроуз мають різні уявлення про те, що відбувається з інформацією, запасеною в чорній дірі і чому початок всесвіту відрізняється від кінця.

  Одне з головних відкриттів Хокінга, зроблених ним у 1973 році, було передбачення того, що внаслідок квантових ефектів чорні дірки можуть випускати частки. В результаті такого процесу чорна діра випаровується, і зрештою можливо, що від її первісної маси нічого не залишиться. Але протягом свого формування чорні дірки поглинають безліч часток, що падають на неї, мають різні типи, властивості та конфігурації. Хоча квантова теорія вимагає, щоб подібна інформація була збережена, подробиці того, що ж відбувається з нею далі, залишаються темою для бурхливих дебатів. Хокінг і Пенроуз обидва вважають, що під час випромінювання чорна діра втрачає інформацію, яку вона містила в собі. Але Хокінг завзято стверджує, що ця втрата непоправна, тоді як Пенроуз доводить, що вона збалансована спонтанними вимірами квантових станів, які вводять інформацію усередину чорної діри.

  Обидва вчені погоджуються з тим, що майбутня теорія квантової гравітації необхідна для опису природи. Але їхні погляди відрізняються на деякі аспекти цієї теорії. Пенроуз вважає, що навіть якщо фундаментальні взаємодії елементарних частинок симетричні стосовно обігу часу, квантова гравітація повинна порушувати таку симетрію. Тимчасова асиметрія повинна тоді пояснити, чому на початку всесвіт був настільки однорідний (як показує мікрохвильове фонове випромінювання, народжене великим вибухом), тоді як наприкінці всесвіт має бути неоднорідним.

  Пенроуз намагається включити подібну асиметрію до своєї гіпотези у Вейлівської кривизни. Простір-час, згідно з Альбертом Ейнштейном, викривлений присутністю матерії. Але простір-час може мати деяку внутрішньо властиву йому деформацію, що позначається як Вейлівська кривизна. Гравітаційні хвилі та чорні дірки, наприклад, дозволяють простору-часу викривлятися навіть у тих областях, які є порожніми. У ранньому всесвіті Вейлівська кривизна була ймовірно дорівнює нулю, але в згасаючому всесвіті, як доводить Пенроуз, велика кількість чорних дірок приведе до зростання Вейлівської кривизни. У цьому й полягатиме різниця між початком і кінцем всесвіту.

  Хокінг погоджується, що великий вибух і заключний колапс ("Big crunch") будуть різні, але він не розглядає асиметрію часу як закон природи. Основною ж причиною для цієї відмінності, як він вважає, є той шлях, на який запрограмовано розвиток всесвіту. Він постулює свого роду демократію, заявляючи, що у всесвіті може бути виділеної просторової точки; і тому всесвіт не може мати кордон. Саме ця пропозиція про відсутність кордону, як стверджує Хокінг, пояснює однорідність мікрохвильового фонового випромінювання.

  Погляди обох фізиків на інтерпретацію квантової механіки також докорінно розходяться. Хокінг вважає, що єдине призначення теорії - давати передбачення, які узгоджуються з досвідченими даними. Пенроуз ж вважає, що просте порівняння передбачень з експериментами замало пояснення дійсності. Він вказує, що квантова теорія, що вимагає суперпозиції хвильових функцій, є концепція, яка може призводити до безглуздості. Ці вчені таким чином зводять на новий виток відому дискусію Ейнштейна і Бора з приводу химерних наслідків квантової теорії.

  Стівен Хокінг про квантові чорні діри:

  Квантова теорія чорних дірок ..., здається, призводить до нового рівня непередбачуваності у фізиці крім звичайної квантовомеханічної невизначеності. Це відбувається завдяки тому, що чорні дірки, здається, мають внутрішню ентропію та втрачають інформацію з нашої області всесвіту. Я маю сказати, що ці вимоги дуже суперечливі: багато вчених, які працюють у галузі квантової гравітації, включаючи майже всіх тих, хто прийшов до неї з фізики елементарних частинок, інстинктивно відхиляють ідею, що інформація про стан квантової системи може бути втрачена. Однак, така думка не привела до великого успіху у поясненні того, яким чином інформація може залишати чорну дірку. Зрештою я вважаю, що вони будуть змушені прийняти мою пропозицію, що інформація безповоротно втрачається, також, як вони були змушені погодитися, що чорні діри випромінюють, що суперечить усім їхнім упередженням.

  Той факт, що гравітація є привабливою, означає, що у всесвіті має місце тенденція стягування матерії в одному місці, тенденція до формування об'єктів подібних до зірок і галактик. Подальше стиснення цих об'єктів може деякий час стримуватись тепловим тиском, у випадку зірок, або обертанням та внутрішніми рухами, у разі галактик. Однак, зрештою теплота або кутовий імпульс будуть віднесені геть, і об'єкт знову почне стискатися. Якщо маса менша, ніж приблизно півтори маси Сонця, стиск може бути зупинено тиском виродженого газу електронів або нейтронів. Об'єкт стабілізується, щоб стати білим карликом чи нейтронною зіркою, відповідно. Однак, якщо маса більша за цю межу, то вже немає нічого, що могло б зупинити неухильне стиснення. Як тільки стиснення об'єкта наблизиться до деякого критичного розміру, поле тяжіння на його поверхні буде настільки сильно, що світлові конуси будуть нахилені всередину. зближуються, а чи не розходяться. Це означає, що є деяка закрита поверхня.

  Таким чином повинна існувати область простору-часу, з якої неможливо вирватися на нескінченну відстань. Ця область називається чорною діркою. Її межа називається горизонтом подій, вона є поверхнею, сформованою світловими променями, не здатними вирватися до нескінченності.

  Велика кількість інформації втрачається, коли космічне тіло колапсує, щоб утворити чорну дірку. Колапсуючий об'єкт описується дуже великою кількістю параметрів. Його стан визначаються видами речовини та мультипольними моментами розподілу їх мас. Незважаючи на це чорна діра, що формується, зовсім не залежить від виду речовини і швидко втрачає всі мультипольні моменти крім перших двох: монопольного, який є масою, і дипольного, який є моментом імпульсу.

  Ця втрата інформації дійсно не мала значення в класичній теорії. Можна сказати, що вся інформація щодо об'єкта, що колапсує, виявляється всередині чорної дірки. Для спостерігача, що знаходиться поза чорною діркою, було б дуже важко визначити, на що схожий об'єкт, що колапсує. Однак, у класичній теорії це було все ще можливо в принципі. Спостерігач ніколи фактично не втрачав би на увазі колапсуючий об'єкт. Замість цього, йому здавалося б, що об'єкт сповільнюється у своєму стисканні і стає дедалі тьмянішим, у міру його наближення до горизонту подій. Цей спостерігач все ще міг бачити з чого складається колапсуючий об'єкт і як у ньому розподілено масу.

  Проте, з погляду квантової теорії все повністю змінюється. Протягом колапсу об'єкт випустив би лише обмежену кількість фотонів, перш ніж перетнути обрій подій. Цих фотонів було б абсолютно недостатньо, щоб передати нам всю інформацію щодо колапсуючого об'єкта. Це означає, що в квантовій теорії не існує ніякого способу, яким зовнішній спостерігач міг би визначити стан такого об'єкта. Можна було б подумати, що це не має надто великого значення, тому що інформація буде все ще всередині чорної діри, навіть якщо її неможливо виміряти ззовні. Але це якраз той випадок, де проявляється другий ефект квантової теорії чорних дірок.

  Квантова теорія змушує чорні діри випромінювати і втрачати масу. І мабуть вони зрештою зникають повністю - разом з інформацією всередині них. Я хочу навести аргументи на користь того, що ця інформація дійсно губиться і не повертається у будь-якій формі. Як я покажу далі, з цією втратою інформації до фізики входить невизначеність вищого рівня, ніж звичайна невизначеність, пов'язана з квантовою теорією. На жаль, на відміну від співвідношення невизначеності Гейзенберга, цей новий рівень невизначеності буде досить важко підтвердити експериментально у разі чорних дірок.

  Роджер Пенроуз про квантову теорію і простір-час:

  Квантова теорія, спеціальна теорія відносності, загальна теорія відносності та квантова теорія поля - найбільші фізичні теорії 20-го століття. Ці теорії не незалежні від один одного: загальна теорія відносності була побудована на основі спеціальної теорії відносності, а квантова теорія поля має спеціальну теорію відносності і квантову теорію як свою основу.

  Зазвичай говорилося, що квантова теорія поля - найбільш точна з усіх коли-небудь існуючих фізичних теорій, що дає точність до 11 знаків після коми. Однак, я хотів би вказати, що загальна теорія відносності в даний час перевірена з точністю до 14 знаків після коми (і ця точність очевидно обмежена тільки точністю годинника, що йде на Землі). Я маю на увазі бінарний пульсар Hulse-Taylor PSR 1913+16, пара нейтронних зірок, що обертаються одна щодо одної, одна з яких - пульсар. Загальна теорія відносності передбачає, що подібна орбіта повільно стискається (а її період зменшується), тому що відбувається втрата енергії внаслідок випромінювання гравітаційних хвиль. Цей процес дійсно був зафіксований експериментально, а повний опис його руху, що спостерігається протягом 20 років... знаходиться у згоді із загальною теорією відносності (яка включає Ньютонівську теорію) з чудовою точністю, зазначеною вище. Дослідники цієї зіркової системи з права отримали Нобелівські премії за свою роботу. Квантові теоретики завжди стверджували, посилаючись на точність їх теорії, що загальна теорія відносності повинна брати з неї приклад, але я думаю тепер, що приклад має брати квантова теорія поля.

  Хоча ці чотири теорії досягли великих успіхів, але і вони не вільні від проблем.... Загальна теорія відносності передбачає існування сингулярностей простору-часу. У квантовій теорії є "проблема вимірювання", я опишу її пізніше. Може виявитися, що вирішення проблем цих теорій полягає у визнанні того факту, що вони є неповними теоріями. Наприклад, багато хто сподівається, що квантова теорія поля могла б якимось способом "розмазати" сингулярності загальної теорії відносності.

  А тепер я хотів би сказати кілька слів щодо втрати інформації в чорних дірах, яка, як я вважаю, має відношення до останнього твердження. Я погоджуюсь майже з усім, що на це сказав Стівен. Але в той час як Стівен розцінює втрату інформації в чорних дірах як нову невизначеність у фізиці, вищого рівня, ніж квантовомеханічна невизначеність, то я ж розглядаю її як лише "додаткову" невизначеність.... Можливо, що невелика кількість інформації втрачається в час випаровування чорної діри... але цей ефект буде набагато меншим, ніж втрата інформації під час колапсу (для опису якого я приймаю будь-яку розумну картину заключного зникнення чорної діри).

  Як уявного експерименту розглянемо замкнуту систему у великому ящику і розглянемо рух матерії всередині ящика у фазовому просторі. В областях фазового простору, що відповідають місцезнаходженням чорної діри, траєкторії, що описують фізичну еволюцію системи будуть сходитися, і фазові обсяги, що заповнюються цими траєкторіями, скорочуватимуться. Це відбувається внаслідок втрати інформації у сингулярності чорної дірки. Дане скорочення перебуває у прямому протиріччі із законом класичної механіки, відомим як теор ема Ліувіля, яка стверджує, що фазові обсяги, що переносяться фазовими траєкторіями залишаються постійними.... Таким чином простір-час чорної діри порушує збереження таких обсягів. Однак, у моїй картині, ця втрата обсягу фазового простору збалансована процесом спонтанних квантових вимірювань, в результаті яких відбувається відновлення інформації та збільшення обсягу фазового простору. Як розумію це я, так відбувається тому, що невизначеність, пов'язана зі втратою інформації в чорних дірах, є як би "додатковою" до квантовомеханічної невизначеності: кожна з них - лише одна сторона однієї монети.

  А тепер давайте розглянемо уявний експеримент із котом Шредінгера. Він описує незавидне становище кота в ящику, в якому випущений фотон падає на напівпрозоре дзеркало, а передана частина його функції хвильової реєструється датчиком. Якщо датчик виявляє фотон, спрацьовує пістолет, що вбиває кота. Якщо датчик не виявляє фотон, то кіт залишається живим і здоровим. (Я знаю, що Стівен не схвалює погане поводження з котами, навіть у уявних експериментах!) Хвильова функція такої системи є суперпозицією цих двох можливостей. а чи не макроскопічні суперпозиції таких станів? ...

  Я припускаю, що із залученням загальної теорії відносності, використання суперпозицій альтернативних геометрій простору-часу стикається з серйозними труднощами. Можливо, суперпозиція двох різних геометрій нестабільна і розпадається в одну з цих двох альтернатив. Такими геометріями могли б бути, наприклад, простір та час живого чи мертвого кота. Для позначення цього розпаду суперпозиції в один із альтернативних станів я використовую термін об'єктивна редукція, який мені подобається, тому що має гарний акронім (OR). Який стосунок до цього має планківська довжина 10-33 сантиметри? Така довжина є природним критерієм визначення того, чи є геометрії дійсно різними світами. Планковський масштаб визначає і тимчасової масштаб, у якому відбувається редукція в різні альтернативи.

  Хокінг про квантову космологію:

  Я закінчую цю лекцію обговоренням питання, з якого Роджер і я маємо різні погляди - це стріла часу. Є дуже ясна різниця між прямим та зворотним напрямками часу у нашій частині всесвіту. Достатньо прокрутити назад будь-який фільм, щоб побачити цю різницю. Замість чашок, що падають зі столу і розсипаються на дрібні шматочки, ми бачили б, як ці уламки знову збираються разом і схоплюються назад на стіл. Хіба реальне життя схоже не щось подібне?

  Локальні закони фізичних полів задовольняють вимогу симетрії в часі, або якщо бути більш точним CPT-інваріантності (Charge-Parity-Time - Заряд-парність-час). Таким чином, різниця між минулим і майбутнім походить від граничних умов всесвіту. Розглянемо модель, в якій просторово замкнутий всесвіт розширюється до максимального розміру, після чого знову колапсує. Як підкреслив Роджер, всесвіт буде сильно різниться в кінцевих пунктах цієї історії. На своєму початку всесвіт, як ми тепер думаємо, буде досить гладким і регулярним. Однак коли вона почне знову колапсувати, ми очікуємо, що вона буде надзвичайно безладна і нерегулярна. Оскільки безладних конфігурацій набагато більше, ніж упорядкованих, це означає, що початкові умови мають бути обрані надзвичайно точно.

  Внаслідок цього граничні умови мають бути різними у ці моменти часу. Припущення Роджера у тому, що Вейлевський тензор повинен звернутися нанівець лише у одному з кінців часу. Вейлівський тензор - та частина кривизни простору-часу, яка визначається локальним розподілом матерії через рівняння Ейнштейна. Ця кривизна надзвичайно мала в упорядкованій ранній стадії, і дуже велика в колапсуючому всесвіті. Таким чином, ця пропозиція дозволила б нам відрізнити обидва кінці часу один від одного і пояснити існування стріли часу.

  Я думаю, що пропозиція Роджера є Вейлевським у двох сенсах цього слова. По-перше, воно – не CPT-інваріантне. Роджер розглядає цю властивість як гідність, але як я відчуваю, не потрібно відмовлятися від симетрій без досить вагомих причин. По-друге, якби Вейлевський тензор дорівнював нулю на ранній стадії всесвіту, то вона залишалася б однорідною і ізотропною протягом усього наступного часу. Вейлівська гіпотеза Роджера не може пояснювати ні флуктуації мікрохвильового фону, ні обурення, які викликають галактики і тіла, подібні нам самим.

  Незважаючи на все це, я думаю, що Роджер вказав на дуже важливу різницю між цими двома межами часу. Але факт, що небагато Вейлівського тензора в одному з кордонів, не повинно прийматися нами ad hoc, а має бути отримане з фундаментальнішого принципу "відсутності кордонів" ....

  Яким чином два часові кордони можуть бути різними? Чому обурення мають бути малі в одній із них, але не в іншій? Причина цього у тому, що рівняння поля мають два можливі комплексні рішення. . Однак, точно він не міг дорівнювати нулю, оскільки це призводить до порушення співвідношення невизначеності. Натомість повинні мати місце невеликі флуктуації, які пізніше можуть перетворитися на галактики та тіла, подібно до нас самих. На противагу початку, кінець всесвіту має бути дуже нерегулярним і хаотичним, а Вейлівський тензор дуже великим. Це пояснило б чому має місце стріла часу і чому чашки падають зі столу та розбиваються набагато охочіше, ніж відновлюються та схоплюються назад.

  Пенроуз про квантову космологію:

  З того, що я зрозумів у концепції Стівена, я роблю висновок, що наші розбіжності з даного питання (Вейлівська гіпотеза кривизни) надзвичайно великі... Для початкової сингулярності Вейлівська кривизна є нульовою.... Стівен сперечався, що в початковому стані повинні мати місце маленькі квантові флуктуації, і тому гіпотеза про нульову Вейлівську кривизну є класичною і неприйнятною. Але я думаю, що є певна свобода щодо точного формулювання цієї гіпотези. Маленькі обурення звичайно ж прийнятні на мій погляд у квантовому режимі. Ми потребуємо тільки того, щоб суттєво обмежити ці флуктуації близько нуля.

  Можливо, що принцип "відсутності кордонів" Джеймса-Хартлі-Хокінга є хорошим кандидатом для опису структури початкового стану. Проте, на мою думку, для пояснення заключного стану необхідно щось інше. Зокрема, теорія, яка пояснює структуру сингулярностей, повинна була б включати порушення CPT та інших симетрій, для того щоб бути сумісною з гіпотезою Вейлівської кривизни. Таке порушення симетрії часу могло бути дуже малим; і могло б неявно утримуватися в новій теорії, що виходить за межі квантової механіки.

  Хокінг про фізичну реальність:

  Ці лекції дуже ясно показали різницю між Роджером і мною. Він – платоніст, а я – позитивіст. Він серйозно стурбований, що кіт Шредінгера знаходиться у квантовому стані, в якому він наполовину живий, а наполовину мертвий. Він відчуває у цьому невідповідність дійсності. Але мене такі речі не турбують. Я не вимагаю, щоб теорія відповідала реальності, оскільки не знаю, що таке реальність. Реальність це не якість, яку ви можете перевірити лакмусовим папером. Все, про що я турбуюся це те, щоб теорія передбачала результати вимірювань. Квантова теорія робить це дуже успішно.

  Роджер відчуває, що колапс хвильової функції привносить у фізику порушення CPT-симетрії. Він бачить такі порушення у роботі принаймні у двох областях фізики: космологія та чорні дірки. Я погоджуюсь, що ми можемо використовувати асиметрію часу, коли ставимо питання щодо спостережень. Але я повністю відхиляю ідею, що є якісь фізичні процеси, що призводять до редукції хвильової функції, або що це має якесь відношення до квантової гравітації чи свідомості. Це все має відношення до чаклунства і магії, але не до науки.

  Пенроуз про фізичну реальність:

  Квантова механіка існує лише 75 років. Це не дуже багато, особливо якщо порівнювати, наприклад, з теорією гравітації Ньютона. Тому я не здивуюся, якщо квантова механіка буде модифікована для великих об'єктів.

  На початку цих дебатів Стівен висловив думку, що він – позитивіст, а я – платоніст. Я радий, що він позитивіст, але щодо себе можу сказати, що я є реалістом. До того ж, якщо порівнюєте ці дебати з відомими дебатами Бора та Ейнштейна, приблизно 70 років тому, я думаю, що Стівен грає роль Бора, а я роль Ейнштейна! Для Ейнштейна було необхідно, щоб існувало щось схоже на реальний світ, що описується не обов'язково хвильовою функцією, тоді як Бор підкреслював, що хвильова функція не описує не реальний світ, а лише знання, необхідне передбачення результатів експерименту.

  Зараз вважається, що аргументи Бора виявилися більш вагомими, і що Ейнштейн (згідно з його біографією, написаною Абрахамом Паїсом) міг уже з 1925 займатися риболовлею. І справді, він не зробив великого вкладу в квантову механіку, хоча його прониклива критика була дуже корисною для останньої. Я вважаю, що причина цього була в тому, що в квантовій теорії були відсутні деякі важливі компоненти. Одним із таких компонентів було відкрите Стівеном 50 роками після випромінювання чорних дірок. Витік інформації, пов'язана з випромінюванням чорної діри, є той феномен, який можливо підніме квантову теорію на новий рівень.

  Стівен Хокінг вважає, що остаточної теорії Всесвіту може і не існувати

  У телелекції, прочитаної знаменитим фізиком Стівеном Хокінгом (Stephen Hawking) з Англії для слухачів кількох аудиторій Массачусетського технологічного інституту (Massachusetts Institute of Technology - MIT) описувався проведений вченими пошук повної теорії Всесвіту. І на закінчення автор наукових бестселерів "Коротка історія часу" ("A Brief History of Time") і "Теорія всього" ("The Theory of Everything"), професор математики з Кембриджського університету припустив, що, "можливо [така теорія ] неможлива".

  "Деякі люди будуть сильно розчаровані, дізнавшись, що остаточної теорії немає, - сказав Хокінг. - Я теж належав до цього табору, але тепер я передумав. Ми завжди матимемо справу з викликом з боку нових наукових відкриттів. Без цього цивілізація буде застоюватися . Пошук можна продовжувати дуже довго".

  Телепередача, під час якої виникли деякі технічні труднощі із зображенням та зі звуком, транслювалася і через Інтернет. Організована вона була Інститутом Кембридж-MIT (Cambridge-MIT Institute (CMI) – трирічний стратегічний союз між Кембриджським університетом в Англії та Массачусетським технологічним інститутом).

  Хокінг по суті коротко виклав історію фізики елементарних частинок, зосередившись на ключових постатях і теоріях у цій галузі, починаючи з Арістотеля і кінчаючи Стівеном Вейнбергом (Stephen Weinberg, нобелівський лауреат, що народився 1933 року).

  Рівняння Максвелла і Дірака, наприклад, "керують чи не всією фізикою і всією хімією та біологією, - міркував Хокінг. - Таким чином, знаючи ці рівняння, ми могли б у принципі пророкувати людську поведінку, хоча я не можу стверджувати, що сам мав у цій справі великий успіх", - сказав він під сміх аудиторії.

  Людський мозок містить занадто багато частинок для того, щоб вирішити всі рівняння, необхідні для того, щоб передбачати чиюсь поведінку. Ми хіба що колись у найближчому майбутньому навчимося передбачати поведінку хробака нематоди.

  Всі теорії, що розвиваються дотепер для того, щоб пояснити Всесвіт, "є або суперечливими, або неповними", - заявив Хокінг. І припустив, через які обставини неможливо в принципі розвинути одну повну теорію Всесвіту. Свою аргументацію він засновував на роботах Курта Геделя (Kurt Gödel), чеського математика, автора знаменитої теорії, згідно з якою в межах будь-якої галузі математики деякі судження ніяк не можуть бути ні доведені, ні спростовані.

  Книга американського фахівця, що містить систематичний виклад одного з найактуальніших напрямків сучасної теоретичної фізики. Теорія суперструн поєднує квантову гравітацію та сучасні калібрувальні теорії елементарних частинок. В рамках цієї теорії були вирішені, зокрема, знамениті проблеми ультрафіолетових розбіжностей у квантовій теорії поля та мікроскопічного пояснення ентропії чорних дірок. У книзі у доступній формі представлені основні відомості щодо квантової теорії поля та теорії струн, дано введення в польову теорію струн та методи побудови чотиривимірних струн. Книга забезпечена додатком, в якому стисло викладені теорії відносності, суперсиметрії, гравітації, дані з теорії груп і диференціальної геометрії.
  Для математиків та фізиків різних спеціальностей, аспірантів та студентів університетів.

  ДЛЯ ЧОГО СТРУНИ?
  Об'єднання двох фундаментальних теорій сучасної фізики, квантової теорії поля та загальної теорії відносності в рамках єдиного теоретичного підходу є однією з найважливіших невирішених проблем. Примітно, що ці дві теорії разом узяті втілюють всю суму людських знань про найбільш фундаментальні сили природи. Квантова теорія поля, наприклад, досягла надзвичайного успіху в поясненні фізики мікросвіту аж до відстаней, що не перевищують 10-15 см. Загальна теорія відносності (ЗТО), з іншого боку, не має собі рівних у поясненні великомасштабної поведінки космосу, даючи красиве і захоплююче пояснення походження самого Всесвіту. Разючий успіх цих двох теорій полягає в тому, що разом вони можуть пояснити поведінку матерії та енергії в приголомшливому діапазоні величин 40 порядків, від суб'ядерної до космологічної області.

  Великою загадкою останніх п'яти десятиліть, однак, була повна несумісність цих двох теорій. Це виглядає так, якби у природи було два розуми, кожен з яких працює незалежно від іншого у своїй галузі, діючи у повній ізоляції один від одного. Чому природа на своєму найглибшому і фундаментальному рівні має вимагати двох цілком різних підходів із двома наборами математичних методів, двох наборів постулатів та двох наборів фізичних принципів?

  ЗМІСТ
  Передмова редактора перекладу
  Передмова
  Частина I. ПЕРВИННЕ КВАНТУВАННЯ І КОНТИНУАЛЬНІ ІНТЕГРАЛИ
  Глава 1. Континуальні інтеграли н точкові частки
  §1.1. Навіщо струни?
  §1.2. Історичний огляд калібрувальної теорії
  §1.3. Континуальний інтеграл та точкові частки
  §1.4. Релятивістські точкові частки
  §1.5. Первинне та вторинне квантування
  §1.6. Квантування Фаддева-Попова
  §1.7. Вторинне квантування
  §1.8. Гармонічні осцилятори
  §1.9. Струми та вторинне квантування
  §1.10. Резюме
  Література
  Глава 2. Струни Намбу-Гото
  §2.1. Бозонні струни
  §2.2. Квантування Гупти-Блейлера
  §2.3. Квантування у калібруванні світлового конуса
  §2.4. Дерева
  §2.5. BRST-квантування
  §2.6. Від континуального інтеграла до операторів
  §2.7. Проективна інваріантність та твіст
  §2.8. Замкнуті струни
  §2.9. Знищення духів
  §2.10. Резюме
  Література
  Розділ 3. Суперструни
  §3.1. Суперсиметричні точкові частки
  §3.2. Двовимірна суперсиметрія
  §3.3. Дерева
  §3.4. Локальна двовимірна суперсиметрія
  §3.5. Квантування
  §3.6. Проекція SGO
  §3.7. Суперструни
  §3.8. Квантування дії Гріна-Шварца в конусних змінних
  §3.9. Вершини та дерева
  §3.10. Резюме
  Література
  Глава 4. Конформна теорія поля н алгебри Каца-Муді
  §4.1. Конформна теорія поля
  §4.2. Суперконформна теорія поля
  §4.3. Спинове поле
  §4.4. Суперконформні парфуми:
  §4.5. Ферміонний вершинний оператор
  §4.6. Спінори та дерева
  §4.7. Алгебри Каца - Муді
  §4.8. Суперсиметрія
  §4.9. Резюме
  Література
  Глава 5. Багатопетлеві амплітуди та простори Тейхмюллера
  §5.1. Унітарність
  §5.2. Однопетлеві амплітуди
  §5.3. Гармонічні осцилятори
  §5.4. Однопетлеві амплітуди суперструн
  §5.6. Багатопетлеві амплітуди
  §5.7. Ріманові поверхні та простори Тейхмюллера
  §5.8. Конформна аномалія
  §5.9. Суперструни
  §5.10. Детермінанти та сингулярності
  §5.11. Простори модулів та грасманіани
  §5.12. Резюме
  Література
  Частина ІІ. ВТОРИННЕ КВАНТУВАННЯ І ПОШУКИ ГЕОМЕТРІЇ
  Глава 6. Польова теорія у калібруванні світлового конуса
  §6.1. Чому польова теорія струн?
  §6.2. Висновок польової теорії точкових частинок
  §6.3. Польова теорія у калібруванні світлового конуса
  §6.4. Взаємодія
  §6.5. Метод функцій Неймана
  §6.6. Еквівалентність амплітуд розсіювання
  §6.7. Чотириструнна взаємодія
  §6.8. Польова теорія суперструн
  §6.9. Резюме
  Література
  Розділ 7. Польова теорія BRST
  §7.1. Коваріантна польова теорія струн
  §7.2. Польова теорія BRST
  §7.3. Фіксація калібрування
  §7.4. Взаємодія
  §7.5. Аксіоматичне формулювання
  §7.6. Доказ еквівалентності
  §7.7. Замкнуті струни та суперструни
  §7.8. Резюме
  Література
  Розділ 8. Геометрична польова теорія струн
  §8.1. Навіщо потрібна геометрія?
  §8.2. Струнна група
  §8.3. Об'єднана струнна група
  §8.4. Уявлення групи USG
  §8.5. Духовий сектор та дотичний простір
  §8.6. Зв'язки та коваріантні похідні
  §8.7. Геометричний висновок дії
  §8.8. Інтерполяційне калібрування
  §8.9. Замкнуті струни та суперструни
  §8.10. Резюме
  Література
  Частина ІІІ. ФЕНОМЕНОЛОГІЯ ТА ПОБУДОВА МОДЕЛЕЙ
  Глава 9. Аномалії та теорема Атьї-Зінгера
  §9.1. Феноменологія ТВО та вихід за її межі
  §9.2. Аномалії та фейнманівські діаграми
  §9.3. Аномалії у функціональному формалізмі
  §9.4. Аномалії та характеристичні класи
  §9.5. Індекс оператора Дірака
  §9.6. Гравітаційні та калібрувальні аномалії
  §9.7. Скорочення аномалій у теорії струн
  §9.8. Простий доказ теореми Атті-Зінгера про індекс
  §9.9. Резюме
  Література
  Глава 10. Гетеротичні струни та компактифікація
  §10.1. Компактифікація
  §10.2. Гетеротична струна
  §10.3. Спектр станів
  §10.4. Коваріантна та ферміонна формулювання
  §10.5. Дерева
  §10.6. Однопетльова амплітуда
  §10.7. Група Е8 та алгебра Каца-Муді
  §10.8. Десятивимірна теорія без суперсиметрії
  §10.9. Лоренцеві грати
  §10.10. Резюме
  Література
  Глава 11. Простори Калабн-Яу та орбіподібні
  §11.1. Простору Калабі-Яу
  §11.2. Огляд теорії когомологій де Рама
  §11.3. Когомології та гомології
  §11.4. Келерові різноманіття
  §11.5. Вкладення спинової зв'язності
  §11.6. Покоління ферміонів
  §11.7. Вільсонівські лінії
  §11.8. Орбіоподібності
  §11.9. Чотиривимірні суперструни
  §11.10. Резюме
  §11.11. Висновок
  Література
  додаток
  §П.1. Короткий вступ до теорії груп
  §П.2. Короткий вступ у загальну теорію відносності
  §П.3. Короткий вступ до теорії форм
  §П.4. Короткий вступ у суперсиметрію
  §П.5. Короткий вступ у теорію супергравітації
  §П.6. Словник термінів
  §П.7. Позначення
  Література
  Предметний покажчик.