Теорія ймовірностей та її інженерні програми.
Е.С.Вентцель ЛАОвчаров Теорія ймовірностей та її інженерні додатки ВИДАННЯ ДРУГЕ, СТЕРЕОТИПНЕ Рекомендовано Міністерством освіти Російської Федерації як навчальний посібник для студентів вищих технічних навчальних закладів Москва «Вища школа» 2000 УДК 519.21 Б7К2 РАН академік НА. Кузнєцов Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. У 29 Теорія ймовірностей та її інженерні програми. Навч. посібник для втузов.- 2-ге вид., стер.- М.: Вищ. шк., 2000.-480 з: іл. ISBN 5-06-003830-0 У книзі дано систематичний виклад основ теорії ймовірностей під кутом зору їх практичних додатків за спеціальностями: кібернетика, прикладна математика, ЕОМ, автоматизовані системи управління, теорія механізмів, радіотехніка, теорія надійності, транспорт, зв'язок тощо. д. Незважаючи на різноманітність областей, до яких належать додатки, всі вони пронизані єдиною методичною основою. Перше видання вийшло 1988 р. для студента вищих технічних навчальних закладів. Може бути корисною викладачам, інженерам та науковцям різних профілів, які у своїй практичній діяльності стикаються з необхідністю ставити та вирішувати завдання, пов'язані з аналізом випадкових процесів. УДК 519.21 ББК 22.171 Навчальне видання Вентцель Олена Сергіївна Овчаров Лев Олександрович ТЕОРІЯ МОЖЛИВОСТЕЙ ТА ЇЇ ІНЖЕНЕРНІ ДОДАТКИ Редактор ТА. Рикова Художній редактор Ю.Е. Іванова ЛР №010146 від 25.12.96. Вид. № ФМ-204. Підп. до друку 27 01.2000 Формат 60x88 1/16 Бум. газети Гарнітура «Звичайна» Друк офсетний Об'єм 29,40 ум.-печ. л, 29,40 ум. кр.-oiT., 25,21 уч-вид. л Тираж 10000 екз. Замовлення № 461 ГУП видавництво «Вища школа», 101430, Москва, вул. Гончарова, д 14 ISBN 5-06-003830-0 © ГУП видавництво «Вища школа», 2000 Оригінал-макет цього видання є власністю видавництва «Вища школа» та його репродукування (відтворення) будь-яким способом без згоди видавництва виклад основ теорії ймовірностей з точки зору їх практичних інженерних додатків. Інтереси цих додатків визначають і вибір матеріалу, і стиль викладу, та її методичну основу. Книга рясніє прикладами вирішення практичних завдань, що вимагають застосування імовірнісних методів і відносяться до різних спеціальностей: кібернетика, прикладна математика, ЕОМ, автоматизовані системи управління, теорія механізмів, радіотехніка, теорія надійності, транспорт, зв'язок і т.д. п. Незважаючи на різноманітність областей, до яких належать додатки, всі вони пронизані єдиною методичною основою, єдиною системою підходів. Ця книга щодо невеликого обсягу написана на базі лекцій з теорії ймовірностей, читаних авторами у різних втузах протягом останніх десятиліть. Вона призначена для інженерів та науковців різних профілів, які у своїй практичній діяльності стикаються з необхідністю ставити та вирішувати завдання, пов'язані з випадковими явищами та потребують ймовірнісного підходу. Книга адресована широкому колу читачів, вона може бути використана і в навчальному процесі студентами та викладачами втузів, і як посібник для самоосвіти. Виклад ведеться на рівні, доступному читачеві, знайомому з математикою обсягом звичайного втузовського курсу. Там, де під час справи доводиться користуватися складнішими поняттями, вони пояснюються. Головний упор робиться не так на тонкощі математичного апарату, але в методичний бік питання і безпосередні практичні докладання. Багаторічний досвід авторів у викладанні теорії ймовірностей п суміжних з нею дисциплін у втузах, а також великий досвід застосування 4 ПЕРЕДМОВА ймовірнісних методів у різних областях інженерної практики показує, що саме такий, а не формальний підхід до викладу теорії ймовірностей найбільше придатний тим , Для кого вивчення теорії ймовірностей не самоціль, а засіб вирішення конкретних інженерних завдань та прикладів. Закінчення решепія прикладу чи завдання відзначається знаком > Разом про те, автори прагнули ніде не поступатися точністю формулювань і належної математичної суворістю і викласти матеріал відповідно до сучасним рівнем розвитку науки про випадкові явища. До книги не увійшли теорія випадкових процесів, теорія масового обслуговування, спеціальні глави математичної статистики та їх інженерні програми. Обмежений відбір матеріалу в цю книгу визначався тим, що автори припускають по кожному із зазначених вище розділів написати окреме керівництво, де, як і тут, основна увага буде приділена інженерним додаткам. Автори приносять глибоку подяку академіку АН СРСР В. С. Пугачову та професору В. Н, Тутубаліну за цінні поради та підтримку, яку вони надали при складанні проекту книги; члену-кореспонденту АН СРСР Н. А. Кузнєцову, що люб'язно погодився відрецензувати рукопис і зробив ряд корисних зауважень; доценту Г. В. Данилову, який надав авторам велику допомогу при підготовці книги та виданню, а також доктору фізико-математичних, наук А. Д. Вентцелю за низку цінних пропозицій. О.С. Вентцель, Ла. - Ви можете, - продовжував Гермаїн, - скласти щастя мого життя, і воно нічого не буде вам коштувати: я знаю, що ви можете вгадати три карти поряд... А. С. Пушкін «Пікова дама» Вступ Теорією ймовірностей називається математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах". Умовимося, що ми розумітимемо під «випадковим явищем». При науковому вивченні та описі навколишнього світу часто доводиться зустрічайся з особливого типу явищами, які прийнято називати випадковими. Характерна для них велика, порівняно з іншими , ступінь невизначеності, непередбачуваності.Випадкове явище - це таке явище, яке при неодноразовому відтворенні одного і того ж досвіду (випробування, експерименту) протікає щоразу по-іншому.Наведемо кілька прикладів випадкових явищ. зважується на точних (аналітичних) вагах, результати повторних зважуваннях дещо відрізняються один від одного, за рахунок чого це відбувається? ня багатьох дрібних, другорядних факторів, що супроводжують зважування, таких, наприклад, як положення тіла та різноваг на чашках ваг; вібрації апаратури; зміщення голови та очі спостерігача пт. п. 2. Виробляється ряд випробувань заводських виробів певного типу, наприклад реле, на тривалість безвідмовної роботи. Результат випробування раз-по-раз не залишається постійним, змінюється. Ці зміни обумовлені впливом низки малозначних, важковловимих факторів, таких, як мікродефекти в металі; різні температурні умови; різні умови зберігання та транспортування виробу; відхилення напруги від номіналу і т. д. 3. Виконується ряд пострілів з однієї й тієї ж зброї по одній і тій же меті. Умови стрільби (вид снаряда, кут установки зброї) одні й самі. Тим не менш ВВЕДЕНЬ менше точки попадання снарядів виявляють розкид (так "розсіювання", що зване). Теоретично траєкторії снарядів збігаються; практично вони відрізняються за рахунок таких малозначних, важковловимих факторів, а саме: помилки виготовлення снарядів; відхилення ваги заряду від номіналу; неоднорідність його структури, вже не кажучи про метеоумови, які від пострілу до пострілу можуть змінюватися. 4. Літак певного типу здійснює політ на заданій висоті; теоретично він повинен літати горизонтально, рівномірно та прямолінійно. Фактично політ супроводжується відхиленнями центру маси літака від горизонтальної прямої та коливаннями літака біля центру маси. Ці відхилення та коливання є випадковими та пов'язані з турбулентністю атмосфери та помилками пілотування. 5. Кругла, правильної форми монета клацанням підкидається, обертається в повітрі і падає на стіл, відкриваючи одну зі сторін: «герб» або «решку». Досвід повторюється кілька разів. Як би не намагатися дотримуватися однакових його умов (висота підкидання, початкова швидкість і момент обертання), результат варіюється від разу до разу: іноді випадає «герб», іноді - «решка». Результат досвіду - «герб» або «решка» - обумовлений безліччю дрібних, важковловимих причин, серед яких, наприклад, нерівності поверхні столу. 6. Розглядається безперервна робота ЕОМ між двома черговими збоями у вирішенні завдання. Усі контрольовані умови роботи ЕОМ: температура, вологість, напруга, характер вирішуваного завдання залишаються незмінними. Повторюючи такий досвід кілька разів, ми переконуємось, що час роботи ЕОМ між двома черговими збоями буде різним (випадковим). Це тим, що різні елементи ЕОМ піддаються незначним, неконтрольованим змін. Всі наведені приклади розглянуті тут під тим самим кутом зору: підкреслені випадкові варіації, неоднакові результати низки дослідів, основні умови яких залишаються незмінними. Ці варіації завжди пов'язані з наявністю якихось другорядних чинників, які впливають результат досвіду, але з заданих серед його основних умов. Основні умови досвіду, що визначають у загальних та грубих рисах його перебіг, зберігаються незмінними; другорядні - меня-» ВСТУП 7 від досвіду до досвіду і вносять випадкові відмінності в їх результати. Цілком очевидно, що в природі немає жодного явища, в якому не були б в тій чи іншій мірі елементи випадковості. Як би точно ці докладно не були фіксовані умови досвіду, неможливо досягти того, щоб при його повторенні результати повністю і в точності збігалися. Випадкові відхилення неминуче супроводжують кожний закономірний явище. Проте у низці практичних завдань цими випадковими елементами можна знехтувати, розглядаючи замість реального явища його спрощену схему, «модель», і припускаючи, що у умовах досвіду явище протекат цілком певним чином. При цьому з безлічі фактів, що впливають на явище, виділяються найголовніші, основні, вирішальні; впливом інших, другорядних факторів просто нехтують. Така схема вивчення явищ (яку називатимемо «детерміністською») постійно застосовується у фізиці, механіці, техніці. Згідно з цією схемою при вирішенні будь-якого завдання насамперед виділяється основне коло умов, що враховуються, і з'ясовується, на які параметри завдання він впливає; потім застосовується той чи інший Математичний апарат (наприклад, складаються та вирішуються диференціальні рівняння, що описують явище); таким чином виявляється основна закономірність, властива цьому явищу і дає можливість передбачити результат досвіду за заданими умовами. У міру розвитку науки число факторів, що враховуються, стає все більше, науковий прогноз - все точніше. Це – класична схема так званих «точних наук» – від умов досвіду до його однозначного результату. Однак для вирішення низки завдань така схема виявляється погано пристосованою. Це - ті завдання, де цікавий для нас результат досвіду істотно залежить від стільки великої кількості факторів, що практично неможливо зареєструвати і врахувати їх усі. У цих завданнях численні другорядні фактори, що тісно переплітаються, так тісно пов'язані з результатом досвіду, що нікчемна, на перший погляд, їх зміна може відіграти вирішальну роль, зумовити «успіх» або «неуспіх» досвіду. У разі класична схема точних наук - детерміністська - виявляється непридатною, 8 ВСТУП Повернемося до вищенаведених прикладів випадкових явищ, зокрема, наприклад 3 (стрільба з зброї). Якщо ми конструюємо прицільне пристосування, то класична «детерміністська» схема цілком достатня. Проінтегрувавши рівняння руху снаряда, ми можемо визначити траєкторію, точку влучення. Але припустимо, що стрілянина ведеться за метою, розміри якої менші за зону розсіювання снарядів, і нас цікавлять питання: який відсоток випущених снарядів у середньому потрапить у ціль? Скільки потрібно витратити снарядів для того, щоб з достатньою надійністю вразити ціль? Які слід вжити заходів для зменшення витрат снарядів? І т. д. Щоб відповісти на такі (і подібні до них) питання, звичайна схема точних наук виявляється недостатньою. Ці питання органічно пов'язані із випадковою природою явища; щоб на них відповісти, очевидно, не можна просто знехтувати випадковістю, треба вивчити явище розсіювання снарядів з боку закономірностей, властивих йому саме як випадкового явища. Треба дослідити закон, яким розподіляються точки влучення снарядів; виявити випадкові причини, що викликають розсіювання, порівняти їх між собою за ступенем важливості і т. д. Розглянемо інший приклад. Деякий технічний пристрій (скажімо, система автоматичного управління) вирішує певну задачу в умовах, коли на неї постійно впливають випадкові перешкоди. В результаті система вирішує завдання з деякою помилкою, що іноді виходить за межі допустимої. Постають питання: як часто з'являтимуться такі помилки? Яких заходів треба вжити для того, щоб практично виключити їхню можливість? І т. д. Щоб відповісти на такі питання, необхідно дослідити природу та структуру випадкових збурень, що впливають на систему, вивчити реакцію системи на ці збурення, з'ясувати вплив конструктивних параметрів системи на вигляд реакції. Подібні завдання, число яких у фізиці, техніці та інженерній справі надзвичайно велике, вимагають вивчення не тільки основних, головних закономірностей, що визначають явище в загальних рисах, а й аналізу випадкових збурень і спотворень, пов'язаних з наявністю другорядних факторів та надання досвіду. заданих умов елемент невизначеності. Які ж існують шляхи та методи для дослідження випадкових явищ? З чисто теоретичних точок аренпя ті фактори, які ми умовно назвали «випадковими», в принципі нічим не відрізняються від тих, які ми виділили як «основні». Теоретично можна необмежено підвищувати точність розв'язання задачі, враховуючи все нові та нові фактори. Однак на практиці спроба однаково докладно і ретельно проаналізувати вплив всіх факторів, від яких залежить явище, призвела б тільки до того, що рішення, через непомірну громіздкість і складність, виявилося б практично нездійсненним і до того ж не мало б жодної пізнавальної цінності. лише до вузького кола погано контрольованих умов. Повинна існувати принципова різниця в методах обліку основних факторів, що визначають у головних рисах перебіг і результат явища, та вторинних, другорядних факторів, що впливають на нього як «похибки» або «обурення». Племент невизначеності, складності та багатопричинності, властивий випадковим явищам, потребує спеціальних? методів їх вивчення. Такі методи розробляються в теорії ймовірностей. Її предметом є специфічні закономірності, які у випадкових явищах. Практика показує, що, спостерігаючи разом маси однорідних випадкових явищ, ми часто виявляємо у яких свого роду стійкості. Наприклад, якщо багато разів поспіль кидати монету, частота появи герба (ставлення числа гербів, що випали, до загального числа кидань) поступово вирівнюється, стабілізується, наближаючись до цілком певного числа, а саме до 1/2. Така сама властивість стійкості частот спостерігається і при багаторазовому повторенні ряду інших дослідів із заздалегідь невідомим, невизначеним результатом. Так, наприклад, у добре налагодженому виробництві стійким виявляється відсоток доброякісних виробів. Багаторічні спостереження показують, що частота народження хлопчиків для різних географічних і кліматичних умов дуже стійка (приблизно дорівнює 0,51). Стійкість частот спостерігається навіть у таких суто непередбачуваних явищах, як вуличний травматизм (саме ця стійкість дозволяє планувати роботу лікувальних закладів та служби швидкої допомоги). Стійкість частот спостерігається у випадках, коли маємо справу з масою однорідних дослідів, котрим механізм впливу випадкових чинників подібний. Не мають властивість стійкості частот ті явища з невизначеним результатом, де умови явно неоднорідні і навіть непорівнянні. Наприклад, безглуздо говорити про стійку «частоту виникнення війн» (історичному процесу властиві риси неповторності, спрямованості розвитку). Також безглуздо говорити про стійку частоту, скажімо, правильно вирішених наукових проблем чи появи геніальних творів мистецтва. Теорія ймовірностей займається лише темп явищами з невизначеним результатом, котрим передбачається наявність стійкості частот. Для таких явищ вона встановлює певні закономірності, притаманні маси випадкових явищ. Одне окреме випадкове явище залишається у своєму результаті невизначеним, непередбачуваним; лише у масі випадкових явищ виявляються специфічні закономірності, які виконуються тим точніше і суворіше, чим ширший масив явищ, що вивчаються. За дуже великої кількості таких явищ випадковість, непередбачуваність практично зникає. Пояснимо це прикладом. У посудині укладено деякий обсяг газу, що складається па великого числа молекул. Кожна з них за секунду зазнає безліч зіткнень з іншими молекулами, багаторазово змінює швидкість та напрямок руху; траєкторія кожної окремої молекули випадкова. Відомо, що тиск газу на стінку судини обумовлено сукупністю ударів молекул об цю стінку. Здавалося б, якщо траєкторія кожної окремої молекули випадкова, якщо невідомо, в якій точці і з якою швидкістю вона вдариться об стінку, то й тиск на стінку мав би змінюватися випадковим і непередбачуваним чином. Однак, це не так. Якщо число молекул досить велике, то тиск газу практично не залежить від траєкторій окремих молекул і підкоряється цілком точно! і дуже простий фізичної закономірності. Випадкові особливості, властиві руху кожної окремої кули, в масі взаємно погашаються, компенсуються. В результаті, незважаючи на складність та заплутаність окремого випадкового явища, виникає проста закономірність, справедлива для маси випадкових явищ. Зазначимо, що саме масовість випадкових явищ забезпечує виконання цієї закономірності (при обмеженій кількості молекул в обсязі починають позначатися випадкові відхилення від закономірності, так звані флуктуації). Розглянемо інший приклад: проводиться ряд зважувань одного й того тіла на аналітичних вагах; щоразу результат зважування записується. Спочатку, поки кількість зважувань невелика, набір результатів є хаотичним, безладним. Проте зі збільшенням кількості зважувань у сукупності результатів починає виявлятися цілком певна закономірність; вона проявляється тим виразніше, що більше зважувань вироблено. Стає ясно, що результати групуються майже симетрично близько деякого середнього значення; в центральній області вони розташовані густіше, ніж по краях, причому густота їх з віддаленням від центру зменшується за цілком певним законом (так званому «нормальному», якому велика увага буде приділена надалі). Подібні закономірності (їх називають «статистичними») виникають, коли ми спостерігаємо в сукупності масиви однорідних випадкових явищ. Вони виявляються практично незалежними від індивідуальних особливостей окремих випадкових явищ, що входять до масиву; ці особливості хіба що взаємно погашаються, нівелюються; висловлюючись образно, «з безлічі заворушень виникає порядок». Середній, масовий результат безлічі випадкових явищ виявляється практично не випадковим, передбачуваним. Це є базою для практичного застосування імовірнісних (статистичних) методів дослідження. Методи теорії ймовірностей не скасовують і не скасовують випадковості, непередбачуваності результату окремого досвіду, але дають змогу передбачити з якимось наближенням середній сумарний результат маси однорідних випадкових явищ. Чим більша кількість однорідних випадкових явищ фігурує в задачі, тим чіткіше виявляються властиві їм специфічні закони, тим з більшою впевненістю і точністю можна здійснювати науковий прогноз. Мета імовірнісних (статистичних) методів - у тому, щоб, минаючи занадто складне (і найчастіше практично неможливе) дослідження окремого випадкового явища, звернутися безпосередньо до законів, які керують масами таких явищ. Вивчення цих законів дозволяє як здійснювати прогноз у сфері випадкових явищ, а й цілеспрямовано проводити хід цих явищ, контролювати їх, обмежувати сФеРУ дії випадковості, звужувати її впливом геть практику. Приступаючи до вивчення теорії ймовірностей з її специфічним об'єктом дослідження (випадкові, тобто непередбачувані явища), треба усвідомлювати, що прогнози, що даються методами цієї науки, дещо відрізняються за своїм характером від звичних нам прогнозів «точних наук». Не даючи точної вказівки, що саме станеться за таких умов, імовірнісний прогноз є наближеним; він вказує тільки межі, в яких, з досить високим ступенем достовірності, будуть укладені цікаві для нас параметри. Чим ширший масив випадкових явищ, що вивчається, тим вже ці межі, тим точніше і виразніше стає імовірнісний прогноз. Характерним для сьогоднішнього етапу розвитку науки є дедалі ширше застосування імовірнісних методів у її областях. Це з двома причинами. По-перше, вивчення явищ навколишнього світу, стаючи глибшим, вимагає виявлення як основних закономірностей, а й можливих випадкових відхилень від них. По-друге, наука дедалі більше впроваджується у такі галузі практики, де наявність і великий вплив саме випадковості підлягає сумніву, інколи ж навіть є визначальним. В даний час немає практично жодної галузі науки, в якій тією чи іншою мірою не застосовувалися б імовірнісні методи. В одних науках, в силу специфіки предмета та історичних умов, ці методи знаходять застосування раніше, в інших – пізніше. Історично перші початки ймовірнісних методів з відповідним, ще досить примітивним математичним апаратом виникли в XVIT столітті, при розробці теорії азартних ігор з метою дати рекомендації ВСТУП 13 гравцям. Потім ці методи стали застосовуватися на практиці страхових компаній задля встановлення розумних розмірів страхових премій. Поступово сфера застосування ймовірнісних методів розширювалася. Сьогодні ці методи поширюються все ширше та ширше. Цілі розділи сучасної фізики (зокрема ядерна фізика) базуються на математичному апараті теорії ймовірностей. Широко застосовуються імовірнісні методи в сучасних електротехніці, радіотехніці, теорії зв'язку, теорії автоматичного регулювання, кібернетиці, обчислювальної техніки, теорії АСУ (автоматизованих систем управління). Це й природно, оскільки робота сучасних автоматизованих систем протікає за умов випадкових впливів, не враховуючи яких неможливо розумне проектування подібних систем, вибір їх конструктивних параметрів. Будь-яка процедура управління будь-що (технічним пристроєм, групою пристроїв, людино- машинним комплексом) протікає в заздалегідь невідомих, випадкових умовах, неминуче супроводжується випадковими помилками виміру тих чи інших параметрів, помилками виконання команд тощо. буд.; аналіз роботи такої системи практично неможливий без урахування випадкових факторів. Такі важливі у народному господарстві метеорологічні прогнози що неспроможні будуватися не враховуючи випадковості процесів, які у атмосфері. Знайомство з методами теорії ймовірностей потрібне сьогодні кожному грамотному інженеру. І не лише інженеру. Біологія, фізіологія, медицина, соціологія дедалі ширше застосовують імовірнісні методи. Не цураються їх і такі «споконвічні гуманітарні» науки, як психологія, лінгвістика, літературознавство, навіть естетика. Як би не був обширний перелік наукових дисциплін, де сьогодні застосовуються імовірнісні методи, він все ж таки неминуче страждає на неповноту. Коротше буде сказати, що немає галузі знань, де не могли б сказати своє слово ці методи дослідження. Чи вважати теорію ймовірностей спеціальним розділом математики чи однією з природничих наук? І те і інше. Математичні закони теорії ймовірностей - це відображення реальних статистичних законів, об'єктивно існуючих закономірностей у масових слу- 14 ВСТУП чайних явищах природи. До вивчення цих явищ теорія ймовірностей застосовує математичний метод і за своїм методом одна із розділів математики, настільки ж точним і суворим, як інші математичні науки. Для інженера, що застосовує теорію ймовірностей у своїй практичній діяльності, найважливіше не математичні тонкощі цієї теорії, а вміння розпізнати в реальному завданні її ймовірні риси, поставити, якщо потрібно, експеримент, розумно обробити його результати і виробити рекомендації, як чинити, щоб досягти бажаного результату з мінімальною витратою сил та коштів. Найкраще таке вміння набувається при розгляді конкретних прикладів з галузі інженерної практики. Таких прикладів у нашій книзі буде багато. ГЛАВА 1 ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ 1,1. Випадкова подія. Його ймовірність Будь-яка наука, що розвиває загальну теорію будь-якого кола явищ, містить ряд основних понять, на яких вона базується. Такі, наприклад, у геометрії поняття точки, прямої лінії; у механіці - поняття сили, маси, швидкості, прискорення. Природно, що не основні поняття можуть бути суворо визначені, бо «визначити» поняття - це означає звести його до інших, більш відомим. Очевидно, процес визначення одних понять через інші повинен десь закінчуватися, дійшовши до первинних понять, до яких зводяться всі інші і які самі не визначаються, а тільки пояснюються. Такі поняття існують і теорії ймовірностей. Тут ми розглянемо деякі з них. Під досвідом (експериментом, випробуванням) ми розумітимемо деяку відтворювану сукупність умов, у яких спостерігається те чи інше явище, фіксується той чи інший результат. Зауважимо, що «досвід» не обов'язково має бути поставлений людиною; може протікати незалежно від цього; при цьому людина виступає в ролі спостерігача або фіксатора того, що відбувається. Від нього залежить лише рішення: що саме спостерігати та які параметри фіксувати. Якщо результат досвіду варіюється при його повторенні, говорять про досвід із випадковим результатом. Саме такі досліди ми розглядатимемо і додавання «з випадковим результатом» для стислості опускати. Той факт, що при повторенні досвіду його основні умови зберігаються, і, отже, ми маємо право очікувати на стійкість частот, теж не будемо щоразу обговорювати. Випадковою подією (чи, коротше, просто подією) називається будь-який факт, що у досвіді з випадковим результатом може статися чи статися. Події ми позначатимемо великими літерами латинського алфавіту. 16 ГЛ. 1, ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ймовірності Розглянемо кілька прикладів подій. 1. Досвід – кидання монети; подія А – поява герба. 2. Досвід – кидання трьох монет; подія У - поява трьох гербів. 3. Досвід - передача групи з сигналів по каналу зв'язку; подія С-перекручування хоча б одного з них. 4. Досвід-постріл по мішені; подія Z)-попадання. 5. Досвід - виймання навмання однієї карти з колоди; подія Е – поява туза. 6. Той самий досвід, що у прикладі 5; подія F – поява карти червоної масті. 7. Досвід (спостереження)-вимірювання кількості опадів, що випадають у даному географічному пункті за певний місяць; подія G – випадання більше N міліметрів опадів. 8. Досвід – лікування групи хворих певним препаратом; подія Я - суттєве покращення більш ніж у половини з них. Усі наведені приклади починалися з опису досвіду, де з'являється чи з'являється подія. У випадку це необов'язково; досвід може згадуватись після формулювання події; наприклад: А - поява герба під час кидання монети; В - поява трьох гербів при киданні трьох монет тощо. , причому для деяких з них ми можемо відразу вирішити, яке з них більше, а яке менш можливе. Наприклад, відразу видно, що подія А можливіша (ймовірно), ніж В1 а подія F можливіша, ніж Е. Щодо інших подій нашого списку таких висновків відразу зробити не можна; для цього умови досвіду описані недостатньо докладно. Так чи інакше, будь-яка випадкова подія має якийсь ступінь можливості, яку в принципі можна виміряти чисельно. Щоб порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, потрібно пов'язати з кожним із них якесь число, яке тим більше, чим можливіша подія. Це число ми назвемо ймовірністю події. 1.1. ВИПАДКОВА ПОДІЯ. ЙОГО ЙМОВІРНІСТЬ 17 Зазначимо, що порівнюючи між собою за рівнем можливості різні події, ми схильні вважати більш ймовірними ті події, які відбуваються частіше, менш ймовірними - ті, що відбуваються рідше; малоймовірними, які майже ніколи не відбуваються. Наприклад, подія «випадання дощу в Москві 1 червня майбутнього року» більш імовірна, ніж «випадання снігу в Москві того ж дня», а подія «землетрус у Москві, що перевищує за інтенсивністю 3 бали, протягом наступного року» вкрай малоймовірна (хоча такий землетрус і спостерігався 1977 р., і статистика каже, що подібні події відбуваються приблизно раз на 100 років). Таким чином, поняття ймовірності події від початку тісно пов'язується з поняттям його частоти (докладніше це основне поняття буде освітлене нижче, див. п. 1.3). Характеризуючи можливості подій числами, необхідно встановити якусь одиницю виміру. Як така одиниця природно взяти ймовірність достовірної події, тобто такої, яка в результаті досвіду неминуче має відбутися. Приклад достовірної події - випадання трохи більше шести очок під час кидання гральної кістки*). Інший приклад достовірної події: «камінь, кинутий нагору рукою, повернеться на Землю, а не стане її штучним супутником». Протилежністю достовірної події є неможливе подія - те, що у цьому досвіді взагалі може статися. Приклад: "випадання 12 очок при киданні однієї гральної кістки". Неможливим подіям природно приписати ймовірність, рівну нулю. Якщо приписати достовірній події ймовірність, рівну одиниці, а неможливому - рівну нулю, то всі інші події - можливі, але не достовірні, будуть характеризуватись ймовірностями, що лежать між нулем та одиницею, що становлять якусь частку одиниці. Таким чином, встановлені одиниця виміру ймовірності – ймовірність достовірної події та діапазон зміни ймовірностей – числа від нуля до одиниці. Яку б подію А ми не взяли, її ймовірність Р(А) *) «Гральною кісткою» називається кубпк, на шести гранях якого нанесено 1, 2, 3, 4, 5, 6 точок (окулярів), 18 гл i. Основні поняття теорії перогттноглтп задовольняє умові: 0<Р(Л)<1. A.1.1) Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события. Событие А называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю: Р {А)« 0. Пример. Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие А состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку «Евгения Онегина»: «Мой дядя самых честных правил». Событие А не является физически невозможным; в дальнейшем (см. п. 2.3) мы даже подсчитаем его вероятность, которая равна (&) ". Она настолько мала, что событие с такой вероятностью смело можно считать практически невозможным. > Аналогічно, практично достовірною називається подія, ймовірність якої не точно дорівнює одиниці, але дуже близька до одиниці: Введемо нове важливе поняття: протилежна подія. Протилежною події А називається подія JJ, яка полягає в непояві події А. Приклад. Досвід: один постріл по мішені. Подія А - попадання до десятки. Протилежна подія А - непопадання до десятки. > Повернемося до практично неможливих і достовірних подій. Якщо якесь подія практично неможливо, то протилежне йому практично достовірно, і навпаки. Практично неможливі (п супутні їм практично достовірні) події відіграють велику роль теорії ймовірностей: ними заснована вся її пізнавальна цінність. Жоден прогноз у сфері випадкових явищ немає і може бути повністю 1.1. ВИПАДКОВА ПОДІЯ ЙОГО МОЖЛИВІСТЬ 19 достовірним; він може бути тільки практичним і достовірним, тобто здійснюватися з дуже великою ймовірністю. В основі застосування всіх висновків і рекомендацій, що добуваються за допомогою теорії ймовірностей, лежить принцип практичної впевненості, який може бути сформульований наступним чином: Якщо ймовірність події А в даному досвіді дуже мала, то (при одноразовому виконанні досвіду) можна поводитися так, ніби подія А взагалі неможливо, тобто не розраховувати на його появу. У повсякденному житті ми постійно (хоч і несвідомо) користуємося цим принципом. Наприклад, виїжджаючи кудись на таксі, ми не розраховуємо на можливість загинути в дорожній катастрофі, хоча деяка (дуже мала) ймовірність такої події все ж таки є. Вирушаючи влітку на Кавказ або в Крим, ми захоплюємо з собою зимового верхнього одягу, хоча якась (дуже мала) ймовірність того, що нас наздожене мороз, все-таки не дорівнює нулю. Звернімо увагу на слова «при одноразовому виконанні досвіду» у формулюванні принципу практичної впевненості. Справа в тому, що виробляючи багато дослідів, у кожному з яких ймовірність події А мізерно мала, ми підвищуємо ймовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз у масі дослідів. Справді, уявіть собі лотерею, в якій на мільйон квитків лише один виграш. Хтось купує одіп квиток. Імовірність виграшу для нього 0,000001, тобто мізерно мала, і можна вважати виграш практично неможливим. А тепер уявіть собі, що розпродано всі 1000000 квитків. Хтось із тих, хто купив, отримає виграш, тобто для нього станеться практично неможлива подія. За рахунок чого? За рахунок того, що досвід (купівля квитка) зроблений дуже багато разів. Аналогічно справи з надійністю складних агрегатів. Нехай агрегат складається з великої кількості елементів N. Кожен із них відмовляє (виходить з ладу) з мізерно малою ймовірністю. Але за рахунок того, що елементів дуже багато, ймовірність того, що відмовить хоча б один із них, перестає бути близькою до нуля (див. приклад 16 п. 2.4). Переходимо до найтоншого і найважчого питання: наскільки мала повинна бути ймовірність 20 гол. i. основні поняття теорії ймовірностей події, щоб його можна було вважати практично неможливим? Відповідь на це питання виходить за рамки математичної теорії і в кожному окремому випадку вирішується з практичних міркувань відповідно до тієї важливості, яку має для нас бажаний результат досвіду. Чим небезпечніша можлива помилка передбачення, тим ближче до нуля має бути ймовірність події, щоб його вважати практично неможливим. Наприклад, коли ми, на основі ймовірнісних розрахунків, передбачаємо, що середній результат N зважувань не відхилиться від справжньої ваги тіла більше, ніж на задану величину е, а ймовірність того, що відхилення буде більше е, дорівнює 0,01, ми ще можемо примиритися з цим і вважати подію А - «помилка більша за е» - практично неможлива. Чим ми ризикуємо в даному випадку? Легкою неправильністю передбачення. Цілком інша справа - якщо ймовірність вибуху космічної ракети при її запуску дорівнює тим же 0,01. Ризик великий, велика відповідальність; в таких умовах будь-що треба домагатися «ймовірності невдачі», на кілька порядків меншою. Розмір допустимої «імовірності ризику» завжди призначається дослідником, виходячи зі ступеня ризику ризику. Вибирається він більш менш довільно. Тому всіх прогнозах, здійснюваних методами теорії ймовірностей, завжди лежить відбиток «початкового свавілля», що з вибором досить малої «імовірності ризику»,- ймовірності те, що прогноз не виправдається. Ця обставина не знижує цінності імовірнісних методів дослідження. «Орієнтовний прогноз» все ж таки краще, ніж «ніякий прогноз», який випливав би з вимоги, щоб «імовірність ризику» була точно рівна нулю. Щоб переконатися в корисності ймовірнісних методів передбачення, пропонуємо читачеві (якщо він не лінивий і цікавий) виконати елементарний досвід: кинути монету будь-якої гідності N = 1000 разів (для простоти можна кидати відразу по 10 штук, ретельно перетрусивши їх у коробці) і підрахувати кількість з'явилися гербів. На основі ймовірнісних методів можна стверджувати з практичною достовірністю (у даному випадку з ймовірністю приблизно 0,997), що кількість 1.2. Безпосередній підрахунок ймовірностей 21 гербів не вийде за межі D53-5-547) *). Не надто точне передбачення, чи не так? Але не користуючись імовірнісними методами, ми могли б дати тільки одне, суворо достовірне, зате тривіальне передбачення: кількість гербів, що випали, буде укладено в межах @-М000). 1.2. Безпосередній підрахунок ймовірностей Існує клас дослідів, котрим ймовірності їх можливих результатів можна обчислити, виходячи безпосередньо із умов досвіду. Для цього потрібно, щоб різні результати досвіду мали симетрію і через це були об'єктивно однаково можливими. Розглянемо, наприклад, досвід, що полягає у киданні гральної кістки. Якщо кубик виконаний симетрично, «правильно» (центр тяжіння не зміщений до жодної з граней), природно припустити, що кожна з шести граней випадатиме так само часто, як кожна з інших. Так як достовірна подія «випаде якась із граней» має ймовірність, рівну одиниці, і розпадається на шість однаково можливих варіантів A, 2, 3, 4, 5 або 6 очок), то природно приписати кожному з них ймовірність, рівну 1/ 6. Для будь-якого досвіду, що має симетрію можливих наслідків, можна застосувати аналогічний прийом, який називається безпосереднім підрахунком ймовірностей. Симетрія можливих результатів найчастіше спостерігається в штучно організованих дослідах, де вжито спеціальних заходів для її забезпечення (наприклад, тасовка карт або кісток доміно, яка для того і проводиться, щоб кожна з них могла бути обрана з однаковою ймовірністю; або ж прийоми випадкового вибору групи виробів для контролю якості у заводській практиці). У таких дослідах підрахунок ймовірностей подій виконується найпростіше. Невипадково початковий свій розвиток (ще XVII столітті) теорія ймовірностей отримала на матеріалі азартних ігор, які поколіннями вироблялися саме так, щоб *) Про те, як робляться такі передбачення, можна дізнатися в гол. 10, п. 10.2, приклад 12. 22 ГЛ. 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ результат досвіду не залежав від піддаються контролю його умов (рулетка, кістки, карткові ігри). Прийом безпосереднього підрахунку ймовірностей, що історично виник разом з математичною теорією випадкових явищ, був покладений в основу так званої «класичної» теорії ймовірностей і довгий час вважався універсальним. Досліди, які не мають симетрії можливих результатів, штучно зводилися до «класичної» схеми. Незважаючи на обмежену сферу практичного застосування цієї схеми, вона все ж таки представляє відомий інтерес, оскільки саме на ній найлегше познайомитися з властивостями ймовірностей. Перед тим, як дати способи безпосереднього підрахунку ймовірностей, введемо деякі допоміжні поняття. 1. Повна група подій. Говорять, що кілька подій у цьому досвіді утворюють повну групу, якщо в результаті досвіду неминуче має з'явитися хоча б одна з них. Приклади подій, що утворюють повну групу: 1) «випадання герба» та «випадання решки» під час кидання монети*); 2) поява "1", "2", "3", "4", "5", "6" очок при киданні гральної кістки; 3) «два попадання», «два промахи» і «відпопадання, один промах» при двох пострілах по мішені; 4) «поява білої кулі» та «поява чорної кулі» при вийманні однієї кулі пз урни, в якій 2 білі та 3 чорні кулі **); 5) "поява хоча б однієї білої" і "поява хоча б однієї чорної кулі" при вийманні двох куль з тієї ж урни. Спеціально звернемо увагу на останній приклад. У ньому дано дві події, які не виключають одна одну: насправді, якщо вийняти 1 білу та 1 чорну кулю, з'являється і те, й інше. Але не дарма ж при визначенні повної групи подій ми сказали «неминуча-|) Вихід «монета встане на ребро» ми відкидаємо, як мізерно малоймовірний (практично неможливий). *) У всіх завданнях «па урпи» тут і надалі ми припускатимемо, що кулі ретельно перемішані. 1.2. Безпосередній підрахунок ймовірностей 23 але має з'явитися хоча б одне з них» («хоч би одне» означає «одне або більше»). Якщо події утворюють повну групу, то досвід не може закінчитися крім них. До повної групи подій можна додавати ще будь-які події, будь-які результати досвіду; від цього повнота групи подій не втрачається. 2. Несумісні події. Декілька події в цьому досвіді називаються несумісними, якщо жодні з них не можуть з'явитися разом. Приклади несумісних подій: 1) «випадання герба» та «випадання решки» при киданні монети; 2) «два влучення» та «два промахи» при двох пострілах; 3) «випадіння двох», «випадіння трьох» і «випадання п'яти» очок при одноразовому киданні гральної кістки; 4) "поява туза", "поява десятки" і "поява карти з картинкою" (короля, дами або валета) при вийманні однієї карти з колоди; 5) «поява трьох» і «поява більше трьох» очок при киданні гральної кістки; 6) спотворення "рівно п'яти", "рівно двох" п "не менше шести" символів при передачі повідомлення, що складається з 10 символів. Згадаймо, що до повної групи подію можна було додавати будь-які інші події, не порушуючи повноту. Що стосується несумісних подій, то з них можна викидати будь-які (поки що залишаються хоча б дві), не порушуючи властивості несумісності. 3. Рівноможливі події. Декілька подій в даному досвіді називаються рівноможливими, якщо за умовами симетрії є підстава вважати, що жодне з них не є об'єктивно більш можливим, ніж інше. Зауважимо, що рівноможливі події не можуть з'являтися інакше, ніж у дослідах, що володіють симетрією похідних результатів; наше незнання про те, яке з них ймовірніше, не є підставою для того, щоб вважати події рівноможливим. Приклади рівноможливих подій: 1) «випадання герба» і «випадання рішки» при киданні симетричної, «правильної» монети; 24 гол. i. основні поняття теорії ймовірностей 2) випадання «трьох», «чотирьох», «п'яти» та «шості» очок при киданні симетричної, «правильної» гральної кістки; 3) поява кулі з номером «1», «2», «4» та «5» при вийманні навмання кулі з урни, в якій 10 перенумерованих куль; 4) поява куль із номерами «2 та 3», «3 та 4», «5 та 8» при вийманні двох куль з тієї ж урни; 5) поява картки «з літерою а», «з літерою ф» та «з літерою щ» при вийманні однієї з ретельно перемішаних карток дитячої абетки; 6) поява карти «червоної», «бубнової», «трефової» або «пікової» масті при вийманні карти з колоди. Зауважимо, що рівноможливість подій у кожному з цих дослідів забезпечується спеціальними заходами (симетричне виготовлення кісток; тасовка карт; ретельне перемішування куль у урії тощо). З групи, що містить більше двох рівноможливих подій, можна виключати будь-які (крім останніх двох), не порушуючи їх рівноможливості. З дослідами, які мають симетрією можливих результатів, пов'язуються особливі групи подій, які мають усіма трьома властивостями: вони утворюють повну групу, несумісні і рівноможливі. Події, що утворюють таку групу, називаються випадками (інакше "шансами"). Приклади випадків: 1) поява «герба» та «решки» під час кидання монети; 2) поява «1», «2», «3», «4», «5» та «6» очок при киданні гральної кістки; 3) поява кулі з номером «1», «2», ... при вийманні однієї кулі з урни, в якій п перенумерованих куль; 4) поява карти «червоної», «бубнової», «трефової» та «пікової» масті при вийманні однієї карти з колоди в 36 аркушів. Якщо досвід має симетрію можливих результатів, то випадки є вичерпним набором його рівноможливих і виключають один одного результатів. Про такий досвід говорять, що він зводиться до схеми випадків (інакше -до «схеми урн», бо будь-яке ймовірнісне завдання для такого досвіду можна замінити екві- 1.2. НЕПОРІЗДЕННИЙ ПІДРАХУНОК ВІРОЯТНОСТЕЙ 25 валентним їй завданням, де фігурують урни, де фігурують урни квітів). Для таких дослідів можливий безпосередній підрахунок ймовірностей, що ґрунтується на підрахунку частки так званих сприятливих випадків у загальному їх числі. Випадок називається сприятливою (або «сприятливою») події Л, якщо поява цього випадку тягне за собою появу цієї події. Наприклад, при киданні гральної кістки з шести випадків («1», «2», «3», «4», «5», «6» очок) події А – «поява парного числа очок» сприятливі три випадки: «2 », «4», «6» і не сприятливі решта трьох. Події У - «поява щонайменше 5 очок» сприятливі випадки «5», «6», і сприятливі інші чотири. Якщо досвід зводиться до схеми випадків, то ймовірність події А в даному досвіді можна обчислити як частку сприятливих випадків у їх загальному числі: m А РD)--^, A.2.1) де wA - число випадків, сприятливих події А; п - загальна кількість випадків. Формула A.2.1), так звана «класична формула» для обчислення ймовірностей, запропонована ще в XVII столітті, коли головним полем застосування теорії ймовірностей були азартні ігри (у яких симетрія можливих результатів забезпечується спеціальними заходами), тривалий час (аж до XIX століття) фігурувала у літературі як «визначення ймовірності»; ті завдання, у яких схема випадків відсутня, штучними прийомами зводилися до неї. В даний час формального визначення ймовірності не дається (це поняття вважається «первинним» і не визначається), а за його пояснення виходять з інших принципів, безпосередньо пов'язуючи його з поняттям частоти події (див. п. 1.3). Застосовується також аксіоматична, теоретико-множинна побудова теорії ймовірностей на основі загальних положень теорії множин та невеликої кількості аксіом (див. пп. 1.4, 1.5). Що стосується формули A.2.1), то вона зберігається нині лише для підрахунку ймовірностей подій у дослідах, що мають симетрію можливих наслідків. Наведемо кілька прикладів її застосування. 26 ГЛ. 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ Приклад 1. У урні перебуває 5 куль, у тому числі 2 білих і 3 чорних. З урни навмання виймається одна куля. Знайти ймовірність того, що ця куля буде білою. Рішення. Позначимо А подія, що цікавить нас: А = (поява білої кулі) *). Загальна кількість випадків п = 5; їх дві сприятливі події А: тА = 2. За формулою A.2.1) Р(^) = 2/5. > Приклад 2. У урні 7 куль: 4 білих та 3 чорних. З неї виймаються (одночасно або послідовно) дві кулі. Знайти ймовірність того, що вони будуть білими: В = (обидві кулі білі). При розв'язанні цієї задачі та інших їй подібних ми будемо користуватися елементарними формулами комбінаторики, зокрема, формулою для числа рахунку і it. Число поєднань до елементів по / - це число способів, якими можна вибрати / різних елементів з к позначається воно Ck і обчислюється за формулою: ri * (*-1) | . (/; - / -! - 1) Або, користуючись знаком факторіалу (!) , Л: (Л- - 1) ...(*- /+ 1) *I Число поєднань має наступні властивості: Користуючись формулою A.2.2), розв'яжемо приклад 2. Рішення. Загальна кількість випадків у прикладі 2 дорівнює числу способів, якими можна вибрати 2 кулі з 7: а число випадків, сприятливих події 5,- це число способів, якими можна вибрати 2 білих кулі з 4: *) Тут і надалі ми будемо користуватися подобпим позначенням подій, ставлячи про фігурні дужки їхній словесний опис. 1.2. НЕПЕРЕДІЙНИЙ ПІДРАХУНОК ІМОВІРНОСТЕЙ 27 Звідси Р(В)-±- 2 ь Приклад 3. У партії з До виробів М дефектних. Пз партії вибирається для контролю за виробами (до<К). Найти вероятность того, что среди них будет ровно т дефектных (т ^ к). Решение. Общее число случаев п = Ск* Найдем mD - число случаев, благоприятных событию D = {ровно т дефектных изделий в контрольной партии). Найдем сперва число способов, какими из М дефектных изделий можно выбрать т для контрольной партии; оно равно C™i- Но ото еще не все: к каждой комбинации дефектных изделий пужно присоединить комбинацию из fe - m доброкачественных; это можно сделать CjfJlj способами. Каждая комбинация из т дефектных изделий может сочетаться с каждой комбинацией пз k - m доброкачественных; число тех и других комбинаций надо перемножить. Поэтому число благоприятных событию D случаев равно nip = C^"CkIIm и Р(В)-СТгСкК--УСкК. > A,2.3) Приклад 4. Хтось вибирає навмання 6 клітин «Спортлото» F пз 49). Знайти ймовірність того, що він правильно вгадає пз числа 6 номерів, що виграли: А = (рівно три), В =» (рівно чотири), С = = (рівно п'ять), D = (усі шість). Рішення. Неважко переконатися, що завдання по структурі повністю збігається з попередньою, якщо вважати «дефектними» номери, що виграли, а «доброякісними», що не виграли. Застосовуючи формулу A.2.3), вважаючи в ній ЛГ = 49, М = 6, а т - послідовно рівним 3, 4, 5, 6, отримаємо: с. С ^ р (А) - -±^ » 1,765.1(Гг, Р (Я) - -5-12 « 9,686- Ю~\ С С4» ~8" > 28 ГЛ. полягає в одночасному (або послідовному) киданні двох монет Знайти ймовірність події А = (хоча б на одній монеті випаде герб) Рішення З першого погляду легковажному і квапливому читачеві може здатися, що в цьому завданні три випадки: Л! герба);Лг^дпе решки);Аг = (герб і регака).Однак це неправильно: ці події нерівноможливі;останнє вдвічі ймовірніше кожного з інших.Складемо схему випадків;для цього назвемо монети: перша і друга (якщо вони кидаються послідовно, першою буде перша за часом, якщо одночасно, то, наприклад, та, центр якої ляже північніше).Випадками будуть наступні події: 2? на другий решка), Bz * (на першій монеті герб, на другій решка), ^ - (на першій монеті решка, на другий герб).Знайдемо Р(А).З чотирьох випадків подію ию А сприятливі всі, крім В2; отже, ТА = 3 і РD) = 3/4. Події As = (герб і решка) сприятливі останні два випадки В3 і /?4, звідки Р (^3) = 2/4 «* 1/2, т. е. подія А3 вдвічі ймовірніше кожного з подій Av і А2. > 1.3. Частота плі статистична ймовірність події Як уже знаємо, формула A.2.1) для безпосереднього підрахунку ймовірностей застосовна тільки тоді, коли досвід, в результаті якого може з'явитися подія, що цікавить нас, має симетрію можливих результатів. Очевидно, це далеко не завжди так, і існує величезний клас подій, ймовірність яких не можна обчислювати за «класичною» формулою. Візьмемо, наприклад, неправильно зроблену гральну кістку (зі зміщеним центром тяжіння). Подія А «(випадання 5 очок) вже не матиме ймовірність 1/6. Але ж який? І як його знайти? Відповідь інтуїтивно зрозуміла: треба «спробувати» залишати кістку діста- i.3. частота або статистична ймовірність 29 точно багато разів і подивитися, наскільки часто буде з'являтися подія А, Очевидно, що ймовірності таких подій, як В = (потрапляння в ціль при пострілі), С = (вихід з ладу інтегральної схеми протягом однієї години роботи) , D = (при контролі виробів буде виявлено за день рівно т дефектних), також не можуть бути пойдені за формулою A. 2.1)-відповідні досліди до схеми випадків не зводяться. Тим не менш, природно припустити, що кожне з них має якийсь ступінь об'єктивної можливості, яка при багаторазовому повторенні відповідних дослідів відображатиметься у відносній частоті подій. Ми будемо виходити з припущення, що кожна з випадкових подій (зводиться досвід до схеми випадків чи ні, аби він був необмежено відтворюваний) має якусь ймовірність, укладену між нулем і одиницею. Для дослідів, що зводяться до схеми випадків, підрахунок ймовірностей проводиться (прямо чи опосередковано) за формулою A.2.1). З тими ж дослідами, які до схеми випадків не зводяться, справа складніша: пряме або опосередковане знаходження ймовірностей подій корінням своїм йде в збір даних, статистику, масовий експеримент. Введемо одне з найважливіших понять теорії ймовірностей – поняття частоти випадкової події. Якщо виробляється серія з п дослідів, у кожному з яких може з'явитися або не з'явитися подія А, то частотою події А в даній серії дослідів називається відношення числа дослідів, в яких з'явилася подія Л, до загального числа п зроблених дослідів. Частоту події часто називають її статистичною ймовірністю (на відміну від раніше введеної «математичної» ймовірності). ч Підкреслимо, що для обчислення частоти події недостатньо знати умови досвіду, потрібно ще мати якийсь масив статистичних даних. Частота – характеристика досвідчена, експериментальна. Умовимося позначати частоту (статистичну ймовірність) події А знаком Р*(-4) (тут і в подальшій зірочка у літери буде вказувати на статистичний характер відповідного параметра). Згідно з визначенням, частота події А обчислюється за формулою: м р*(Л) = -^г A.3.1) де п - число вироблених дослідів (не плутати з числом випадків у «класичній схемі»!), МА - число дослідів, яких А подія з'явилася. При невеликому п частота події носить значною мірою випадковий характер. Нехай, наприклад, досвід – кидання монети, подія А = (поява герба). Імовірність цієї події, за формулою A.2.1), Р(Л) = - 1/2. Що ж до частоти Р* (А), вона зовсім не повинна дорівнювати 1/2 і навіть бути близькою до неї. Наприклад, при п'яти киданнях (п = 5) цілком можливо, що герб з'явиться лише один раз: Р * (А) = * 1/5; менш ймовірно, але також можливо, що він не з'явиться взагалі жодного разу: Р * (А) = 0, або всі п'ять разів: Р * (А) = 1. Одним словом, при малій кількості дослідів частота події непередбачувана, випадкова. Однак при великій кількості дослідів п частота все більше втрачає свій випадковий характер: вона виявляє тенденцію стабілізуватися, наближаючись, з незначними коливаннями до деякої середньої постійної величини *). Наприклад, при багаторазовому киданні монети частота появи герба лише трохи ухилятиметься від 1/2 - 0,5. Для ілюстрації у табл. 1.3.1 наведено результати серії з п = G00 кидань монети (для простоти досвід підрозділений на 60 «підсерпів», у кожній з яких кидалися одночасно 10 ретельно струснутих монет і підраховувалося число гербів, що випали). Для ілюстрації на рис. 1.3.1 зображено залежність частоти Р * (Л) появи герба від числа дослідів л. З цього графіка видно, що в міру збільшення п частота виявляє тенденцію стабілізуватися, наближаючись крізь ряд випадкових відхилень до постійних явищ. і займається теорія 'ероят'ястей. 1.3. ЧАСТОТА АБО СТАТИСТИЧНА МОЖЛИВІСТЬ 31 ній величині, яку ми покладемо рівною 0,5 (це - саме ймовірність Р(А) появи герба в одному досвіді). З розгляду таблиці. 1.3.1 та графіка рис. 1.3.1 ми можемо зробити низку повчальних висновків. 1. У міру збільшення числа дослідів частота події має тенденцію наближатися до її ймовірності. Т а б л и ц а 1.3.1 Число ОПЫТОВ?1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 - 100 110 120 130 140 150 100 170 180 190 200 Р* (А) 0,600 0,650 0,600 0,575 0,540 0,550 0,528 0,512 0,588 0,490 0,550 0,492 0,523 0,500 0,493 0,475 0,471 0,472 0,463 0,465 п 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Р* U) 0,462 0,472 0,470 0,479 0,484 0,477 0,489 0,482 0,493 0,497 0,500 0,503 0,497 0,506 0,497 0,497 0,495 0,492 0,500 0,498 п 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 Р* U) 0,502 0,512 0,512 0,514 0,519 0,515 0.515 0,510 0,508 0,510 0,506 0,516 0,513 0,515 0,513 0,511 0,512 0,509 0,507 0,505 2. Це наближення йде досить повільно (набагато повільніше, ніж хотілося б!), але явно простежується на експериментальному матеріалі. 3. Коливання частоти при ймовірності носять довільний, незакономірний характер. Якби ми повторили той самий масовий досвід (виробили б інші 600 кидань монети), то крива залежності частоти Р* (А) від числа дослідів п мала б інший конкретний вид, але, мабуть, загальна тенденція наближатися до 0,5 збереглася б. Тепер запитаємо себе: чи можна сказати, що при збільшенні частота Р* (^4) прагне ймовірності Р(А) у звичайному математичному сенсі слова? Ні, цього сказати не можна, саме у зв'язку з випад- 32 ГЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ н о с т ю процесу наближення. Справді, теоретично, наприклад, чи міг би статися, що це 600 разів випав герб і Р* (А) виявилося рівним одиниці? Теоретично могло б, а на практиці – ні. Імовірність того, що всі 600 разів випаде герб настільки мала (надалі (див. гл. 2, п. 2.4) ми обчислимо її і переконаємося, що вона дорівнює A/2N00), що можна знехтувати можливістю такого збігу. Підрахунки показують, 0,650 0,500 0,550 - 100200300 Рис. 1.3.1 Ц-00500600 л що навіть значно менші відхилення частоти від ймовірності при п = 600 практично не зустрічаються. Забігаючи вперед (див. гл. І), повідомимо читачеві, що при шестистах киданнях монети частота появи герба майже напевно не відхилиться від 0,5 більше, ніж 0,06 (надалі ви навчитеся самостійно знаходити такі межі, за які практично напевно не вийдуть відхилення чисельного результату досвіду від попередньо передбаченого чи шуканого значення (див. гл. 11)). Помічена нами на конкретному прикладі закономірність має більш загальний зміст. А саме, якщо відтворювати достатню кількість разів той самий досвід з випадковим результатом, в якому може з'явитися або не з'явитися подія Л, частота Р*(Л) цієї події 1.3. ЧАСТОТА АБО СТАТИСТИЧНА МОЖЛИВІСТЬ 33 має тенденцію стабілізуватися, наближаючись крізь ряд випадкових відхилень до деякого постійного числа; Звичайно припустити, що це число і є ймовірністю події. Перевірити таке припущення ми, звісно, можемо лише подій, ймовірності яких може бути обчислені безпосередньо, за такою формулою A.2.1), т. е. дослідів, які стосуються схеми випадків. Численні масові експерименти, що проводилися різними особами з часів виникнення теорії ймовірностей, підтверджують це припущення: частота події зі збільшенням кількості дослідів справді наближається до його ймовірності. Природно припустити, що й дослідів, які зводяться до схеми випадків, той самий закон залишається чинності і що постійне значення, якого зі збільшенням кількості дослідів наближається частота події, і є що інше, як ймовірність події. Тоді частоту події при досить значній кількості дослідів можна прийняти за наближене значення ймовірності. Знання законів теорії ймовірностей дозволяє оцінити помилку цієї наближеної рівності, і навіть знайти кількість дослідів /р, у якому можна з достатньою мірою достовірності очікувати, що помилка не перевищить цієї величини. Спеціально зазначимо, що характер наближення частоти до ймовірності зі збільшенням кількості дослідів суттєво відрізняється від «прагнення до межі» в математичному значенні слова. Коли в математиці ми говоримо, що змінна хп зі зростанням п прагне постійної межі а, це означає, що різниця \ хп - а \ стає менше будь-якого позитивного е для всіх значень п, починаючи з деякого. Щодо частоти та ймовірності такого категоричного твердження зробити не можна. Немає нічого фізично неможливого в тому, що частота події при великій кількості дослідів сильно відхилиться від його ймовірності, але таке відхилення виявляється практично неможливим-настільки малоймовірним, що можна не враховувати його. Таким чином, при збільшенні числа дослідів п частота події наближається до його ймовірності, але не з повною достовірністю, а з великою ймовірністю, тим більшою, чим більша кількість дослідів зроблено. Такий спосіб наближення одних величин до інших дуже часто зустрічається в теорії ймовірностей, лежить 2 Теорія ймовірностей та її інженерні програми 34 гол. i. основні поняття теорії ймовірностей в основі більшості її висновків та рекомендації та носить спеціальну назву: «збіжність за ймовірністю». Кажуть, що величина А"п сходиться по ймовірності до величі а, якщо при скільки угодіо малому ймовірність нерівності \ Хп - а \< г с увеличением п неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов п частота события не «стремится» к его вероятности, а «сходится к ней по вероятности». Таким образом, вводя поиятие частоты события и пользуясь связью между нею и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, не только событиям, для которых применима схема случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; достаточно, чтобы опыт обладал свойством устойчивости частот, иными словами, мог быть неограниченно воспроизводим в практически одинаковых условиях. Тогда можпо, производя достаточно большое число опытов, приближенно положить искомую вероятность события равной его частоте. В дальнейшем мы увидим, что для определения вероятности события в опыте, не сводящемся к схеме случаев, сравнительно редко надо непосредственно находить из серии опытов его частоту. Теория вероятностей располагает способами, позволяющими находить вероятности событий не прямо, а косвенно, через вероятности других событий, с ними связанных. В сущности, такие косвенпые способы и составляют главное содержание теории вероятностей. Но и при пользовании косвенными способами (если опыт не сводится к схеме случаев) в копечном итоге все же приходится обращаться к экспериментальным данным. Выведем некоторые свойства частот, справедливые не только при большом, по и при любом число опытов гс. 1. Правило сложения часют. Если два события А и Б несовместны, то частота события С, состоящего в том, что появится А или В (безразлично, какое имепно), равна сумме частот этих событий: Р* (С) - Р* {А или В} - Р* (А) + Р* (В). A.3.2) Действительно, если число опытов, в которых появилось событие А, равно МА, а число опытов, в которых
1.3. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 35 появилось событие В, равно Мв и события А и В несовместны, то Р* (С) = Л^4^ = ^ + ^ = Р* (Л) + Р*(Я). 2. Правило умножения частот. Для любых двух событий А и В частота события Д состоящего в том, что появятся оба события: D = U и В) равна частоте одного из них, умноженной на «условную частоту» другого, вычисленную в предположении, что первое имело место: Р*(?> ) = Р*(Л і В)-Р*(А)-Р*(В\А)% A.3.3) де Р* (В | А) - частота події #, обчислена тільки для тих дослідів, у яких відбулося подія А (передбачається, що МАФ). Справді, нехай у МА дослідах сталася подія А; в MD дослідах воно супроводжувалося появою події, т. е. відбувалася подія D = (А і В). Тоді частота події D Але другий співмножник у формулі A.3.4) є не що інше, як частота події, обчислена тільки для тих дослідів, в яких відбулася подія А (назвемо «умовною частотою події У за наявності А» і позначимо Р * ( В\А)). Зауважимо, що умовну частоту події при наявності А можна обчислити і виходячи з P*(D) за формулою: P*(B\A)-P*(D)/P*(A), A.3.5) тобто умовна частота події В за наявності А може бути отримана розподілом частоти події D = (А і В) на частоту події А. Надалі ми побачимо, що аналогічні правила складання та множення справедливі і для ймовірностей подій. Теорія ймовірностей Можна побудувати всю її будівлю, виходячи з основного поняття частоти і посту- 36 ГЛ. і в даний час деякі автори вважають за краще викладати теорію імовірностей на частотній основі.. На наш погляд найбільш сучасним (і, що важливо, відповідним традиціям викладу теорії ймовірностей в університетах) є аксіоматичний теоретико-множинний підхід, пов'язаний з ідеями А. Н. Колмогорова; цього підходу ми й дотримуватимемося надалі. ГЛАВА 2 АКСІОМАТИКА ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ. ПРАВИЛА ДОДАТКУ ТА ПРИМНОЖЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ ТА ЇХ СЛІДСТВА 2.1. Нагадаємо тому, хто їх знає, і повідомимо того, хто вперше з ними зустрічається, основні поняття цієї математичної науки. Безліч називається будь-яка сукупність об'єктів довільної природи, кожен із яких називається елементом безлічі. Приклади множин: 1) безліч студентів, які навчаються у цьому ВНЗ; 2) безліч натуральних чисел, що не перевищують 100; 3) безліч точок на площині, що лежать усередині або на межі кола радіуса г з центром на початку координат; 4) безліч точок на числовій осі, відстань яких до точки з абсцисою а чи не перевищує d. Безліч ми позначатимемо по-різному: або однією великою літерою, або перерахуванням його елементів, даним у фігурних дужках; або зазначенням (у тих самих фігурних дужках) правила, яким елемент належить до безлічі. Наприклад, множина М натуральних чисел від 1 до 100 може бути записана у вигляді: М = І, 2, ..., 100) - U-ціле; 1<К 100} - -{f-1, ..., 100}. Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не превосходит d, может быть записано в виде S = {\z-a\^d) или S = {x: |*.-a|
Завдання та вправи з теорії ймовірностей. Вентцель Є.С., Овчаров Л.А.
5-те вид., Випр. - М.: Академія, 2003. - 448 с.
Даний посібник є систематизованою добіркою завдань і вправ з теорії ймовірностей. Всі завдання мають відповіді, а більшість - і рішення. На початку кожного розділу наведено зведення основних теоретичних положень та формул, необхідних для вирішення завдань.
Для студентів найвищих технічних навчальних закладів. Може бути використано викладачами, інженерами та науковцями, зацікавленими у освоєнні ймовірнісних методів для вирішення практичних завдань.
Формат: pdf
Розмір: 7 Мб
yandex.disk
Формат: djvu/zip
Розмір: 4,03 Мб
/ Download файл
ЗМІСТ
Передмова 3
Глава 1. Основні поняття. Безпосередній підрахунок ймовірностей 4
Розділ 2. Теореми складання та множення ймовірностей 19
Розділ 3. Формула повної ймовірності та формула Бейєса 49
Розділ 4. Повторення дослідів 70
Розділ 5. Випадкові величини. Закони розподілу. Числові характеристики випадкових величин 85
Розділ 6. Системи випадкових величин (випадкові вектори) 124
Глава 7. Числові характеристики функцій випадкових величин 152
Глава 8. Закони розподілу функцій випадкових величин. Граничні теореми теорії ймовірностей 207
Розділ 9. Випадкові функції 261
Розділ 10. Потоки подій. Марківські випадкові процеси 317
Розділ 11. Теорія масового обслуговування 363
Програми 428
Список литературы 440
ВИЩА ОСВІТА
Є. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ
ЗАВДАННЯ ТА ВПРАВИ ЗА ТЕОРІЮ МОЖЛИВОСТЕЙ
як навчальний посібник для студентів вищих технічних навчальних закладів
5-те видання, виправлене
УДК 519.21(075.8) ББК22.171я73
Рецензент – директор Інституту проблем передачі інформації РАН академік Н.А.Кузнєцов
Вентцель Є. З.
У 29 Завдання та вправи з теорії ймовірностей: Навч. посібник для студ. втузов / Є. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 5-те вид., Випр. – М.: Видавничий центр «Академія», 2003. – 448 с.
ISBN 5-7695-1054-4
Даний посібник є систематизованою добіркою завдань і вправ з теорії ймовірностей. Усі завдання забезпечені відповідями, а більшість - і рішеннями. На початку кожного розділу наведено зведення основних теоретичних положень і формул, необхідних для вирішення завдань.
Для студентів найвищих технічних навчальних закладів. Може бути використане викладачами, інженерами та науковцями, зацікавленими в освоєнні імовірнісних методів для вирішення практичних завдань.
ПЕРЕДМОВА
Цей навчальний посібник написано на основі багаторічного досвіду викладання теорії ймовірностей у вищому технічному навчальному закладі, а також досвіду застосування ймовірнісних методів для вирішення практичних завдань. На початку кожного розділу книги дано коротке зведення теоретичних відомостей і формул, необхідних вирішення завдань, вміщених у розділі.
Завдання, що є в посібнику, дуже різні за труднощами: одні призначені для придбання навичок застосування готових формул і теорем, інші вимагають певної винахідливості. При цьому прості завдання забезпечені лише відповідями, складнішими – розгорнутими рішеннями. У ряді випадків рішення містять оригінальні методичні прийоми, які можуть нагоді при вирішенні задач, що зустрічаються на практиці, оскільки є досить загальними. Завдання підвищеної проблеми відзначені зірочкою. Номери малюнків та формул до завдань відповідають номерам задач.
Особливістю, що відрізняє цю книгу від аналогічних даних, є більший обсяг рішень і розборів завдань порівняно з текстами самих завдань. У зв'язку з цим посібник займає своєрідне проміжне положення між звичайним за дачником і підручником. Для зручності читання автори відступили від традиційного поділу тексту на «завдання» і «відповіді» до них, а вважали за краще давати відповідь або вирішення кожної задачі безпосередньо за її формулюванням. Добросовісному читачеві це не завадить самостійно вирішити кожну із запропонованих завдань, звертаючись до рішення лише у разі невдачі.
Посібник призначений для осіб, знайомих з теорією ймовірностей в обсязі, наприклад, підручника Е.С.Вентцель «Теорія імовірностей», а також навчальних посібників Е.С.Вентцель, Л.А.Овчарова «Теорія ймовірностей та її інженерні програми» та «Теорія випадкових процесів та її інженерні програми». Деякі додаткові відомості, необхідні для вирішення окремих завдань, наведено у тексті.
Автори висловлюють щиру подяку рецензенту першого видання книги професору Б. В. Гнєденку, який зробив ряд корисних зауважень, а також науковому редактору книги доценту Л.З.Румшиському, який взяв на себе нелегку працю перевірки рішень усіх завдань і цим допоміг усунути деякі помилки.
Книга вперше побачила світ 1969 р. і перевидана 1973 р., 2000 р. і 2002 р. У четвертому виданні перероблена гол. 10 і введена нова гол. І, виконана на основі книги авторів.
Загалом книга видана 10 разів, включаючи видання англійською, французькою та двічі німецькою та іспанською мовами.
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ. Безпосередній підрахунок ймовірностей
Подія (або «випадкова подія») називається будь-який факт, який в результаті досвіду може відбутися або не відбутися.
Ймовірністю подіїназивається чисельний захід ступеня об'єктивної можливості цієї події.
Імовірність події А позначається Р(А), Рілір.
Достовірною називається подія U, яка в результаті досвіду неодмінно має відбутися.
Неможливим називається подіяV, яка в результаті досвіду не може статися.
P(V) = 0.
Імовірність будь-якої події А укладена між нулем та одиницею: 0<Р(А) < 1.
Повною групою подійназивається кілька подій таких, що в результаті досвіду неодмінно має статися хоча б одна з них.
Декілька подій у цьому досвіді називаються несумісними, якщо жодні з них не можуть з'явитися разом.
Декілька подій у цьому досвіді називаються рівноможливими,якщо за умовами симетрії досвіду немає підстав вважати якесь із них більш можливим, ніж будь-яке інше.
Якщо кілька подій: 1) утворюють повну групу; 2) несумісні; 3) рівноможливі, всі вони називаються випадками («шансами»).
Випадок називається сприятливою подією,якщо поява цього випадку тягне у себе поява події.
Якщо результати досвіду зводяться до схеми випадків, то ймовірність події А обчислюється за формулою
де п - загальна кількість випадків; т - число випадків, сприятливих події .
1.1. Чи утворять повну групу такі групи подій: а) досвід - кидання монети; події: А х – поява герба;
А 2 – поява цифри; б) досвід – кидання двох монет; події: У х - поява двох
гербів; У 2 – поява двох цифр; в) досвід – два постріли по мішені; події: А 0 - жодного
влучення; А х - одне влучення; А 2 - два влучення; г) досвід – два постріли по мішені; події: З х - хоча б одне
попадання; З 2 - хоча б один промах;
д) досвід – виймання карти з колоди; події: D x - поява карти червоної масті; D 2 - поява карти бубнової масти; D 3 - поява карти трефової масті?
Про т а т: а) так; б) ні; в) так; г) так; д) ні.
1.2. Чи є несумісними такі події:
а) досвід – кидання монети; події: А х – поява герба; А 2 – поява цифри;
б) досвід – кидання двох монет; події: У х – поява герба на першій монеті; У 2 – поява цифри на другій монеті;
в) досвід – два постріли по мішені; події: З 0 - жодного влучення; З х - одне влучення; З 2 - два влучення;
г) досвід – два постріли по мішені; події: D x - хоча б одне попадання; D 2 - хоча б один промах;
д) досвід - виймання двох карт із колоди; події: Е х - поява двох чорних карт; Е 2 - Поява туза; Е 3 - Поява дами?
Про т а т: а) так; б) ні; в) так; г) ні; д) ні.
1.3. Чи є рівноможливими такі події:
а) досвід – кидання симетричної монети; події: А х – поява герба; А 2 – поява цифри;
б) досвід – кидання неправильної (погнутої) монети; події: У х - поява герба; У 2 - поява цифри;
в) досвід – постріл по мішені; події: З х - влучення; З 2 - промах;
г) досвід – кидання двох монет; події: D x - поява двох гербів; D 2 - поява двох цифр; D 3 - поява одного герба та однієї цифри;
д) досвід – виймання однієї карти з колоди; події: Е х - поява карти червоної масті; Е 2 - поява карти бубнової масті; Е 3 - поява карти трефової масті;
е) досвід – кидання гральної кістки; події: F x - поява не менше трьох очок; F 2 - поява не більше чотирьох очок?
Відповідь: а) так; б) ні; в) у загальному випадку немає; г) ні; д) так; е) так.
1.4. Чи є випадками такі групи подій:
а) досвід – кидання монети; події: А х – поява герба; А 2 – поява цифри;
б) досвід – кидання двох монет; події: У х - поява двох гербів; У 2 - поява двох цифр; У 3 - поява одного герба та однієї цифри;
в) досвід – кидання гральної кістки; події: З х - поява не більше двох очок; З 2 - поява трьох або чотирьох очок; С ' - поява не менше п'яти очок;
г) досвід – постріл по мішені; події: D x - попадання; D 2 - промах;
д) досвід – два постріли по мішені; події: Е 0 - жодного влучення; Е х - одне влучення; Е 2 v - два влучення;
е) досвід - виймання двох карт із колоди; події: F x - поява двох червоних карт; F 2 - поява двох чорних карт?
Про т а т: а) так; б) ні; в) так; г) ні; д) ні; е) ні.
1.5. Наведіть приклади:
а) трьох подій, що утворюють групу випадків; б) трьох подій, рівноможливих і несумісних, але не обра
ють повної групи; в) двох подій, несумісних та утворюючих повну групу,
але не рівноможливих; г) двох подій, рівноможливих та утворюючих повну груп
пу, але спільних.
Про т а т: а) див. 1.4 в); б) див. 1.3 буд); в) див. 1.3; г) див. 1.3 е).
1.6. В урні про білих та Ъ чорних куль. З урни виймають нау гад одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля – біла.
а + Ь-1
1.8. В урні а білих і чорних куль. З урни вийняли одну кулю і, не дивлячись, відклали убік. Після цього зі скриньки взяли ще одну кулю. Він виявився білим. Знайти ймовірність того, що перша куля, відкладена убік, - теж біла.
а + Ь
1.11. У урні а білих та 6 чорних куль(а> 2). З урни виймають відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.
Р е ш ен ня. Загальна кількість випадків
п (а + Ь)(а + Ь - 1)
1.12. У урні а білих та Ъ чорних куль (а > 2, 6 > 3). З урни виймають одразу п'ять куль. Знайти ймовірність того, що два з них будуть білими, а три чорними.
Рішення.
_ (а + Ь)(а + Ь - 1)(про + Ь -2)(про 4- Ь- 3)(про + | |||||
П " ° a+b | |||||
т = Са іь - | |||||
1 0 а (а - 1) 6 (6 - 1) (6 - 2) | |||||
(а + 6) (а + 6 - 1) (а + 6 - | 2) (а + 6 - 3) (а + 6 - | ||||
1.13. У партії, що складається з виробів, є I дефектних. З партії вибирається для контролю виробів. Знайти ймовірність того, що з них рівні виробів будуть дефектними.
Відповідь р = ctcizt
1.14. Гральна кістка кидається один раз. Знайти ймовірність наступних подій: А - поява парного числа очок; В - поява не менше 5 очок; С - поява не більше 5 очок.
Відповідь. Р(А) = \; Р(5) = 1; Р(С)=Л.
1.15. Гральна кістка кидається двічі. Знайти ймовірність того, що обидва рази з'явиться однакове число очок.
Розв'язання. п = 6; m = 6; р = - = -.
п 6 (Інше рішення. Шукана ймовірність є ймовірність
того, що при другому киданні випаде та ж кількість очок, кото
роє випало при першому киданні: п = 6, га = 1, р = -.) 6
1.16. Впадають одночасно дві гральні кістки. Знайти ймовірності наступних подій:
А - сума очок, що випали, дорівнює 8;
У - добуток очок, що випали, дорівнює 8;
С- сума очок, що випали більше, ніж їх твір.
Відповідь. Р(Л) = -; | |||
1.17. Впадають дві монети. Яка з подій є більш імовірною:
А – монети ляжуть однаковими сторонами;
В – монети ляжуть різними сторонами?
Відповідь. Р(Л) = Р(£).
1.18. У урні а білих і b чорних куль (а > 2; b > 2). З урни виймають одночасно дві кулі. Яка подія більш імовірна:
А – кулі одного кольору;
В – кулі різних кольорів?
°2 а+С? | |||||
Рішення. Р(Л)= | а C 2 a+b | ° - (fl + b) (a + | |||
Cl+b | |||||
Порівнюючи чисельники цих дробів, знаходимо
Р(А)< Р(В) при а (а -1) + 6(6 - 1) < 2аЬ.
тобто. (а-б)2<а + 6; Р(Л) = Р(В) при (а - б)2 = а + 6;
Р(А) > Р(5) при (про - б)2 > а +Ь.
1.19. Троє гравців грають у карти. Кожному з них здано по 10 карток і дві картки залишено у прикупі. Один із гравців бачить, що у нього на руках 6 карт бубнової масті та 4 - не бубнової. Він скидає дві карти з цих чотирьох і бере собі прикуп. Знайти ймовірність того, що він купить дві бубнові карти.
Р е ш е н е. З 32 карт гравцеві відомо 10, а решта 22 - ні. Взяти 2 карти з прикупу це все одно, що взяти їх з 22. У числі 22 карток дві бубнових. Імовірність події дорівнює
1 _ 1
З 2 2 2~23Г
1.20. З урни, що міститьп перенумерованих куль, навмання виймають один за одним всі кулі, що знаходяться в ній. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль будуть йти за порядком: 1, 2,...,п.
Відповідь -. п!
1.21. Та ж урна, що й у попередньому завданні, але кожна куля після виймання вкладається назад і перемішується з іншими, а її номер записується. Знайти ймовірність того, що буде записана природна послідовність номерів: 1, 2, ..., п.
пп
1.22. Повна колода карт (52 листи) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 листів. Знайти ймовірність наступних подій:
А - у кожній з пачок виявиться по два тузи;
У - в одній з пачок не буде жодного туза, а в іншій – усі чотири;
В одній з пачок буде один туз, а в іншій - три.
Рішення. Загальна кількість випадків п = СЦ. Число сприятливих події А випадків = С\С 2 ^.
Р(Л) = ° 4 ° 26 48
З Ь2
Подія може здійснитися двома способами: або в першій пачці будуть всі чотири тузи, а в другій - жодного, або на оборот:
2CJC22 48 |
||
З 26 |
||
