Типові розподіли ймовірності: шпаргалка data scientist-а. Нормальний закон розподілу ймовірностей

Розділ 6. Типові закони розподілу та числові характеристики випадкових величин

Вид функцій F(x), р(х), або перерахування р(х) називають законом розподілу випадкової величини. Хоча можна уявити нескінченну різноманітність випадкових величин, законів розподілу набагато менше. По-перше, різні випадкові величини може мати абсолютно однакові закони розподілу. Наприклад: нехай y набуває всього 2 значення 1 і -1 з ймовірностями 0.5; величина z = -y має такий самий закон розподілу.
По-друге, дуже часто випадкові величини мають подібні закони розподілу, тобто, наприклад, р(х) для них виражається формулами однакового виду, що відрізняються лише однією або декількома постійними. Ці постійні називаються параметрами розподілу.

Хоча в принципі можливі різні закони розподілу, тут будуть розглянуті кілька найбільш типових законів. Важливо звернути увагу на умови, в яких вони виникають, параметри та властивості цих розподілів.

1 . Рівномірний розподіл
Так називають розподіл випадкової величини, яка може набувати будь-яких значень в інтервалі (a,b), причому ймовірність попадання її в будь-який відрізок усередині (a,b) пропорційна довжині відрізка і не залежить від його положення, а ймовірність значень поза (a,b) ) дорівнює 0.

Рис 6.1 Функція та щільність рівномірного розподілу

Параметри розподілу: a, b

2 . Нормальний розподіл
Розподіл із щільністю, що описується формулою

(6.1)

називається нормальним.
Параметри розподілу: a, σ

Малюнок 6.2 Типовий вид щільності та функції нормального розподілу

3 . Розподіл Бернуллі
Якщо проводиться серія незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може з'явитися з однаковою ймовірністю р, то кількість появи події є випадковою величиною, розподіленою за законом Бернуллі, або за біноміальним законом (інша назва розподілу).

Тут n – число випробувань у серії, m – випадкова величина (число появи події А), Р n (m) – ймовірність того, що А відбудеться саме m разів, q = 1 – р (ймовірність того, що А не з'явиться у випробуванні ).

Приклад 1: Кістку кидають 5 разів, яка ймовірність того, що 6 очок випаде двічі?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметри розподілу: n, р

4 . Розподіл Пуассона
Розподіл Пуассона виходить як граничний випадок розподілу Бернуллі, якщо спрямувати р до нуля, а до нескінченності, але так, щоб їх добуток залишався постійним: nр = а. Формально такий граничний перехід призводить до формули

Параметр розподілу: a

Розподілу Пуассона підпорядковуються дуже багато випадкових величин, що зустрічаються в науці та практичному житті.

Приклад 2: кількість дзвінків, що надходять на станцію швидкої допомоги протягом години.
Розіб'ємо інтервал часу Т (1 година) на малі інтервали dt, такі що ймовірність надходження двох і більше викликів протягом dt зневажливо мала, а ймовірність одного виклику р пропорційна dt: р = μdt;
розглядатимемо спостереження протягом моментів dt як незалежні випробування, число таких випробувань за час Т: n = T / dt;
якщо припускати, що ймовірності надходження дзвінків не змінюються протягом години, то повна кількість дзвінків підпорядковується закону Бернуллі з параметрами: n = T / dt, р = μdt. Спрямувавши dt до нуля, отримаємо, що n прагне нескінченності, а добуток n×р залишається постійним: а = n×р = μТ.

Приклад 3: число молекул ідеального газу деякому фіксованому обсязі V.
Розіб'ємо об'єм V на малі об'єми dV такі, що ймовірність знаходження двох і більше молекул в dV нехтує мала, а ймовірність знаходження однієї молекули пропорційна dV: р = μdV; розглядатимемо спостереження кожного об'ємника dV як незалежне випробування, число таких випробувань n=V/dV; якщо припускати, що ймовірність знаходження молекули в будь-якому місці всередині V однакові, повне число молекул в об'ємі V підпорядковується закону Бернуллі з параметрами: n = V / dV, р = μdV. Спрямувавши dV на нуль, отримаємо, що n прагне нескінченності, а добуток n×р залишається постійним: а = n×р =μV.

Числові характеристики випадкових величин

1 . Математичне очікування (середнє значення)

Визначення:
Математичним очікуванням називається
  (6.4)

Сума береться за всіма значеннями, які приймає випадкова величина. Ряд повинен бути абсолютно схожим (інакше кажуть, що випадкова величина не має математичного очікування)

;   (6.5)

Інтеграл повинен бути абсолютно схожим (інакше кажуть, що випадкова величина не має математичного очікування)

Властивості математичного очікування:

a. Якщо З - стала величина, то МС = З
b. МСх = СМх
c. Математичне очікування суми випадкових величин завжди дорівнює сумі їх математичних очікувань: М(х+y) = Мх+Мy d. Запроваджується поняття умовного математичного очікування. Якщо випадкова величина приймає свої значення х i з різними ймовірностями p(x i /H j) за різних умов H j , то умовне математичне очікування визначається

як або ;   (6.6)

Якщо відомі ймовірності подій H j , можна знайти повне

математичне очікування: ;   (6.7)

Приклад 4: Скільки разів у середньому кидати монету до першого випадання герба? Це завдання можна вирішувати "в лоб"

x i	1 2 3 ... k..
p(x i) :		,

але цю суму ще треба вирахувати. Можна зробити простіше, використовуючи поняття умовного та повного математичного очікування. Розглянемо гіпотези Н 1 - герб випав вперше, Н 2 - вперше не випав. Вочевидь, р(Н 1) = р(Н 2) = ½; Мx/Н 1 = 1;
Мx / Н 2 на 1 більше шуканого повного маточіння, т.к. після першого кидання монети ситуація не змінилася, але одного разу вона вже кинута. Використовуючи формулу повного математичного очікування, маємо Мх = Мx / Н 1 × р (Н 1) + М x / Н 2 × р (Н 2) = 1 × 0.5 + (Мх + 1) × 0.5, дозволяючи рівняння щодо Мх, отримуємо відразу Мх = 2.

e. Якщо f(x) - є функція випадкової величини х то визначено поняття математичного очікування функції випадкової величини:

Для дискретної випадкової величини: ;   (6.8)

Сума береться за всіма значеннями, які приймає випадкова величина. Ряд повинен бути абсолютно схожим.

Для безперервної випадкової величини: ;   (6.9)

Інтеграл повинен бути абсолютно схожим.

2 . Дисперсія випадкової величини
Визначення:
Дисперсією випадкової величини х називається математичне очікування квадрата відхилення значення величини від її математичного очікування: Dx = M(x-Mx) 2

Для дискретної випадкової величини: ;   (6.10)

Сума береться за всіма значеннями, які приймає випадкова величина. Ряд повинен бути схожим (інакше кажуть, що випадкова величина не має дисперсії)

Для безперервної випадкової величини: ;   (6.11)

Інтеграл повинен бути схожим (інакше кажуть, що випадкова величина не має дисперсії)

Властивості дисперсії:
a. Якщо З - стала величина, то DС = 0
b. DСх = З 2 Dх
c. Дисперсія суми випадкових величин завжди дорівнює сумі їх дисперсій, тільки якщо ці величини незалежні (визначення незалежних величин)
d. Для обчислення дисперсії зручно використовувати формулу:

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

Зв'язок числових характеристик
та параметрів типових розподілів

Біноміальний розподіл - один з найважливіших розподілів ймовірностей випадкової величини, що дискретно змінюється. Біноміальним розподілом називається розподіл ймовірностей числа mнастання події Ав nвзаємно незалежні спостереження. Часто подія Аназивають "успіхом" спостереження, а протилежна йому подія - "неуспіхом", але це позначення дуже умовне.

Умови біномного розподілу:

• загалом проведено nвипробувань, у яких подія Аможе наступити чи наступити;
• подія Ау кожному з випробувань може наступити з однією і тією самою ймовірністю p;
• випробування є взаємно незалежними.

Імовірність того, що в nвипробуваннях подія Анастане саме mраз, можна обчислити за формулою Бернуллі:

,

де p- ймовірність настання події А;

q = 1 - p- Імовірність настання протилежної події.

Розберемося, чому біномний розподіл описаним вище чином пов'язаний з формулою Бернуллі . Подія - кількість успіхів при nвипробуваннях розпадається на ряд варіантів, у кожному з яких успіх досягається в mвипробуваннях, а неуспіх - у n - mвипробуваннях. Розглянемо один із таких варіантів - B1 . За правилом складання ймовірностей примножуємо ймовірності протилежних подій:

,

а якщо позначимо q = 1 - p, то

.

Таку ж ймовірність матиме будь-який інший варіант, у якому mуспіхів та n - mнеуспіхів. Число таких варіантів дорівнює - числу способів, якими можна з nвипробувань отримати mуспіхів.

Сума ймовірностей усіх mчисел настання події А(чисел від 0 до n) дорівнює одиниці:

де кожен доданок являє собою доданок бінома Ньютона. Тому розподіл, що розглядається, і називається біноміальним розподілом.

Насправді часто необхідно обчислювати ймовірності " трохи більше mуспіхів у nвипробуваннях" або "не менше mуспіхів у nвипробуваннях". Для цього використовуються наступні формули.

Інтегральну функцію, тобто ймовірність F(m) того, що в nспостереженнях подія Анастане не більше mраз, Можна обчислити за формулою:

В свою чергу ймовірність F(≥m) того, що в nспостереженнях подія Анастане не менше mраз, обчислюється за такою формулою:

Іноді буває зручніше обчислювати ймовірність того, що в nспостереженнях подія Анастане не більше mраз, через ймовірність протилежної події:

.

Який із формул користуватися, залежить від того, в якій із них сума містить менше доданків.

Характеристики біномного розподілу обчислюються за такими формулами .

Математичне очікування: .

Дисперсія: .

Середньоквадратичне відхилення: .

Біноміальний розподіл та розрахунки в MS Excel

Імовірність біномного розподілу P n ( m) та значення інтегральної функції F(m) можна обчислити за допомогою функції MS Excel БІНОМ.РАСП. Вікно для відповідного розрахунку показано нижче (для збільшення натиснути лівою кнопкою миші).

MS Excel вимагає ввести такі дані:

• кількість успіхів;
• кількість випробувань;
• ймовірність успіху;
• інтегральна – логічне значення: 0 – якщо потрібно обчислити ймовірність P n ( m) і 1 - якщо ймовірність F(m).

приклад 1.Менеджер фірми узагальнив інформацію про кількість проданих протягом останніх 100 днів фотокамер. У таблиці узагальнено інформацію та розраховано ймовірність того, що в день буде продано певну кількість фотокамер.

День завершено із прибутком, якщо продано 13 або більше фотокамер. Імовірність, що день буде відпрацьовано із прибутком:

Імовірність того, що день буде відпрацьовано без прибутку:

Нехай ймовірність того, що день відпрацьований з прибутком, є постійною і дорівнює 0,61 і кількість проданих в день фотокамер не залежить від дня. Тоді можна використовувати біномний розподіл, де подія А- день буде відпрацьовано із прибутком, - без прибутку.

Імовірність того, що з 6 днів усі будуть відпрацьовані із прибутком:

.

Той самий результат отримаємо, використовуючи функцію MS Excel БІНОМ.РАСП (значення інтегральної величини - 0):

P 6 (6 ) = БІНОМ.РАСП(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Імовірність того, що з 6 днів 4 і більше днів будуть відпрацьовані із прибутком:

де ,

,

Використовуючи функцію MS Excel БІНОМ.РАСП, обчислимо ймовірність того, що з 6 днів не більше 3 днів буде завершено з прибутком (значення інтегральної величини - 1):

P 6 (≤3 ) = БІНОМ.РАСП(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Імовірність того, що з 6 днів усі будуть відпрацьовані зі збитками:

,

Той самий показник обчислимо, використовуючи функцію MS Excel БІНОМ.РАСП:

P 6 (0 ) = БІНОМ.РАСП(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Вирішити завдання самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 2.В урні 2 білі кулі та 3 чорні. З урни виймають кулю, встановлюють колір та кладуть назад. Спробу повторюють 5 разів. Число появи білих куль - дискретна випадкова величина X, Розподілена за біноміальним законом. Скласти закон розподілу випадкової величини. Визначити моду, математичне очікування та дисперсію.

Продовжуємо вирішувати завдання разом

приклад 3.З кур'єрської служби вирушили на об'єкти n= 5 кур'єрів. Кожен кур'єр з ймовірністю p= 0,3 незалежно від інших спізнюється об'єкт. Дискретна випадкова величина X- Кількість кур'єрів, що запізнилися. Побудувати низку розподілу це випадкової величини. Знайти її математичне очікування, дисперсію, середнє відхилення. Знайти ймовірність того, що на об'єкти запізняться щонайменше два кур'єри.

Закон розподілу випадкової величини X:

Приклад №2. Ймовірність влучення в мету одного стрільця за одного пострілу першого стрілка дорівнює 0.8, другого стрілка – 0.85. Стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Вважаючи попадання в ціль для окремих стрільців подіями незалежними, знайти ймовірність події А – одно попадання в ціль.
Рішення.
Розглянемо подію A – одне влучення в ціль. Можливі варіанти настання цієї події такі:

1. Потрапив перший стрілець, другий стрілок промахнувся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. Перший стрілець промахнувся, другий стрілок потрапив у мішень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Перший і другий стрілки незалежно один від одного потрапили в ціль: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

Насправді більшість випадкових величин, у яких впливає велика кількість випадкових чинників, підпорядковуються нормальному закону розподілу ймовірностей. Тому у різних додатках теорії ймовірностей цей закон має особливе значення.

Випадкова величина $X$ підпорядковується нормальному закону розподілу ймовірностей, якщо її щільність розподілу ймовірностей має такий вигляд

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Схематично графік функції $f \ left (x \ right) $ представлений на малюнку і має назву "Гауссова крива". Праворуч від цього графіка зображено банкноту в 10 марок ФРН, яка використовувалася ще до появи євро. Якщо добре придивитися, то на цій банкноті можна помітити криву гауса і її першовідкривача найбільшого математика Карла Фрідріха Гауса.

Повернемося до нашої функції щільності $f\left(x\right)$ і дамо деякі пояснення щодо параметрів розподілу $a,\ (\sigma )^2$. Параметр $a$ характеризує центр розсіювання значень випадкової величини, тобто сенс математичного очікування. При зміні параметра $a$ і незміненому параметрі $(\sigma )^2$ ми можемо спостерігати зміщення графіка функції $f\left(x\right)$ вздовж осі абсцис, причому графік щільності не змінює своєї форми.

Параметр $(\sigma )^2$ є дисперсією і характеризує форму кривої графіка щільності $f\left(x\right)$. При зміні параметра $(\sigma )^2$ при незміненому параметрі $a$ ми можемо спостерігати, як графік щільності змінює свою форму, стискаючись чи розтягуючись, у своїй не зсуваючись уздовж осі абсцис.

Імовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал

Як відомо, ймовірність попадання випадкової величини $X$ в інтервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можна обчислювати $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Тут функція $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ - функція Лапласа . Значення цієї функції беруться із . Можна відзначити такі властивості функції $ \ Phi \ left (x \ right) $.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, тобто функція $\Phi \left(x\right)$ є непарною.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно зростаюча функція.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ left (x \ right) \ ) = -0,5 $.

Для обчислення значень функції $\Phi \left(x\right)$ можна також скористатися майстром функція $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right ) -0,5 $. Наприклад, обчислимо значень функції $\Phi\left(x\right)$ за $x=2$.

Можливість попадання нормально розподіленої випадкової величини $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ в інтервал, симетричний щодо математичного очікування $a$, може бути обчислена за формулою

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Правило трьох сигм. Практично достовірно, що нормально розподілена випадкова величина $X$ потрапить в інтервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Приклад 1 . Випадкова величина $X$ підпорядкована нормальному закону розподілу ймовірностей із параметрами $a=2,\sigma =3$. Знайти ймовірність попадання $X$ в інтервал $\left(0,5;1\right)$ і можливість виконання нерівності $\left|X-a\right|< 0,2$.

Використовуючи формулу

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

знаходимо $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over(3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\) over (3))\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left (0,33 \ right) = 0,191-0,129 = 0,062 $.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Приклад 2 . Припустимо, що протягом року ціна на акції деякої компанії є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням, рівним 50 умовним грошовим одиницям, і стандартним відхиленням, рівним 10. Чому дорівнює ймовірність того, що у випадково обраний день обговорюваного періоду ціна за акцію буде:

а) понад 70 умовних грошових одиниць?

б) нижче за 50 за акцію?

в) між 45 та 58 умовними грошовими одиницями за акцію?

Нехай випадкова величина $X$ – ціна на акції деякої компанії. За умовою $X$ підпорядкована нормальному закону розподілу з параметрами $a=50$ - математичне очікування, $sigma =10$ - стандартне відхилення. Можливість $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\) over (10)) \ right) = 0,5-Phi \ left (2 \ right) = 0,5-0,4772 = 0,0228.

$$б)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$в)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Розподіл ймовірностей - ймовірнісний захід на вимірюваному просторі.

Нехай W - непорожня безліч довільної природи та Ƒ -s- алгебра на W, тобто сукупність підмножин W, що містить саме W, порожня безліч Æ, і замкнута відносно не більше, ніж лічильної множини теоретико-множинних операцій (це означає, що для будь-якого A Î Ƒ безліч = W \ Aзнову належить Ƒ і якщо A 1 , A 2 ,…Î Ƒ , то Ƒ і Ƒ ). Пара (W, Ƒ ) називається вимірним простором. Невід'ємна функція P( A), визначена для всіх A Î Ƒ , називається імовірнісною мірою, ймовірністю, Р. ймовірностей або просто Р., якщо P(W) = 1 і P є рахунково-адитивним, тобто для будь-якої послідовності A 1 , A 2 ,…Î Ƒ такий, що A і ∩ A j= Æ для всіх i ¹ jсправедливо рівність P() = P( A і). Трійка (W, Ƒ , P) називається імовірнісним простором. Імовірнісний простір є вихідним поняттям аксіоматичної теорії ймовірностей, запропонованої О.М. Колмогоровим на початку 1930 року.

На кожному імовірнісному просторі можна розглядати (дійсні) вимірні функції X = X(w), wÎW, тобто такі функції, що (w: X(w) Î B} Î Ƒ для будь-якої борелівської підмножини Bдійсної прямої R. Вимірюваність функції Xеквівалентна тому, що (w: X(w)< x} Î Ƒ для будь-якого дійсного x. Вимірювані функції називаються випадковими величинами. Кожна випадкова величина X, Визначена на ймовірнісному просторі (W, Ƒ , P), породжує Р. ймовірностей

P X (B) = P ( XÎ B) = P((w: X(w) Î B}), B Î Ɓ ,
на вимірному просторі ( R, Ɓ ), де Ɓ R, та функцію розподілу

F X(x) = P ( X < x) = P((w: X(w)< x}), -¥ < x <¥,
які називаються Р. ймовірностей та функцією розподілу випадкової величини X.

Функція розподілу Fбудь-якої випадкової величини має властивості

1. F(x) не убуває,

2. F(- ¥) = 0, F(¥) = 1,

3. F(x) безперервна зліва в кожній точці x.

Іноді у визначенні функції розподілу нерівність< заменяется неравенством £; в этом случае функция распределения является непрерывной справа. В содержательных утверждениях теории вероятностей не важно, непрерывна функция распределения слева или справа, важны лишь положения ее точек разрыва x(якщо вони є) та величини прирощень F(x+0) - F(x-0) у цих точках; якщо F X, то це збільшення є P( X = x).

Будь-яка функція F, Що володіє властивостями 1. - 3. називається функцією розподілу. Відповідність між розподілами на ( R, Ɓ ) та функціями розподілу взаємно однозначно. Для будь-якого Р. Pна ( R, Ɓ ) його функція розподілу визначається рівністю F(x) = P((-¥, x)), -¥ < x <¥, а для любой функции распределения Fвідповідне їй Р. Pвизначається на алгебрі £ множин, що складається з об'єднань кінцевого числа проміжків, що не перетинаються, функція F 1 (x) лінійно зростає від 0 до 1. Для побудови функції F 2 (x) відрізок розбивається на відрізок , інтервал (1/3, 2/3) та відрізок . Функція F 2 (x) на інтервалі (1/3, 2/3) дорівнює 1/2 і лінійно зростає від 0 до 1/2 та від 1/2 до 1 на відрізках і відповідно. Цей процес продовжується і функція F n+1 виходить за допомогою наступного перетворення функції F n, n³ 2. На інтервалах, де функція F n(x) постійна, F n +1 (x) співпадає з F n(x). Кожен відрізок, де функція F n(x) лінійно зростає від aдо b, Розбивається на відрізок , інтервал (a + (a - b) / 3, a + 2 (b - a) / 3) і відрізок . На вказаному інтервалі F n +1 (x) дорівнює ( a + b)/2, а на вказаних відрізках F n +1 (x) лінійно зростає від aдо ( a + b)/2і від ( a + b)/2 до bвідповідно. Для кожного 0 £ x£ 1 послідовність F n(x), n= 1, 2,..., сходиться до деякого числа F(x). Послідовність функцій розподілу F n, n= 1, 2,..., рівномірно безперервна, тому гранична функція розподілу F(x) є безперервною. Ця функція постійна на лічильній множині інтервалів (значення функції на різних інтервалах різні), на яких немає її точок зростання, а сумарна довжина цих інтервалів дорівнює 1. Тому міра Лебега множини supp Fдорівнює нулю, тобто Fсингулярна.

Кожна функція розподілу може бути подана у вигляді

F(x) = p ac F ac ( x) + p d F d ( x) + p s F s ( x),
де F ac , F d і F s абсолютно безперервна, дискретна та сингулярна функції розподілу, а сума невід'ємних чисел p ac , p d і p s дорівнює одиниці. Це уявлення називається розкладанням Лебега, а функції F ac , F d і F s – компонентами розкладання.

Функція розподілу називається симетричною, якщо F(-x) = 1 - F(x+ 0) для
x> 0. Якщо симетрична функція розподілу абсолютно безперервна, її щільність - парна функція. Якщо випадкова величина Xмає симетричний розподіл, то випадкові величини Xі - Xоднаково розподілено. Якщо симетрична функція розподілу F(x) безперервна в нулі, то F(0) = 1/2.

Серед ймовірностей, що часто використовуються в теорії абсолютно безперервних Р. - рівномірне Р., нормальне Р. (Р. Гаусса), експоненційне Р. і Р. Коші.

Р. називається рівномірним на інтервалі ( a, b) (або на відрізку [ a, b], або на проміжках [ a, b) та ( a, b]), якщо його щільність стала (і дорівнює 1/( b - a)) на ( a, b) і дорівнює нулю поза ( a, b). Найчастіше використовується рівномірне Р. на (0, 1), його функція розподілу F(x) дорівнює нулю при x£ 0, дорівнює одиниці при x>1 та F(x) = xпри 0< x£ 1. Рівномірне Р. на (0, 1) має випадкову величину X(w) = w на імовірнісному просторі, що складається з інтервалу (0, 1), сукупності борелівських підмножин цього інтервалу та міри Лебега. Цей імовірнісний простір відповідає експерименту «кидання точки w на удачу на інтервал (0, 1)», де слово «наудачу» означає рівноправність («рівноможливість») всіх точок (0, 1). Якщо на ймовірнісному просторі (W, Ƒ , P) існує випадкова величина Xз рівномірним Р. на (0, 1), то на ньому для будь-якої функції розподілу Fіснує випадкова величина Y, Для якої функція розподілу F Yспівпадає з F. Наприклад, функція розподілу випадкової величини Y = F -1 (X) співпадає з F. Тут F -1 (y) = inf( x: F(x) > y}, 0 < y < 1; если функция F(x) безперервна і строго монотонна на всій дійсній прямій, то F-1 - функція, зворотна F.

Нормальним Р. з параметрами ( a, s 2), -< a < ¥, s 2 >0, називається Р. з щільністю, -< x < ¥. Чаще всего используется нормальное Р. с параметрами a= 0 і s 2 = 1, яке називається стандартним нормальним Р., його функція розподілу F( x) через суперпозицію елементарні функції не виражається і доводиться використовувати її інтегральне уявлення F( x) =, -¥ < x < ¥. Для фунции распределения F(x) Складено докладні таблиці, які були необхідні до того як з'явилася сучасна обчислювальна техніка (значення функції F( x) можна отримувати і за допомогою таблиць спец. функції erf ( x)), значення F( x) для x>0 можна отримувати за допомогою суми ряду

,
а для x < 0 можно воспользоваться симметричностью F(x). Значення нормальної функції розподілу з параметрами aі s 2 можна отримувати, користуючись тим, що вона збігається з F(( x - a)/s). Якщо X 1 та X 2 незалежні нормально розподілені з параметрами a 1 , s 1 2 a 2 , s 2 2 випадкові величини, то розподіл їх суми X 1 + X 2 також нормально з параметрами a= a 1 + a 2 та s 2 = s 1 2 + s 2 2 . Правильно і твердження, у певному сенсі, протилежне: якщо випадкова величина Xнормально розподілена з параметрами aі s 2 , і
Х = X 1 + X 2 , де X 1 та X 2 - незалежні випадкові величини, відмінні від постійних, то X 1 та X 2 мають нормальні розподіли (теорема Крамера). Параметри a 1 , s 1 2 a 2 , s 2 2 розподілу нормальних випадкових величин X 1 та X 2 пов'язані з aі s 2 рівностями, наведеними вище. Стандартний нормальний розподіл є граничним у центральній граничній теоремі.

Експоненціальним Р. називається розподіл із щільністю p(x) = 0 при x < 0 и p(x) = l e- l xпри x³ 0 де l > 0 - параметр, його функція розподілу F(x) = 0 при x£ 0 і F(x) = 1 - e- l xпри x> 0 (іноді використовуються експоненціальні Р., що відрізняються від зазначеного зсувом по дійсній осі). Це Р. має властивість, яка називається відсутністю післядії: якщо X- випадкова величина з експоненціальним Р., то для будь-яких позитивних xі t

P( X > x + t | X > x) = P ( X > t).
Якщо X- час роботи деякого приладу до відмови, то відсутність післядії означає, що ймовірність того, що прилад, включений в момент часу 0, не відмовить до моменту x + tза умови, що він не відмовив до моменту x, не залежить від x. Ця властивість інтерпретується як відсутність "старіння". Відсутність післядії є характеризаційною властивістю експоненційного Р.: у класі абсолютно безперервних розподілів зазначена вище рівність справедлива лише для експоненційного Р. (з деяким параметром l > 0). Експонентне Р. з'являється як граничне Р. у схемі мінімуму. Нехай X 1 , X 2 , ... - Невід'ємні незалежні однаково розподілені випадкові величини і для їх загальної функція розподілу Fточка 0 є точкою зростання. Тоді при n®¥ розподілу випадкових величин Yn= min( X 1 ,…, X n) слабо сходяться до виродженого розподілу з єдиною точкою зростання 0 (це аналог закону великих чисел). Якщо додатково припустити, що для деякого e > 0 функція розподілу F(x) на інтервалі (0, e) допускає подання та p(u)®l при u 0, то функції розподілу випадкових величин Z n = n min( X 1 ,…, X n) при n®¥ рівномірно по -¥< x < ¥ сходятся к экспоненциальной функции распределения с параметром l (это - аналог центральной предельной теоремы).

Р. Коші називається Р. із щільністю p(x) = 1/(p(1 + x 2)), -¥< x < ¥, его функция рас-пределения F(x) = (arctg x+ p/2)/p. Це Р. з'явилося у роботі С.Пуассона у 1832 р. у зв'язку з вирішенням наступного завдання: чи існують незалежні однаково розподілені випадкові величини X 1 , X 2 ,... такі, що середні арифметичні ( X 1 + … + X n)/nпри кожному nмають те ж Р., що і кожна з випадкових величин X 1 , X 2 ,…? С. Пуассон виявив, що такою властивістю мають випадкові величини із зазначеною щільністю. Для цих випадкових величин не виконується затвердження закону великих чисел, у якому середні арифметичні ( X 1 +…+ X n)/nпри зростанні nвироджуються. Однак, це не протирічить закону великих чисел, оскільки в ньому на розподіл вихідних випадкових величин накладаються обмеження, які для зазначеного розподілу не виконані (для цього розподілу існують абсолютні моменти всіх позитивних порядків, менших одиниці, але математичне очікування не існує) . У роботах О.Коші Р., що носить його ім'я, з'явилося в 1853 р. Р. Коші має відношення X/Yнезалежних випадкових величин із стандартним нормальним Р.

Серед часто використовуються теоретично ймовірностей дискретних Р. - Р. Бернуллі, біноміальне Р. і Р. Пуассона.

Р. Бернуллі називається будь-який розподіл із двома точками зростання. Найчастіше використовується Р. випадкової величини X, Що приймає значення 0 і 1 з ймовірностями
q = 1 - pі pвідповідно, де 0< p < 1 - параметр. Первые формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы были получены для случайных величин, имею-щих Р. Бернулли. Если на вероятностном пространстве (W, Ƒ , P) існує послідовність X 1 , X 2 ,… незалежних випадкових величин, що приймають значення 0 і 1 з ймовірностями 1/2 кожне, то на цьому ймовірнісному просторі існує слчайна величина з рівномірним Р. (0, 1). Зокрема, випадкова величина має рівномірний розподіл (0, 1).

Біноміальний Р. з параметрами nі p, n- натуральне, 0< p < 1, называется Р., с точками роста 0, 1,..., n, в яких зосереджені ймовірності C n k p k q n-k, k = 0, 1,…, n,
q = 1 - p. Воно є Р. суми nнезалежних випадкових величин, що мають Р. Бернуллі з точками зростання 0 і 1, в яких зосереджені ймовірності qі p. Вивчення цього розподілу спричинило Я.Бернуллі до відкриття закону великих чисел, а О.Муавра - до відкриття центральної граничної теореми.

Р. Пуассона називається Р., носій якого - послідовність точок 0, 1,..., в яких зосереджені ймовірності l k e- l / k!, k= 0, 1, ... де l > 0 - параметр. Сума двох незалежних випадкових величин, що мають Р. Пуассона з параметрами l і m, знову має Р. Пуассона з параметром l + m. Р. Пуассона є граничним для Р. Бернуллі з параметрами nі p = p(n) при n®¥, якщо nі pпов'язані співвідношенням np®l при n®¥ (теорема Пуассона). Якщо послідовність 0< T 1 < T 2 < T 3 <… есть последовательность моментов времени, в которые происходят некоторые события (так. наз поток событий) и величины T 1 , T 2 -T 1 , T 3 - T 2 ,… є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами та їх загальне Р. - експоненціальне з параметром l > 0, то випадкова величина X t, що дорівнює кількості подій, що настали на інтервалі (0, t), має Р. Пуассона з параметром. t(Такий потік називається пуассонівським).

Поняття Р. має численні узагальнення, зокрема, воно поширюється на багатовимірний випадок і на структури алгебри.