Тригонометричні нерівності sin. Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей
Нерівності – це співвідношення виду a › b, де a та b – є вирази, що містять як мінімум одну змінну. Нерівності можуть бути строгими – ‹, › та нестрогими – ≥, ≤.
Тригонометричні нерівності є виразами виду: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в яких F(x) представлено однією або декількома тригонометричними функціями.
Прикладом найпростішої тригонометричної нерівності є: sin x ‹ 1/2. Вирішувати подібні завдання прийнято графічно, для цього розроблено два способи.
Спосіб 1 - Вирішення нерівностей за допомогою побудови графіка функції
Щоб знайти проміжок, що задовольняє умовам нерівність sin x ‹ 1/2, необхідно виконати такі дії:
- На координатній осі побудувати синусоїду y = sin x.
- На тій же осі накреслити графік числового аргументу нерівності, тобто пряму, що проходить через точку ординати ОY.
- Відзначити точки перетину двох графіків.
- Заштрихувати відрізок є рішенням прикладу.
Коли у виразі є суворі знаки, точки перетину не є рішеннями. Оскільки найменший позитивний період синусоїди дорівнює 2π, то запишемо відповідь так:
Якщо знаки виразу несуворі, то інтервал рішень необхідно укласти у квадратні дужки — . Відповідь завдання можна також записати у вигляді чергової нерівності: 
Спосіб 2 - Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола
Подібні завдання легко вирішуються і за допомогою тригонометричного кола. Алгоритм пошуку відповідей дуже простий:
- Спочатку варто накреслити одиничне коло.
- Потім слід зазначити значення аркфункції аргументу правої частини нерівності на дузі кола.
- Потрібно провести пряму проходить через значення аркфункції паралельно осі абсциси (ОХ).
- Після залишиться тільки виділити дугу кола, що є безліччю розв'язків тригонометричної нерівності.
- Записати відповідь у потрібній формі.
Розберемо етапи розв'язання з прикладу нерівності sin x › 1/2. На колі відмічені точки α та β – значення
Точки дуги, розташовані вище α та β, є інтервалом розв'язання заданої нерівності.
Якщо потрібно вирішити приклад для cos, то дуга відповідей розташовуватиметься симетрично осі OX, а не OY. Розглянути різницю між інтервалами рішень для sin та cos можна на схемах, наведених нижче за текстом.
Графічні рішення для нерівностей тангенсу та котангенсу відрізнятимуться і від синуса, і від косинуса. Це зумовлено властивостями функцій.
Арктангенс і арккотангенс є дотичні до тригонометричного кола, а мінімальний позитивний період для обох функцій дорівнює π. Щоб швидко і правильно користуватися другим способом, потрібно запам'ятати на якій осі відкладаються значення sin, cos, tg і ctg.
Дотична тангенс проходить паралельно осі OY. Якщо відкласти значення arctg a на одиничному колі, друга необхідна точка буде розташовано в діагональній чверті. Кути
Є точками розриву для функції, оскільки графік прагне них, але не досягає.
Що стосується котангенсом дотична проходить паралельно осі OX, а функція переривається у точках π і 2π.
Складні тригонометричні нерівності
Якщо аргумент функції нерівності представлений не просто змінною, а цілим виразом, що містить невідому, то вже йдеться про складну нерівність. Хід і порядок його вирішення дещо відрізняються від способів, описаних вище. Допустимо необхідно знайти рішення наступної нерівності:
Графічне рішення передбачає побудову звичайної синусоїди y = sin x за довільно вибраними значеннями x. Розрахуємо таблицю з координатами для опорних точок графіка:
В результаті має вийти красива крива.
Для простоти пошуку рішення замінимо складний аргумент функції
1. Якщо аргумент - складний (відмінний від х), то замінюємо його на t.
2. Будуємо в одній координатній площині tOyграфіки функцій y=costі y=a.
3. Знаходимо такі дві сусідні точки перетину графіківміж якими розташовується вище за пряму у=а. Знаходимо абсциси цих точок.
4. Записуємо подвійну нерівність для аргументу t, враховуючи період косинуса ( tбуде між знайденими абсцисами).
5. Робимо зворотну заміну (повертаємося до початкового аргументу) та виражаємо значення хз подвійної нерівності, записуємо відповідь у вигляді числового проміжку.
приклад 1.
Далі, за алгоритмом, визначаємо ті значення аргументу t, при яких синусоїда розташовується вище прямий. Випишемо ці значення у вигляді подвійної нерівності, враховуючи періодичність функції косинуса, а потім повернемося до початкового аргументу х.
приклад 2.
Виділяємо проміжок значень t, При яких синусоїда знаходиться вище за пряму.
Записуємо у вигляді подвійної нерівності значення t,які задовольняють умові. Не забуваймо, що найменший період функції y=costдорівнює 2π. Повертаємось до змінної хпоступово спрощуючи всі частини подвійної нерівності.
Відповідь записуємо у вигляді закритого числового проміжку, оскільки нерівність була суворою.
приклад 3.
Нас цікавитиме проміжок значень t, При яких точки синусоїди будуть лежати вище за пряму.
Значення tзапишемо у вигляді подвійної нерівності, перезапишемо ці ж значення для 2хі висловимо х. Відповідь запишемо у вигляді числового проміжку.
І знову формула cost>a.
Якщо cost>a, (-1≤а≤1), то - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Застосовуйте формули для вирішення тригонометричних нерівностей, і ви заощадите час на екзаменаційному тестуванні.
А зараз формула
, якою вам слід скористатися на іспиті ЕНТ або ЄДІ при вирішенні тригонометричної нерівності виду cost
Якщо cost , (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Застосуйте цю формулу для вирішення розглянутих у цій статті нерівностей, і ви отримаєте відповідь набагато швидше та без будь-яких графіків!
Враховуючи періодичність функції синуса, запишемо подвійну нерівність для значень аргументу t, що задовольняє останню нерівність. Повернемося до первісної змінної. Перетворимо отриману подвійну нерівність і висловимо змінну х.Відповідь запишемо у вигляді проміжку.
Вирішуємо другу нерівність:
При розв'язанні другої нерівності нам довелося перетворити ліву частину даної нерівності за формулою синуса подвійного аргументу, щоб отримати нерівність виду: sint≥a.Далі ми слідували алгоритму.
Вирішуємо третю нерівність:
Дорогі випускники та абітурієнти! Майте на увазі, що такі способи розв'язання тригонометричних нерівностей, як наведений вище графічний спосіб і, напевно, вам відомий, спосіб розв'язання за допомогою одиничного тригонометричного кола (тригонометричного кола) застосовні лише на перших етапах вивчення розділу тригонометрії «Рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей». Думаю, ви пригадаєте, що найпростіші тригонометричні рівняння ви спочатку вирішували за допомогою графіків або кола. Однак, зараз вам не спаде на думку вирішувати таким чином тригонометричні рівняння. А як ви їх вирішуєте? Правильно, за формулами. Ось і тригонометричні нерівності слід вирішувати за формулами, тим більше на тестуванні, коли дорога кожна хвилина. Отже, розв'яжіть три нерівності цього уроку за відповідною формулою.
Якщо sint>aде -1≤ a≤1, то arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Вчіть формули!
І, насамкінець: чи знаєте ви, що математика — це визначення, правила та ФОРМУЛИ?!
Звісно, знаєте! І найцікавіші, вивчивши цю статтю та переглянувши відео, вигукнули: «Як довго і складно! А чи немає формули, що дозволяє вирішувати такі нерівності без будь-яких графіків та кіл?» Так, певна річ, є!
Для вирішення нерівностей виду: sint (-1≤а≤1) справедлива формула:
- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Застосуйте її до розглянутих прикладів і ви отримаєте відповідь набагато швидше!
Висновок: ВЧИТЕ ФОРМУЛИ, ДРУЗІ!
Сторінка 1 з 1 1
Найпростіші тригонометричні нерівності виду sin x>a — основа вирішення складніших тригонометричних нерівностей.
Розглянемо розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей виду sin x>a на одиничному колі.
1) при 0
За допомогою асоціації косинус-колобок (обидва починаються з ко-, обидва «кругленькі»), згадуємо, що косинус – це x, відповідно, синус – y. Звідси будуємо графік y = a - Пряму, паралельну осі ox. Якщо нерівність сувора, точки перетину одиничного кола і прямий y=a виколоті, якщо нерівність нестрого — точки зафарбовуємо (як легко запам'ятати, коли точка виколота, коли зафарбована, дивіться ). Найбільше утруднення при вирішенні найпростіших тригонометричних нерівностей викликає правильне знаходження точок перетину одиничного кола та прямої y=a.
Першу з точок знайти нескладно - arcsin a. Визначаємо шлях, яким з першої точки йдемо до другої. На прямій y=a sinx=a, зверху, над прямою, sin x>a, а нижче, під прямою, sin x
2) a=0, тобто sin x>0
У цьому випадку перша точка проміжку - 0, друга - п. До обох кінців проміжку з урахуванням періоду синуса додаємо 2пn.
3) при a=-1, тобто sinx>-1
У цьому випадку перша точка -п/2, а щоб потрапити в другу, обходимо все коло проти годинникової стрілки. Потрапляємо в точку -п/2+2п=3п/2. Щоб врахувати всі інтервали, які є розв'язанням даної нерівності, до обох кінців додаємо 2пn.
4) sinx>-a, при 0
Перша точка – як завжди, arcsin(-a)=-arcsina. Щоб потрапити до другої точки, йдемо верхнім шляхом, тобто у бік збільшення кута.
На цей раз ми за п переходимо. На скільки ми переходимо? На arcsin x. Отже, друга точка – це п+arcsin x. Чому немає мінусу? Тому що мінус у записі -arcsin a означає рух за годинниковою стрілкою, а ми йшли проти. І на закінчення, до кожного кінця інтервалу додаємо 2пn.
5) sinx>a, якщо а>1.
Одиничне коло лежить цілком під прямою y=a. Немає жодної точки вище за пряму. Отже, рішень немає.
6) sinx>-a, де a>1.
У цьому випадку все одиничне коло повністю лежить над прямою y=a. Тому будь-яка точка задовольняє умову sinx>a. Значить x — будь-яке число.
І тут x — будь-яке число, оскільки точки -п/2+2пn входять до рішення, на відміну від суворої нерівності sinx>-1. Нічого виключати не треба.
Єдиною точкою на колі, що задовольняє цю умову, є п/2. З урахуванням періоду синуса рішенням даної нерівності є безліч точок x=п/2+2пn.
Наприклад, розв'язати нерівність sinx>-1/2:
Нерівності, що містять тригонометричні функції, при вирішенні зводяться до найпростіших нерівностей виду cos(t)>a, sint(t)=a і подібним. І вже найпростіші нерівності вирішуються. Розглянемо різних прикладах способи розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей.
Приклад 1. Розв'язати нерівність sin(t) > = -1/2.
Малюємо одиничне коло. Так як sin(t) за визначенням - це координата y відзначаємо на осі Оу точку у =-1/2. Проводимо через неї пряму, паралельну до осі Ох. У місцях перетину прямої з графіком одиничного кола відзначаємо точки Pt1 та Pt2. З'єднуємо двома відрізками початок координат з точками Pt1 та Pt2.
Рішенням даної нерівності будуть всі точки одиничного кола розташовані вище даних точок. Тобто рішенням буде дуга l.. Тепер необхідно вказати умови, за яких довільна точка належатиме дузі l.
Pt1 лежить у правій півкола, її ордината дорівнює -1/2, тоді t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для опису точки Pt1 можна записати таку формулу:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7 * pi/6. У результаті отримуємо для t наступне нерівність:
Ми зберігаємо знаки нерівностей. Оскільки функція синус функція періодична, значить рішення повторюватимуться через кожні 2*pi. Цю умову додаємо до отриманої нерівності для t та записуємо відповідь.
Відповідь: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
приклад 2.Розв'язати нерівність cos(t)<1/2.
Намалюємо одиничне коло. Оскільки згідно з визначенням cos(t) це координата х, відзначаємо на графіку на осі Ох точку x = 1/2.
Проводимо через цю точку пряму, паралельну до осі Оу. У місцях перетину прямої з графіком одиничного кола відзначаємо точки Pt1 та Pt2. З'єднуємо двома відрізками початок координат з точками Pt1 та Pt2.
Рішення будуть всі точки одиничного кола, які належать дузі l.. Знайдемо точки t1 і t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi/3 = 5 * pi/6.
Отримали нерівність для t: pi/3 Оскільки косинус - це періодична функція, то рішення будуть повторюватися через кожні 2*pi. Цю умову додаємо до отриманої нерівності для t та записуємо відповідь. Відповідь: pi/3+2*pi*n приклад 3.Розв'язати нерівність tg(t)< = 1. Період тангенсу дорівнює pi. Знайдемо рішення, що належать проміжку (-pi/2;pi/2) права півкола. Далі скориставшись періодичністю тангенсу, запишемо всі рішення цієї нерівності. Намалюємо одиничне коло і відзначимо на ньому лінію тангенсів. Якщо t буде рішення нерівності, то ордината точки Т = tg(t) повинна бути меншою або дорівнює 1. Безліч таких точок складатиме промінь АТ. Безліч точок Pt, які відповідатимуть точкам цього променя - дуга l. Причому точка P(-pi/2) не належить цій дузі. 1.5 Тригонометричні нерівності та методи їх вирішення 1.5.1 Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей Більшість авторів сучасних підручників з математики пропонують почати розгляд цієї теми з вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей. Принцип розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей заснований на знаннях і вміннях визначати на тригонометричному колі значення не лише основних тригонометричних кутів, а й інших значень. Тим часом, рішення нерівностей виду , , , можна здійснювати наступним чином: спочатку знаходимо якийсь проміжок (), на якому виконується дана нерівність, а потім записуємо остаточну відповідь, додавши до кінців знайденого проміжку число кратне періоду синуса або косинуса: ( Ми протягом кількох років для виявлення розв'язання тригонометричних нерівностей досить успішно застосовуємо формули коренів відповідних рівнянь. Вивчення цієї теми здійснюємо таким чином: 1. Будуємо графіки і у = а, вважаючи, що . Потім записуємо рівняння та його рішення. Надаючи n 0; 1; 2, знаходимо три корені складеного рівняння: . Значення є абсцисами трьох послідовних точок перетину графіків та у = а. Зрозуміло, що у інтервалі () виконується нерівність , але в інтервалі () – нерівність . Додавши до кінців цих проміжків число, кратне періоду синуса, у разі отримаємо розв'язання нерівності як: ; а у другому випадку – вирішення нерівності у вигляді: Тільки на відміну синуса з формули , що є рішенням рівняння , при n = 0 отримуємо два корені , а третій корінь при n = 1 як Тепер неважко записати розв'язання нерівностей та . У першому випадку отримаємо: ; а в другому: . Підведемо підсумок. Щоб розв'язати нерівність або , треба скласти відповідне рівняння і розв'язати його. З отриманої формули знайти коріння і , і записати відповідь нерівності як: . За розв'язання нерівностей , з формули коренів відповідного рівняння знаходимо коріння і , і записуємо відповідь нерівності як: . Цей прийом дозволяє навчити вирішувати тригонометричні нерівності всіх учнів, т.к. цей прийом повністю спирається на вміння, якими учні мають міцно. Це вміння вирішувати найпростіші та знаходити значення змінної за формулою. З іншого боку, стає абсолютно необов'язковим ретельне прорішування під керівництвом вчителя великої кількості вправ у тому, щоб продемонструвати всілякі прийоми міркувань залежно від знака нерівності, значення модуля числа і його знака. Та й сам процес розв'язання нерівності стає коротким і, що дуже важливо, одноманітним. Ще одним із переваг даного способу є те, що він дозволяє легко вирішувати нерівності навіть у тому випадку, коли права частина не є табличним значенням синуса чи косинуса. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Нехай потрібно вирішити нерівність. Складемо відповідне рівняння і вирішимо його: Знайдемо значення та . При n = 1 При n = 2 Записуємо остаточну відповідь даної нерівності: У розглянутому прикладі вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей недолік може бути лише один – наявність певної частки формалізму. Але якщо все оцінювати тільки з цих позицій, тоді можна буде звинуватити у формалізмі і формули коренів квадратного рівняння, і всіх формул розв'язання тригонометричних рівнянь, і багато іншого. Запропонований метод хоч і займає гідне місце у формуванні умінь та навичок розв'язання тригонометричних нерівностей, але не можна і применшувати важливість та особливості інших методів розв'язання тригонометричних нерівностей. До них належить і метод інтервалів. Розглянемо його суть. Комплект за редакцією А.Г. Мордковича, хоча залишати поза увагою решту підручників теж не варто. § 3. Методика викладання теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри та почав аналізу У вивченні тригонометричних функцій у школі можна виділити два основні етапи: ü Початкове знайомство з тригонометричними функціями... Проведенні дослідження було вирішено такі завдання: 1) Проаналізовано діючі підручники алгебри та початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики розв'язання ірраціональних рівнянь та нерівностей. Проведений аналіз дозволяє зробити такі висновки: · У середній школі недостатня увага приділяється методам розв'язання різних ірраціональних рівнянь, в основному.
). У цьому значення легко, т.к. або . Пошук значення опирається на інтуїцію учнів, їх уміння помітити рівність дуг чи відрізків, скориставшись симетрією окремих частин графіка синуса чи косинуса. А це досить великому числу учнів іноді виявляється не під силу. З метою подолання зазначених труднощів у підручниках останніми роками застосовувався різний підхід до вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей, але поліпшення результати навчання це давало.
. І знову є трьома послідовними абсцисами точок перетину графіків та . В інтервалі () виконується нерівність, в інтервалі () – нерівність
