Кутовий коефіцієнт лінійної функції. Лінійна функція та її графік

Лінійна функція – це функція виду

x-аргумент (незалежна змінна),

y- функція (залежна змінна),

k і b- деякі постійні числа

Графік лінійної функції є пряма.

Для побудови графіка достатньо двохточок, т.к. через дві точки можна провести пряму і лише одну.

Якщо k0, то графік розташований в 1-й і 3-й координатних чвертях. Якщо k˂0, то графік розташований у 2-й та 4-й координатних чвертях.

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої графіка функції y(x)=kx+b. Якщо k 0, то кут нахилу прямий y (x) = kx + b до позитивного напрямку Ох - гострий; якщо k˂0, то цей кут-тупий.

Коефіцієнт b показує точку перетину графіка з віссю ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- окремий випадок типової функції носить назву пряма пропорційність. Графіком є ​​пряма, яка проходить через початок координат, для побудови цього графіка досить однієї точки.

Графік лінійної функції

Де коефіцієнт k = 3, отже

Графік функції зростатиме і матиме гострий кут з віссю Ох т.к. Коефіцієнт k має знак плюс.

ООФ лінійної функції

ОЗФ лінійної функції

Окрім випадку, де

Також лінійна функція виду

Є функцією загального вигляду.

б) Якщо k = 0; b≠0,

У цьому випадку графіком є ​​пряма паралельна осі Ох і проходить через точку (0; b).

В) Якщо k≠0; b≠0, то лінійна функція має вигляд y(x)=k∙x+b.

Приклад 1 . Побудувати графік функції y(x)=-2x+5

Приклад 2 . Знайдемо нулі функції у = 3х + 1, у = 0;

- Нулі функції.

Відповідь: або (;0)

Приклад 3 . Визначити значення функції y=-x+3 для x=1 та x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Відповідь: y_1 = 2; y_2 = 4.

Приклад 4 . Визначити координати їхньої точки перетину або довести, що графіки не перетинаються. Нехай дані функції y 1 =10 x-8 і y 2 = -3 x +5.

Якщо графіки функцій перетинаються, значення функцій у цій точці рівні

Підставимо х=1, y 1 (1)=10∙1-8=2.

Зауваження. Підставити отримане значення аргументу можна й у функцію y 2 =-3∙x+5, тоді отримаємо той самий відповідь y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2-ордината точки перетину.

(1; 2) - точка перетину графіків функцій у = 10х-8 і у = -3х +5.

Відповідь: (1;2)

Приклад 5 .

Побудувати графіки функцій y1(x)=x+3 та y2(x)=x-1.

Можна помітити, що коефіцієнт k=1 обох функций.

З вище сказаного слід, що й коефіцієнти лінійної функції рівні, їх графіки у системі координат розташовані паралельно.

Приклад 6 .

Побудуємо два графіки функції.

Перший графік має формулу

Другий графік має формулу

У разі перед нами графік двох прямих, пересекающихся у точці (0;4). Це означає, що коефіцієнт b, відповідальний висоту підйому графіка над віссю Ох, якщо х=0. Отже ми можемо вважати, що коефіцієнт bу обох графіків дорівнює 4.

Редактори: Агєєва Любов Олександрівна, Гаврилина Ганна Вікторівна

Розглянемо завдання. Мотоцикліст, який виїхав з міста А, зараз знаходиться за 20 км від нього. На якій відстані s (км) від А буде мотоцикліст через t годин, якщо він рухатиметься зі швидкістю 40 км/год?

Очевидно, що за t години мотоцикліст проїде 50t км. Отже, через t годин він перебуватиме від А з відривом (20 + 50t) км, тобто. s = 50t + 20, де t ≥ 0.

Кожному значенню t відповідає єдине значення s.

Формулою s = 50t + 20, де t ≥ 0, задається функція.

Розглянемо ще одне завдання. За відправлення телеграми стягується плата 3 копійки за кожне слово та додатково 10 копійок. Скільки копійок (u) потрібно сплатити за відправлення телеграми, яка містить n слів?

Так як за n слів відправник повинен сплатити 3n копійок, то вартість відправлення телеграми в n слів може бути знайдена за формулою u = 3n + 10, де n – натуральне число.

В обох розглянутих задачах ми зіткнулися з функціями, заданими формулами виду у = kx + l, де k і l – це деякі числа, а х і у – це змінні.

Функція, яку можна задати формулою виду = kx + l, де k і l – деякі числа, називається лінійною.

Оскільки вираз kx + l має сенс за будь-яких х, то областю визначення лінійної функції може бути безліч всіх чисел чи його підмножина.

Окремим випадком лінійної функції є розглянута раніше пряма пропорційність. Згадаємо, при l = 0 і k ≠ 0 формула у = kx + l набуває вигляду = kx, а цією формулою, як відомо, при k ≠ 0 задається пряма пропорційність.

Нехай нам потрібно побудувати графік лінійної функції f, заданої формулою
у = 0,5 х + 2.

Отримаємо кілька відповідних значень змінної для деяких значень х:

Зазначимо точки з отриманими координатами: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Очевидно, що збудовані точки лежать на деякій прямій. З цього ще слід, що графіком цієї функції є пряма лінія.

Щоб з'ясувати, який вигляд має графік функції f, порівняємо його зі знайомим нам графіком прямої пропорційності х – у, де х = 0,5.

Для будь-якого х значення вираз 0,5 х + 2 більше відповідного значення виразу 0,5 х на 2 одиниці. Тому ордината кожної точки графіка функції f більша за відповідну ординату графіка прямої пропорційності на 2 одиниці.

Отже, графік цієї функції f може бути отриманий з графіка прямої пропорційності шляхом паралельного переносу на 2 одиниці в напрямку осі ординат.

Оскільки графік прямої пропорційності – це пряма лінія, те й графік аналізованої лінійної функції f також пряма лінія.

Взагалі графік функції, заданої формулою виду у = kx + l, є пряма лінія.

Ми знаємо, що для побудови прямої лінії достатньо визначити положення двох її точок.

Нехай, наприклад, потрібно побудувати графік функції, заданої формулою
у = 1,5 х - 3.

Візьмемо два довільні значення х, наприклад, х 1 = 0 і х 2 = 4. Обчислимо відповідні значення функції у 1 = -3, у 2 = 3, побудуємо в координатній площині точки А (-3; 0) та В (4; 3) та проведемо через ці точки пряму. Ця пряма і є потрібний графік.

Якщо область визначення лінійної функції представлена ​​не всі ми числами, то її графіком буде підмножина точок прямої (наприклад, промінь, відрізок, безліч окремих точок).

Від значень l та k залежить розташування графіка функції, заданої формулою у = kx + l. Зокрема, від коефіцієнта k залежить величина кута нахилу графіка лінійної функції до осі х. Якщо k – позитивне число, цей кут гострий; якщо k – від'ємне число, то кут – тупий. Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи представлений на малюнку нижче. (На графіці представлена ​​функція y дорівнює k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці.)

Видно, що графік складається із двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків дедалі ближче до осей координат. Осі координат у разі називають асимптотами.

Взагалі будь-які прямі лінії, яких нескінченно наближається графік функції, але з досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої малюнку вище, це пряма y=x.

Тепер розберемося із двома спільними випадками гіпербол. Графіком функції y = k/x, при k ≠0, буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k>0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.

Основні властивості функції y = k/x при k>0

Графік функції y = k/x при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функція зменшується як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).

10. Область значень функції двох відкритих проміжків (-∞;0) та (0;+∞).

Основні властивості функції y = k/x при k<0

Графік функції y = k/x при k<0

1. Крапка (0; 0) центр симетрії гіперболи.

2. Осі координат – асимптоти гіперболи.

4. Область визначення функції всіх х, крім х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функція зростає як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).

7. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.

8. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень.

9. Функція безперервна на проміжку (-∞;0) та на проміжку (0;+∞). Має розрив у точці х = 0.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Визначення лінійної функції

Введемо визначення лінійної функції

Визначення

Функція виду $y=kx+b$, де $k$ на відміну від нуля називається лінійної функцією.

Графік лінійної функції – пряма. Число $k$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

При $b=0$ лінійна функція називається функцією прямої пропорційності $y=kx$.

Розглянемо рисунок 1.

Мал. 1. Геометричний зміст кутового коефіцієнта прямої

Розглянемо трикутник АВС. Бачимо, що $ВС=kx_0+b$. Знайдемо точку перетину прямої $y=kx+b$ з віссю $Ox$:

\ \

Значить $AC=x_0+frac(b)(k)$. Знайдемо ставлення цих сторін:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

З іншого боку $ frac (BC) (AC) = tg angle A $.

Таким чином, можна зробити наступний висновок:

Висновок

Геометричний зміст коефіцієнта $k$. Кутовий коефіцієнт прямої $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до осі $Ox$.

Дослідження лінійної функції $f\left(x\right)=kx+b$ та її графік

Спочатку розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx+b$, де $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Отже, дана функція зростає по всій області визначення. Точок екстремуму немає.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графік (рис. 2).

Мал. 2. Графіки функції $y=kx+b$, за $k > 0$.

Тепер розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx$, де $k

1. Область визначення - усі числа.
2. Область значення - усі числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b, x=-frac(b)(k)$.

Точки перетину з осями координат: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ і $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Отже, функція не має точок перегину.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графік (рис. 3).