Спрощення алгебраїчних дробів онлайн. Відеоурок «Спрощення виразів

§ 1 Поняття спрощення буквеного виразу

У цьому занятті познайомимося з поняттям «подібні доданки» і на прикладах навчимося виконувати приведення подібних доданків, спрощуючи таким чином буквені вирази.

З'ясуємо сенс поняття «спрощення». Слово «спрощення» утворене від слова «спростити». Спростити означає зробити простим, простіше. Отже, спростити літерне вираз - це зробити його коротшим, з мінімальною кількістю дій.

Розглянемо вираз 9х + 4х. Це буквене вираз, що є сумою. Доданки тут представлені у вигляді творів числа та літери. Числовий множник таких доданків називається коефіцієнтом. У цьому виразі коефіцієнтами будуть числа 9 і 4. Зверніть увагу, множник, представлений буквою - однаковий в обох складових цієї суми.

Згадаймо розподільчий закон множення:

Щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожне доданок та одержані твори скласти.

Загалом записується так: (а + b) ∙ с = ac + bc.

Цей закон виконується в обидві сторони ac + bc = (а + b) ∙ с

Застосуємо його до нашого буквеного виразу: сума творів 9х і 4х дорівнює добутку, перший множник якого дорівнює сумі 9 і 4, другий множник - х.

9 + 4 = 13, виходить 13х.

9х + 4х = (9 + 4) х = 13х.

Замість трьох дій у виразі залишилася одна дія – множення. Отже, ми зробили наше літерне вираз простіше, тобто. спростили його.

§ 2 Приведення подібних доданків

Доданки 9х і 4х відрізняються лише своїми коефіцієнтами - такі доданки називають подібними. Літерна частина у подібних доданків однакова. До подібних доданків відносяться також числа та рівні доданки.

Наприклад, у виразі 9а + 12 - 15 подібними доданками будуть числа 12 і -15, а в сумі твори 12 і 6а, числа 14 і твори 12 і 6а (12 ∙ 6а + 14 + 12 ∙ 6а) подібними будуть рівні доданки, подані творами 12 та 6а.

Важливо відзначити, що доданки, у яких рівні коефіцієнти, а буквені множники різні, подібними не є, хоча до них корисно іноді застосувати розподільчий закон множення, наприклад, сума творів 5х і 5у дорівнює добутку 5 і суми х і у

5х + 5y = 5 (x + y).

Спростимо вираз -9а + 15а - 4 + 10.

Подібними доданками у разі є доданки -9а і 15а, оскільки вони відрізняються лише своїми коефіцієнтами. Літерний множник у них однаковий, також подібними є доданки -4 і 10, оскільки є числами. Складаємо подібні доданки:

9а + 15а - 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Отримуємо: 6а+6.

Спрощуючи вираз, ми знаходили суми подібних доданків, в математиці це називають приведенням подібних доданків.

Якщо приведення подібних доданків викликає складне становище, можна придумати до них слова і складати предмети.

Наприклад, розглянемо вираз:

На кожну букву беремо свій предмет: b-яблуко, с-груша, тоді вийде: 2 яблука мінус 5 груш плюс 8 груш.

Чи можемо з яблук відняти груші? Звичайно, ні. А ось до мінус 5 груш додати 8 груш можемо.

Наведемо подібні доданки -5 груш + 8 груш. У подібних доданків буквена частина однакова, тому при приведенні подібних доданків достатньо виконати додавання коефіцієнтів і до результату дописати буквену частину:

(-5 + 8) груш – вийде 3 груші.

Повертаючись до нашого буквеного виразу, маємо -5 с + 8 с = 3 с. Таким чином, після приведення подібних доданків отримаємо вираз 2b + 3с.

Отже, на цьому занятті Ви познайомилися з поняттям «подібні доданки» та навчилися спрощувати буквені вирази шляхом приведення подібних доданків.

Список використаної литературы:

Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. Мнемозин 2009.
Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. І.І.Зубарєва, А.Г. - М.: Мнемозіна, 2013.
Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ/Г.В. Дорофєєв, І.Ф. Шаригін, С.Б. Суворова та ін/за редакцією Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна; Рос.акад.наук, Рос.акад.освіти. М.: "Освіта", 2010.
Математика. 6 клас: навч.для загальноосвітніх установ/Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013.
Математика. 6 кл.: Підручник / Г.К. Муравін, О.В. Муравіні. - М.: Дрофа, 2014.

Використані зображення:

За допомогою будь-якої мови можна висловити одну й ту саму інформацію різними словами та зворотами. Не є винятком і математична мова. Але те саме вираз можна еквівалентним чином записати по-різному. І в деяких ситуаціях один із записів є більш простим. Про спрощення висловлювань ми й поговоримо на цьому уроці.

Люди спілкуються різними мовами. Для нас важливим порівнянням є пара «російська - математична мова». Одну й ту саму інформацію можна повідомити різними мовами. Але, крім цього, її можна і однією мовою вимовити по-різному.

Наприклад: «Петя товаришує з Васею», «Вася товаришує з Петею», «Петя з Васею друзі». Сказано по-різному, але те саме. За будь-якою з цих фраз ми зрозуміли б, про що йдеться.

Давайте подивимося таку фразу: «Хлопчик Петя і хлопчик Вася дружать». Ми зрозуміли, про що йдеться. Проте нам не подобається, як звучить ця фраза. Чи не можемо ми її спростити, сказати те саме, але простіше? «Хлопчик і хлопчик» - можна один раз сказати: «Хлопчики Петя і Вася дружать».

Хлопчики ... Хіба за іменами не зрозуміло, що вони не дівчатка. Прибираємо «хлопчики»: «Петя та Вася дружать». А слово «дружать» можна замінити на «друзі»: «Петя та Вася – друзі». У результаті першу, довгу негарну фразу замінили еквівалентним висловлюванням, яке простіше сказати та простіше зрозуміти. Ми спростили цю фразу. Спростити - означає сказати простіше, але не втратити, не спотворити сенс.

У математичній мові відбувається приблизно те саме. Одне й те саме можна сказати, записати по-різному. Що означає спростити вираз? Це означає, що з вихідного висловлювання існує безліч еквівалентних виразів, тобто тих, що означають те саме. І з усієї цієї множини ми повинні вибрати найпростіше, на наш погляд, чи найпридатніше для наших подальших цілей.

Наприклад, розглянемо числове вираз . Йому еквівалентне буде.

Також буде еквівалентно першим двом: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротший еквівалентний вираз.

Для числових виразів завжди потрібно виконувати всі дії та отримувати еквівалентний вираз у вигляді одного числа.

Розглянемо приклад літерного виразу . Очевидно, що простіше буде.

У разі спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентний, але довший запис.

приклад: від числа потрібно відібрати число .

Обчислити можна, але якби перше число було представлено своїм еквівалентним записом: , то обчислення були миттєвими: .

Тобто спрощене вираження не завжди нам вигідне для подальших обчислень.

Проте дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз: .

Рішення

1) Виконаємо дії у перших та у других дужках: .

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має простіший вигляд, ніж початковий. Ми його спростили.

Щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентне (рівне).

Для визначення еквівалентного виразу необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення та поділу для спрощення обчислень.

Властивості додавання та віднімання:

1. Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків сума не змінюється.

2. Поєднувальна властивість додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього числа.

3. Властивість віднімання суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна віднімати кожен доданок окремо.

Властивості множення та поділу

1. Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників твір не змінюється.

2. Сполучна властивість: щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

3. Розподільча властивість множення: щоб число помножити на суму, потрібно його помножити на кожен доданок окремо.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в умі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявимо як

2) Представимо перший множник як суму розрядних доданків та виконаємо множення:

3) можна уявити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільний закон можна використовувати і у зворотний бік: .

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

1) Для зручності можна скористатися розподільчим законом, тільки використовувати його у зворотний бік – винести загальний множник за дужки.

2) Винесемо за дужки загальний множник

Необхідно купити лінолеум на кухню та передпокій. Площа кухні - , вітальні - . Є три види лінолеумів: по , і за . Скільки коштуватиме кожен із трьох видів лінолеуму? (Мал. 1)

Мал. 1. Ілюстрація до умови завдання

Рішення

Спосіб 1. Можна окремо знайти, скільки грошей потрібно на купівлю лінолеуму на кухню, а потім у передпокій та отримані твори скласти.

Спрощення виразів алгебри є одним з ключових моментів вивчення алгебри і надзвичайно корисним навичкою для всіх математиків. Спрощення дозволяє привести складний або довгий вираз до простого виразу, з яким легко працювати. Базові навички спрощення добре даються навіть тим, хто не в захваті від математики. Дотримуючись кілька простих правил, можна спростити багато з найпоширеніших типів виразів алгебри без будь-яких спеціальних математичних знань.

Кроки

Важливі визначення

Подібні члени.Це члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними чи вільні члени (члени, які не містять змінну). Іншими словами, такі члени включають одну змінну в одній і тій же мірі, включають кілька однакових змінних або не включають змінну зовсім. Порядок членів у виразі не має значення.
- Наприклад, 3x 2 і 4x 2 - це подібні члени, оскільки вони містять змінну "х" другого порядку (другою мірою). Проте х і x 2 є подібними членами, оскільки містять змінну «х» різних порядків (першого і другого). Так само -3yx і 5хz є подібними членами, оскільки містять різні змінні.
Розкладання на множники.Це знаходження таких чисел, добуток яких призводить до вихідного числа. Будь-яке вихідне число може мати кілька множників. Наприклад, число 12 може бути розкладено на наступний ряд множників: 1 × 12, 2 × 6 і 3 × 4, тому можна сказати, що числа 1, 2, 3, 4, 6 і 12 є множниками числа 12. Множники збігаються з дільниками , тобто числами, куди ділиться вихідне число.
- Наприклад, якщо ви хочете розкласти на множники число 20, запишіть так: 4×5.
- Зауважте, що при розкладанні на множники змінна враховується. Наприклад, 20x = 4(5x).
- Прості числа не можуть бути розкладені на множники, тому що вони поділяються лише на себе та на 1.
Запам'ятайте та дотримуйтесь порядку виконання операцій, щоб уникнути помилок.
- Дужки
- Ступінь
- множення
- Поділ
- Додавання
- Віднімання
Приведення таких членів
1. Запишіть вираз.Найпростіші вирази алгебри (які не містять дробів, коренів і так далі) можна вирішити (спростити) всього за кілька кроків.
  - Наприклад, спростіть вираз 1+2x - 3+4x.
2. Визначте такі члени (члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними чи вільні члени).
  - Знайдіть подібні члени у цьому виразі. Члени 2x та 4x містять змінну одного порядку (першого). Крім того, 1 та -3 - це вільні члени (не містять змінну). Таким чином, у цьому вираженні члени 2х та 4xє подібними, і члени 1 та -3також є подібними.
3. Наведіть таких членів.Це означає скласти або відняти їх і спростити вираз.
  - 2x + 4x = 6х
  - 1 - 3 = -2
4. Перепишіть вираз із урахуванням наведених членів.Ви отримаєте простий вираз із меншою кількістю членів. Новий вираз дорівнює вихідному.
  - У прикладі: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2тобто вихідний вираз спрощено і з ним легше працювати.
5. Дотримуйтесь порядку виконання операцій при наведенні таких членів.У нашому прикладі було легко навести таких членів. Однак у разі складних виразів, у яких члени поміщені в дужки та присутні дроби та коріння, навести подібні члени не так просто. У цих випадках дотримуйтесь порядку виконання операцій.
  - Наприклад, розглянемо вираз 5(3x – 1) + х((2x)/(2)) + 8 – 3x. Тут було б помилкою одразу визначити 3x та 2x як подібні члени та привести їх, бо спочатку необхідно розкрити дужки. Тому виконайте операції відповідно до їхнього порядку.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x – 5+x2+8 – 3x. Тепер, коли у виразі присутні лише операції складання та віднімання, ви можете навести подібні члени.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Винесення множника за дужки
1. Знайдіть найбільший загальний дільник (НДД) всіх коефіцієнтів виразу.НОД - це найбільше число, яким діляться всі коефіцієнти висловлювання.
  - Наприклад, розглянемо рівняння 9x 2 + 27x - 3. І тут НОД=3, оскільки будь-який коефіцієнт даного виразу ділиться на 3.
2. Розділіть кожен член виразу на НОД.Отримані члени міститимуть менші коефіцієнти, ніж у вихідному вираженні.
  - У прикладі розділіть кожен член висловлювання на 3.
    - 9x2/3 = 3x2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Вийшов вираз 3x 2 + 9x - 1. Воно не дорівнює вихідному виразу.
3. Запишіть вихідний вираз як рівний добутку НОД на отриманий вираз.Тобто покладіть отриманий вираз у дужки, а за дужки винесіть НОД.
  - У прикладі: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)
4. Спрощення дрібних виразів за допомогою винесення множника за дужки.Навіщо просто виносити множник за дужки, як це було зроблено раніше? Потім, щоб навчитися спрощувати складні вирази, наприклад, дробові вирази. У цьому випадку винесення множника за дужки може допомогти позбавитися дробу (від знаменника).
  - Наприклад, розглянемо дрібний вираз (9x 2 + 27x - 3)/3. Скористайтеся винесенням множника за дужки, щоб спростити цей вираз.
    - Винесіть множник 3 за дужки (як ви це робили раніше): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Зверніть увагу, що тепер і в чисельнику, і в знаменнику є число 3. Його можна скоротити, і ви отримаєте вираз: (3x 2 + 9x – 1)/1
    - Так як будь-який дріб, у якого в знаменнику знаходиться число 1, дорівнює просто чисельнику, то вихідний вираз спрощується до: 3x 2 + 9x - 1.
Додаткові методи спрощення
Розглянемо простий приклад: √(90). Число 90 можна розкласти на такі множники: 9 і 10, а з 9 витягти квадратний корінь (3) і винести 3 з-під кореня.
- √(90)
- √(9×10)
- √(9)×√(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Спрощення виразів зі ступенями.У деяких виразах є операції множення або поділу членів зі ступенем. У разі множення членів з однією підставою їхнього ступеня складаються; у разі поділу членів з однією підставою їхнього ступеня віднімаються.
- Наприклад, розглянемо вираз 6x3×8x4+ (x17/x15). У разі множення складіть ступеня, а у разі розподілу – відніміть їх.
  - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
  - (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 – 15)
  - 48x7+x2
- Далі наведено пояснення правила множення та поділу членів зі ступенем.
  - Розмноження членів зі ступенями рівносильне множенню членів на себе. Наприклад, так як x 3 = x x x x x і x 5 = x x x x x x x x x x, то x 3 x x 5 = (x x x x x) x (x x x x x x x x x), або x8.
  - Аналогічно, розподіл членів зі ступенями рівносильний поділу членів на себе. x 5 /x 3 = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Так як подібні члени, що перебувають і в чисельнику, і в знаменнику, можуть бути скорочені, то в чисельнику залишається твір двох «х», або x2.

Завжди пам'ятайте про знаки (плюс або мінус), що стоять перед членами виразу, оскільки багато хто відчуває труднощі з вибором правильного знака.
Попросіть допомоги, якщо це необхідно!
Спрощувати вирази алгебри нелегко, але якщо ви наб'єте руку, ви зможете використовувати цю навичку все життя.

Початковий рівень

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Перетворення виразів

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: спростіть вираз. Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:

"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.

Зараз я навчу тебе не боятися жодних таких завдань. Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (лише!) звичайного числа (так-так, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Тому спершу, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою тему «» та «».

Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.

Базові операції спрощення

Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший з них – це

1. Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел. Подібні - це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною. Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Привести подібні - значить скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети. Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз? Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .

А тепер спробуй такий вираз: .

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети. Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл. Тоді:

стільця стільця стільців стільців стільців стільців

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами. Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він дорівнює.

Отже, правило приведення таких:

Приклади:

Наведіть такі:

Відповіді:

2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів. Після того, як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібно розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору. Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене. Для цього виріши кілька прикладів(Потрібно розкласти на множники):

Рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне й те саме число (або на один і той самий вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник та знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилку під час скорочення. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так: .

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.

Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: .

Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна й одразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною». Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники). Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Відповіді:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники. Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками». Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Насамперед визначимо порядок дій. Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один. Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом. Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.
ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
Додавання та віднімання дробів:
;
Розмноження та розподіл дробів:
;

Наприклад, розглянемо числове вираз . Йому еквівалентне буде.

Також буде еквівалентно першим двом: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротший еквівалентний вираз.

Розглянемо приклад літерного виразу . Очевидно, що простіше буде.

У разі спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентний, але довший запис.

приклад: від числа потрібно відібрати число .

Тобто спрощене вираження не завжди нам вигідне для подальших обчислень.

Проте дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз: .

Рішення

1) Виконаємо дії у перших та у других дужках: .

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має простіший вигляд, ніж початковий. Ми його спростили.

Щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентне (рівне).

Для визначення еквівалентного виразу необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення та поділу для спрощення обчислень.

Властивості додавання та віднімання:

1. Переміщувальна властивість додавання: від перестановки доданків сума не змінюється.

3. Властивість віднімання суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна віднімати кожен доданок окремо.

Властивості множення та поділу

1. Переміщувальна властивість множення: від перестановки множників твір не змінюється.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в умі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявимо як

2) Представимо перший множник як суму розрядних доданків та виконаємо множення:

3) можна уявити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільний закон можна використовувати і у зворотний бік: .

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

2) Винесемо за дужки загальний множник

Мал. 1. Ілюстрація до умови завдання

Рішення

Спрощення алгебраїчних дробів онлайн. Відеоурок «Спрощення виразів

Кроки

Важливі визначення

Приведення таких членів

Винесення множника за дужки

Додаткові методи спрощення

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Перетворення виразів

Базові операції спрощення

1. Приведення подібних

2. Розкладання на множники

3. Скорочення дробу.

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

a) Знаменники не містять літер

b) Знаменники містять літери

5. Множення та розподіл дробів.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ