Рівняння має один корінь. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння

Квадратні рівняння. Загальна інформація.

У квадратному рівнянніобов'язково має бути присутнім ікс у квадраті (тому воно і називається

"квадратним"). Крім нього, у рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) просто ікс (у першому ступені) та

просто число (вільний член). І не повинно бути іксів у мірі, більше двійки.

Алгебраїчне рівняння загального вигляду.

де x- вільна змінна, a, b, c- Коефіцієнти, причому a≠0 .

Наприклад:

Вираз називають квадратним тричленом.

Елементи квадратного рівняння мають власні назви:

· Називають першим або старшим коефіцієнтом,

· Називають другим або коефіцієнтом при ,

· Називають вільним членом.

Повне квадратне рівняння.

У цих квадратних рівняннях зліва є повний набір членів. Ікс у квадраті з

коефіцієнтом а,ікс у першому ступені з коефіцієнтом bі вільний членс. Усе коефіцієнти

повинні бути відмінними від нуля.

Неповнимназивається таке квадратне рівняння, в якому хоча б один із коефіцієнтів, крім

старшого (чи другий коефіцієнт, чи вільний член), дорівнює нулю.

Припустимо, що b= 0, - пропаде ікс у першому ступені. Виходить, наприклад:

2х 2 -6х = 0,

І т.п. А якщо обидва коефіцієнти, bі cрівні нулю, то все ще простіше, наприклад:

2х 2 = 0,

Зверніть увагу, що ікс у квадраті є у всіх рівняннях.

Чому ане може дорівнювати нулю? Тоді зникне ікс у квадраті та рівняння стане лінійним .

І вирішується вже зовсім інакше.

», тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямта як його вирішувати.

Що називають квадратним рівнянням

Важливо!

Ступінь рівняння визначають найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.

Якщо максимальний ступінь, у якому стоїть невідоме — «2», то перед вами квадратне рівняння.

Приклади квадратних рівнянь

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важливо! Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - перший або старший коефіцієнт;
• "b" - другий коефіцієнт;
• "c" - вільний член.

Щоб знайти «a», «b» та «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним виглядом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».

Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» та «c» у квадратних рівняннях.

• a = −1
• b = 1
• з =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• з = 0

• a = 1
• b = 0
• з = −8

Як вирішувати квадратні рівняння

На відміну від лінійних рівнянь для розв'язання квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коріння.

Запам'ятайте!

Щоб розв'язати квадратне рівняння потрібно:

• привести квадратне рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0". Тобто у правій частині має залишитися лише «0»;
• використовувати формулу для коріння:

Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коріння квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.

X 2 − 3x − 4 = 0

Рівняння x 2 − 3x − 4 = 0 вже приведено до загального вигляду ax 2 + bx + c = 0 і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам достатньо застосувати формулу знаходження коріння квадратного рівняння.

Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.

З її допомогою вирішується будь-яке квадратне рівняння.

У формулі «x 1;2 = » часто замінюють підкорене вираз
"b 2 - 4ac" на букву "D" і називають дискримінантом. Докладніше поняття дискримінанта у в уроці «Що таке дискримінант ».

Розглянемо інший приклад квадратного рівняння.

x 2 + 9 + x = 7x

У цьому вигляді визначити коефіцієнти «a», «b» та «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Тепер можна використати формулу для коріння.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Трапляються випадки, коли в квадратних рівняннях немає коріння. Така ситуація виникає, як у формулі під коренем виявляється негативне число.

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

• у рішенні буде два корені;
• відповіддю буде одне число;
• коріння рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони виглядатимуть як загальна формула квадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різні корені. При негативному числі коріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня – це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спершу розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

• Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

• Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.

• Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування у стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другою корисною порадою та помножити все на мінус одиницю . Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.

У цій статті ми розглянемо розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Але спочатку повторимо, які рівняння називаються квадратними. Рівняння виду ах 2 + bх + с = 0, де х - змінна, а коефіцієнти а, b і з деякі числа, причому а ≠ 0 називається квадратним. Як бачимо коефіцієнт при х 2 не дорівнює нулю, отже коефіцієнти при х чи вільний член можуть дорівнювати нулю, у разі ми й отримуємо неповне квадратне рівняння.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

1) Якщо b = 0, з ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

2) Якщо b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

3) Якщо b = 0, с = 0, то ах 2 = 0.

• Давайте розберемося як наважуються рівняння виду ах 2+с=0.

Щоб розв'язати рівняння перенесемо вільний член з праву частину рівняння, отримаємо

ах 2 = ‒с. Оскільки а ≠ 0, то розділимо обидві частини рівняння на а, тоді х 2 = ‒с/а.

Якщо ‒с/а > 0 , то рівняння має два корені

x = ±√(-c/a) .

Якщо ж ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Спробуймо розібратися на прикладах, як вирішувати такі рівняння.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 2х 2 ‒ 32 = 0.

Відповідь: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 2х 2 + 8 = 0.

Відповідь: рівняння рішень немає.

• Розберемося як вирішуються рівняння виду ах 2+bх = 0.

Щоб розв'язати рівняння ах 2 + bх = 0, розкладемо його на множники, тобто винесемо за дужки х, отримаємо х(ах + b) = 0. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тоді або х = 0, або ах + b = 0. Вирішуючи рівняння ах + b = 0, отримаємо ах = b, звідки х = b/a. Рівняння виду ах 2 + bх = 0, завжди має два корені х 1 = 0 і х 2 = b/a. Подивіться, як виглядає на схемі рішення рівнянь цього виду.

Закріпимо наші знання на конкретному прикладі.

Приклад 3. Розв'язати рівняння 3х 2 – 12х = 0.

х(3х ‒ 12) = 0

х = 0 або 3х - 12 = 0

Відповідь: х1 = 0, х2 = 4.

• Рівняння третього виду ах 2 = 0наважуються дуже просто.

Якщо ах 2 = 0, то х 2 = 0. Рівняння має два рівні корені х 1 = 0, х 2 = 0.

Для наочності розглянемо схему.

Переконаємося під час вирішення прикладу 4, що рівняння цього виду вирішуються дуже просто.

приклад 4.Розв'язати рівняння 7х2 = 0.

Відповідь: х 1, 2 = 0.

Не завжди відразу зрозуміло, який вид неповного квадратного рівняння нам належить вирішити. Розглянемо наступний приклад.

Приклад 5.Вирішити рівняння

Помножимо обидві частини рівняння на загальний знаменник, тобто на 30

Скоротимо

5 (5х2 + 9) - 6 (4х 2 - 9) = 90.

Розкриємо дужки

25х2 + 45 - 24х 2 + 54 = 90.

Наведемо подібні

Перенесемо 99 з лівої частини рівняння у праву, змінивши знак на протилежний

Відповідь: коріння немає.

Ми розібрали як вирішуються неповні квадратні рівняння. Сподіваюся, тепер у вас не буде складнощів із подібними завданнями. Будьте уважні щодо виду неповного квадратного рівняння, тоді у вас все вийде.

Якщо у вас виникли питання з цієї теми, записуйтесь на мої уроки, ми разом вирішимо проблеми, що виникли.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.