Рівняння площини xy. Глава II

лекція 6-7. Елементи аналітичної геометрії.

Поверхні та їх рівняння.

приклад 1.

Сфера

приклад 2.

F(x, y, z) = 0(*),

Це - рівняння поверхні

Приклади:

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (конус)

Площина.

Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Розглянемо площину у просторі. Нехай М 0 (x 0 , y 0 , z 0) - дана точка площини Р, а - вектор перпендикулярний площині ( нормальний вектор площині).

(1) – векторне рівняння площини.

У координатній формі:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0 (2)

Отримали рівняння площини, що проходить через задану точку .

Загальне рівняння площини.

Розкриємо дужки в (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 або

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Отримане рівняння площини лінійно, тобто. рівняння 1 ступеня щодо координат x, y, z. Тому площина – поверхня першого порядку .

Твердження: Будь-яке рівняння, лінійне щодо x, y, z задає площину.

Будь-яка площина м.б. задана рівнянням (3), яке називається загальним рівнянням площини.

Окремі випадки загального рівняння.

а) D = 0: Ax + By + Cz = 0. Т.к. координати точки О(0, 0, 0) задовольняють цього рівняння, то задана площина проходить через початок координат.

б) С = 0: Ax + By + D = 0. У цьому випадку нормальний вектор площини тому площина, задана рівнянням паралельна осі OZ.

в) С = D = 0: Ax + By = 0. Площина паралельна осі OZ (т.к. С = 0) і проходить через початок координат (т.к. D = 0). Виходить, вона проходить через вісь OZ.

г) В = С = 0: Ax + D = 0 або . вектор, тобто. та . Отже, площина паралельна до осей OY і OZ, тобто. паралельна площині YOZ і проходить через точку.

Самостійно розглянути випадки: B = 0, B = D = 0, A = 0, A = D = 0, A = C = 0, A = B = 0/

Рівняння площини через три задані точки.

Т.к. Усі чотири точки належать площині, то ці вектори компланарні, тобто. їх змішаний твір дорівнює нулю:

Здобули рівняння площини, що проходить через три точки у векторному вигляді.

У координатній формі:

(7)

Якщо розкрити визначник, то отримаємо рівняння площини у вигляді:

Ax+By+Cz+D=0.

приклад. Написати рівняння площини, що проходить через точки М1 (1,-1,0);

М 2 (-2,3,1) та М 3 (0,0,1).

, (x - 1) · 3 - (y + 1) (-2) + z · 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Рівняння площини у відрізках

Нехай дано загальне рівняння площини Ax + By + Cz + D = 0 та D ≠ 0, тобто. площина не проходить через початок координат. Розділимо обидві частини на –D: та позначимо: ; ; . Тоді

отримали рівняння площини у відрізках .

де a, b, c – величини відрізків, що відсікаються площиною осях координат.

приклад 1.Написати рівняння площини, яка проходить через точки А(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) та С(0, 0, -3).

a=3; b = 2; c = -3, або 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

приклад 2.Знайти величини відрізків, які відтинає площину

4x - y - 3z - 12 = 0 на осях координат.

4x - y - 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Нормальне рівняння площини.

Нехай дано деяку площину Q. З початку координат проведемо перпендикуляр ОР до площини. Нехай задані |ОР|=р та вектор: . Візьмемо поточну точку M(x, y, z) площини та обчислимо скалярний добуток векторів та : .

Якщо спроектувати точку М на напрямок, то потрапимо в точку Р. Т.о., отримаємо рівняння

(9).

Встановлення лінії у просторі.

Лінію L у просторі можна задати як перетин двох поверхонь. Нехай точка M(x, y, z), що лежить лінії L, належить як поверхні Р1, і поверхні Р2. Тоді координати цієї точки повинні відповідати рівнянням обох поверхонь. Тому під рівнянням лінії L у просторі розуміють сукупність двох рівнянь, кожне з яких є рівнянням відповідної поверхні:

Лінії L належать ті й ті точки, координати яких задовольняють обох рівнянь в (*). Пізніше ми розглянемо інші способи завдання ліній у просторі.

Пучок площин.

Пучок площин- Багато всіх площин, що проходять через задану пряму - вісь пучка.

Щоб задати пучок площин, достатньо встановити його вісь. Нехай рівняння цієї прямої задано у загальному вигляді:

.

Скласти рівняння пучка– означає скласти рівняння, з якого можна отримати за додаткової умови рівняння будь-якої площини пучка, крім б.м. однієї. Помножимо II рівняння на л і складемо з I рівнянням:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) або

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, яке може набувати дійсних значень. За будь-якого обраного значення рівняння (1) і (2) лінійні, тобто. це – рівняння деякої площини.

1. Покажемо, що ця площина проходить через вісь пучка L. Візьмемо довільну точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Отже, М 0 Р 1 і М 0 Р 2 . Значить:

Отже, площина, що описується рівнянням (1) або (2), належить пучку.

2. Можна довести і протилежне: будь-яка площина, що проходить через пряму L, описується рівнянням (1) за відповідного вибору параметра л.

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин x + y + 5z – 1 = 0 та 2x + 3y – z + 2 = 0 та через точку М(3, 2, 1).

Записуємо рівняння пучка: x + y + 5z – 1 + л(2x + 3y – z + 2) = 0. Для знаходження л врахуємо, що М Р:

Будь-яку поверхню в просторі можна розглядати як геометричне місце точок, що має деяку властивість, загальну для всіх точок.

приклад 1.

Сфера – безліч точок, що рівно віддалені від даної точки С (центру). З (x 0, y 0, z 0). За визначенням |СМ|=R або . Дане рівняння виконується всім точок сфери і лише них. Якщо x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0, то .

Аналогічним чином можна скласти рівняння будь-якої поверхні, якщо вибрано систему координат.

приклад 2. x=0 – рівняння площини YOZ.

Виразивши геометричне визначення поверхні через координати її поточної точки та зібравши всі складові в одній частині, отримаємо рівність вигляду

F(x, y, z) = 0(*),

Це - рівняння поверхні , якщо координати всіх точок поверхні задовольняють даній рівності, а координати точок, що не лежать на поверхні, не задовольняють.

Т.ч., кожній поверхні у вибраній системі координат відповідає своє рівняння. Однак, не кожному рівнянню виду (*) відповідає поверхня в значенні визначення.

Приклади:

2x - y + z - 3 = 0 (площина)

x 2 + y 2 - z 2 = 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 – координати жодної точки не задовольняють.

x 2 + y 2 + z 2 = 0 – єдина точка (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 - Пряма (вісь OZ).

Площина. Рівняння площини по точці та нормальному вектору

Загальне рівняння площини

Окремі випадки загального рівняння площини

Рівняння площини, що проходить через три задані точки

Кут між площинами, умова паралельності та перпендикулярності двох площин

. Відстань від точки до площини

Загальні рівняння прямої у просторі

Канонічні рівняння прямої у просторі

Рівняння прямої у просторі за двома точками

Параметричні рівняння прямої у просторі

Приведення загальних рівнянь прямої у просторі до канонічного вигляду

Кут між двома прямими в просторі, умова перпендикулярності та паралельності прямих

Кут між прямою та площиною

Умова перпендикулярності та паралельності прямої та площини.

КУТ між площинами

Розглянемо дві площини α 1 і α 2 задані відповідно рівняннями:

Під кутомміж двома площинами розумітимемо один із двогранних кутів, утворених цими площинами. Очевидно, що кут між нормальними векторами і площин 1 і 2 дорівнює одному із зазначених суміжних двогранних кутів або . Тому . Т.к. і , то

.

приклад.Визначити кут між площинами x+2y-3z+4=0 та 2 x+3y+z+8=0.

Умови паралельності двох площин.

Дві площини α 1 і α 2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і паралельні, а отже .

Отже, дві площини паралельні один одному тоді і лише тоді, коли коефіцієнти за відповідних координат пропорційні:

або

Умови перпендикулярності площин.

Зрозуміло, що дві площини перпендикулярні і тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, отже, або .

Таким чином, .

приклади.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

ВЕКТОРНЕ РІВНЯННЯ ПРЯМОЮ.

ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Положення прямий у просторі цілком визначається завданням якоїсь її фіксованої точки М 1 і вектор , паралельний цій прямій.

Вектор , паралельний прямий, називається напрямнимвектор прямий.

Отже, хай пряма lпроходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М(x, y, z)на прямий. З малюнка видно, що .

Вектори та колінеарні, тому знайдеться таке число t, що , де множник tможе набувати будь-яке числове значення в залежності від положення точки Mна прямий. Множник tназивається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 та Мвідповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторнимрівнянням прямої. Воно показує, що кожному значення параметра tвідповідає радіус-вектор деякої точки М, що лежить на прямий.

Запишемо це рівняння у координатній формі. Зауважимо, що , і звідси

Отримані рівняння називаються параметричнимирівняннями прямий.

При зміні параметра tзмінюються координати x, yі zі крапка Мпереміщається прямою.

КАНОНІЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка, що лежить на прямій l, і - Її напрямний вектор. Знову візьмемо на пряму довільну точку М(x, y, z)і розглянемо вектор.

Зрозуміло, що вектори та колінеарні, тому їх відповідні координати мають бути пропорційними, отже,

– канонічнірівняння прямої.

Зауваження 1.Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Справді, з параметричних рівнянь отримуємо або .

приклад.Записати рівняння прямої у параметричному вигляді.

Позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Примітка 2.Нехай пряма перпендикулярна до однієї з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді напрямний вектор прямий перпендикулярний Ox, отже, m=0. Отже, параметричні рівняння прямий набудуть вигляду

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямий у вигляді

Проте й у разі умовимося формально записувати канонічні рівняння прямої як . Таким чином, якщо в знаменнику одного з дробів стоїть нуль, то це означає, що пряма перпендикулярна до відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна до осей Oxі Ойабо паралельна осі Oz.

приклади.

ЗАГАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПРЯМОГО, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕРОСИННЯ ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які дві з них, перетинаючи, визначають її у просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно, являють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві не паралельні площини, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннямипрямий.

приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої достатньо знайти будь-які її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOyотримаємо з рівнянь прямий, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y= 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейти до її канонічних або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий та напрямний вектор прямий.

Координати точки М 1 отримаємо з цієї системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для пошуку напрямного вектора, зауважимо, що цей вектор має бути перпендикулярним до обох нормальних векторів. і . Тому за напрямний вектор прямий lможна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

приклад.Привести загальні рівняння прямої до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y= 0 і розв'яжемо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму, мають координати. Тому напрямний вектор прямий буде

. Отже, l: .

КУТ МІЖ ПРЯМИМИ

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Так як , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Канонічними рівняннями прямої в просторі називаються рівняння, що визначають пряму, що проходить через задану точку колінеарно напрямного вектору.

Нехай дана точка та напрямний вектор. Довільна точка лежить на прямій lтільки в тому випадку, якщо вектори та колінеарні, тобто для них виконується умова:

.

Наведені вище рівняння є канонічні рівняння прямої.

Числа m , nі pє проекціями напрямного вектора координатні осі. Оскільки вектор ненульовий, то всі числа m , nі pне можуть одночасно дорівнювати нулю. Але один або два з них можуть виявитися рівними нулю. В аналітичній геометрії допускається, наприклад, такий запис:

,

яка означає, що векторні проекції на осі Ойі Ozрівні нулю. Тому і вектор , і пряма, задана канонічними рівняннями, перпендикулярні до осей. Ойі Oz, Т. е. площині yOz .

приклад 1.Скласти рівняння прямої у просторі, перпендикулярній площині і проходить через точку перетину цієї площини з віссю Oz .

Рішення. Знайдемо точку перетину цієї площини з віссю Oz. Так як будь-яка точка, що лежить на осі Ozмає координати , то, вважаючи в заданому рівнянні площини x = y = 0 , отримаємо 4 z- 8 = 0 або z= 2. Отже, точка перетину даної площини з віссю Ozмає координати (0; 0; 2). Оскільки пряма перпендикулярна площині, вона паралельна вектору її нормалі . Тому напрямним вектором прямий може бути вектор нормалі заданої поверхні.

Тепер запишемо шукані рівняння прямої, що проходить через точку A= (0; 0; 2) у напрямку вектора:

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Пряма може бути задана двома точками, що на ній лежать і У цьому випадку напрямним вектором прямий може бути вектор . Тоді канонічні рівняння прямий набудуть вигляду

.

Наведені вище рівняння визначають пряму, що проходить через дві задані точки.

приклад 2.Скласти рівняння прямої у просторі, що проходить через точки і .

Рішення. Запишемо шукані рівняння прямої у вигляді, наведеному вище в теоретичній довідці:

.

Оскільки , то пряма перпендикулярна осі Ой .

Пряма як лінія перетину площин

Пряма у просторі може бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин і, тобто як безліч точок, що задовольняють системі двох лінійних рівнянь

Рівняння системи називаються також загальними рівняннями прямої у просторі.

приклад 3.Скласти канонічні рівняння прямої у просторі, заданій загальними рівняннями

Рішення. Щоб написати канонічні рівняння прямої або, що те саме, рівняння прямої, що проходить через дві дані точки, потрібно знайти координати будь-яких двох точок прямої. Ними можуть бути точки перетину прямої з якими-небудь двома координатними площинами, наприклад yOzі xOz .

Точка перетину пряма з площиною yOzмає абсцису x= 0. Тому, вважаючи в цій системі рівнянь x= 0 отримаємо систему з двома змінними:

Її рішення y = 2 , z= 6 разом з x= 0 визначає точку A(0; 2; 6) шуканої прямої. Вважаючи потім у заданій системі рівнянь y= 0 отримаємо систему

Її рішення x = -2 , z= 0 разом з y= 0 визначає точку B(-2; 0; 0) перетину прямої з площиною xOz .

Тепер запишемо рівняння прямої, що проходить через крапки A(0; 2; 6) та B (-2; 0; 0) :

,

або після поділу знаменників на -2:

,