Рівняння шредінгера та його фізичний зміст. Хвильове рівняння Шредінгера

Якщо Ви раптом зрозуміли, що призабули основи та постулати квантової механіки або взагалі не знаєте, що це за механіка така, то саме час освіжити в пам'яті цю інформацію. Адже ніхто не знає, коли квантова механіка може стати в нагоді в житті.

Даремно ви посміхаєтеся і ехидствуете, думаючи, що вже з цим предметом вам у житті взагалі ніколи не доведеться стикатися. Адже квантова механіка може бути корисною практично кожній людині, навіть нескінченно далекій від неї. Наприклад, у Вас безсоння. Для квантової механіки це проблема! Почитайте перед сном підручник – і Ви спите найміцнішим сном сторінці вже так на третій. Або можете назвати так свій крутий рок гурт. Чому б і ні?

Жарти убік, починаємо серйозну квантову розмову.

З чого почати? Звісно, з того, що таке квант.

Квант

Квант (від латинського quantum – ”скільки”) – це неподільна порція якоїсь фізичної величини. Наприклад, кажуть – квант світла, квант енергії чи квант поля.

Що це означає? Це означає, що менше бути просто не може. Коли говорять про те, що якась величина квантується, розуміють, що ця величина набуває ряду певних, дискретних значень. Так, енергія електрона в атомі квантується, світло поширюється "порціями", тобто квантами.

Сам термін «квант» має багато застосувань. Квантом світла (електромагнітного поля) є фотон. За аналогією квантами називаються частинки або квазічастинки, що відповідають іншим полям взаємодії. Тут можна згадати знаменитий бозон Хіггса, який є квантом поля Хіггса. Але в ці нетрі ми поки що не ліземо.

Квантова механіка для "чайників"

Як механіка може бути квантовою?

Як Ви вже помітили, у нашій розмові ми багато разів згадували про частинки. Можливо, Ви і звикли до того, що світло – це хвиля, яка просто поширюється зі швидкістю. з . Але якщо подивитися на все з погляду квантового світу, тобто світу частинок, все змінюється до невпізнання.

Квантова механіка – це розділ теоретичної фізики, що становить квантової теорії, що описує фізичні явища на елементарному рівні – рівні частинок.

Дія таких явищ за величиною порівнянна з постійною Планкою, а класична механіка Ньютона та електродинаміка виявилися зовсім непридатними для їх опису. Наприклад, згідно з класичною теорією електрон, обертаючись з великою швидкістю навколо ядра, повинен випромінювати енергію і врешті-решт впасти на ядро. Цього, як відомо, не відбувається. Саме тому і вигадали квантову механіку – відкриті явища потрібно було якось пояснити, і вона виявилася саме тією теорією, в рамках якої пояснення було найбільш прийнятним, а всі експериментальні дані "сходилися".

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Трішки історії

Зародження квантової теорії сталося 1900 року, коли Макс Планк виступив на засіданні німецького фізичного товариства. Що тоді повідомив Планк? А те, що випромінювання атомів дискретне, а найменша порція енергії цього випромінювання дорівнює

Де h – постійна Планка, ню – частота.

Потім Альберт Ейнштейн, ввівши поняття "квант світла", використовував гіпотезу Планка для пояснення фотоефекту. Нільс Бор постулював існування у атома стаціонарних енергетичних рівнів, а Луї де Бройль розвинув ідею про корпускулярно-хвильовий дуалізм, тобто про те, що частка (корпускула) має також і хвильові властивості. До справи приєдналися Шредінгер і Гейзенберг, і ось, 1925 року публікується перше формулювання квантової механіки. Власне, квантова механіка далеко не закінчена теорія, вона активно розвивається і в даний час. Також слід визнати, що квантова механіка з її припущеннями не має можливості пояснити всі питання, що стоять перед нею. Цілком можливо, що на зміну їй прийде досконаліша теорія.

При переході від світу квантового до світу звичних нам речей закони квантової механіки природно трансформуються в класичні закони механіки. Можна сказати, що класична механіка – це окремий випадок квантової механіки, коли дія має місце бути у нашому з Вами звичному та рідному макросвіті. Тут тіла спокійно рухаються в неінерційних системах відліку зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла, і взагалі - все навколо спокійно і зрозуміло. Хочеш дізнатися про положення тіла в системі координат – немає проблем, хочеш виміряти імпульс – завжди будь ласка.

Цілком інший підхід до питання має квантова механіка. У ній результати вимірювань фізичних величин мають імовірнісний характер. Це означає, що з зміні якоїсь величини можливо кілька результатів, кожному у тому числі відповідає певна ймовірність. Наведемо приклад: монета крутиться на столі. Поки вона крутиться, вона не перебуває в певному стані (орел-решка), а має лише ймовірність в одному з цих станів опинитися.

Тут ми плавно підходимо до рівняння Шредінгераі принципом невизначеності Гейзенберга.

Згідно з легендою Ервін Шредінгер, в 1926 виступаючи на одному науковому семінарі з доповіддю на тему корпускулярно-хвильового дуалізму, був підданий критиці з боку якогось старшого вченого. Відмовившись слухати старших, Шредінгер після цього випадку активно зайнявся розробкою хвильового рівняння для опису частинок у рамках квантової механіки. І впорався блискуче! Рівняння Шредінгера (основне рівняння квантової механіки) має вигляд:

Цей вид рівняння – одномірне стаціонарне рівняння Шредінгера – найпростіший.

Тут x – відстань або координата частинки, m – маса частинки, E та U – відповідно її повна та потенційна енергії. Вирішення цього рівняння – хвильова функція (псі)

Хвильова функція – ще одне фундаментальне поняття у квантовій механіці. Так, у будь-якої квантової системи, яка знаходиться в якомусь стані, є хвильова функція, що описує цей стан.

Наприклад, при вирішенні одномірного стаціонарного рівняння Шредінгера хвильова функція визначає положення частки у просторі. Точніше, ймовірність знаходження частки у певній точці простору.Іншими словами, Шредінгер показав, що можливість може бути описана хвильовим рівнянням! Погодьтеся, до цього треба було здогадатися!

Але чому? Чому ми повинні мати справу з цими незрозумілими ймовірностями та хвильовими функціями, коли, здавалося б, немає нічого простішого, ніж просто взяти та виміряти відстань до частки чи її швидкість.

Все дуже просто! Адже в макросвіті це справді так – ми з певною точністю вимірюємо відстань рулеткою, а похибка виміру визначається характеристикою приладу. З іншого боку, ми можемо практично безпомилково визначити відстань до предмета, наприклад, до столу. Принаймні ми точно диференціюємо його положення в кімнаті щодо нас та інших предметів. У світі частинок ситуація принципово інша – у нас просто фізично немає інструментів вимірювання, щоб з точністю виміряти шукані величини. Адже інструмент вимірювання входить у безпосередній контакт з об'єктом, що вимірювається, а в нашому випадку і об'єкт, і інструмент – це частинки. Саме це недосконалість, принципова неможливість врахувати всі фактори, що діють на частинку, а також сам факт зміни стану системи під дією виміру та лежать в основі принципу невизначеності Гейзенберга.

Наведемо найпростіше його формулювання. Уявімо, що є деяка частка, і ми хочемо дізнатися про її швидкість і координату.

У даному контексті принцип невизначеності Гейзенберга говорить: неможливо одночасно точно виміряти положення та швидкість частки . Математично це записується так:

Тут дельта x – похибка визначення координати, дельта v – похибка визначення швидкості. Підкреслимо – цей принцип говорить про те, що чим точніше ми визначимо координату, тим менш точно знатимемо швидкість. А якщо визначимо швидкість, не матимемо жодного уявлення про те, де знаходиться частка.

На тему принципу невизначеності існує безліч жартів та анекдотів. Ось один із них:

Поліцейський зупиняє квантового фізика.
- Сер, Ви знаєте, з якою швидкістю рухалися?
- Ні, зате я точно знаю, де я перебуваю

І, звісно, нагадуємо Вам! Якщо раптом з якоїсь причини рішення рівняння Шредінгера для частки в потенційній ямі не дає Вам заснути, звертайтеся до професіоналів, які були вирощені з квантовою механікою на вустах!

Гейзенберга привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, що описує рух мікрочастинок в різних силових полях, має бути рівняння, з якого випливали б хвильові властивості частинок, що спостерігаються на досвіді. Основне рівняння має бути рівнянням щодо хвильової функції Ψ (х, у, z, t),оскільки саме вона, чи, точніше, величина |Ψ| 2 , визначає ймовірність перебування частки в момент часу tв обсязі Δ V,тобто в області з координатами хі х + dх, уі у + dу, zі z+ dz.

Основне рівняння нерелятивістської квантової механіки сформульовано 1926 р. е. Шредінгером. Рівняння Шредінгера, як і всі основні рівняння фізики (наприклад, рівняння Ньютона в класичній механіці та рівняння Максвелла для електромагнітного поля), не виводиться, а постулюється. Правильність цього рівняння підтверджується згодою з досвідом одержуваних з його допомогою результатів, що, своєю чергою, надає йому характеру закону природи.

Загальне рівняння Шредінгера має вигляд:

де ? = h /(2π), m- маса частинки, Δ - оператор Лапласа , i- уявна одиниця, U(x, y, z, t) - потенційна функція частки у силовому полі, в якому вона рухається, Ψ( x, y, z, t) - Шукана хвильова функція частки.

Рівняння (1) справедливе для будь-якої частинки (зі спином, рівним 0), що рухається з малою (порівняно зі швидкістю світла) швидкістю, тобто зі швидкістю υ «с.

Воно доповнюється умовами, що накладаються на хвильову функцію:

1) хвильова функція має бути кінцевою, однозначною та безперервною;

2) похідні повинні бути безперервними;

3) функція |Ψ| 2 має бути інтегрована (ця умова у найпростіших випадках зводиться до умови нормування ймовірностей).

Рівняння (1) називають рівнянням Шредінгера, що залежить від часу.

Для багатьох фізичних явищ, які у мікросвіті, рівняння (1) можна спростити, виключивши залежність від часу, тобто. знайти рівняння Шредінгера для стаціонарних станів - станів із фіксованими значеннями енергії. Це можливо, якщо силове поле, в якому частка рухається, стаціонарно, тобто функція U = U(х, у,z) не залежить явно від часу і має сенс потенційної енергії. В даному випадку рішення рівняння Шредінгера може бути подане у вигляді

. (2)

Рівняння (2) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів.

До цього рівняння як параметр входить повна енергія Ечастки. Теоретично диференціальних рівнянь доводиться, що такі рівняння мають безліч рішень, у тому числі у вигляді накладання граничних умов відбирають рішення, мають фізичний смысл. Для рівняння Шредінгера такими умовами є умови регулярності хвильових функцій: Нові функції повинні бути кінцевими, однозначними і безперервними разом зі своїми першими похідними.

Таким чином, реальний фізичний зміст мають лише такі рішення, що виражаються регулярними функціями Ψ. Але регулярні рішення мають місце не за будь-яких значень параметра Е,а лише за певного їх набору, характерному для цього завдання. Ці значення енергії називаються власними . Рішення, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями . Власні значення Еможуть утворювати як безперервний, і дискретний ряд. У першому випадку говорять про безперервний, або суцільний, спектр, у другому - про дискретний спектр.

Частка в одновимірній прямокутній «потенційній ямі»з нескінченно високими «стінками»

Проведемо якісний аналіз рішень рівняння Шредінгера стосовно частки в одновимірній прямокутній «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками». Така «яма» описується потенційною енергією виду (для простоти приймаємо, що частка рухається вздовж осі х)

де l- Ширина «ями», а енергія відраховується від її дна (рис. 2).

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів у разі одновимірного завдання запишеться у вигляді:

. (1)

За умовою завдання (нескінченно високі «стінки») частка не проникає за межі «ями», тому ймовірність її виявлення (а отже, і хвильова функція) за межами «ями» дорівнює нулю. На кордонах «ями» (при х= 0 і х = 1)безперервна хвильова функція також повинна перетворюватися на нуль.

Отже, граничні умови в даному випадку мають вигляд:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

У межах «ями» (0 ≤ х≤ 0) рівняння Шредінгера (1) зведеться до рівняння:

або . (3)

де k 2 = 2mE/? 2 .(4)

Загальне рішення диференціального рівняння (3):

Ψ ( x) = A sin kx + B cos kx.

Оскільки за (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тоді

Ψ ( x) = A sin kx. (5)

Умова Ψ ( l) = A sin kl= 0 (2) виконується тільки за kl = nπ, де n- Цілі числа, тобто. необхідно, щоб

k = nπ/l. (6)

З виразів (4) і (6) випливає, що:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

тобто стаціонарне рівняння Шредінгера, що описує рух частинки в «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками», задовольняється лише за власних значень Е п,залежать від цілого числа п.Отже, енергія Е пчастинки в «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками» приймає лише певні дискретні значення, тобто квантується.

Квантовані значення енергії Е пназиваються рівнями енергії,а число п,визначальне енергетичні рівні частки, називається основним квантовим числом.Таким чином, мікрочастинка в «потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками» може перебувати лише на певному енергетичному рівні. Е п,або, як кажуть, частка знаходиться у квантовому стані п.

Підставивши в (5) значення kз (6), знайдемо власні функції:

Постійне інтегрування Азнайдемо з умови нормування, яке для цього випадку запишеться у вигляді:

В результаті інтегрування отримаємо , а власні функції матимуть вигляд:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Графіки власних функцій (8), що відповідають рівням енергії (7) при n= 1,2,3, наведено на рис. 3, а.На рис. 3, бзображена щільність ймовірності виявлення частки на різних відстанях від «стінок» ями, що дорівнює ‌‌‌‌‌‌ Ψ n(x)‌ 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) для п = 1, 2 і 3. З малюнка випливає, що, наприклад, у квантовому стані п= 2 частка не може перебувати в середині «ями», тоді як однаково часто може перебувати в її лівій та правій частинах. Така поведінка частки вказує на те, що уявлення про траєкторії частки квантової механіки неспроможні.

З виразу (7) випливає, що енергетичний інтервал між двома сусідніми рівнями дорівнює:

Наприклад, для електрона при розмірах ями l= 10 -1 м (вільні електрони у металі) , Δ Е n ≈ 10 -35 · nДж ≈ 10 -1 6 nев, тобто. енергетичні рівні розташовані настільки тісно, що спектр можна вважати безперервним. Якщо ж розміри ями співмірні з атомними ( l ≈ 10 -10 м), то для електрона Δ Е n ≈ 10 -17 nДж ≈ 10 2 nев, тобто. виходять дискретні значення енергії (лінійчастий спектр).

Таким чином, застосування рівняння Шредінгера до частки в "потенційній ямі" з нескінченно високими "стінками" призводить до квантованих значень енергії, тоді як класична механіка на енергію цієї частки ніяких обмежень не накладає.

Крім того, квантово-механічний розгляд даного завдання призводить до висновку, що частка «в потенційній ямі» з нескінченно високими «стінками» не може мати меншу енергію, ніж мінімальна енергія, що дорівнює π 2 ? 2 /(2т1 2). Наявність відмінної від нуля мінімальної енергії невипадкова і випливає із співвідношення невизначеностей. Невизначеність координати Δ хчастинки в «ямі» завширшки lдорівнює Δ х= l.

Тоді, відповідно до співвідношення невизначеностей, імпульс неспроможна мати точне, у разі нульове, значення. Невизначеність імпульсу Δ р ≈ h/l. Такому розкиду значень імпульсу відповідає кінетична енергія Е min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Всі інші рівні ( п > 1) мають енергію, що перевищує це мінімальне значення.

З формул (9) і (7) випливає, що при великих квантових числах ( n»1) Δ Е n / E п ≈ 2/п«1, т. е. сусідні рівні розташовані тісно: тим більше, що більше п.Якщо пдуже велике, можна говорити про практично безперервної послідовності рівнів і характерна особливість квантових процесів — дискретність — згладжується. Цей результат є окремим випадком принципу відповідності Бора (1923), згідно з яким закони квантової механіки повинні при великих значеннях квантових чисел переходити до законів класичної фізики.

Загальне рівняння Шредінгера. Шредінгера для стаціонарних станів

Статистичне тлумачення хвиль де Бройля (див. § 216) і співвідношення невизначеностей Гейзенберга (див. 5 215) привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, що описує рух мікрочастинок у різних силових полях, має бути рівняння, з якого випливали б спостерігаються на досвід хвильові властивості частинок. Основне рівняння має бути рівнянням щодо хвильової функції Ψ (х, у, z, t), оскільки саме вона, чи, точніше, величина |Ψ| 2 визначає ймовірність перебування частки в момент часу t в обсязі dV, тобто в області з координатами x і x + dx, y і y + dy, z і z + dz. Оскільки шукане рівняння має враховувати хвильові властивості частинок, воно має бути хвильовим рівнянням, подібно до рівняння, що описує електромагнітні хвилі.

де h=h/(2π), m-маса частинки, ∆-оператор Лапласа ( ),

i - уявна одиниця, U (х, у, z, t) - потенційна функція частки у силовому полі, в якому вона рухається, Ψ (х, у, z, t ) - потрібна хвильова функція частинки.

Рівняння (217.1) справедливе для будь-якої частинки (зі спином, рівним 0; див. § 225), що рухається з малою (порівняно зі швидкістю світла) швидкістю, тобто зі швидкістю υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

повинні бути безперервними; 3) функція |Ψ| 2 має бути інтегрована; ця умова у найпростіших випадках зводиться до умови нормування ймовірностей (216.3).

Щоб прийти до рівняння Шредінгера, розглянемо частину, що вільно рухається, якій, згідно ідеї де Бройля, зіставляється плоска хвиля. Для простоти розглянемо одновимірний випадок. Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі х, має вигляд (див. § 154)

Або в комплексному записі . Отже, плоска хвиля де Бройля має вигляд

(217.2)

(враховано, що = E/h, k=p/h). У квантовій механіці показник експоненти беруть зі знаком мінус, але оскільки фізичне значення має тільки |Ψ| 2 , це (див. (217.2)) несуттєво. Тоді

; (217.3)

Використовуючи взаємозв'язок між енергією Е та імпульсом p (E = p 2 /(2m)) та підставляючи вирази (217.3), отримаємо диференціальне рівняння

яке збігається з рівнянням (217.1) для випадку U = 0 (ми розглядали вільну частинку).

Якщо частка рухається в силовому полі, що характеризується потенційною енергією U, то повна енергія Е складається з кінетичної та потенційної енергії. Проводячи аналогічні міркування використовуючи взаємозв'язок між Еі р (для цього випадку р 2 /(2m)=E -U), пасмо до диференціального рівняння, що збігається з (217.1).

Наведені міркування не повинні сприйматися як висновок рівняння Шредінгера. Вони лише пояснюють, як можна дійти цього рівняння. Доказом правильності рівняння Шредінгера є згода з досвідом висновків, до яких воно призводить.

Рівняння (217.1) є загальним рівнянням Шредінгера. Його також називають рівнянням Шредінгера, що залежить від часу. Для багатьох фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, рівняння (217.1) можна спростити, виключивши залежність від часу, іншими словами, знайти рівняння Шредінгера для стаціонарного стану - стан з фіксованими значеннями енергії. Це можливо, якщо силове поле, в якому частка рухається, стаціонарно, тобто функція U = U(х, у, z ) не залежить явно від часу та має сенс потенційної енергії. В даному випадку рішення рівняння Шредінгера може бути представлене у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функція лише координат, інша - лише часу, причому залежність від часу виражається множником

де Е - повна енергія частки, постійна у разі стаціонарного поля. Підставляючи (217.4) у (217.1), отримаємо

звідки після розподілу на загальний множник е – i (E/h) t і відповідних перетворень прийдемо до рівняння, що визначає функцію ψ:

(217.5)

Рівняння (217.5) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів.

До цього рівняння як параметр входить повна енергія Е частинки. Теоретично диференціальних рівнянь доводиться, що такі рівняння мають безліч рішень, у тому числі у вигляді накладання граничних умов відбирають рішення, мають фізичний смысл. Для рівняння Шредінгера такими умовами є умови регулярності хвильових функцій: хвильові функції мають бути кінцевими, однозначними і безперервними разом із першими похідними. Таким чином, реальний фізичний сенс мають лише такі рішення, що виражаються регулярними функціями ψ . Але регулярні рішення мають місце не за будь-яких значень параметра Е, а лише за певного їх набору, характерному для даної задачі. Ці значення енергії називаються власними. Рішення ж, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Е можуть утворювати як безперервний, і дискретний ряд. У першому випадку говорять про безперервний, або суцільний, спектр, у другому - про дискретний спектр.

Рівняння Шредінгера - рівняння, що описує зміну в просторі і в часі чистого стану, що задається хвильовою функцією, в квантових гамільтонових системах.

У квантовій фізиці вводиться комплекснозначна функція, що описує чистий стан об'єкта, що називається хвильовою функцією. Поведінка гамільтонової системи у чистому стані повністю описується за допомогою хвильової функції. Нехай хвильова функція задана в N-вимірному просторі, тоді в кожній точці з координатами , в певний момент часу t вона матиме вигляд . У такому разі рівняння Шредінгера запишеться у вигляді: , де - Зовнішня по відношенню до частки потенційна енергія в точці .

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Основи атомної, квантової та ядерної фізики

Гіпотеза де бройля та її зв'язок з постулатами бору рівняння шредінгера фізичний сенс.. термоядерні реакції.. термоядерні реакції ядерні реакції між легкими атомними ядрами, що протікають при дуже високих температурах.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Закономірності у атомних спектрах. Постійна Рідберга
Атомні спектри, оптичні спектри, що виходять при випромінюванні або поглинанні світла (електромагнітних хвиль) вільними або слабо пов'язаними атомами; такими спектрами володіють, зокрема, одноат

Моделі будови атома. Модель Резерфорда
Атом - найменша хімічно неподільна частина хімічного елемента, яка є носієм його властивостей. Атом складається з атомного ядра і навколишнього його електронної хмари. Ядро атома складається з покладу

Постулати Бора. Елементарна теорія будови атома водню та водневих іонів (за Бором)
Постулати Бора - основні припущення, сформульовані Нільсом Бором в 1913 році для пояснення закономірності лінійного спектру атома водню і водневих іонів і квантового характеру

Співвідношення невизначеності Гейзенберга. Опис руху в квантовій механіці
Принцип невизначеності Гейзенберга - фундаментальна нерівність (співвідношення невизначеностей), що встановлює межу точності одночасного визначення пари, що характеризує квантову систему.

Властивості хвильової функції. Квантування
Хвильова функція (функція стану, псі-функція) – комплекснозначна функція, яка використовується в квантовій механіці для опису чистого стану квантовомеханічної системи. Є коефіцієнтом

Квантові числа. Спін
Квантове число - чисельне значення будь-якої квантованої змінної мікроскопічного об'єкта (елементарної частинки, ядра, атома тощо), що характеризує стан частки. Завдання квантових год

Характеристики атомного ядра
Атомне ядро - центральна частина атома, в якій зосереджена його основна маса, і структура якого визначає хімічний елемент, до якого відноситься атом. Ядерно-фізичні характеристики

Радіоактивність
Радіоактивність - властивість атомних ядер мимоволі (спонтанно) змінювати свій склад (заряд Z, масове число A) шляхом випромінювання елементарних частинок або ядерних фрагментів. Відповідне явл

Ланцюгові ядерні реакції
Ланцюгова ядерна реакція - послідовність одиничних ядерних реакцій, кожна з яких викликається часткою, що з'явилася як продукт реакції на попередньому етапі послідовності. Прикладом ланцюгової

Елементарні частинки та їх властивості. Систематика елементарних частинок
Елементарна частка - збірний термін, що відноситься до мікрооб'єктів у суб'ядерному масштабі, які неможливо розщепити на складові. Властивості: 1.Все Е. ч - об'єкти позов

Фундаментальні взаємодії та їх характеристики
Фундаментальні взаємодії - типи взаємодії елементарних частинок і складених з них тіл, що якісно розрізняються. На сьогодні достовірно відомо існування чотирьох фундаментів

Зробимо малюнок

У нашій задачі функція U(x) має особливий, розривний вигляд: вона дорівнює нулю між стінками, а на краях ями (на стінках) звертається до нескінченності:

Запишемо рівняння Шредінгера для стаціонарних станів частинок у точках розташованих між стінками:

або, якщо врахувати формулу (1.1)

До рівняння (1.3) необхідно додати граничні умови на стінках ями. Візьмемо до уваги, що хвильова функція пов'язана з ймовірністю знаходження частинок. Крім того, за умовами завдання за межами стінок частка не може бути виявлена. Тоді хвильова функція на стінках і за їх межами повинна звертатися в нуль, і граничні умови завдання набувають простого вигляду:

Тепер приступимо до вирішення рівняння (1.3). Зокрема можна врахувати, що його рішенням є хвилі де-Бройля. Але одна хвиля де-Бройля як рішення, до нашого завдання явно не відноситься, оскільки вона свідомо описує вільну частинку, що «біжить» в одному напрямку. А в нас частка бігає «туди-сюди» між стінами. У такому разі на підставі принципу суперпозиції шукане рішення можна спробувати подати у вигляді двох хвиль де-Бройля, що біжать один одному назустріч з імпульсами p і -p, тобто у вигляді:

Постійні і можна знайти з однієї з граничних умов та умов нормування. Останнє говорить про те, що якщо скласти всі ймовірності, тобто знайти ймовірність виявлення електрона між стінками взагалі в (будь-якому місці), то вийде одиниця (ймовірність достовірної події дорівнює 1), тобто:

Згідно з першою граничною умовою маємо:

Таким чином, отримаємо розв'язання нашого завдання:

Як відомо, . Тому знайдене рішення можна переписати у вигляді:

Постійна А визначається за умови нормування. Але тут не вона становить особливого інтересу. Залишилася невикористаною друга гранична умова. Який результат воно дає змогу отримати? Щодо знайденого рішення (1.5) воно призводить до рівняння:

З нього бачимо, що в нашому завданні імпульс p може приймати не будь-які значення, а лише значення

До речі, n неспроможна дорівнювати нулю, оскільки хвильова функція тоді всюди на проміжку (0…l) дорівнювала нулю! Це означає, що частка між стінами не може бути в спокої! Вона обов'язково має рухатися. В аналогічних умовах знаходяться електрони провідності металу. Отриманий висновок поширюється і них: електрони в металі неможливо знайти нерухомими.

Найменший можливий імпульс електрона, що рухається, дорівнює

Ми вказали, що імпульс електрона при відображенні стін змінює знак. Тому на питання, який імпульс у електрона, коли він замкнений між стінками, безперечно відповісти не можна: чи то +p, чи то -p. Імпульс невизначений. Його ступінь невизначеності, зрозуміло, визначається так: =p-(-p)=2p. Невизначеність координати дорівнює l; якщо спробувати «зловити» електрон, то його буде виявлено в межах між стінками, але де точно — невідомо. Оскільки найменше значення p дорівнює , отримуємо:

Ми підтвердили співвідношення Гейзенберга за умов нашого завдання, тобто за умови існування найменшого значення p. Якщо ж пам'ятати довільно-можливе значення імпульсу, то співвідношення невизначеності отримує такий вид:

Це означає, що вихідний постулат Гейзенберга-Боpа про невизначеність і встановлює лише нижню межу невизначеностей, можливу при вимірах. Якщо початку руху система була наділена мінімальними невизначеностями, то з часом вони можуть зростати.

Однак формула (1.6) вказує і на інший надзвичайно цікавий висновок: виявляється, імпульс системи в квантовій механіці не завжди може змінюватися безперервно (як це завжди має місце в класичній механіці). Спектр імпульсу частинки в прикладі дискретний, імпульс частинки між стінками може змінюватися тільки стрибками (квантами). Величина стрибка в розглянутій задачі постійна і рівна.

На рис. 2. наочно зображений діапазон можливих значень імпульсу частки. Таким чином, дискретність зміни механічних величин, зовсім далека від класичної механіки, у квантовій механіці випливає з її математичного апарату. На питання, чому імпульс змінюється стрибками, наочного знайти не можна. Такими є закони квантової механіки; наш висновок випливає з них логічно – у цьому все пояснення.

Звернемося тепер до енергії частки. Енергія пов'язана з імпульсом формулою (1). Якщо спектр імпульсу дискретний, автоматично виходить, як і спектр значень енергії частки між стінками дискретний. І він знаходиться просто. Якщо можливі значення згідно з формулою (1.6) підставити у формулу (1.1), отримаємо:

де n = 1, 2, ..., і називається квантовим числом.

Таким чином ми отримали енергетичні рівні.

Рис. 3 зображує розташування енергетичних рівнів, що відповідає умовам нашого завдання. Зрозуміло, що з іншого завдання розташування енергетичних рівнів буде іншим. Якщо частка є зарядженою (наприклад, це електрон), то, перебуваючи не на нижчому енергетичному рівні, вона зможе спонтанно випромінювати світло (у вигляді фотона). При цьому вона перейде на нижчий енергетичний рівень відповідно до умови:

Хвильові функції для кожного стаціонарного стану в нашому завданні є синусоїдами, нульові значення яких обов'язково потрапляють на стінки. Дві такі хвильові функції n = 1,2 зображені на рис. 1.