Рівняння розв'язувані запровадженням нової змінної. Урок "вирішення раціональних рівнянь методом введення нової змінної"

Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0 називається біквадратним рівнянням. Абсолютно будь-яке рівняння такого типу можна вирішити за допомогою введення нової змінної та подальшого розв'язання рівняння щодо неї. Після проводять зворотну заміну і знаходять шуканий х.
Давайте розглянемо, як застосовувати цей метод під час вирішення раціональних рівнянь.

Дано рівняння: x4 – 4x2 + 4 = 0.
Рішення
Для розв'язання цього рівняння необхідно запровадити нову змінну, яка має вигляд y = x2. Також справедлива така рівність: x4 = (x2)2 = y2. Вихідне рівняння переписуємо так: y2 - 4y + 4 =0. Це звичайне квадратне рівняння, розв'язавши яке ви отримаєте коріння y1 = y2 = 2. Оскільки y = x2, то рішення цього завдання зводиться до вирішення ще одного рівняння, а саме: x2 = 2. Знаходимо відповідь: +-√2.

У цій ситуації метод введення змінної був «адекватний ситуації», тобто було явно видно, який вираз замінити новою змінною, але так буває не завжди. В основному, вираз, який можна замінити, проявляється тільки в процесі перетворення та спрощення вихідного виразу. Розбір подібного прикладу ви можете переглянути у відеоуроці.

Властивості функції y = k/x при k >0
У відеоуроці ви познайомитеся з основними властивостями гіперболи, спираючись на геометричну модель.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - область визначення функції складається з усіх чисел, крім 0.
2. При x > 0 => y > 0, а за x< 0 =>y< 0.

3. При k > 0 функція зменшується на відкритому промені (-∞; 0) і на відкритому промені (0; ∞).
4. Функція y = k/x не має обмежень згори та знизу.
5. Функція y = k/x немає найбільших і найменших значень.
6. Безперервна на проміжку (-∞; 0) і (0; ∞), зазнаючи розриву при х = 0.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

2.2.3. Метод запровадження нової змінної.

Потужним засобом розв'язання ірраціональних рівнянь є метод запровадження нової змінної, або «метод заміни». Метод зазвичай застосовується у разі, якщо в рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, що залежить від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якоюсь новою літерою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомої, а потім уже знайти вихідну невідому. У ряді випадків вдало введені нові невідомі іноді дозволяють отримати рішення швидше та простіше; іноді ж без заміни вирішити завдання взагалі неможливо. ,

Приклад 7. Розв'язати рівняння.

Рішення. Поклавши, отримаємо значно простіше ірраціональне рівняння. Зведемо обидві частини рівняння квадрат: .

;

;

;

Перевірка знайдених значень їх підстановкою рівняння показує, що – корінь рівняння, а – сторонній корінь.

Повертаючись до вихідної змінної x, отримуємо рівняння, тобто квадратне рівняння , Вирішивши яке знаходимо два корені: ,. Обидва корені, як свідчить перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.

Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на квадратне.

Приклад 8. Розв'язати рівняння.

Рішення. Перепишемо рівняння так: .

Видно, що якщо ввести нову змінну , то рівняння набуде вигляду , Звідки , .

Тепер завдання зводиться до розв'язання рівняння та рівняння . Перше з цих рішень немає, та якщо з другого отримуємо , . Обидва корені, як свідчить перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.

Зазначимо, що «бездумне» застосування в Прикладі 8 методу «усамітнення радикала» і зведення в квадрат призвело б до рівняння четвертого ступеня, рішення якого є в загальному випадку надзвичайно складним завданням.

Приклад 9. Розв'язати рівняння .

Введемо нову змінну

В результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного.

,

звідки враховуючи обмеження, отримуємо. Вирішуючи рівняння, отримуємо корінь. Як свідчить перевірка, задовольняє вихідному рівнянню.

Іноді за допомогою деякої підстановки вдається привести ірраціональне рівняння до раціонального вигляду, як розглянутих Прикладах 8, 9. У такому випадку кажуть, що ця підстановка раціоналізує ірраціональне рівняння, що розглядається, і називають її раціоналізуючою., заснований на застосуванні раціоналізують підстановок,

З усіма учнями на уроці цей спосіб розв'язання ірраціональних рівнянь не потрібно розбирати, але він може бути розглянутий у рамках факультативних або гурткових занять з математики з учнями, які виявляють підвищений інтерес до математики.

На основі знання зв'язку між результатом та компонентами арифметичних дій (тобто знання способів знаходження невідомих компонентів). Ці вимоги програми визначають методику роботи з рівняннями. 2. Методика вивчення нерівностей у старших класах 2.1 Зміст та роль лінії рівнянь та нерівностей у сучасному шкільному курсі математики Зважаючи на важливість та широкість матеріалу, ...

На якісно новий ступінь оволодіння змістом шкільної математики. Розділ II. Методико-педагогічні основи використання самостійної роботи, як навчання вирішенню рівнянь у 5 - 9 класах. § 1. Організація самостійної роботи під час навчання розв'язання рівнянь у 5 - 9 класах. За традиційного способу викладання вчитель часто ставить учня в положення об'єкта...

Можна зробити висновок про недостатнє висвітлення питання, що вивчається в сучасній методичній літературі. Об'єкт дослідження: процес навчання математики. Предмет: формування вміння розв'язання квадратних рівнянь у учнів 8-го класу. Контингент: учні 8 класу. Глава 1. Теоретичні аспекти навчання розв'язання рівнянь у 8 класі 1.1. З історії виникнення квадратних...

Числового аргументу, тому за такого підходу спостерігається певна надмірність у формуванні функції як узагальненого поняття. 2. Основні напрями запровадження поняття функції у шкільному курсі математики У сучасному шкільному курсі математики провідним підходом вважається генетичний з додаванням елементів логічного. Формування понять та уявлень, методів та прийомів у складі...

Урок на тему: Розв'язання рівнянь

Склала: Волкова Віра Вікторівна – вчитель математики

Тема уроку: Розв'язання рівнянь методом запровадження нової змінної.

Цілі уроку:1. Ознайомити учнів із новим методом розв'язання рівнянь;

2.Закріпити навички розв'язання квадратних рівнянь та вибору методів їх вирішення;

3.Провести первинне закріплення нової теми;

4. Розвивати вміння відстоювати свою думку, аргументовано вести діалог з однокласниками;

Розвивати увагу, пам'ять та логічне мислення, спостережливість

Щеплювати навички комунікабельності та культури спілкування

Щеплювати навички самостійної роботи

Хід уроку

1.Оргмомент

Повідомлення теми уроку та постановка мети.

2. Повторення

На попередніх уроках ми навчилися вирішувати квадратні рівняння різними способами та рівняннями. Які можуть призвести до квадратним.

Яке рівняння називається квадратним?

Які способи їх вирішення ви знаєте,

Які рівняння можна привести до квадратних

а) (х +3) 2 + (х-2) 2 + (х +5) (х -5) = 11х +20

б) х 2 (х+1)-(х+4)х=12(х-1) 2

в) х 2 + х + 9 = 3х-7,

г) х+1 + х = 2,5

Х х+1

д) х 2+2х+2+х2+2х+3 = 9

Х 2 +2х +5 х 2 +2х +6 10?

3. Вивчення нового матеріалу.

Зараз попрацюємо в групах (нагадати про порядок роботи та правила поведінки при роботі в групах). Ваше завдання вирішити запропоновані рівняння (лунають картки із завданням, на дошку вивішується плакат).

а) х+1 + х = 2,5

Х х+1

б) х 2+2х+2+х2+2х+3 = 9

Х 2+2х+5х2+2х+6 10

Вчитель спостерігає за ходом роботи та вибирає форму перевірки першого рівняння:

Усно чи на дошці залежно від успішності роботи класу.

Перевіримо, що у вас вийшло.

Перше рівняння зводиться до квадратного рівняння х 2 + х -2 = 0.

Рішенням якого є числа -2 та 1.

А тепер перейдемо до вирішення другого рівняння. У всіх групах вийшло рівняння четвертого ступеня, вирішувати яке ви не вмієте.

Спробуймо таки з ним розібратися.

Як і рішення будь-якого завдання, рішення рівняння складається з низки етапів:

• Аналіз рівняння
• Складання плану рішення.
• Реалізація цього плану.
• Перевірка рішення.
• Аналіз методу розв'язання систематизація досвіду.
• – Як зазвичай проводиться аналіз рівняння?

Насамперед відповідаємо на запитання, чи зустрічалися ми з рівняннями такого виду раніше?

Так, зустрічалися, - це дробораціональне рівняння.

Можна спробувати вирішити це «важке» рівняння, а можна повернутися до

вихідного рівняння та ще раз проаналізувати його.

Для цього:

• Виділимо деякі елементи рівняння,
• Встановимо їх загальні властивості,
• Вивчимо зв'язок між різними елементами рівняння,
• Використовуємо цю інформацію.

Попрацюємо 5 хвилин у групах за цим планом.

Більшість виділили елемент, що входить до чисельників і знаменників дробів у рівнянні. Щоб рівняння стало простіше, замінимо цей вираз однією літерою, наприклад, Z:

Х 2 + 2х = Z

Z+2+Z+3=9

Z +5 Z +6 10

Його можна розглядати як нове рівняння щодо нової невідомої Z. У ньому змінна х не присутня у явному вигляді.

Кажуть, що здійснено заміну змінної.

Чи доцільна така заміна? Щоб відповісти на це питання, достатньо з'ясувати:

Чи можна вирішити нове рівняння та знайти значення Z,

Чи можна по Z знайти значення змінної x для вихідного рівняння.

Спробуйте, працюючи у групах відповісти на першу частину питання.

Вчитель спостерігає за перебігом роботи. Потім перевіряються результати пошуку значень змінної Z.

Отже, знайшли значення змінної Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| 11

Але нас цікавлять усі значення змінної х, що задовольняють вихідне рівняння. Знайдемо ці значення. Зв'язок між корінням вихідного та нового рівняння міститься у формулі х 2 + 2х = Z. Значення змінної Z ми знайшли. Отже, будь-який корінь вихідного дробового раціонального рівняння є коренем одного з рівнянь: х 2 + 2х = Z 1 або х 2 + 2х = Z 2

Розв'яжіть ці рівняння самостійно за варіантами.

Перевіримо результати: перше рівняння має коріння х 1 = 0, х 2 = -2, а друге рівняння не має коріння.

Залишилося провести перевірку отриманих результатів для вихідного рівняння та записати відповідь.

Відповідь: х 1 = 0, х 2 = -2.

Отже, ми вирішили вихідне рівняння новим методом, який називається методом запровадження нової змінної.

Складіть алгоритм розв'язання нашого рівняння методом запровадження нової змінної.(Робота в групах)

• Вирізняємо вираз х 2 + 2х;
• Позначаємо цей вираз однієї літери х 2 + 2х = Z;
• Виконуємо підстановку та отримуємо нове рівняння;
• Наводимо його до квадратного та вирішуємо;
• За значеннями змінної Z знаходимо значення змінної х;
• Робимо перевірку отриманих результатів та записуємо відповідь.

3. Закріплення матеріалу.

Як ви вважаєте, чи можна було провести іншу заміну змінних? (Наприклад, х 2 + 2х

2 = Z або х 2 + 2х +6 = Z.) Який вид тоді матиме нове рівняння? Як їх вирішити? Чи можуть вирішити перше домашнє рівняння шляхом введення нової змінної? Який вираз можна замінити на нову змінну? Який вийде рівняння? Як його вирішити? Чому рівні значення змінної Z? Чому рівні значення змінної х?

4.Підбиття підсумків.

• Що ми сьогодні вивчали на уроці?
• Який новий спосіб розв'язання рівнянь ви дізналися?
• У чому полягає метод запровадження нової змінної?
• Який алгоритм цього?
• Чи здався вам цей метод важким, незручним?
• Чи для всіх рівнянь його можна застосувати?

5. Домашнє завдання.

• Записати та вивчити алгоритм застосування методу введення нової змінної;
• Вирішити даним методом № 2.43 (1; 2) ДІА стор.117.

З методом введення нової змінної при вирішенні раціональних рівнянь з однією змінною ви познайомилися в курсі алгебри 8-го класу. Суть цього методу при вирішенні систем рівнянь та сама, але з технічної точки зору є деякі особливості, які ми і обговоримо в наступних прикладах.

приклад 3.Розв'язати систему рівнянь

Рішення.Введемо нову змінну Тоді перше рівняння системи можна буде переписати у простішому вигляді: Вирішимо це рівняння щодо змінної t:

Обидва ці значення задовольняють умові , тому є корінням раціонального рівняння зі змінною t. Але значить або звідки знаходимо, що х = 2у, або
Таким чином, за допомогою методу введення нової змінної нам вдалося як би «розшарувати» перше рівняння системи, досить складне на вигляд, на два простіші рівняння:

х = 2 у; у - 2х.

Що ж далі? А далі кожне з двох отриманих простих рівнянь потрібно по черзі розглянути в системі з рівнянням х 2 - у 2 = 3, про яке ми поки що не згадували. Іншими словами, завдання зводиться до вирішення двох систем рівнянь:

Треба знайти рішення першої системи, другої системи та всі отримані пари значень включити у відповідь. Розв'яжемо першу систему рівнянь:

Скористаємося методом підстановки, тим більше, що тут для нього все готове: підставимо вираз 2у замість х у друге рівняння системи. Отримаємо

Оскільки х = 2у, знаходимо відповідно х 1 = 2, х 2 = 2. Тим самим було отримано два рішення заданої системи: (2; 1) і (-2; -1). Розв'яжемо другу систему рівнянь:

Знову скористаємося методом підстановки: підставимо вираз 2х замість у друге рівняння системи. Отримаємо

Це рівняння немає коренів, отже, і система рівнянь немає рішень. Таким чином, у відповідь треба включити лише рішення першої системи.

Відповідь: (2; 1); (-2; -1).

Метод введення нових змінних при вирішенні систем двох рівнянь із двома змінними застосовується у двох варіантах. Перший варіант: вводиться одна нова змінна та використовується лише в одному рівнянні системи. Саме так було в прикладі 3.Другий варіант: вводяться дві нові змінні і використовуються одночасно в обох рівняннях системи. Так буде справа в прикладі 4.

приклад 4.Розв'язати систему рівнянь