Умовна можливість. Теорема Байєса

Фактично формули (1) та (2) це короткий запис умовної ймовірності на основі таблиці сполученості ознак. Повернемося, наприклад, розглянутому (рис. 1). Припустимо, що нам стало відомо, ніби сім'я збирається купити широкоекранний телевізор. Яка ймовірність того, що ця сім'я справді придбає такий телевізор?

Мал. 1. Поведінка покупців широкоекранних телевізорів

В даному випадку нам необхідно обчислити умовну ймовірність Р (купівля здійснена | купівля планувалася). Оскільки нам відомо, що сім'я планує придбання, вибірковий простір складається не з усіх 1000 сімей, а лише з тих, що планують придбання широкоекранного телевізора. Із 250 таких сімей 200 справді купили цей телевізор. Отже, ймовірність того, що сім'я дійсно придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала це, можна обчислити за такою формулою:

Р (купівля здійснена | купівля планувалася) = кількість сімей, що планували та купили широкоекранний телевізор / кількість сімей, які планували купити широкоекранний телевізор = 200 / 250 = 0,8

Той самий результат дає формула (2):

де подія Аполягає в тому, що сім'я планує покупку широкоформатного телевізора, а подію У- У тому, що вона його дійсно купить. Підставляючи у формулу реальні дані, отримуємо:

Дерево рішень

На рис. 1 сім'ї розділені на чотири категорії: які планували покупку широкоекранного телевізора і не планували, а також купили такий телевізор і не купили. Аналогічну класифікацію можна виконати за допомогою дерева розв'язків (рис. 2). Дерево, зображене на рис. 2, має дві гілки, що відповідають сім'ям, які планували придбати широкоекранний телевізор, та сім'ям, які не робили цього. Кожна з цих гілок поділяється на дві додаткові гілки, що відповідають сім'ям, які купили і не купили широкоекранний телевізор. Імовірності, записані на кінцях двох основних гілок, є безумовними ймовірностями подій Аі А’. Імовірності, записані на кінцях чотирьох додаткових гілок є умовними ймовірностями кожної комбінації подій Аі У. Умовні ймовірності обчислюються шляхом поділу спільної ймовірності подій на безумовну ймовірність кожного з них.

Мал. 2. Дерево рішень

Наприклад, щоб визначити ймовірність того, що сім'я придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала зробити це, слід визначити ймовірність події купівля запланована та здійснена, а потім поділити його на ймовірність події купівля запланована. Переміщаючись по дереву рішення, зображене на рис. 2, отримуємо наступну (аналогічну попередньому) відповідь:

Статистична незалежність

У прикладі з покупкою широкоекранного телевізора ймовірність того, що випадково обрана сім'я придбала широкоекранний телевізор за умови, що вона планувала це зробити, дорівнює 200/250 = 0,8. Нагадаємо, що безумовна ймовірність того, що випадково обрана сім'я набула широкоекранного телевізора, дорівнює 300/1000 = 0,3. Звідси випливає дуже важливий висновок. Апріорна інформація про те, що сім'я планувала покупку, впливає на ймовірність самої покупки.Інакше кажучи, ці дві події залежать одна від одної. На противагу цьому прикладу існують статистично незалежні події, ймовірності яких не залежать одна від одної. Статистична незалежність виражається тотожністю: Р(А|В) = Р(А), де Р(А|В)- ймовірність події Аза умови, що сталася подія У, Р(А)- Безумовна ймовірність події А.

Зверніть увагу на те, що події Аі У Р(А|В) = Р(А). Якщо таблиці сполученості ознак, має розмір 2×2, ця умова виконується хоча б однієї комбінації подій Аі У, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації. У нашому прикладі події купівля запланованаі купівля здійсненане є статистично незалежними, оскільки інформація про одну подію впливає на ймовірність іншої.

Розглянемо приклад, де показано, як перевірити статистичну незалежність двох подій. Запитаємо у 300 сімей, які купили широкоформатний телевізор, чи задоволені вони своєю покупкою (рис. 3). Визначте, чи пов'язані між собою ступінь задоволеності покупкою та тип телевізора.

Мал. 3. Дані, що характеризують ступінь задоволеності покупців широкоекранних телевізорів

Судячи з цих даних,

В той же час,

Р (покупець задоволений) = 240/300 = 0,80

Отже, ймовірність того, що покупець задоволений покупкою, і того, що сім'я купила HDTV-телевізор, є рівними між собою, і ці події є статистично незалежними, оскільки ніяк не пов'язані між собою.

Правило множення ймовірностей

Формула для обчислення умовної ймовірності дозволяє визначити ймовірність спільної події А і В. Дозволивши формулу (1)

щодо спільної ймовірності Р(А та В), Отримуємо загальне, правило множення ймовірностей. Ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події Аза умови, що настала подія У У:

(3) Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

Розглянемо як приклад 80 сімей, які купили широкоекранний HDTV-телевізор (рис. 3). У таблиці зазначено, що 64 сім'ї задоволені покупкою та 16 – ні. Припустимо, що серед них випадково вибираються дві родини. Визначте ймовірність, що обидва покупці виявляться задоволеними. Використовуючи формулу (3), отримуємо:

Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

де подія Аполягає в тому, що друга сім'я задоволена своєю покупкою, а подія У- У тому, що перша сім'я задоволена своєю покупкою. Імовірність того, що перша сім'я задоволена своєю покупкою, дорівнює 64/80. Однак ймовірність того, що друга сім'я також задоволена своєю покупкою, залежить від першої родини. Якщо перша сім'я після опитування не повертається у вибірку (вибір без повернення), кількість респондентів знижується до 79. Якщо перша сім'я виявилася задоволеною своєю покупкою, ймовірність того, що друга сім'я також буде задоволена, дорівнює 63/79, оскільки у вибірці залишилося лише 63 сім'ї, задоволені своїм придбанням. Таким чином, підставляючи у формулу (3) конкретні дані, отримаємо наступну відповідь:

Р(А та В) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Отже, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 63,8%.

Припустимо, що після опитування перша сім'я повертається у вибірку. Визначте ймовірність того, що обидві сім'ї виявляться задоволеними своєю покупкою. У цьому випадку ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своєю покупкою однакові, і дорівнюють 64/80. Отже, Р(А та В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким чином, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 64%. Цей приклад показує, що вибір другої сім'ї залежить від вибору першої. Таким чином, замінюючи у формулі (3) умовну ймовірність Р(А|В)ймовірністю Р(А), ми одержуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій.

Правило збільшення ймовірностей незалежних подій.Якщо події Аі Ує статистично незалежними, ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події А, помноженої на ймовірність події У.

(4) Р(А та В) = Р(А)Р(В)

Якщо це правило виконується для подій Аі УОтже, вони є статистично незалежними. Таким чином, існують два способи визначити статистичну незалежність двох подій:

1. Події Аі Ує статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А|В) = Р(А).
2. Події Аі Bє статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А та В) = Р(А)Р(В).

Якщо в таблиці сполученості ознак, що має розмір 2×2, одна з цих умов виконується хоча б для однієї комбінації подій Аі B, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації.

Безумовна ймовірність елементарної події

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

де події B 1 , B 2 ... B k є взаємовиключними і вичерпними.

Проілюструємо застосування цієї формули з прикладу рис.1. Використовуючи формулу (5), отримуємо:

Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)

де Р(А)- ймовірність того, що купівля планувалася, Р(У 1)- ймовірність того, що покупка здійснена, Р(В 2)- Імовірність того, що покупка не здійснена.

ТЕОРЕМА БАЙЄСА

Умовна ймовірність події враховує інформацію про те, що сталася інша подія. Цей підхід можна використовувати як для уточнення ймовірності з урахуванням нової інформації, так і для обчислення ймовірності, що ефект, що спостерігається, є наслідком певної конкретної причини. Процедура уточнення цих ймовірностей називається теоремою Байєса. Вперше вона була розроблена Томасом Байєсом у 18 столітті.

Припустимо, що компанія, згадана вище, досліджує ринок збуту нової моделі телевізора. У минулому 40% телевізорів, створених компанією, мали успіх, а 60% моделей визнання не отримали. Перш ніж оголосити про випуск нової моделі, фахівці з маркетингу ретельно досліджують ринок та фіксують попит. У минулому успіх 80% моделей, які здобули визнання, прогнозувався заздалегідь, водночас 30% сприятливих прогнозів виявились невірними. Для нової моделі відділ маркетингу дав сприятливий прогноз. Яка ймовірність того, що нова модель телевізора матиме попит?

Теорему Байєса можна вивести з визначень умовної ймовірності (1) та (2). Щоб обчислити ймовірність Р(В|А), візьмемо формулу (2):

і підставимо замість Р(А і В) значення формули (3):

Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)

Підставляючи замість Р(А) формулу (5), отримуємо теорему Байєса:

де події B 1 , 2 , … k є взаємовиключними і вичерпними.

Введемо такі позначення: подія S - телевізор користується попитом, подія S' - телевізор не користується попитом, подія F - сприятливий прогноз, подія F’ - несприятливий прогноз. Припустимо, що P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Застосовуючи теорему Байєса отримуємо:

Імовірність попиту нову модель телевізора за умови сприятливого прогнозу дорівнює 0,64. Таким чином, ймовірність відсутності попиту за умови сприятливого прогнозу дорівнює 1-0,64 = 0,36. Процес обчислень подано на рис. 4.

Мал. 4. (а) Обчислення за формулою Байєса для оцінки ймовірності попиту телевізорів; (б) Дерево рішення щодо попиту на нову модель телевізора

Розглянемо приклад застосування теореми Байєса для медичної діагностики. Імовірність того, що людина страждає від певного захворювання, дорівнює 0,03. Медичний тест дозволяє перевірити, чи це так. Якщо людина дійсно хвора, ймовірність точного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона дійсно хвора) дорівнює 0,9. Якщо людина здорова, ймовірність хибнопозитивного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона здорова) дорівнює 0,02. Допустимо, що медичний тест дав позитивний результат. Яка ймовірність того, що людина дійсно хвора? Яка ймовірність точного діагнозу?

Введемо такі позначення: подія D - людина хвора, подія D' - людина здорова, подія Т - позитивний діагноз, подія Т' - негативний діагноз. З умови завдання випливає, що Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Застосовуючи формулу (6), отримуємо:

Імовірність того, що при позитивному діагнозі людина дійсно хвора, дорівнює 0,582 (див. також рис. 5). Знаменник формули Байєса дорівнює ймовірності позитивного діагнозу, тобто. 0,0464.

Теорія ймовірності - досить великий самостійний розділ математики. У шкільному курсі теорія ймовірності розглядається дуже поверхово, проте в ЄДІ та ДІА є завдання на цю тему. Втім, вирішувати завдання шкільного курсу не так уже й складно (принаймні те, що стосується арифметичних операцій) - тут не треба вважати похідні, брати інтеграли і вирішувати складні тригонометричні перетворення - головне, вміти поводитися з простими числами та дробами.

Теорія ймовірності – основні терміни

Головні терміни теорії ймовірності – випробування, результат та випадкова подія. Випробуванням теоретично ймовірності називають експеримент - підкинути монету, витягнути карту, провести жеребкування - усе це випробування. Результат випробування, як ви вже здогадалися, називається результатом.

А що таке випадковість події? Теоретично ймовірності передбачається, що випробування проводиться жодного разу і результатів багато. Випадковою подією називають безліч наслідків випробування. Наприклад, якщо ви кидаєте монету, може статися дві випадкові події – випаде орел чи решка.

Не плутайте поняття результат та випадкова подія. Результат – це один результат одного випробування. Випадкова подія – це безліч можливих наслідків. Існує, до речі, і такий термін, як неможлива подія. Наприклад, подія "випала кількість 8" на стандартному ігровому кубику є неможливою.

Як знайти можливість?

Всі ми приблизно розуміємо, що таке ймовірність, і досить часто використовуємо це слово у своєму лексиконі. Крім того, ми можемо навіть робити деякі висновки щодо ймовірності тієї чи іншої події, наприклад, якщо за вікном сніг ми з великою ймовірністю можемо сказати, що зараз не літо. Однак як висловити це припущення чисельно?

Для того щоб ввести формулу для знаходження ймовірності, введемо ще одне поняття - сприятливий результат, тобто результат, який є сприятливим для тієї чи іншої події. Визначення досить двозначне, звісно, ​​проте за умовою завдання завжди зрозуміло, який результат сприятливий.

Наприклад: У класі 25 осіб, троє з них – Каті. Вчитель призначає чергову Олю, і їй потрібен напарник. Яка ймовірність того, що партнером стане Катя?

У цьому прикладі сприятливий результат - партнер Катя. Трохи згодом ми вирішимо це завдання. Але спочатку введемо з допомогою додаткового визначення формулу знаходження ймовірності.

• Р = А/N, де P – ймовірність, A – число сприятливих результатів, N – загальна кількість результатів.

Всі шкільні завдання крутяться навколо цієї формули, і головна труднощі зазвичай полягає у знаходженні результатів. Іноді їх знайти просто, іноді не дуже.

Як вирішувати завдання на ймовірність?

Завдання 1

Отже, тепер давайте вирішимо поставлене вище завдання.

Число сприятливих результатів (вчитель вибере Катю) дорівнює трьом, адже Кать у класі три, а загальних результатів - 24 (25-1, адже Оля вже обрана). Тоді ймовірність дорівнює: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Таким чином, ймовірність того, що партнером Олі виявиться Катя, становить 12,5%. Нескладно, правда? Давайте розберемо дещо складніше.

Завдання 2

Монету кинули двічі, якою є ймовірність випадання комбінації: один орел і одна решка?

Отже, рахуємо загальні результати. Як можуть випасти монети - орел/орел, решка/рішка, орел/рішка, решка/орел? Значить, загальна кількість наслідків - 4. Скільки сприятливих наслідків? Два - орел/рішка та решка/орел. Таким чином, ймовірність випадання комбінації орел/рішка дорівнює:

• P = 2/4 = 0,5 або 50 відсотків.

А тепер розглянемо таке завдання. Маша має в кишені 6 монет: дві - номіналом 5 рублів і чотири - номіналом 10 рублів. Маша переклала 3 монети в іншу кишеню. Яка ймовірність того, що 5-рублеві монети опиняться у різних кишенях?

Для простоти позначимо монети цифрами – 1,2 – п'ятирублеві монети, 3,4,5,6 – десятирублеві монети. Отже, як можуть лежати монети у кишені? Усього є 20 комбінацій:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На перший погляд може здатися, що деякі комбінації зникли, наприклад, 231, однак у разі комбінації 123, 231 і 321 рівнозначні.

Тепер рахуємо, скільки у нас сприятливих результатів. За них беремо ті комбінації, в яких є або цифра 1, або цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Їх 12. Таким чином, імовірність

• P = 12/20 = 0,6 чи 60%.

Завдання з теорії ймовірності, представлені тут, досить прості, проте думайте, що теорія ймовірності - це простий розділ математики. Якщо ви вирішите продовжувати освіту у вузі (за винятком гуманітарних спеціальностей), у вас обов'язково будуть пари з вищої математики, на яких вас ознайомлять з більш складними термінами цієї теорії, і завдання там будуть набагато складнішими.

• Імовірність - ступінь (відносна міра, кількісна оцінка) можливості настання певної події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія сталася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше малоймовірною або неймовірною. Перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, можливо різною мірою, унаслідок чого ймовірність (і неймовірність) буває більшою чи меншою. Тому часто ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо в тих випадках, коли більш менш точна кількісна оцінка неможлива або вкрай скрутна. Можливі різні градації «рівнів» ймовірності.

  Дослідження ймовірності з математичної погляду становить особливу дисципліну - теорію ймовірностей. У теорії ймовірностей та математичної статистики поняття ймовірності формалізується як числова характеристика події - ймовірнісна міра (або її значення) - міра на безлічі подій (підмножини безлічі елементарних подій), що приймає значення від

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Значення

  (\displaystyle 1)

  Відповідає достовірній події. Неможлива подія має ймовірність 0 (назад взагалі кажучи не завжди вірно). Якщо ймовірність настання події дорівнює

  (\displaystyle p)

  То ймовірність його ненастання дорівнює

  (\displaystyle 1-p)

  Зокрема, ймовірність

  (\displaystyle 1/2)

  Означає рівну ймовірність настання та ненастання події.

  Класичне визначення ймовірності грунтується на понятті рівноможливості результатів. Як ймовірність виступає відношення кількості результатів, що сприяють даній події, до загального числа рівноможливих результатів. Наприклад, ймовірність випадання «орла» або «решки» при випадковому підкиданні монетки дорівнює 1/2, якщо передбачається, що ці дві можливості мають місце і є рівноможливими. Дане класичне "визначення" ймовірності можна узагальнити на випадок нескінченної кількості можливих значень - наприклад, якщо деяка подія може статися з рівною ймовірністю в будь-якій точці (кількість точок нескінченно) деякої обмеженої області простору (площини), то ймовірність того, що вона відбудеться в деякій частина цієї допустимої області дорівнює відношенню обсягу (площі) цієї частини до обсягу (площі) області всіх можливих точок.

  Емпіричне «визначення» ймовірності пов'язане з частотою настання події виходячи з того, що при досить значній кількості випробувань частота повинна прагнути об'єктивного ступеня можливості цієї події. У сучасному викладі теорії ймовірностей ймовірність визначається аксіоматично, як окремий випадок абстрактної теорії міри множини. Тим не менш, сполучною ланкою між абстрактним заходом і ймовірністю, що виражає ступінь можливості настання події, є частота його спостереження.

  Імовірнісний опис тих чи інших явищ набув широкого поширення в сучасній науці, зокрема в економетриці, статистичній фізиці макроскопічних (термодинамічних) систем, де навіть у разі класичного детермінованого опису руху частинок детермінований опис усієї системи часток не є практично можливим і доцільним. У квантовій фізиці самі описувані процеси мають імовірнісну природу.

Бажаєте дізнатися, які математичні шанси на успіх вашої ставки? Тоді для вас є дві добрі новини. Перша: щоб порахувати прохідність, не потрібно проводити складні розрахунки та витрачати багато часу. Достатньо скористатися простими формулами, робота з якими займе кілька хвилин. Друга: після прочитання цієї статті ви з легкістю зможете розраховувати можливість проходу будь-якої вашої угоди.

Щоб правильно визначити прохідність, необхідно зробити три кроки:

• Розрахувати процент ймовірності результату події на думку букмекерської контори;
• Обчислити ймовірність за статистичними даними самостійно;
• Дізнатися цінність ставки з огляду на обидві ймовірності.

Розглянемо докладно кожен із кроків, застосовуючи як формули, а й приклади.

швидкий перехід

Підрахунок ймовірності, закладеної в букмекерські коефіцієнти

Перший крок - необхідно дізнатися, з якою ймовірністю оцінює шанси на той чи інший результат сам букмекер. Адже зрозуміло, що кефи букмекерські контори не ставлять так просто. Для цього користуємося такою формулою:

PБ=(1/K)*100%,

де P Б - ймовірність результату на думку букмекерської контори;

K - коефіцієнт БК на результат.

Припустимо, на перемогу лондонського Арсеналу у поєдинку проти Баварії коефіцієнт 4. Це означає, що ймовірність його вікторії БК розцінюють як (1/4) * 100% = 25%. Або ж Джокович грає проти Південного. На перемогу Новака множник 1.2, його шанси дорівнюють (1/1.2)*100%=83%.

Так оцінює шанси на успіх кожного гравця та команди сама БК. Здійснивши перший крок, переходимо до другого.

Розрахунок ймовірності події гравцем

Другий пункт нашого плану – власна оцінка ймовірності події. Так як ми не можемо врахувати математично такі параметри як мотивація, ігровий тонус, то скористаємося спрощеною моделлю і користуватимемося лише статистикою попередніх зустрічей. Для розрахунку статистичної ймовірності результату застосовуємо формулу:

PІ=(Розум/М)*100%,

деPІ- Імовірність події на думку гравця;

РОЗУМ – кількість успішних матчів, у яких така подія відбувалася;

М – загальна кількість матчів.

Щоб було зрозуміліше, наведемо приклади. Енді Маррей та Рафаель Надаль зіграли між собою 14 матчів. У 6 з них був зафіксований тотал менше 21 за геймами, у 8 – тотал більше. Необхідно дізнатися ймовірність того, що наступний поєдинок зіграє на тотал більше: (8/14)*100=57%. Валенсія зіграла на Местальї проти Атлетіко 74 матчі, в яких здобула 29 перемог. Імовірність перемоги Валенсії: (29/74) * 100% = 39%.

І це всі ми дізнаємось лише завдяки статистиці попередніх ігор! Природно, що на якусь нову команду чи гравця таку можливість прорахувати не вийде, тому така стратегія ставок підійде лише для матчів, у яких суперники зустрічаються не вперше. Тепер ми вміємо визначати букмекерську та власну ймовірність наслідків, і у нас є всі знання, щоб перейти до останнього кроку.

Визначення цінності ставки

Цінність (валуйність) парі та прохідність мають безпосередній зв'язок: чим вища валуйність, тим вищий шанс на прохід. Розраховується цінність так:

V=PІ*K-100%,

де V – цінність;

P І - ймовірність результату на думку беттера;

K - коефіцієнт БК на результат.

Припустимо, ми хочемо поставити на перемогу Мілана у матчі проти Роми та підрахували, що ймовірність перемоги «червоно-чорних» 45%. Букмекер пропонує нам це результат коефіцієнт 2.5. Чи буде таке парі цінним? Проводимо розрахунки: V = 45% * 2.5-100% = 12.5%. Добре, перед нами цінна ставка з добрими шансами на прохід.

Візьмемо інший випадок. Марія Шарапова грає проти Петри Квітової. Ми хочемо укласти угоду на перемогу Марії, ймовірність якої, за нашими розрахунками, 60%. Контори пропонують цей результат множник 1.5. Визначаємо валуйність: V = 60% * 1.5-100 = -10%. Як бачимо, цінності ця ставка не становить і слід утриматися від неї.

Початковий рівень

Теорія імовірності. Розв'язання задач (2019)

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, а перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

1. Ти подзвонив у 1юдвері
2. Ти подзвонив у 2юдвері
3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії (у нас така дія – це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одне з дверей, але нам відкрив незнайомий чоловік. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

1. Кидаємо монету разів. Яка ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка ймовірність випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо всі можливі варіанти:

1. Орел-орел
2. Орел решка
3. Решка-орел
4. Решка-рішка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо в умові просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих наслідків? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих наслідків?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

1. Яка можливість витягнути білу кулю?
2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

приклад 4.

У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Імовірність усіх подій. А ймовірність подій, які ми вважаємо несприятливими (коли витягнемо червоний фломастер) - .

Таким чином, можливість витягнути не червоний фломастер - .

Відповідь:

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна і та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність двох (чи більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Що має статися? Ми повинні витягнути (червоний АБО зелений).

Тепер зрозуміло, складаємо ймовірність цих подій:

Відповідь:

Приклад 6.

Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Відповідь:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.

1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, пані чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

1. У колоді карти кожної гідності означає:
2. Події залежать, оскільки після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшилася (як і кількість «картинок»). Усього вальтів, дам, королів і тузів у колоді спочатку, а значить ймовірність першою картою витягнути «картинку»:

   Оскільки ми прибираємо з колоди першу карту, то в колоді залишилося вже карта, з них картинок. Імовірність другою картою витягнути картинку:

   Оскільки нас цікавить ситуація, коли ми дістаємо з колоди: «картинку» та «картинку», то треба перемножувати ймовірності:

   Відповідь:

3. Після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшиться. Таким чином, нам підходить два варіанти:
   1) Першою картою витягуємо Туза, другою – валета, даму чи короля
   2) Першою картою витягуємо валета, даму чи короля, другий - туза. (туз і (валет чи дама чи король)) чи ((валет чи дама чи король) і туз). Не забуваємо про зменшення кількості карт у колоді!

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають можливість латинської буквою (мабуть, від англійського слова probability - можливість).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. тему , ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткою імовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

   З рішкою те саме: .

2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки й різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
   Імовірність. З непарними, природно, те саме.
3. Усього: . Сприятливих: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правило називається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:

Спробуй сам:

1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде один і той же бік?
2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

1. (Випав орел і випав орел) або (випала решка та випала решка): .
2. Які є варіанти? в. Тоді:
   Випало (і) або (і) або (і): .

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

Ой, як не хочеться перебирати варіанти… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А й не треба! Згадуємо про цілковиту ймовірність. Згадав? Яка ймовірність, що орел не випаде жодного разу? Це просто: весь час летять решки, значить.

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, по кожній темі, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді, це набагато більше, ніж просто тренажер - ціла програма підготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!