У чому полягає закон збереження зарядів? Закон збереження заряду - формулювання, формула, приклади дослідів

Закон збереження заряду стверджує, що під час взаємодії деякої замкнутої системи з навколишнім простором кількість заряду, що виходить із системи через її поверхню, дорівнює кількості заряду, що надійшов усередину системи. Тобто алгебраїчна сума всіх зарядів системи дорівнює нулю.

Формула 1 - Закон збереження заряду

Як відомо у природі існує два види зарядів. Це позитивні та негативні. Також величина заряду дискретна, тобто може змінюватися лише порціями. Елементарним зарядом вважається заряд електрона. Якщо до атома додати один електрон, він стає негативно зарядженим іоном. А якщо його забрати то позитивним.

Основна ідея закону збереження заряду полягає в тому, що заряд не виникає звідки і не зникає в нікуди. У разі заряду одного знака відразу з'являється заряд протилежного знака тієї ж величини.

На підтвердження цього закону проведемо експеримент. Для нього нам знадобиться два електрометри. Це прилади, що показують електрично заряд. Він складається із стрижня, на якому закріплена вісь. На осі знаходиться стрільця. Все це поміщено у циліндричний корпус, закритий із двох боків склом.

На стрижні першого електрометра є металевий диск. На який ми помістимо інший такий самий диск. Між дисками необхідно прокласти якийсь ізолятор. Наприклад, сукно. У верхнього диска є діелектрична ручка. Взявшись за цю ручку, потремо диски один про одного. Таким чином, електризуючи їх.

Малюнок 1 — Електрометри із закріпленими на них дисками

Після того, як ми приберемо верхній диск, електрометр покаже наявність заряду. У нього відхилиться стрільця. Далі ми візьмемо диск і торкнемося ним стрижня другого електрометра. У нього також відхиляється стрілка, вказуючи на наявність заряду. Хоча заряд буде протилежним знаком. Далі якщо ми з'єднаємо стрижні електрометрів, то стрілки повернуться у вихідне положення. Тобто заряди компенсують один одного.

Рисунок 2 – компенсація зарядів дисків

Що ж сталося у цьому експерименті. Коли ми потерли диски один про одного, відбувся розподіл зарядів у металі дисків. Спочатку кожен диск був електрично нейтральний. Один із них отримав надлишок електронів, тобто негативний заряд. У іншого вийшла нестача електронів, тобто він став, заряджений позитивно.

Заряди в даному випадку не з'явилися звідки. Вони вже були всередині дисків, що проводять. Тільки вони були компенсовані між собою. Ми просто їх поділили. Помістивши у своїй різні диски. Коли ж ми з'єднали стрижні електрометрів, то заряди знову компенсувалися між собою. Про що свідчили стрільці.

Якщо розглядати електрометри та диски як єдину систему. То незважаючи на всі наші маніпуляції, сумарний заряд цієї системи весь час був постійний. У початковий момент диски були електрично нейтральні. Після поділу з'явилися об'ємні позитивні та негативні заряди. Ось тільки за величиною вони були однакові. А значить, у системі заряд залишився тим самим. Після з'єднання стрижнів система повернулася у вихідний стан.

Закон збереження електричного зарядуговорить, що сума алгебри зарядів електрично замкнутої системи зберігається.

Закон збереження заряду виконується абсолютно точно. На даний момент його походження пояснюють наслідком принципу калібрувальної інваріантності. Вимога релятивістської інваріантності призводить до того, що закон збереження заряду має локальнийхарактер: зміна заряду в будь-якому наперед заданому об'ємі дорівнює потоку заряду через його межу. У початковому формулюванні було б можливий наступний процес: заряд зникає лише у точці простору і миттєво виникає у інший. Однак такий процес був би релятивістськи неінваріантним: через відносність одночасності в деяких системах відліку заряд з'явився б у новому місці до того, як зник у попередньому, а в деяких — заряд з'явився б у новому місці через деякий час після зникнення в попередньому. Тобто був би час, протягом якого заряд не зберігається. Вимога локальності дозволяє записати закон збереження заряду у диференційній та інтегральній формі.

Закон збереження заряду та калібрувальна інваріантність

Фізична теорія стверджує, кожен закон збереження грунтується на відповідному фундаментальному принципі симетрії. З властивостями симетрій простору-часу пов'язані закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Закони збереження електричного, баріонного та лептонного зарядів пов'язані не з властивостями простору-часу, а з симетрією фізичних законів щодо фазових перетворень в абстрактному просторі квантовомеханічних операторів та векторів станів. Заряджені поля квантової теорії поля описуються комплексної хвильової функцією, де x - просторово-часова координата. Частинкам з протилежними зарядами відповідають функції поля, що відрізняються знаком фази , яку можна вважати кутовою координатою в деякому двовимірному фіктивному «зарядовому просторі». Закон збереження заряду є наслідком інваріантності лагранжіана щодо глобального калібрувального перетворення типу , де Q - заряд частинки, що описується полем , а - довільне речове число, що є параметром і не залежить від просторово-часових координат частки. Такі перетворення не змінюють модуль функції, тому вони називаються унітарними U(1).

Закон збереження заряду в інтегральній формі

Згадаймо, що щільність потоку електричного заряду є простою щільністю струму. Той факт, що зміна заряду в обсязі дорівнює повному струму через поверхню, можна записати в математичній формі:

Тут - деяка довільна область у тривимірному просторі, - кордон цієї області, - густина заряду, - густина струму (щільність потоку електричного заряду) через кордон.

Закон збереження заряду у диференційній формі

Переходячи до нескінченно малого обсягу і використовуючи при необхідності теорему Стокса можна переписати закон збереження заряду в локальній диференціальній формі (рівняння безперервності)

Закон збереження заряду в електроніці

Правила Кірхгофа для струмів безпосередньо випливають із закону збереження заряду. Об'єднання провідників та радіоелектронних компонентів представляється у вигляді незамкнутої системи. Сумарний приплив зарядів у цю систему дорівнює сумарному виходу зарядів із системи. У правилах Кірхгофа передбачається, що електронна система може значно змінювати свій сумарний заряд.

Експериментальна перевірка

Найкращою експериментальною перевіркою закону збереження електричного заряду є пошук таких розпадів елементарних частинок, які дозволили б у разі нестрогого збереження заряду. Такі розпади ніколи не спостерігалися. mec 2/2 ≈ 255 кеВ, що виникає в гіпотетичному розпаді електрона на нейтрино та фотон:

однак існують теоретичні аргументи на користь того, що такий однофотонний розпад не може відбуватися навіть у разі, якщо заряд не зберігається. Інший незвичайний незберігаючий заряд процес - спонтанне перетворення електрона на позитрон та зникнення заряду (перехід у додаткові вимірювання, тунелювання з брани тощо). Найкращі експериментальні обмеження зникнення електрона разом із електричним зарядом і бета-распад нейтрона без емісії електрона.

Абсолютно всім відомо таке поняття, як закон збереження енергії. Енергія не виникає з нічого і не зникає в нікуди. Вона лише переходить із однієї форми до іншої.

Це основний закон Всесвіту. Саме завдяки цьому закону Всесвіт може існувати стабільно та тривало.

Формулювання закону збереження заряду

Існує ще один подібний закон, який теж є одним із основних. Це закон збереження електричного заряду.

У тілах, які перебувають у спокої та електрично нейтральні, заряди протилежних знаків рівні за величиною та взаємно компенсують один одного. Коли відбувається електризація одних тіл іншими, заряди переходять з одного тіла на інше, проте їхній загальний сумарний заряд залишається тим самим.

В ізольованій системі тіл загальний сумарний заряд завжди дорівнює деякій постійній величині: q_1+q_2+⋯+q_n=const, де q_1, q_2, …, q_n заряди тіл або частинок, що входять до системи.

Як же бути з перетворенням частинок?

Існує один момент, який може викликати питання про перетворення частинок. Дійсно, частинки можуть народжувати і зникати, переходячи при цьому інші частинки, випромінювання або енергію.

При цьому такі процеси можуть відбуватися як з нейтральними, так і з частинками, що несуть заряд. Як же бути в такому разі із законом збереження заряду?

Виявилося, що народження та зникнення часток може відбуватися лише парно. Тобто частинки переходять в інший тип існування, наприклад, у випромінювання лише парою, коли зникають одночасно і позитивна та негативна частки.

При цьому з'являється певний вид випромінювання та певна енергія. У протилежному випадку, коли під впливом якогось випромінювання та споживанням енергії народжуються заряджені частинки, то вони теж народжуються лише парою: позитивна та негативна.

Відповідно, загальний заряд новоявленої пари частинок дорівнюватиме нулю і закон збереження заряду виконується.

Експериментальне підтвердження закону

Виконання закону збереження електричного заряду експериментально підтверджено безліч разів. Немає жодного факту, який би говорив про інше.

Тому вчені вважають, що повний електричний заряд всіх тіл у Всесвіті зберігається незмінним і, швидше за все, дорівнює нулю. Тобто кількість всіх позитивних зарядів дорівнює кількості всіх негативних зарядів.

Природа існування закону збереження заряду поки що незрозуміла. Зокрема, незрозуміло, чому заряджені частки народжуються та анігілюють лише парами.

При електризації тіл виконується закон збереження електричного заряду. Цей закон справедливий для замкнутої системи. У замкнутій системі алгебраїчна сума зарядів усіх частинок залишається незмінною . Якщо заряди частинок позначити через q 1 , q 2 і т.д.

q 1 + q 2 + q 3 + … + q n= Const.

Основний закон електростатики – закон кулону

Якщо відстань між тілами у багато разів більша від їх розмірів, то ні форма, ні розміри заряджених тіл істотно не впливають на взаємодії між ними. У разі ці тіла можна як точкові.

Сила взаємодії заряджених тіл залежить від властивостей середовища між зарядженими тілами.

Сила взаємодії двох точкових нерухомих заряджених тіл у вакуумі прямо пропорційна добутку модулів заряду і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.Цю силу називають кулонівською.

|q 1 | та | q 2 | - модулі зарядів тіл,

r- Відстань між ними,

k- Коефіцієнт пропорційності.

F- сила взаємодії

Сили взаємодії двох нерухомих точкових заряджених тіл спрямовані вздовж прямої, що з'єднує ці тіла.

Одиниця електричного заряду

Одиниця сили струму – ампер.

Один кулон(1 Кл) - Це заряд, що проходить за 1 с через поперечний переріз провідника при силі струму 1 А

g [Кулон=Кл]

е=1,610 -19 Кл

-Електрична постійна

БЛИЗКОДІЯ І ДІЯ НА ВІДСТАНІ

Припущення про те, що взаємодія між віддаленими один від одного тілами завжди здійснюється за допомогою проміжних ланок (або середовища), що передають взаємодію від точки до точки, становить сутність теорії близькодії.Розпов. із кінцевою швидкістю.

Теорія прямої діїна відстані безпосередньо через порожнечу. Відповідно до цієї теорії дія передається миттєво на скільки завгодно великі відстані.

Обидві теорії взаємно протилежні одна одній. Згідно теорії дії на відстаніодне тіло діє інше безпосередньо через порожнечу і це дія передається миттєво.

Теорія близькодіїстверджує, що будь-яка взаємодія здійснюється за допомогою проміжних агентів та поширюється з кінцевою швидкістю.

Існування певного процесу у просторі між взаємодіючими тілами, що триває кінцевий час, - ось головне, що вирізняє теоріюблизькодії від теорії на відстані.

Згідно ідеї Фарадея електричні заряди не діють один на одного безпосередньо.Кожен із них створює в навколишньому просторі електричне поле. Поле одного заряду діє інший заряд, і навпаки. У міру віддалення від заряду поле слабшає.

Електромагнітні взаємодії повинні поширюватися у просторі з кінцевою швидкістю.

Електричне поле існує реально, його властивості можна досліджувати досвідченим шляхом, але ми не можемо сказати, з чого це поле складається.

Про природу електричного поля можна сказати, що поле є матеріальним; воно сущ. незалежно від нас, від наших знань про нього;

Поле має певні властивості, які не дозволяють сплутати його з чимось іншим у навколишньому світі;

Головна властивість електричного поля - дія його на електричні заряди з деякою силою;

Електричне поле нерухомих зарядів називають електростатичним. Воно не змінюється з часом. Електростатичне поле створюється лише електричними зарядами. Воно існує у просторі, що оточує ці заряди, і нерозривно з ним пов'язане.

Напруженість електричного поля.

Відношення сили, що діє на поміщений у цю точку поля заряд, до цього заряду для кожної точки поля не залежить від заряду і може розглядатися як характеристика поля.

Напруженість поля дорівнює відношенню сили, з якою поле діє точковий заряд, до цього заряду.

Напруженість поля точкового заряду.

.

Модуль напруженості поля точкового заряду q o на відстані rвід нього дорівнює:

.

Якщо в цій точці простору різні заряджені частинки створюють електричні поля, напруження яких і т. д., то результуюча напруженість поля в цій точці дорівнює:

СИЛОВІ ЛІНІЇ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ПІДЛОГИ.

НАПРУЖНІСТЬ ПОЛЯ ЗАРЯЖЕНОЇ КУЛІ

Електричне поле, напруженість якого однакова у всіх точках простору, називається однорідним.

Густота силових ліній більша поблизу заряджених тіл, де напруженість поля також більша.

-напруженість поля точкового заряду.

Всередині провідної кулі (r > R) напруженість поля дорівнює нулю.

ПРОВІДНИКИ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ ПОЛІ.

У провідниках є заряджені частинки, здатні переміщатися усередині провідника під впливом електричного поля. Заряди цих частинок називають вільними зарядами.

Електростатичного поля усередині провідника немає. Весь статичний заряд провідника зосереджено його поверхні. Заряди у провіднику можуть розташовуватися лише з його поверхні.

Закон збереження електричного заряду

Існує два типи зарядів – позитивні та негативні; однойменні заряди одна від одної відштовхуються, різноіменні – притягуються. При електризації тертям завжди заряджаються обидва тіла, причому рівними за величиною та різноіменними зарядами.

Досвідченим шляхом американський фізик Р.Міллікен (1868–1953) та радянський фізик А.Ф.Іоффе довели, що електричний заряд дискретний, тобто заряд будь-якого тіла становить ціле кратне від деякого елементарного електричного заряду е (е= 1,6.10-19 Кл). Електрон ( m e= 9,11.10 -31 кг) та протон ( m p= 1,67.10 -27 кг) є відповідно носіями елементарних негативного та позитивного зарядів.

З узагальнення дослідних даних було встановлено фундаментальний закон природи, вперше сформульований англійським фізиком М.Фарадеєм (1791 – 1867), – закон збереження заряду: алгебраїчна сума електричних зарядів будь-якої замкнутої системи (системи, що не обмінюється зарядами із зовнішніми тілами) залишається незмінною, хоч би які процеси відбувалися всередині цієї системи.

Електричний заряд – величина релятивістськи інваріантна, т. е. залежить від системи відліку, отже, залежить від цього, рухається цей заряд чи лежить спокою.

Наявність носіїв заряду (електронів, іонів) є умовою, що тіло проводить електричний струм. Залежно від здатності тіл проводити електричний струм вони поділяються на провідники, діелектрики та напівпровідникиПровідники – тіла, у яких електричний заряд може переміщатися за його обсягом. Провідники поділяються на дві групи: 1) провідники першого роду (наприклад, метали) – перенесення у них зарядів (вільних електронів) не супроводжується хімічними перетвореннями; 2) провідники другого роду (наприклад, розплавлені солі, розчини кислот) – перенесення в них зарядів (позитивних та негативних іонів) веде до хімічних змін. Діелектрики (наприклад, скло, пластмаси) – тіла, які проводять електричного струму; якщо до цих тіл не прикладається зовнішнє електричне поле, вони практично відсутні вільні носії заряду. Напівпровідники (наприклад, германій, кремній) займають проміжне положення між провідниками та діелектриками, причому їх провідність залежить від зовнішніх умов, наприклад температури.

Одиниця електричного заряду (похідна одиниця, оскільки визначається через одиницю сили струму) – кулон(Кл) – електричний заряд, що проходить через поперечний переріз при струмі силою 1 А за час 1 с.

2. Закон Кулона

Закон взаємодії нерухомих точкових електричних зарядів встановлено у 1785 р. Ш.Кулоном за допомогою крутильних ваг (раніше цей закон було відкрито Г. Кавендішем, проте його робота залишалася невідомою понад 100 років). Точковимназивається заряд, зосереджений тілі, лінійні розміри якого зневажливо малі проти відстанню інших заряджених тіл, із якими він взаємодіє.

Закон Кулону: сила взаємодії F між двома точковими зарядами, що знаходяться у вакуумі , пропорційна зарядам Q 1 і Q 2 і назад пропорційна квадрату відстані r між ними:

де k – коефіцієнт пропорційності, залежить від вибору системи одиниць.

Кулонівська сила F спрямована вздовж прямої, що з'єднує взаємодіючі заряди, тобто є центральною, і відповідає тяжінню ( F< 0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) у разі однойменних зарядів.

У векторній формі закон Кулона має вигляд

(.2)

де F 12 – сила, що діє на заряд Q 1 з боку заряду Q 2 , r 12 – радіус вектор, що сполучає заряд Q 1 із зарядом Q 2 .

Якщо заряди, що взаємодіють, знаходяться в однорідному та ізотропному середовищі, то сила взаємодії , де ε – безрозмірна величина – діелектрична проникність середовища, що показує, у скільки разів сила F взаємодії між зарядами у цьому середовищі менше їх сили F про взаємодію у вакуумі : ε = Fпро / F.Для вакууму = 1.

У СІ коефіцієнт пропорційності приймається рівним.

Тоді закон Кулона запишеться у остаточному вигляді:

Величина ε про називається електричної постійної; вона відноситься до фундаментальних фізичних постійних і дорівнює ε о = 8,85.10 -12 Кл / (Н м). Тоді k= 9.10 9 м/Ф.

3.Електростатичне поле та його напруженість

Якщо простір, що оточує електричний заряд, внести інший заряд, то нього діятиме кулонівська сила; отже у просторі, що оточує електричні заряди, існує силове поле. Згідно з уявленнями сучасної фізики, поле реально існує і поряд з речовиною є одним із видів матерії, за допомогою якого здійснюються певні взаємодії між макроскопічними тілами або частинками, що входять до складу речовини. В даному випадку говорять про електричному полі– поле, з якого взаємодіють електричні заряди. Ми будемо розглядати електричні поля, які створюються нерухомими електричними зарядами і називаються електростатичними.

Для виявлення та досвідченого дослідження електростатичного поля використовується пробний точковий позитивнийзаряд - такий заряд, який своєю дією не спотворює досліджуване поле (не викликає перерозподілу зарядів, що створюють поле). Якщо у полі, створюване зарядом Q, помістити пробний заряд Qо, то на нього діє сила F, різна у різних точках поля, яка, згідно із законом Кулона, пропорційна пробному заряду Qо. Тому відношення F/ Q o залежить від пробного заряду і характеризує електричне полі у тому точці, де пробний заряд перебуває. Ця величина є силовою характеристикою електростатичного поля та називається напруженістю.

Напруженість електростатичного поля в даній точці є фізична величина, що визначається силою, що діє на одиничний позитивний заряд, поміщений в цю точку поля: E =F /Q o.

Напрямок вектора Е збігається з напрямом сили, що діє на позитивний заряд. Одиниця напруженості електростатичного поля – ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл – напруженість такого поля, яке на точковий заряд 1 Кл діє силою 1 Н. 1 Н/Кл = 1 В/м, де В (вольт) – одиниця потенціалу електростатичного поля (див. 84).

Напруженість поля точкового заряду (для = 1)

(3)

або у скалярній формі

Вектор Еу всіх точках поля спрямований радіально від заряду, якщо він позитивний і радіально до заряду, якщо негативний.

Графічно електростатичне поле зображують за допомогою ліній напруженості (силових ліній), які проводять так, щоб до них до кожної точки простору збігалися у напрямку з вектором напруженості в даній точці поля. Так як у кожній цій точці простору вектор напруженості має лише один напрямок, то лінії напруженості ніколи не перетинаються. Для однорідного поля (коли вектор напруженості в будь-якій точці постійний за величиною та напрямом) лінії напруженості паралельні вектору напруженості. Якщо поле створюється точковим зарядом, то лінії напруженості – радіальні прямі, що виходять із заряду, якщо він позитивний, і входять до нього, якщо заряд негативний. Внаслідок великої наочності графічний спосіб уявлення електричного поля широко застосовується в електротехніці.

Щоб за допомогою ліній напруженості можна було характеризувати не тільки напрям, а й величину напруженості електростатичного поля, умовилися проводити їх з певною густотою: число ліній напруженості, що пронизують одиницю поверхні, перпендикулярної лініям напруженості, повинне дорівнювати модулю вектора Е . Тоді число ліній напруженості, що пронизують елементарний майданчик d S, нормаль до якої утворює кут з вектором Е, дорівнює Еd S cos α. Розмір dФ E = Е d S називається потоком вектора напруженостічерез майданчик d S. Тут d S = d Sn- Вектор, модуль якого дорівнює d S, а напрямок збігається з нормаллю nдо майданчика. Вибір напряму вектора n(а, отже, і d S ) умовний, оскільки його можна направити у будь-який бік.

Для довільної замкнутої поверхні Sпотік вектора Е через цю поверхню

де інтеграл береться по замкнутій поверхні S. Потік вектора Е є величиною алгебри: залежить не тільки від конфігурації поля Е , але й від вибору напряму n. Для замкнутих поверхонь за позитивний напрямок нормалі приймається зовнішня нормаль, тобто. нормаль, спрямована назовні області, поверхнею, що охоплюється.

У розвитку фізики мала місце боротьба двох теорій – далекодіїі близькодії. Теоретично далекодії приймається, що електричні явища визначаються миттєвим взаємодією зарядів будь-яких відстанях. Відповідно до теорії близькодії, всі електричні явища визначаються змінами полів зарядів, причому ці зміни поширюються у просторі від точки до точки з кінцевою швидкістю. Стосовно електростатичних полів обидві теорії дають однакові результати, що добре узгоджуються з досвідом. Перехід до явищ, обумовлених рухом електричних зарядів, призводить до неспроможності теорії дальнодії, тому сучасною теорією взаємодії заряджених частинок є теорія близькодії.

4. Принцип суперпозиції електростатичних полів. Поле диполя

Розглянемо метод визначення величини та напрямки вектора напруженості Е у кожній точці електростатичного поля, створюваного системою не рухомих зарядів Q 1 , Q 2 , … Q n.

Досвід показує, що до кулонівських сил застосуємо розглянутий у механіці принцип незалежності дії сил, тобто результуюча сила F , що діє з боку поля на пробний заряд Qпро дорівнює векторній сумі сил F i , що додаються до нього з боку кожного із зарядів Q i: .Так як F = Q o E і F i= Q o E i, –де Е напруженість результуючого поля, а Е i; - Напруженість поля, створюваного зарядом Q i;. Підставляючи, отримаємо .Ця формула висловлює принцип суперпозиції(накладення) електростатичних полів, згідно з яким напруженість Е результуючого поля, створюваного системою зарядів, дорівнює геометричній сумі напруженостей полів, створюваних у цій точці кожним із зарядів окремо.

Застосуємо принцип суперпозиції до розрахунку електростатичного поля електричного диполя. Електричний диполь– система двох рівних за модулем різноіменних точкових зарядів (+ Q, –Q), відстань 1 між якими значно менше відстані до розглянутих точок поля. Вектор, спрямований по осі диполя (прямий, що проходить через обидва заряди) від негативного заряду до позитивної і дорівнює відстані між ними, називається плечем диполя. Вектор p = |Q|l збігається у напрямку з плечем диполя і рівний добутку заряду Qна плече 1 , називається електричним моментом диполя р або дипольним моментом

Відповідно до принципу суперпозиції, напруженість Е поля диполя у довільній точці

Е= Е + + Е - , де Е + і Е - - Напруженості полів, створюваних відповідно позитивним і негативним зарядами. Скориставшись цією формулою, розрахуємо напруженість поля на продовженні осі диполя та на перпендикулярі до середини його осі.

1. Напруженість поля на продовженні осі диполя у точці А. Як видно з малюнка, напруженість поля диполя в точці А спрямована по осі диполя і по модулю дорівнює Е = Е + - Е -

Позначивши відстань від точки А до середини осі диполя через r, визначимо напруженості полів, створюваних зарядами диполя та складемо їх

Згідно з визначенням диполя, l/2 , тому

2.Напруженість поля на перпендикулярі, відновленому до осі з його середини, у точці В. Точка В рівновіддалена від зарядів, тому

(4),

де r- відстань від точки В до середини плеча диполя. З подоби рівнобедрених трикутників, що спираються на плече диполя і вектор Е B , отримаємо

,

звідки E B = E + l /r. (5)

Підставивши у вираз (5) значення (4), отримаємо

Вектор Е має напрям, протилежне електричному моменту диполя.

5.Теорема Гауса для електростатичного поля у вакуумі

Обчислення напруженості поля системи електричних зарядів за допомогою принципу суперпозиції електростатичних полів можна спростити, використовуючи виведену німецьким ученим К. Гауссом (1777 – 1855) теорему, що визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню.

Відомо, потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню радіусу. r, що охоплює точковий заряд Q, що знаходиться в її центрі, дорівнює

Цей результат справедливий для замкнутої поверхні будь-якої форми. Дійсно, якщо оточити сферу довільної замкнутої поверхнею, то кожна лінія напруженості, що пронизує сферу, пройде і крізь цю поверхню.

Якщо замкнута поверхня довільної форми охоплює заряд, то при перетині будь-якої обраної лінії напруженості з поверхнею вона входить у поверхню, то виходить з неї. Непарне число перетинів при обчисленні потоку в кінцевому рахунку зводиться до одного перетину, так як потік вважається позитивним, якщо лінія напруженості виходить з поверхні, і негативним для лінії, що входить у поверхню. Якщо замкнута поверхня не охоплює заряду, то потік крізь неї дорівнює нулю, оскільки кількість ліній напруженості, що входять у поверхню, дорівнює кількості ліній напруженості, що виходять з неї.

Таким чином, для поверхні будь-якої форми, якщо вона замкнута і містить у собі точковий заряд Q, потік вектора Е дорівнюватиме Q/e o тобто.

Розглянемо загальний випадок довільної поверхні, що оточує nзарядів. Відповідно до принципом суперпозиціїнапруженість Е iполя, створюваного всіма зарядами, дорівнює сумі напруженостей, створюваних кожним зарядом окремо E = S E i. Тому

Кожен з інтегралів, що стоїть під знаком суми, дорівнює Q i/ e o . Отже,

(5А)

Ця формула висловлює теорему Гаусадля електростатичного поля у вакуумі: потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри укладених усередині цієї поверхні зарядів, поділеної на ε о. Ця теорема виведена математично для векторного поля будь-якої природи російським математиком М.В.Остроградським (1801-1862), а потім незалежно від нього стосовно електростатичного поля - К. Гауссом.

У загальному випадку електричні заряди можуть бути розмазані з деякою об'ємною щільністю ρ = d Q/d V, різний у різних місцях простору. Тоді сумарний заряд укладений усередині замкнутої поверхні S, що охоплює деякий обсяг Vдорівнює .

Тоді теорему Гауса можна записати так:

6. Застосування теореми Гауса до

розрахунку деяких електростатичних полів у вакуумі

1.Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нескінченна площина заряджена з постійною поверхневою густиною +σ (σ = d Q/d S- Заряд, що припадає на одиницю поверхні). Лінії напруженості перпендикулярні площині, що розглядається, і спрямовані від неї в обидві сторони. Як замкнута поверхня виділимо циліндр, основи якого паралельні зарядженій площині, а вісь перпендикулярна їй. Так як утворюють циліндри паралельні лініям напруженості (cos α = 0), то потік вектора напруженості крізь бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його основи (площі основ рівні і для основи Е n збігається з Е), тобто дорівнює 2 ЕS. Заряд, укладений усередині циліндра, дорівнює σ S. Відповідно до теореми Гауса 2 ЕS = σ S/ε o , звідки

E= σ /2ε o (6)

З формули випливає, що Езалежить від довжини циліндра, тобто. напруженість поля на будь-яких відстанях однакова за модулем, іншими словами, поле рівномірно зарядженої площини однорідно.

2.. Нехай площини заряджені рівномірно різноїменними зарядами з поверхневими густинами + і -. Поле таких площин знайдемо як суперпозицію полів, створюваних кожній із площин окремо. Як видно з малюнка, ліворуч і праворуч від площин поля віднімаються (лінії напруженості спрямовані назустріч один одному), тому тут напруженість поля Е=0. В області між площинами Е = Е + + Е – (Е+ і Е- Визначаються за формулою (6), тому результуюча напруженість Е = σ/ε о. Таким чином, поле в даному випадку зосереджено між площинами і є в цій галузі однорідним.

3.. Сферична поверхня радіусу Rіз загальним зарядом Qзаряджена рівномірно з поверхневою густиною +σ. Завдяки рівномірному розподілу заряду по поверхні поле, створюване ним, має сферичну симетрію. Тому лінії напруженості спрямовані радіально. Виділимо подумки сферу радіусу r, що має загальний центр із зарядженою сферою. Якщо r>R, то всередину поверхні потрапляє весь заряд Q, що створює розглянуте поле, і, за теоремою Гауса, 4π r 2 E= Q/ε o , звідки

(7)

Якщо r"<Rто замкнута поверхня не містить усередині зарядів, тому всередині рівномірно зарядженої сферичної поверхні електростатичне поле відсутня ( Е=0). Поза цією поверхнею поле убуває з відстанню rза таким самим законом, як у точкового заряду.

4. Поле об'ємно зарядженої кулі. Куля радіусу Rіз загальним зарядом Qзаряджений рівномірно з об'ємною щільністю ρ (ρ = d Q/d V– –заряд що припадає на одиницю обсягу). З огляду на міркування симетрії, можна показати, що з напруженості поля поза кулі вийде той самий результат, як у попередньому випадку. Усередині ж кулі напруженість поля буде іншою. Сфера радіусу r"<Rохоплює заряд Q=4/3 π r" 3 ρ. Тому, згідно теоремі Гауса, 4π r" 2 Е = Q"/ε про = =4/3 π r 3 ρ/ε о. Враховуючи, що ρ = Q/(4/3π R 3), отримаємо

. (8)

Таким чином, напруженість поля поза рівномірно зарядженим кулі описується формулою (7), а всередині його змінюється лінійно з відстанню rзгідно виразу (8).

5.. Нескінченний циліндр радіусу Rзаряджений рівномірно з лінійною щільністюτ (τ = d Q/d l– – заряд, що припадає на одиницю довжини). З міркувань симетрії випливає, що лінії напруженості будуть радіальними прямими перпендикулярними поверхні циліндра. Як замкнуту поверхню виділимо коаксіальний із зарядженим циліндр радіуса rта довжиною l. Потік вектора Екрізь торці коаксіального циліндра дорівнює нулю (торці паралельні лініям напруженості), а крізь бічну поверхню 2π rlE.

за теоремі Гауса, при r >R 2π rlE = τ l/ε o , звідки

(9)

Якщо r < R, то замкнута поверхня зарядів усередині не містить, тому в цій галузі Е= 0. Таким чином, напруженість поля поза рівномірно зарядженим нескінченним циліндром визначається виразом (8), усередині його поле відсутнє.

7.Циркуляція вектора напруги електростатичного поля

Якщо в електростатичному полі точкового заряду Qз точки 1 в точку 2 вздовж довільної траєкторії переміщається інший точковий заряд Q o , то сила, прикладена до заряду, здійснює роботу. Робота на елементарному шляху dlдорівнює .

Так як d l cos α = d r, то . Робота при переміщенні заряду Q o з точки 1 до точки 2

(10)

не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише положеннями початкової 1 та кінцевої 2 точок. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенційним, А електростатичні сили – консервативними.

З формули (10) випливає, що робота, що здійснюється при переміщенні електричного заряду в зовнішньому електростатичному полі будь-яким замкнутим шляхом Lдорівнює нулю, тобто.

Якщо як заряд, що переноситься в електростатичному полі, взяти одиничний точковий позитивний заряд то елементарна робота сил поля на шляху d l дорівнює E d l = Е l d l, де Е l = Е cosα – проекція вектора Е на напрямок елементарного переміщення. Тоді формулу можна записати як = 0.

Інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості. Отже, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю. З цього випливає також, що лінії напруженості електростатичного поля неможливо знайти замкнутими.

Отримана формула справедлива лише електростатичного поля. Надалі буде показано, що поле зарядів, що рухаються, потенційним не є і умова (5*) для нього не виконується.

7.Потенціал електростатичного поля

Тіло, що знаходиться в потенційному полі сил (а електростатичне поле є потенційним), має потенційну енергію, за рахунок якої силами поля здійснюється робота. Як відомо з механіки, робота консервативних сил здійснюється за рахунок зменшення потенційної енергії. Тому роботу сил електростатичного поля можна представити як різницю потенційних енергій, якими має точковий заряд. Q o у початковій та кінцевій точках поля заряду Q: ,

звідки випливає, що потенційна енергія заряду Q o у полі заряду Qдорівнює , Яка, як і в механіці, визначається з точністю до довільної постійної С. Якщо вважати, що при видаленні заряду в нескінченність (r → ∞) потенційна енергія звертається в нуль ( U= 0), то З= 0 та потенційна енергія заряду Q o , що знаходиться в полі заряду Qна відстані г від нього, дорівнює

(12)

Для однойменних зарядів Q o Q> 0 і потенційна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) позитивна. Для різноїменних зарядів Q o Q <0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Якщо поле створюється системою nточкових зарядів Q 1 , Q 2 , …Q n , то за дотримання принципу суперпозиціїпотенційна енергія Uзаряду Q o що знаходиться в цьому полі, дорівнює сумі його потенційних енергій U i, створюваних кожним із зарядів окремо

(13)

З формул (12) і (13) випливає, що відношення U/Q o не залежить від Q o і тому є енергетичною характеристикою електростатичного поля, званої потенціалом:

Потенціал у будь-якій точці електростатичного поля є фізична величина, що визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.З формул (12) і (13) випливає, що потенціал поля, створюваного точковим зарядом Q, дорівнює

Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні заряду Q o з точки 1 в точку 2, може бути представлена ​​як

A 12 = U 1 -U 2 =Q o (φ 1 -φ 2), (15)

тобто. робота дорівнює твору заряду, що переноситься на різницю потенціалів у початковій і кінцевій точках .

Робота сил поля під час переміщення заряду Q o з точки 1 у точку 2 може бути записана також у вигляді

Прирівнявши (14) і (15), прийдемо до співвідношення φ 1 -φ 2 = , де інтегрування можна проводити уздовж будь-якої лінії, що з'єднує початкову та кінцеву точки, оскільки робота сил електростатичного поля не залежить від траєкторії переміщення.

Якщо переміщувати заряд Q o з довільної точки межі поля, тобто. у нескінченність, де за умовою потенціал дорівнює нулю, то робота сил електростатичного поля, згідно з (15), A ∞ = Q o φ або

Таким чином, потенціал – фізична величина, яка визначається роботою з переміщення одиничного позитивного заряду при видаленні його з цієї точки в нескінченність. Ця робота чисельно дорівнює роботі, що здійснюється зовнішніми силами (проти сил електростатичного поля) щодо переміщення одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

З виразу (14) випливає, що одиниця потенціалу – вольт (В): 1 В – є потенціал такої точки поля, в якій снаряд 1 Кл має потенційну енергію 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Враховуючи розмірність вольту можна показати, що введена раніше одиниця напруженості електростатичного поля дійсно дорівнює 1 В/м: 1 Н/Кл = 1 Н м/(Кл м) = 1 Дж/(Кл м) = 1 В/м.

З формул (14) і (15) випливає, що й поле створюється кількома зарядами, то потенціал поля системи снарядів дорівнює сумі алгебри потенціалів полів усіх цих зарядів. У цьому полягає суттєва перевага скалярної енергетичної характеристики електростатичного поля – потенціалу – перед його векторною силовою характеристикою – напруженістю, яка дорівнює геометричній сумі напруженостей полів, що додаються.

Напруженість як градієнт потенціалу. Еквіпотенційні поверхні

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою, та потенціалом – енергетичною характеристикою поля.

Робота з переміщення одиничного точкового позитивного заряду з однієї точки в іншу вздовж осі хза умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного і х 2 – х 1 = dx, дорівнює Е x dx. Та ж робота дорівнює φ 1 – φ 2 = –dφ. Прирівнявши обидва вирази, можемо записати , де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання проводиться тільки по х. Повторивши аналогічні міркування для осей уі zможемо знайти вектор Е :

, (16)

де i , j , k – поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта та (1.6) випливає, що , або , тобто. напруженістьЕполя дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус . Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Е поля спрямований у бік зменшення потенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у разі поля тяжіння, користуються еквіпотенційними поверхнями – поверхнями, у всіх точках яких потенціал φ має одне й те саме значення.

Отже, еквіпотенційні поверхні у разі – концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь.

Міркування приводять до висновку про те, що лінії напруженості завжди нормальні до еквіпотенційних поверхонь. Дійсно, всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота з переміщення заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто електростатичні сили, що діють на заряд, завжди спрямовані за нормалями до еквіпотенційних поверхонь. Отже, вектор Е завжди нормальний до еквіпотенційних поверхонь, а тому лінії вектора Е ортогональні цим поверхням.

Еквіпотенційних поверхонь навколо кожної системи зарядів можна провести безліч. Однак їх зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша.

Знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна побудувати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна визначити в кожній точці поля величину та напрямок напруженості поля. На малюнку для прикладу показаний вид ліній напруженості (пунктирні лінії) та еквіпотенційних поверхонь (суцільні лінії) поля зарядженого металевого циліндра, що має на одному кінці виступ, а на іншому – западину.

Обчислення потенціалу за напруженістю поля

Встановлений зв'язок між напруженістю поля та потенціалом дозволяє за відомою напруженістю поля знайти різницю потенціалів між двома довільними точками цього поля.

1.Поле рівномірно зарядженої нескінченної площинивизначається формулою Е= σ/2ε о, де σ – поверхнева густина заряду. Різниця потенціалів між точками, що лежать на відстанях х 1 та х 2 від площини (використовуємо формулу (16)), що дорівнює

2.Поле двох нескінченних паралельних різноіменно заряджених площинвизначається формулою Е= σ/ε о, де σ – поверхнева густина заряду. Різниця потенціалів між площинами, відстань між якими дорівнює d (див. формулу (15)), дорівнює

.

3.Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхнірадіусу Rіз загальним зарядом Qпоза сферою ( r > Q) обчислюється за такою формулою: . Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстанях r 1 , і r 2 від центру сфери ( r 1 >R, r 2 >R), дорівнює

Якщо прийняти r 1 = R, і r 2 = ∞, то потенціал зарядженої сферичної поверхні.

4. Поле рівномірно зарядженої кулі радіусу Rіз загальним зарядом Qпоза кулею ( r>R) обчислюється за формулою (82.3), тому різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстанях r 1 , і r 2 від центру кулі ( r 1 >R, r 2 >R), Визначається формулою (86.2). У будь-якій точці, що лежить усередині кулі на відстані rвід його центру ( r" <R), напруженість визначається виразом (82.4): .Отже, різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстанях r 1 ", та r 2 ′ від центру кулі ( r 1 "<R, r 2 ′<R), дорівнює

.

5.Поле рівномірно зарядженого нескінченного циліндрарадіусу R, зарядженого з лінійною щільністю τ, поза циліндром ( r>R) визначається формулою (15): .

Отже, різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстанях r 1 і r 2 від осі зарядженого циліндра (г 1 >R, г 2 >R), дорівнює

.

Типи діелектриків. Поляризація діелектриків

Діелектрик (як і всяка речовина) складається з атомів та молекул. Позитивний заряд зосереджений у ядрах атомів, а негативний – в електронних оболонках атомів та молекул. Оскільки позитивний заряд всіх ядер молекули дорівнює сумарному заряду електронів, то молекула загалом електрично нейтральна. Якщо замінити позитивні заряди ядер молекули через сумарний заряд + Q, що у центрі «тяжкості» позитивних зарядів, а заряд всіх електронів – сумарним негативним снарядом – Q, що у центрі «тяжкості» негативних зарядів, молекулу можна як електричний диполь з електричним моментом, визначеним формулою (80.3).

Першу групу діелектриків (N 2 , H 2 Про 2 , СН 4 ..) становлять речовини, молекули яких мають симетричну будову, тобто. центри «тяжкості» позитивних і негативних зарядів без зовнішнього електричного поля збігаються і, отже, дипольний момент молекули р дорівнює нулю. Молекули таких діелектриків називаються неполярними під дією зовнішнього електричного поля заряди неполярних молекул зміщуються в протилежні сторони (позитивні по полю, негативні проти поля) і молекула набуває дипольного моменту.

Другу групу діелектриків (Н 2 Про, NН 3 , SО 2 , СО, і т.д.) складають речовини, молекули яких мають асиметричну будову, тобто. центри «тяжкості» позитивних та негативних зарядів не збігаються. Таким чином, ці молекули без зовнішнього електричного поля мають дипольний момент. Молекули таких діелектриків називають полярними. За відсутності зовнішнього поля, однак, дипольні моменти полярних молекул внаслідок теплового руху орієнтовані у просторі хаотично та їх результуючий момент дорівнює нулю. Якщо такий діелектрик помістити у зовнішнє поле, то сили цього поля прагнутимуть повернути диполі вздовж поля.

Третю групу діелектриків (NаС1, КСl, КВг,...) становлять речовини, молекули яких мають іонну будову. Іонні кристали є просторовими гратами з правильним чергуванням іонів різних знаків. У цих кристалах не можна виділити окремі молекули, а розглядати їх можна як систему двох у