У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Імовірність гральної кістки

Відповідь залишила Гість

З однією гральною кісткою справа до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність перебуває за формулою P=m/n
P
=
m
n
де n
n
- Число всіх рівноможливих елементарних результатів експерименту з підкиданням кубика або кістки, а m
m
- Число тих результатів, які сприяють події.

Приклад 1. Гральна кістка кинута один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Так як гральна кістка являє собою кубик (ще кажуть, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), то і загальна кількість наслідків у завданні n=6
n
=
6
. Сприяють події лише такі результати, коли випаде грань з 2, 4 чи 6 очками (тільки парні), таких граней m=3
m
=
3
. Тоді шукана ймовірність дорівнює P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Приклад 2. Брошений гральний кубик. Знайти ймовірність випадання щонайменше 5 очок.

Розмірковуємо так само, як і в попередньому прикладі. Загальна кількість рівноможливих наслідків при киданні грального кубика n=6
n
=
6
а умові "випало не менше 5 очок", тобто "випало або 5, або 6 очок" задовольняють 2 результати, m=2
m
=
2
. Потрібна ймовірність дорівнює P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше та складніше.

Дві гральні кістки

Коли йдеться про завдання з киданням двох кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання окулярів. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало першої кістки, по вертикалі - число очок, що випало другої кістки. Отримаємо таку заготівлю (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете завантажити нижче):

таблиця очок при киданні 2 гральних кісток
А що ж у осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми вирішуватимемо. Буде завдання про суму очок - запишемо туди суму, про різницю - запишемо різницю і таке інше. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що у сумі випаде менше ніж 5 очок.

Спочатку розберемося із загальною кількістю наслідків експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 наслідків. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як упорядковані пари чисел виду (x, y)
x
,
y
де x
x
- скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), y
y
- скільки очок випало другої кістки (від 1 до 6). Очевидно, що всього таких пар чисел буде n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(і їм відповідають якраз 36 осередків у таблиці результатів).

Ось і настав час заповнювати таблицю. У кожен осередок занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістці, і отримаємо вже ось таку картину:

таблиця суми очок при киданні 2 гральних кісток
Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти кількість сприятливих подій "у сумі випаде менше 5 очок" результатів. Для цього підрахуємо кількість осередків, у яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 чи 4). Для наочності зафарбуємо ці комірки, їх буде m=6
m
=
6
:

таблиця суми очок менше 5 при киданні 2 гральних кісток
Тоді ймовірність дорівнює: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Приклад 4. Покинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що добуток очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів окулярів, що випали на першій та другій кістці. Відразу виділяємо в ній ті числа, які кратні 3:

таблиця добутку окулярів при киданні 2 гральних кісток
Залишається тільки записати, що загальна кількість наслідків n=36
n
=
36
(див. попередній приклад, міркування такі самі), а число сприятливих результатів (число зафарбованих осередків у таблиці вище) m=20
m
=
20
. Тоді ймовірність події буде рівною P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку задач) вирішується швидко та просто. Зробимо для різноманітності ще одне завдання з іншою таблицею (всі таблиці можна буде завантажити знизу сторінки).

Приклад 5. Гральний кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій та другій кістці буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць окулярів, виділимо в ній комірки, в яких значення різниці буде між 2 і 5:

таблиця різниці очок при киданні 2 гральних кісток
Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів n=36
n
=
36
, а число сприятливих результатів (кількість зафарбованих осередків у таблиці вище) m=10
m
=
10
. Тоді ймовірність події буде рівною P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Отже, у разі, коли мова йде про кидання 2 кісток і просту подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні осередки та поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, добуток і різницю числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше і найбільше число очок, що випало (відповідні таблиці ви знайдете у файлі Excel).

Ще одне популярне завдання теорії ймовірностей (нарівні із завданням про підкидання монет) - завдання про підкидання гральних кісток.

Зазвичай завдання звучить так: кидається одна або кілька гральних кісток (зазвичай 2, рідше 3). Необхідно знайти ймовірність того, що число очок дорівнює 4, або сума очок дорівнює 10, або добуток очок ділиться на 2, або числа очок відрізняються на 3 і так далі.

Основний метод вирішення подібних завдань - використання формули класичної ймовірності, який ми розберемо на прикладах нижче.

Ознайомившись з методами рішення, ви зможете завантажити супер-корисний при киданні 2 гральних кісток (з таблицями та прикладами).

Одна гральна кістка

З однією гральною кісткою справа до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність знаходиться за формулою $ P = m / n $, де $ n $ - число всіх рівноможливих елементарних результатів експерименту з підкиданням кубика або кістки, а $ m $ - число тих результатів, які сприяють події.

приклад 1. Гральна кістка кинута один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Оскільки гральна кістка є кубиком (ще говорять, правильна гральна кісткатобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, зазвичай позначаються точкам), то і загальна кількість результатів у завданні $n=6$. Сприяють події лише такі результати, коли випаде грань з 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких як $m=3$. Тоді ймовірність дорівнює $P=3/6=1/2=0.5$.

приклад 2. Брошений гральний кубик. Знайти ймовірність випадання щонайменше 5 очок.

Розмірковуємо так само, як і в попередньому прикладі. Загальна кількість рівноможливих результатів при киданні грального кубика $n=6$, а умові "випало щонайменше 5 очок", тобто "випало чи 5, чи 6 очок" задовольняють 2 результати, $m=2$. Потрібна ймовірність дорівнює $P=2/6=1/3=0.333$.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше та складніше.

Дві гральні кістки

Коли йдеться про завдання з киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання окулярів. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало першої кістки, по вертикалі - число очок, що випало другої кістки. Отримаємо таку заготівлю (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете завантажити):

А що ж у осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми вирішуватимемо. Буде завдання про суму очок - запишемо туди суму, про різницю - запишемо різницю і таке інше. Приступаємо?

приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що у сумі випаде менше ніж 5 очок.

Спочатку розберемося із загальною кількістю наслідків експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней – 6 наслідків. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як упорядковані пари чисел виду $(x,y)$, де $x$ - скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), $y$ - скільки очок випало на другій кістці (Від 1 до 6). Очевидно, що всього таких пар чисел буде $ n = 6 \ cdot 6 = 36 $ (і їм відповідають саме 36 осередків у таблиці результатів).

Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти кількість сприятливих подій "у сумі випаде менше 5 очок" результатів. Для цього підрахуємо кількість осередків, у яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 чи 4). Для наочності зафарбуємо ці осередки, їх буде $m=6$:

Тоді ймовірність дорівнює $P=6/36=1/6$.

приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що добуток очок ділиться на 3.

Залишається лише записати, що загальна кількість результатів $n=36$ (див. попередній приклад, міркування такі самі), а кількість сприятливих результатів (кількість зафарбованих осередків у таблиці вище) $m=20$. Тоді ймовірність події дорівнює $P=20/36=5/9$.

Приклад 5. Гральну кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій та другій кістці буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць окулярів, виділимо в ній комірки, в яких значення різниці буде між 2 і 5:

Отже, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів $n=36$, а число сприятливих результатів (кількість зафарбованих осередків у таблиці вище) $m=10$. Тоді ймовірність події дорівнює $P=10/36=5/18$.

Інші завдання про кістки та кубики

Звичайно, розібраними вище двома класами задач про кидання кісток справа не обмежується (просто це найбільш часто зустрічаються в задачниках і методичках), існують і інші. Для розмаїття і розуміння зразкового способу рішення розберемо ще три типові приклади: на кидання 3 гральних кісток, на умовну ймовірність і формулу Бернуллі.

Приклад 6. Кидають 3 гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випало 15 очок.

У випадку з трьома гральними кістками таблиці складають вже рідше, тому що їх потрібно буде аж 6 штук (а не одна, як вище), обходяться простим перебором потрібних комбінацій.

Знайдемо загальну кількість наслідків експерименту. Виходи можна представляти як упорядковані трійки чисел виду $(x,y,z)$, де $x$ - скільки очок випало на першій кістці (від 1 до 6), $y$ - скільки очок випало на другій кістці (від 1 до 6), $z$ - скільки очок випало на третій кістці (від 1 до 6). Очевидно, що всього таких трійок чисел буде $n = 6 cdot 6 cdot 6 = 216 $.

Тепер підберемо такі наслідки, які дають у сумі 15 очок.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Отримали $m=3+6+1=10$ результатів. Шукана ймовірність $P=10/216=0.046$.

Приклад 7. Вкидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на першій кістці випало не більше чотирьох очок, за умови, що сума очок парна.

Найпростіший спосіб вирішення цього завдання - знову скористатися таблицею (все буде наочно), як і раніше. Виписуємо таблицю сум окулярів і виділяємо лише комірки з парними значеннями:

Отримуємо, що згідно з умовою експерименту, всього є не 36, а $n=18$ результатів (коли сума очок парна).

Тепер з цих осередківвиберемо тільки ті, які відповідають події "на першій кістці випало не більше 4 очок" - тобто фактично осередки в перших 4 рядках таблиці (виділені помаранчевим), їх буде $ m = 12 $.

Шукана ймовірність $P=12/18=2/3.$

Це ж завдання можна вирішити по-іншому, використовуючи формулу умовної ймовірності. Введемо події:
А = Сума числа очок парна
В = На першій кістці випало не більше 4 очок
АВ = Сума числа очок парна і на першій кістці випало не більше 4 очок
Тоді формула для ймовірності має вигляд: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Знаходимо імовірності. Загальна кількість результатів $n=36$, для події А число сприятливих результатів (див. таблиці вище) $m(A)=18$, а події АВ - $m(AB)=12$. Отримуємо: $$ P(A)=frac(m(A))(n)=frac(18)(36)=frac(1)(2); \quad P(AB)=frac(m(AB))(n)=frac(12)(36)=frac(1)(3);\P(B|A)=frac(P (AB))(P(A))=frac(1/3)(1/2)=frac(2)(3). $$ Відповіді збіглися.

Приклад 8. Гральний кубик кинуто 4 рази. Знайти ймовірність того, що парне число очок випаде рівно тричі.

У випадку, коли гральний кубик кидається кілька разів, а мова у події йде не про суму, твір тощо. інтегральних характеристиках, а лише про кількості випаданьпевного типу, можна для обчислення ймовірності використовувати

Завдання на ймовірність ігральної кісткине менш популярні, ніж завдання про підкидання монет. Умова такого завдання зазвичай звучить так: при киданні однієї або декількох гральних кісток (2 або 3), яка ймовірність того, що сума очок дорівнюватиме 10, або число очок дорівнює 4, або добуток числа очок, або ділиться на 2 добуток очок і так далі.

Застосування формули класичної ймовірності є основним методом розв'язання таких завдань.

Одна гральна кістка, ймовірність.

Досить просто справа з однією гральною кісткою. визначається за формулою: P=m/n, де m - це число сприятливих подій результатів, а n - число всіх елементарних рівноможливих результатів експерименту з підкиданням кістки або кубика.

Завдання 1. Один раз кинута гральна кістка. Якою є ймовірність випадання парного числа очок?

Оскільки гральна кістка являє собою кубик (або його ще називають правильною гральною кісткою, на всі грані кубик випаде з однаковою ймовірністю, так як він збалансований), у кубика 6 граней (число очок від 1 до 6, які зазвичай позначаються точками), це означає , що завдання загальне число результатів: n=6. Події сприяють лише результати, у яких випадає грань з парними окулярами 2,4 і 6, у кубика таких граней: m=3. Тепер можемо визначити ймовірність ігральної кістки: P=3/6=1/2=0.5.

Завдання 2. Брошений один раз гральний кубик. Яка ймовірність, що випаде щонайменше 5 очок?

Вирішується таке завдання за аналогією з прикладом, зазначеним вище. При киданні грального кубика загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює: n=6, а задовольняють умову завдання (випало щонайменше 5 очок, тобто випало 5 чи 6 очок) лише 2 результати, отже m=2. Далі знаходимо необхідну можливість: P=2/6=1/3=0.333.

Дві гральні кістки, ймовірність.

При вирішенні завдань з киданням 2-х гральних кісток дуже зручно користуватися спеціальною таблицею випадання окулярів. На ній по горизонталі відкладається кількість очок, що випали на першій кістці, а по вертикалі - кількість очок, яка випала на другій кістці. Заготівля має такий вигляд:

Але постає питання, що ж буде в порожніх осередках таблиці? Це залежить від завдання, яке потрібно буде вирішити. Якщо в задачі йдеться про суму очок, тоді туди записується сума, а якщо про різницю - значить записується різницю і таке інше.

Завдання 3. Кинуті одночасно 2 гральні кістки. Якою є ймовірність випадання суми менше 5 очок?

Для початку необхідно розібратися, яка буде загальна кількість результатів експерименту. Все було очевидно при киданні однієї кістки 6 граней кубика – 6 результатів експерименту. Але коли вже дві кістки, то можливі наслідки можна представити як упорядковані пари чисел виду (x, y), де х показує скільки на першій кістці випало очок (від 1 до 6), а у - скільки випало очок на другій кістці (від 1 до 6). Усього таких числових пар буде: n=6*6=36 (у таблиці результатів їм якраз відповідають 36 осередків).

Тепер можна заповнити таблицю, для цього до кожного осередку заноситься кількість суми очок, які випали на першій та другій кістці. Заповнена таблиця виглядає так:

Завдяки таблиці визначимо число наслідків, які сприяють події "випаде в сумі менше 5 очок". Зробимо підрахунок числа осередків, значення суми в яких буде менше числа 5 (це 2, 3 та 4). Такі осередки для зручності зафарбовуємо, їх буде m=6:

Враховуючи дані таблиці, ймовірність ігральної кісткидорівнює: P=6/36=1/6.

Завдання 4. Було кинуто дві гральні кістки. Визначити ймовірність того, що добуток очок буде ділитися на 3.

Для вирішення задачі складемо таблицю творів окулярів, які випали на першій та на другій кістці. У ній відразу ж виділимо числа кратні 3:

Записуємо загальну кількість результатів експерименту n=36 (міркування такі ж як у попередній задачі) та кількість сприятливих результатів (кількість осередків, які зафарбовані в таблиці) m=20. Імовірність події дорівнює: P = 20/36 = 5/9.

Завдання 5. Двічі кинута гральна кістка. Яка ймовірність, що на першій і другій кістці різниця числа очок дорівнює від 2 до 5?

Щоб визначити ймовірність ігральної кісткизапишемо таблицю різниць окулярів і виділимо в ній ті осередки, значення різниці в яких буде між 2 і 5:

Число сприятливих результатів (кількість осередків, зафарбованих у таблиці) дорівнює m=10, загальна кількість рівноможливих елементарних результатів буде n=36. Визначить можливість події: P=10/36=5/18.

У разі простої події та при киданні 2-х кісток, потрібно побудувати таблицю, потім у ній виділити потрібні осередки та їх число поділити на 36, це і буде вважатися ймовірністю.

У всіх завданнях В6 на теорію ймовірностей,які представлені в Відкритому банку завдань для, потрібно знайти ймовірністьбудь-якої події.

Потрібно знати лише одну формулу, за допомогою якої обчислюється ймовірність:

У цій формулі р - ймовірність події,

k- кількість подій, які нас "влаштовують", мовою теорії ймовірностейвони називаються сприятливими наслідками.

n -число всіх можливих подій, або число всіх можливих наслідків.

Очевидно, що число всіх можливих подій більше, ніж кількість сприятливих наслідків, тому ймовірність- це величина, яка менша або дорівнює 1.

Якщо ймовірністьподії дорівнює 1, це означає, що ця подія обов'язково відбудеться. Така подія називається достовірним. Наприклад, те, що після неділі буде понеділок, є, на жаль, достовірною подією та її ймовірність дорівнює 1.

Найбільші складності при розв'язанні задач виникають саме зі знаходженням чисел k та n.

Зрозуміло, як при розв'язанні будь-яких завдань, при розв'язанні задач на теорію ймовірностейпотрібно уважно читати умову, щоб правильно зрозуміти, що дано, і що потрібно знайти.

Розглянемо кілька прикладів розв'язання задач з з Відкритого банку завдань для .

Приклад1. У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 8 очок. Результат округліть до сотих.

Нехай першої кістки випало одне очко, тоді другий може випасти 6 різних варіантів. Таким чином, оскільки у першої кістки 6 різних граней, загальна кількість різних варіантів дорівнює 6х6 = 36.

Але нас влаштовують не всі. За умовою завдання, сума очок, що випали, повинна дорівнювати 8. Складемо таблицю сприятливих результатів:

Ми бачимо, що кількість наслідків, які нас влаштовують, дорівнює 5.

Таким чином, ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок, дорівнює 5/36=0,13(8).

Ще раз читаємо питання завдання: потрібно результат округлити до сотих.

Згадаймо правило округлення.

Нам потрібно округлити до сотих. Якщо наступному після сотих часток розряді (тобто в розряді тисячних) стоїть число, яке більше або дорівнює 5, то до числа, що стоїть у розряді сотих додаємо 1, якщо це число менше 5, то число в розряді сотих залишаємо без зміни.

У нашому випадку у розряді тисячних коштує 8, тому число 3, яке стоїть у розряді сотих, збільшуємо на 1.

Отже, p=5/36 ≈0,14

Відповідь: 0,14

Приклад 2. У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 із Росії, 7 із США, решта - із Китаю. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю.

У цій задачі число можливих результатів дорівнює 20 – це число всіх спортсменів.

Знайдемо кількість сприятливих результатів. Воно дорівнює числу спортсменок із Китаю.

Таким чином,

Відповідь: 0,25

Приклад 3. У середньому із 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 5 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.

У цій задачі n=1000.

Нас цікавлять насоси, які не підтікають. Їх число одно 1000-5 = 995. Тобто.

Завдання 1.4 – 1.6

Умова задачі 1.4

Вказати помилку "вирішення" завдання: кинуто дві гральні кістки; знайти ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 3 (подія А). "Рішення". Можливі два результати випробування: сума очок, що випали, дорівнює 3, сума очок, що випали, не дорівнює 3. Події А сприяє один результат, загальна кількість результатів дорівнює двом. Отже, ймовірність, що шукається, дорівнює P(A) = 1/2.

Розв'язання задачі 1.4

Помилка цього "рішення" полягає в тому, що результати, що розглядаються, не є рівноможливими. Правильне рішення: загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює (кожне число очок, що випали на одній кістці, може поєднуватися з усіма числами очок, що випали на іншу кістку). Серед цих результатів сприяють події лише два результати: (1; 2) та (2; 1). Отже, шукана ймовірність

Відповідь:

Умова задачі 1.5

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірності наступних подій: а) сума очок, що випали, дорівнює семи; б) сума очок, що випали, дорівнює восьми, а різниця - чотирьом; в) сума очок, що випали, дорівнює восьми, якщо відомо, що їх різниця дорівнює чотирьом; г) сума очок, що випали, дорівнює п'яти, а твір - чотирьом.

Розв'язання задачі 1.5

а) Шість варіантів першої кістки, шість - на другий. Усього варіантів: (за правилом твору). Варіанти для суми, що дорівнює 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – всього шість варіантів. Значить,

б) Усього два відповідних варіанти: (6,2) і (2,6). Значить,

в) Усього два відповідних варіанти: (2,6), (6,2). Але всього можливих варіантів 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Отже, .

г) Для суми, що дорівнює 5, підходять варіанти: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Добуток дорівнює 4 тільки для двох варіантів. Тоді

Відповідь: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Умова задачі 1.6

Куб, усі грані якого забарвлені, розпиляно на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що на удачу витягнутий кубик має забарвлених граней: а) одну; б) дві; у три.

Розв'язання задачі 1.6

Усього утворилося 1000 кубиків. Кубиків із трьома пофарбованими гранями: 8 (це кутові кубики). З двома пофарбованими гранями: 96 (оскільки 12 ребер куба з 8 кубиками на кожному ребре). Кубиків з пофарбованою гранню: 384 (бо 6 граней і на кожній грані 64 кубики). Залишилося поділити кожну знайдену кількість на 1000.

Відповідь: а) 0,384; б) 0,096 в) 0,008