Імовірнісно-статистичні методи прийняття рішень. Ймовірність та статистика – основні факти Ймовірнісні та статистичні методи застосовні

3. Суть імовірнісно-статистичних методів

Як підходи, ідеї та результати теорії ймовірностей та математичної статистики використовуються при обробці даних – результатів спостережень, вимірювань, випробувань, аналізів, дослідів з метою ухвалення практично важливих рішень?

Базою є імовірнісна модель реального явища чи процесу, тобто. математична модель, у якій об'єктивні співвідношення виражені термінах теорії ймовірностей. Імовірності використовуються передусім для опису невизначеностей, які необхідно враховувати під час прийняття рішень. Маються на увазі як небажані можливості (ризики), так і привабливі (щасливий випадок). Іноді випадковість вноситься в ситуацію свідомо, наприклад, під час жеребкування, випадкового відбору одиниць для контролю, проведення лотерей або опитувань споживачів.

Теорія ймовірностей дозволяє за одними ймовірностями розрахувати інші, які цікавлять дослідника. Наприклад, за ймовірністю випадання герба можна розрахувати ймовірність того, що при 10 кидання монет випаде не менше 3 гербів. Подібний розрахунок спирається на ймовірну модель, згідно з якою кидання монет описуються схемою незалежних випробувань, крім того, випадання герба і решітки рівноможливі, а тому ймовірність кожної з цих подій дорівнює ½. Більш складною є модель, де замість кидання монети розглядається перевірка якості одиниці виробленої продукції. Відповідна ймовірна модель спирається на припущення про те, що контроль якості різних одиниць продукції описується схемою незалежних випробувань. На відміну від моделі з киданням монет, необхідно ввести новий параметр – ймовірність рте, що одиниця продукції є дефектною. Модель буде повністю описана, якщо прийняти, що всі одиниці продукції мають однакову можливість виявитися дефектними. Якщо останнє припущення неправильне, число параметрів моделі зростає. Наприклад, можна прийняти, що кожна одиниця продукції має свою можливість виявитися дефектною.

Обговоримо модель контролю якості із загальною для всіх одиниць продукції ймовірністю дефектності р. Щоб під час аналізу моделі «дійти до числа», необхідно замінити рна деяке конкретне значення. Для цього необхідно вийти з рамок ймовірнісної моделі та звернутися до даних, отриманих під час контролю якості. Математична статистика вирішує зворотне завдання стосовно теорії ймовірностей. Її мета – на основі результатів спостережень (вимірювань, аналізів, випробувань, дослідів) отримати висновки про ймовірності, що лежать в основі ймовірнісної моделі. Наприклад, на основі частоти появи дефектних виробів під час контролю можна зробити висновки про ймовірність дефектності (див. обговорення вище з використанням теореми Бернуллі). На основі нерівності Чебишева робилися висновки про відповідність частоти появи дефектних виробів гіпотезі про те, що ймовірність дефектності набуває певного значення.

Таким чином, застосування математичної статистики спирається на ймовірну модель явища або процесу. Використовуються два паралельних ряду понять – які стосуються теорії (імовірнісної моделі) і які стосуються практики (вибірці результатів спостережень). Наприклад, теоретичній ймовірності відповідає частота, знайдена за вибіркою. Математичне очікування (теоретичний ряд) відповідає вибіркове середнє арифметичне (практичний ряд). Як правило, вибіркові показники є оцінками теоретичних. При цьому величини, що належать до теоретичного ряду, «перебувають у головах дослідників», відносяться до світу ідей (за давньогрецьким філософом Платоном), недоступні для безпосереднього виміру. Дослідники мають у своєму розпорядженні лише вибіркові дані, за допомогою яких вони намагаються встановити властивості теоретичної ймовірнісної моделі, що їх цікавлять.

Навіщо ж потрібна імовірнісна модель? Справа в тому, що тільки з її допомогою можна перенести властивості, встановлені за результатами аналізу конкретної вибірки, на інші вибірки, а також на так звану генеральну сукупність. Термін «генеральна сукупність» використовується, коли йдеться про велику, але кінцеву сукупність одиниць, що вивчаються. Наприклад, про сукупність всіх жителів Росії або сукупність всіх споживачів розчинної кави в Москві. Мета маркетингових чи соціологічних опитувань у тому, щоб твердження, отримані за вибіркою із сотень чи тисяч жителів, перенести на генеральні сукупності кілька мільйонів. Під час контролю якості у ролі генеральної сукупності виступає партія продукції.

Щоб перенести висновки з вибірки більш широку сукупність, необхідні ті чи інші припущення про зв'язок вибіркових характеристик з характеристиками цієї більшої сукупності. Ці припущення ґрунтуються на відповідній імовірнісній моделі.

Звичайно, можна обробляти вибіркові дані, не використовуючи ту чи іншу ймовірну модель. Наприклад, можна розраховувати вибіркове середнє арифметичне, підраховувати частоту виконання тих чи інших умов тощо. Проте результати розрахунків відноситимуться лише до конкретної вибірки, перенесення отриманих з їх допомогою висновків на будь-яку іншу сукупність некоректне. Іноді подібну діяльність називають "аналіз даних". Порівняно з імовірнісно-статистичними методами, аналіз даних має обмежену пізнавальну цінність.

Отже, використання імовірнісних моделей на основі оцінювання та перевірки гіпотез за допомогою вибіркових характеристик – ось суть імовірнісно-статистичних методів прийняття рішень.

Підкреслимо, що логіка використання вибіркових характеристик до ухвалення рішень з урахуванням теоретичних моделей передбачає одночасне використання двох паралельних рядів понять, одне із яких відповідає імовірнісним моделям, а другий – вибірковим даним. На жаль, у ряді літературних джерел, зазвичай застарілих чи написаних у рецептурному дусі, немає різниці між вибірковими і теоретичними характеристиками, що призводить читачів до подивів і помилок при практичному використанні статистичних методів.

Явища життя, як і всі явища матеріального світу, мають дві нерозривно пов'язані боку: якісну, сприймається безпосередньо органами почуттів, і кількісну, що виражається числами з допомогою рахунки й заходи.

При дослідженні різних явищ природи застосовують одночасно якісні та кількісні показники. Безсумнівно, що у єдності якісної і кількісної сторін найповніше розкривається сутність досліджуваних явищ. Однак насправді доводиться користуватися або тими чи іншими показниками.

Безсумнівно, що кількісні методи як об'єктивніші і точніші мають перевагу перед якісною характеристикою предметів.

Самі собою результати вимірів, хоч і мають відоме значення, ще недостатні для того, щоб зробити з них необхідні висновки. Цифрові дані, зібрані в процесі масових випробувань – це лише сирий фактичний матеріал, який потребує відповідної математичної обробки. Без обробки – впорядкування та систематизації цифрових даних не вдається витягти укладену в них інформацію, оцінити надійність окремих сумарних показників, переконатися у достовірності розбіжностей, що спостерігаються між ними. Ця робота вимагає від фахівців певних знань, уміння правильно узагальнювати та аналізувати зібрані у досвіді дані. Система цих знань і становить зміст статистики - науки, що займається головним чином питаннями аналізу результатів досліджень у теоретичній та прикладній галузях науки.

Слід пам'ятати, що математична статистика і теорія ймовірностей є науками суто теоретичними, абстрактними; вони вивчають статистичні сукупності безвідносно до специфіки елементів, що входять до їх складу. Методи математичної статистики і теорії ймовірностей, що лежить в її основі, придатні до різних галузей знання, включаючи і гуманітарні науки.

Вивчення явищ проводяться не за окремими спостереженнями, які можуть виявитися випадковими, нетиповими, неповно виражають сутність даного явища, а на безлічі однорідних спостережень, що дає більш повну інформацію про об'єкт, що вивчається. Деяка кількість щодо однорідних предметів, що об'єднуються за тією чи іншою ознакою для спільного вивчення, називають статистичною

сукупністю. Сукупність поєднує якесь число однорідних спостережень чи реєстрацій.

Елементи, що входять до складу сукупності, називають її членами, або варіантами . Варіанти– це окремі спостереження чи числові значення ознаки. Тож якщо позначити ознака через Х (велике), його значення чи варіанти позначатимуться через х (мале), тобто. х 1, х 2, і т.д.

Загальна кількість варіантів, що входять до складу цієї сукупності, називається її обсягом і позначається буквою n (мале).

Коли обстеженню піддається вся сукупність однорідних об'єктів загалом, її називають загальної, генеральної, сукупністю Прикладом такого роду суцільного опису сукупності можуть бути загальнодержавні переписи населення, поголовний статистичний облік тварин у країні. Зрозуміло, повне обстеження генеральної сукупності дає найбільш повноцінну інформацію про її стан та властивості. Тому природно прагнення дослідників до того, щоб у сукупність об'єднувалося якомога більше спостережень.

Однак насправді рідко доводиться вдаватися до обстеження всіх членів генеральної сукупності. По-перше, тому, що ця робота вимагає великої витрати часу та праці, а по-друге, вона не завжди здійсненна з цілого ряду причин та різних обставин. Отже замість суцільного обстеження генеральної сукупності вивченню піддається зазвичай якась її частина, що отримала назву вибіркової сукупності, або вибірки. Вона є зразком, яким судять про всієї генеральної сукупності загалом. Наприклад, щоб дізнатися середнє зростання призовного населення певної області чи району, зовсім не обов'язково вимірювати всіх призовників, які у даній місцевості, а досить виміряти якусь їхню частину.

1. Вибірка має бути цілком представницькою, чи типової, тобто. щоб до її складу входили переважно ті варіанти, які найбільш повно відбивають генеральну сукупність. Тому, щоб розпочати обробку вибіркових даних, їх уважно переглядають і видаляють явно нетипові варіанти. Наприклад, при аналізі вартості продукції, що випускається підприємством, повинна бути виключена вартість у ті періоди, коли підприємство не було повністю забезпечене комплектуючими або сировиною.

2. Вибірка має бути об'єктивною. При освіті вибірки не можна надходити по сваволі, включати до її складу лише варіанти, які здаються типовими, проте інші бракувати. Доброякісна вибірка проводиться без упереджених думок, за методом жеребкування або лотерії, коли жоден із варіантів генеральної сукупності не має жодних переваг перед іншими – потрапити чи не потрапити до складу вибіркової сукупності. Іншими словами, вибірка має проводитися за принципом випадкового відбору, без впливу на її склад.

3. Вибірка має бути якісно однорідною. Не можна включати до складу однієї і тієї ж вибірки дані, отримані в різних умовах, наприклад вартість виробів, отриманих при різній чисельності працівників.

6.2. Угруповання результатів спостережень

Зазвичай результати дослідів і спостережень заносяться у вигляді цифр в облікові картки чи журнал, інколи ж просто на аркуші паперу – виходить відомість чи реєстр. Такі первісні документи, як правило, містять відомості не про одну, а про декілька ознак, за якими проводилися спостереження. Ці документи є основним джерелом освіти вибіркової сукупності. Робиться це зазвичай так: окремий аркуш паперу з первинного документа, тобто. картотеки, журналу чи відомості, виписуються числові значення тієї ознаки, яким утворюється сукупність. Варіанти у такій сукупності представлені зазвичай як безладної маси цифр. Тому першим кроком по дорозі обробки такого матеріалу є впорядкування, систематизація його – угруповання варіант у статистичні таблиці чи ряди.

Однією з найпоширеніших форм угруповань вибіркових даних є статистичні таблиці. Вони мають ілюстративне значення, показуючи якісь загальні підсумки, становище окремих елементів у загальній серії спостережень.

До іншої формі первинної угруповання вибіркових даних належить метод ранжирування, тобто. розташування варіант у певному порядку - за зростаючими або спадними значеннями ознаки. В результаті виходить так званий ранжований ряд, який показує, в яких межах і яким чином варіює ця ознака. Наприклад, є вибірка наступного складу:

5,2,1,5,7,9,3,5,4,10,4,5,7,3,5, 9,4,12,7,7

Видно, що ознака змінюється від 1 до 12 якихось одиниць. Маємо у своєму розпорядженні варіанти у зростаючому порядку:

1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,7,7,7,7,9,9,10,12.,

В результаті вийшов ранжований ряд значень ознаки, що варіює.

Цілком очевидно, що спосіб ранжування у тому вигляді, як він тут показаний, застосовується лише до вибірок малого обсягу. При велику кількість спостережень ранжування не може, т.к. ряд виходить настільки довгим, що втрачає своє значення.

При великому числі спостережень ранжирувати вибіркову сукупність прийнято як подвійного ряду, тобто. із зазначенням частоти або повторюваності окремих варіантів ранжованого ряду. Такий подвійний ряд ранжованих значень ознаки називається варіаційним рядом або розподілом. Найпростішим прикладом варіаційного ряду можуть бути ранжовані вище дані, якщо їх розташувати так:

Значення ознаки

(варіанти) 1 2 3 4 5 7 9 10 12

повторюваність

(варіант) частоти 1 1 2 3 5 4 2 1 1

Варіаційний ряд показує, з якою частотою окремі варіанти зустрічаються в даній сукупності, як вони розподіляються, що має велике значення, дозволяючи судити про закономірність варіювання та діапазон варіації кількісних ознак. Побудова варіаційних рядів полегшує обчислення сумарних показників – середньої арифметичної та дисперсії або розсіювання варіантів при їх середнього значення – показників, якими характеризується будь-яка статистична сукупність.

Варіаційні ряди бувають двох видів: переривчасті та безперервні. Уривчастий варіаційний ряд виходить при розподілі дискретних величин, до яких належать лічильні ознаки. Якщо ознака варіює безупинно, тобто. може приймати будь-які значення в межах від мінімальної до максимальної варіанти сукупності, то остання розподіляється в безперервний варіаційний ряд.

Для побудови варіаційного ряду дискретно варіює ознаки досить всю сукупність спостережень розмістити у вигляді ранжованого ряду, вказавши частоти окремих варіантів. Як приклад наводимо дані, що показують розподіл за розміром 267 деталей (табл.5.4)

Таблиця 6.1. Розподіл деталей за розміром.

Щоб побудувати варіаційний ряд ознак, що безперервно варіюють, потрібно всю варіацію від мінімального до максимального варіанту розбити на окремі групи або проміжки (від-до), звані класами, а потім розподілити всі варіанти сукупності за цими класами. Через війну вийде подвійний варіаційний ряд, у якому частоти ставляться не окремих конкретних варіантів, а до всього інтервалу, тобто. виявляються частотами не варіант, а класів.

Розбивка загальної варіації на класи проводиться у масштабі класового інтервалу, який має бути однаковим всім класів варіаційного ряду. Розмір класового інтервалу позначається через i (від слова intervalum - проміжок, відстань); вона визначається за такою формулою

, (6.1)

де: i – класовий інтервал, що береться цілим числом;

- максимальна та мінімальна варіанти вибірки;

lg.n – логарифм числа класів, куди розбивається вибіркова сукупність.

Число класів встановлюється довільно, але з урахуванням тієї обставини, що кількість класів знаходиться в деякій залежності від обсягу вибірки: чим більший обсяг має вибіркова сукупність, тим більше має бути класів, і навпаки – при менших обсягах вибірки слід брати і менше класів. Досвід показав, що на малих вибірках, коли доводиться групувати варіанти як варіаційного ряду, годі було встановлювати менше 5-6 класів. За наявності 100-150 варіант число класів можна довести до 12-15. Якщо сукупність складається з 200-300 варіант, її розбивають на 15-18 класів тощо. Зрозуміло, ці рекомендації дуже умовні та його не можна приймати як встановлене правило.

При розбивці на класи в кожному конкретному випадку доводиться зважати на цілу низку різних обставин, домагаючись того, щоб обробка статистичного матеріалу давала найбільш точні результати.

Після того, як встановлений класовий інтервал і вибіркова сукупність розбита на класи, розноситься варіант за класами і визначаються число варіацій (частоти) кожного класу. В результаті виходить варіаційний ряд, у якому частоти відносяться не до окремих варіантів, а до певних класів. Сума всіх частот варіаційного ряду повинна дорівнювати обсягу вибірки, тобто

(6.2)

де:
-знак підсумовування;

р – частота.

n – обсяг вибірки.

Якщо такої рівності не виявилося, значить при рознесенні варіант за класами допущена помилка, яку необхідно усунути.

Зазвичай для рознесення варіант за класами складається допоміжна таблиця, в якій є чотири графи: 1) класи за даною ознакою (від – до); 2) – середнє значення класів, 3) рознесення варіант за класами, 4) частоти класів (див. табл. 6.2.)

Рознесення варіант за класами вимагає великої уваги. Не можна допускати, щоб одна і та ж варіанта була відзначена двічі або однакові варіанти потрапляли до різних класів. Щоб уникнути помилок при розподілі варіант за класами, рекомендується не шукати однакових варіантів і в сукупності, а розносити їх за класами, що не те саме. Ігнорування цього правила, що буває в роботі недосвідчених дослідників, забирає багато часу при рознесенні варіанта, а головне, призводить до помилок.

Таблиця 6.2. Розноска варіант за класами

Закінчивши рознесення варіант і підрахувавши їх число для кожного класу, отримуємо безперервний варіаційний ряд. Його треба перетворити на переривчастий варіаційний ряд. Для цього, як зазначалося, беремо півсуми крайніх значень класів. Так, наприклад, серединне значення першого класу, що дорівнює 8,8 отримано наступним чином:

(8,6+9,0):2=8,8.

Друге значення (9,3) цієї графи обчислено аналогічним способом:

(9,01 +9,59): 2 = 9,3 і т.д.

В результаті виходить переривчастий варіаційний ряд, що показує розподіл за ознакою, що вивчається (табл.6.3.)

Таблиця 6.3. Варіаційний ряд

Угруповання вибіркових даних як варіаційного ряду має двояке призначення: по-перше, як допоміжна операція вона необхідна при обчисленні сумарних показників, а по-друге, ряди розподілу показують закономірність варіювання ознак, що дуже важливо. Щоб висловити цю закономірність наочно, прийнято зображати варіаційні ряди графічно як гистрограммы (рис.6.1.)

Рис.6.1.Розподіл підприємств за кількістю працівників

Гістограма зображує розподіл варіант при безперервному варіюванні ознаки. Прямокутники відповідають класам, які висота – кількості варіант, укладених у кожному класі. Якщо з серединних точок вершин прямокутників гістограми опустити перпендикуляри на вісь абцис, а потім з'єднати ці точки між собою, вийде графік безперервного варіювання, званий полігоном або щільністю розподілу.

Статистичні методи

Статистичні методи- Методи аналізу статистичних даних. Виділяють методи прикладної статистики, які можуть застосовуватися у всіх галузях наукових досліджень та будь-яких галузях народного господарства, та інші статистичні методи, застосовність яких обмежена тією чи іншою сферою. Маються на увазі такі методи, як статистичний приймальний контроль, статистичне регулювання технологічних процесів, надійність та випробування, планування експериментів.

Класифікація статистичних методів

Статистичні методи аналізу даних застосовуються практично у всіх сферах діяльності людини.Їх використовують завжди, коли необхідно отримати та обґрунтувати будь-які судження про групу (об'єктів чи суб'єктів) з деякою внутрішньою неоднорідністю.

Доцільно виділити три види наукової та прикладної діяльності в галузі статистичних методів аналізу даних (за ступенем специфічності методів, пов'язаної з зануреністю у конкретні проблеми):

а) розробка та дослідження методів загального призначення, без урахування специфіки галузі застосування;

б) розробка та дослідження статистичних моделей реальних явищ та процесів відповідно до потреб тієї чи іншої галузі діяльності;

в) застосування статистичних методів та моделей для статистичного аналізу конкретних даних.

Прикладна статистика

Опис виду даних та механізму їх породження – початок будь-якого статистичного дослідження. Для опису даних застосовують як детерміновані, і ймовірнісні методи. За допомогою детермінованих методів можна проаналізувати ті дані, які є у розпорядженні дослідника. Наприклад, з допомогою отримані таблиці, розраховані органами офіційної державної статистики з урахуванням представлених підприємствами і організаціями статистичних звітів. Перенести отримані результати більш широку сукупність, використовувати їх задля передбачення і управління можна лише з основі вероятностно-статистического моделювання. Тому математичну статистику часто включають лише методи, що спираються на теорію ймовірностей.

Ми не вважаємо за можливе протиставляти детерміновані та імовірнісно-статистичні методи. Ми розглядаємо їх як послідовні етапи статистичного аналізу. На першому етапі необхідно проаналізувати дані, що мають, представити їх у зручному для сприйняття вигляді за допомогою таблиць і діаграм. Потім статистичні дані доцільно проаналізувати з урахуванням тих чи інших вероятностно-статистических моделей. Зазначимо, можливість більш глибокого проникнення у суть реального явища чи процесу забезпечується розробкою адекватної математичної моделі.

У найпростішій ситуації статистичні дані - це значення деякої ознаки, властивої об'єктам, що вивчаються. Значення можуть бути кількісними або бути вказівкою на категорію, до якої можна віднести об'єкт. У другому випадку говорять про якісну ознаку.

При вимірі за кількісним чи якісним ознаками як статистичних даних про об'єкт отримуємо вектор. Його можна як новий вид даних. У такому разі вибірка складається із набору векторів. Є частина координат – числа, а частина – якісні (категоризовані) дані, то говоримо про вектор різнотипних даних.

Одним елементом вибірки, тобто одним виміром, може бути і функція загалом. Наприклад, що описує динаміку показника, тобто його зміна у часі, - електрокардіограма хворого або амплітуда биття валу двигуна. Або часовий ряд, що описує динаміку показників певної фірми. Тоді вибірка складається із набору функцій.

Елементами вибірки можуть бути інші математичні об'єкти. Наприклад, бінарні стосунки. Так, під час опитування експертів часто використовують упорядкування (ранжування) об'єктів експертизи - зразків продукції, інвестиційних проектів, варіантів управлінських рішень. Залежно від регламенту експертного дослідження елементами вибірки можуть бути різні види бінарних відносин (упорядкування, розбиття, толерантності), множини, нечіткі множини тощо.

Отже, математична природа елементів вибірки у різних завданнях прикладної статистики може бути різною. Однак можна виділити два класи статистичних даних - числові та нечислові. Відповідно прикладна статистика розбивається на дві частини - числову статистику та нечислову статистику.

Числові статистичні дані – це числа, вектори, функції. Їх можна складати, множити на коефіцієнти. Тож у числовій статистиці велике значення мають різноманітні суми. Математичний апарат аналізу сум випадкових елементів вибірки – це (класичні) закони великих чисел та центральні граничні теореми.

Нечислові статистичні дані - це категоризовані дані, вектори різнотипних ознак, бінарні відносини, множини, нечіткі множини та ін. Їх не можна складати та множити на коефіцієнти. Тому немає сенсу говорити про суми нечислових статистичних даних. Вони є елементами нечислових математичних просторів (множин). Математичний апарат аналізу нечислових статистичних даних ґрунтується на використанні відстаней між елементами (а також мір близькості, показників відмінності) у таких просторах. За допомогою відстаней визначаються емпіричні та теоретичні середні, доводяться закони великих чисел, будуються непараметричні оцінки густини розподілу ймовірностей, вирішуються завдання діагностики та кластерного аналізу, і т. д. (див. ).

У прикладних дослідженнях використовують статистичні дані різних видів. Це, зокрема, зі способами їх отримання. Наприклад, якщо випробування деяких технічних пристроїв продовжуються до певного моменту часу, отримуємо т. зв. цензуровані дані, що складаються з набору чисел - тривалості роботи низки пристроїв до відмови, та інформації про те, що інші пристрої продовжували працювати в момент закінчення випробування. Цензуровані дані часто використовуються при оцінці та контролі надійності технічних пристроїв.

Зазвичай, окремо розглядають статистичні методи аналізу даних перших трьох типів. Це обмеження викликано тим зазначеним вище обставиною, що математичний апарат аналізу даних нечисловой природи - значно інший, ніж даних як чисел, векторів і функций.

Імовірнісно-статистичне моделювання

При застосуванні статистичних методів у конкретних галузях знань та галузях народного господарства отримуємо науково-практичні дисципліни на кшталт «статистичні методи в промисловості», «статистичні методи в медицині» та ін. З цієї точки зору економетрика – це «статистичні методи в економіці». Ці дисципліни групи б) зазвичай спираються на імовірнісно-статистичні моделі, побудовані відповідно до особливостей галузі застосування. Дуже повчально зіставити імовірнісно-статистичні моделі, що застосовуються в різних галузях, виявити їхню близькість і водночас констатувати деякі відмінності. Так, видно близькість постановок завдань і застосовуваних для їх вирішення статистичних методів у таких галузях, як наукові медичні дослідження, конкретні соціологічні дослідження та маркетингові дослідження, або, коротше, в медицині, соціології та маркетингу. Вони часто поєднуються разом під назвою «вибіркові дослідження».

Відмінність вибіркових досліджень від експертних проявляється, передусім, серед обстежених об'єктів чи суб'єктів - у вибіркових дослідженнях йдеться зазвичай про сотні, а експертних - про десятки. Натомість технології експертних досліджень набагато витонченіші. Ще більш виражена специфіка в демографічних чи логістичних моделях, під час обробки наративної (текстової, літописної) інформації чи щодо взаємовпливу чинників.

Питання надійності та безпеки технічних пристроїв та технологій, теорії масового обслуговування докладно розглянуті у великій кількості наукових праць.

Статистичний аналіз конкретних даних

Застосування статистичних методів та моделей для статистичного аналізу конкретних даних тісно прив'язане до проблем відповідної галузі. Результати третього з виділених видів наукової та прикладної діяльності перебувають на стику дисциплін. Їх можна як приклади практичного застосування статистичних методів. Але не менше підстав відносити їх до відповідної сфери діяльності людини.

Наприклад, результати опитування споживачів розчинної кави природно віднести до маркетингу (що роблять, читаючи лекції з маркетингових досліджень). Дослідження динаміки зростання цін за допомогою індексів інфляції, розрахованих за незалежно зібраною інформацією, цікавить насамперед з погляду економіки та управління народним господарством (як на макрорівні, так і на рівні окремих організацій).

Перспективи розвитку

Теорія статистичних методів орієнтована рішення реальних завдань. Тому в ній постійно виникають нові постановки математичних завдань аналізу статистичних даних, розвиваються та обґрунтовуються нові методи. Обгрунтування часто проводиться математичними засобами, тобто доказом теорем. Велику роль грає методологічна складова – як саме ставити завдання, які припущення прийняти з метою подальшого математичного вивчення. Велика роль сучасних інформаційних технологій, зокрема комп'ютерного експерименту.

Актуальною є завдання аналізу історії статистичних методів з метою виявлення тенденцій розвитку та застосування їх для прогнозування.

Література

2. Нейлор Т. Машинні імітаційні експерименти із моделями економічних систем. - М: Мир, 1975. - 500 с.

3. Крамер Р. Математичні методи статистики. - М.: Мир, 1948 (1-е вид.), 1975 (2-ге вид.). – 648 с.

4. Більшов Л. Н., Смирнов Н. В. Таблиці математичної статистики. - М.: Наука, 1965 (1-е вид.), 1968 (2-ге вид.), 1983 (3-тє вид.).

5. Смирнов Н. В., Дунін-Барковський І. В. Курс теорії ймовірностей та математичної статистики для технічних додатків. Вид. 3-тє, стереотипне. - М: Наука, 1969. - 512 с.

6. Норман Дрейпер, Гаррі СмітПрикладний регресійний аналіз. Множинна регресія = Applied Regression Analysis. - 3-тє вид. – М.: «Діалектика», 2007. – С. 912. – ISBN 0-471-17082-8

Дивись також

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Yat-Kha
• Амальгама (значення)

Дивитись що таке "Статистичні методи" в інших словниках:

СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ- СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ наукові методи опису та вивчення масових явищ, що допускають кількісне (чисельне) вираження. Слово "статистика" (від гол. stato держава) має спільний корінь зі словом "держава". Спочатку воно… … Філософська енциклопедія

СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ –- наукові методи опису та вивчення масових явищ, що допускають кількісне (чисельне) вираження. Слово "статистика" (від італ. stato - Держава) має спільний корінь зі словом "держава". Спочатку воно відносилося до науки управління та … Філософська енциклопедія

Статистичні методи- (в екології та біоценології) методи варіаційної статистики, що дозволяють досліджувати ціле (напр., фітоценоз, популяцію, продуктивність) за його приватними сукупностями (напр., за даними, отриманими на облікових майданчиках) та оцінити ступінь точності. Екологічний словник

статистичні методи- (У психології) (від лат. status стан) деякі методи прикладної математичної статистики, які використовуються в психології в основному для обробки експериментальних результатів. Основна мета застосування С. м. підвищення обґрунтованості висновків у ... Велика психологічна енциклопедія

Статистичні методи– 20.2. Статистичні методи Конкретні статистичні методи, що використовуються для організації, регулювання та перевірки діяльності, включають, але не обмежуються такими: а) плануванням експериментів та факторний аналіз; b) аналіз дисперсії та … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ- Методи дослідження кількостей. сторони масових товариств. явищ та процесів. С. м. дають можливість у цифровому вираженні характеризувати зміни, що відбуваються в суспільств. процесах, вивчати разл. форми соціально економіч. закономірностей, зміну… Сільсько-господарський енциклопедичний словник

СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ- Деякі методи прикладної математичної статистики, що використовуються для обробки експериментальних результатів. Ряд статистичних методів було розроблено спеціально для перевірки якості психологічних тестів, для застосування у професійному… Професійну освіту. Словник

СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ- (В інженерної психології) (від лат. status стан) деякі методи прикладної статистики, що використовуються в інженерній психології для обробки експериментальних результатів. Основна мета застосування С. м. підвищення обґрунтованості висновків у ... Енциклопедичний словник з психології та педагогіки

Як використовуються теорія ймовірностей та математична статистика? Ці дисципліни - основа імовірнісно-статистичних методів прийняття рішень. Щоб скористатися їх математичним апаратом, необхідні завдання прийняття рішеньвисловити у термінах імовірнісно-статистичних моделей. Застосування конкретного імовірнісно-статистичного методу прийняття рішеньскладається з трьох етапів:

• перехід від економічної, управлінської, технологічної дійсності до абстрактної математико-статистичної схемою, тобто. побудова імовірнісної моделі системи управління, технологічного процесу, процедури прийняття рішень, зокрема за результатами статистичного контролю, тощо;
• проведення розрахунків та отримання висновків суто математичними засобами в рамках імовірнісної моделі;
• інтерпретація математико-статистичних висновків стосовно реальної ситуації та прийняття відповідного рішення (наприклад, про відповідність або невідповідність якості продукції встановленим вимогам, необхідність налагодження технологічного процесу тощо), зокрема, висновки (про частку дефектних одиниць продукції в партії, про конкретному вигляді законів розподілу контрольованих параметрівтехнологічного процесу та ін.).

Математична статистика використовує поняття, методи та результати теорії ймовірностей. Розглянемо основні питання побудови імовірнісних моделей прийняття рішеньв економічних, управлінських, технологічних та інших ситуаціях. Для активного та правильного використання нормативно-технічних та інструктивно-методичних документів за імовірнісно-статистичними методами прийняття рішеньпотрібні попередні знання. Так, необхідно знати, за яких умов слід застосовувати той чи інший документ, яку вихідну інформацію необхідно мати для вибору та застосування, які рішення повинні бути прийняті за результатами обробки даних і т.д.

Приклади застосування теорії ймовірностей та математичної статистики. Розглянемо кілька прикладів, коли вероятностно-статистические моделі є добрим інструментом на вирішення управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських завдань. Так, наприклад, у романі О.М. Толстого "Ходіння по муках" (т.1) говориться: "майстерня дає двадцять три відсотки шлюбу, цієї цифри ви і тримаєтеся, - сказав Струков Івану Іллічу".

Постає питання, як розуміти ці слова у розмові заводських менеджерів, оскільки одна одиниця продукції може бути дефектна на 23%. Вона може бути або придатною або дефектною. Напевно, Струков мав на увазі, що у партії великого обсягу міститься приблизно 23% дефектних одиниць продукції. Тоді виникає питання, а що означає "приблизно"? Нехай із 100 перевірених одиниць продукції 30 виявляться дефектними, чи з 1000-300, чи з 100000-30000 тощо, чи треба звинувачувати Струкова у брехні?

Або інший приклад. Монетка, яку використовують як жереб, має бути "симетричною", тобто. при її киданні в середньому в половині випадків повинен випадати герб, а в половині випадків - грати (решітка, цифра). Але що означає "у середньому"? Якщо провести багато серій по 10 кидань у кожній серії, то часто зустрічатимуться серії, в яких монета чотири рази випадає гербом. Для симетричної монети це відбуватиметься у 20,5% серій. А якщо на 100 000 кидань виявиться 40 000 гербів, то чи можна вважати монету симетричною? Процедура прийняття рішеньбудується на основі теорії ймовірностей та математичної статистики.

Розглянутий приклад може бути недостатньо серйозним. Однак, це не так. Жеребкування широко використовується при організації промислових техніко-економічних експериментів, наприклад, при обробці результатів вимірювання показника якості (моменту тертя) підшипників залежно від різних технологічних факторів (впливу консерваційного середовища, методів підготовки підшипників перед вимірюванням, впливу навантаження підшипників у процесі вимірювання тощо). п.). Припустимо, необхідно порівняти якість підшипників залежно від результатів зберігання в різних консерваційних маслах, тобто. в оліях складу та . При плануванні такого експерименту виникає питання, які підшипники слід помістити в олію складу, а які - в олію складу, але так, щоб уникнути суб'єктивізму та забезпечити об'єктивність прийнятого рішення.

Відповідь це питання може бути отримано з допомогою жереба. Аналогічний приклад можна навести і з контролем якості продукції. Щоб вирішити, відповідає чи відповідає контрольована партія продукції встановленим вимогам, робиться вибірка . За результатами контролю вибірки робиться висновок про всю партію. І тут дуже важливо уникнути суб'єктивізму для формування вибірки, тобто. Необхідно, щоб кожна одиниця продукції контрольованої партії мала однакову можливість бути відібраною у вибірку. У виробничих умовах відбір одиниць продукції вибірку зазвичай здійснюють за допомогою жереба, а, по спеціальним таблицям випадкових чисел чи з допомогою комп'ютерних датчиків випадкових чисел.

Аналогічні проблеми забезпечення об'єктивності порівняння виникають у порівнянні різних схем організації виробництва, оплати праці, під час проведення тендерів та конкурсів, підбору кандидатів на вакантні посади тощо. Усюди потрібне жеребкування або подібні до неї процедури. Пояснимо на прикладі виявлення найсильнішої та другої за силою команд при організації турніру з олімпійської системи (який програв вибуває). Нехай завжди сильніша команда перемагає слабшу. Зрозуміло, що найсильніша команда однозначно стане чемпіоном. Друга за силою команда вийде у фінал тоді і лише тоді, коли до фіналу вона не матиме ігор з майбутнім чемпіоном. Якщо таку гру буде заплановано, то друга за силою команда у фінал не потрапить. Той, хто планує турнір, може або достроково "вибити" другу за силою команду з турніру, звівши її в першій зустрічі з лідером, або забезпечити їй друге місце, забезпечивши зустрічі з більш слабкими командами аж до фіналу. Щоб уникнути суб'єктивізму, проводять жеребкування. Для турніру з 8 команд ймовірність того, що у фіналі зустрінуться дві найсильніші команди, дорівнює 4/7. Відповідно до ймовірності 3/7 друга за силою команда залишить турнір достроково.

За будь-якого виміру одиниць продукції (за допомогою штангенциркуля, мікрометра, амперметра тощо) є похибки. Щоб з'ясувати, чи є систематичні похибки, необхідно зробити багаторазові виміри одиниці виробленої продукції, характеристики якої відомі (наприклад, стандартного зразка). При цьому слід пам'ятати, що, крім систематичної, присутня і випадкова похибка.

Тому постає питання, як за результатами вимірювань дізнатися, чи є систематична похибка. Якщо відзначати лише, чи є отримана при черговому вимірі похибка позитивною чи негативною, це завдання можна звести до попередньої. Справді, порівняємо вимір із киданням монети, позитивну похибку - з випаданням герба, негативну - грати (нульова похибка за достатньої кількості поділів шкали майже будь-коли зустрічається). Тоді перевірка відсутності систематичної похибки еквівалентна перевірці симетричності монети.

Метою цих міркувань є зведення завдання перевірки відсутності систематичної похибки завдання перевірки симетричності монети. Проведені міркування призводять до так званого "критерію знаків" у математичній статистиці.

При статистичному регулюванні технологічних процесів на основі методів математичної статистики розробляються правила та плани статистичного контролю процесів, спрямовані на своєчасне виявлення розладки технологічних процесів, вжиття заходів до їх налагодження та запобігання випуску продукції, що не відповідає встановленим вимогам. Ці заходи спрямовані на скорочення витрат виробництва та втрат від постачання неякісних одиниць продукції. При статистичному приймальному контролі з урахуванням методів математичної статистики розробляються плани контролю якості шляхом аналізу вибірок із партій продукції. Складність полягає в тому, щоб вміти правильно будувати імовірнісно-статистичні моделі. прийняття рішень, на основі яких можна відповісти на поставлені вище питання. У математичній статистиці при цьому розроблені імовірнісні моделі і методи перевірки гіпотез, зокрема, гіпотез у тому, частка дефектних одиниць продукції дорівнює певному числу , наприклад, (згадайте слова Струкова з роману А.Н. Толстого).

Завдання оцінювання. У ряді управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських ситуацій виникають завдання іншого типу – завдання оцінки характеристик та параметрів розподілів ймовірностей.

Розглянемо приклад. Нехай на контроль надійшла партія із N електроламп. З цієї партії випадково відібрано вибірку обсягом n електроламп. Виникає низка природних питань. Як за результатами випробувань елементів вибірки визначити середній термін служби електроламп та з якою точністю можна оцінити цю характеристику? Як зміниться точність, якщо взяти вибірку більшого обсягу? При якому числі годинника можна гарантувати, що не менше 90% електроламп прослужать і більше годин?

Припустимо, що під час випробування вибірки обсягом електроламп дефектними виявилися електроламп. Тоді виникають такі питання. Які межі можна вказати для числа дефектних електроламп у партії, для рівня дефектності тощо?

Або при статистичному аналізі точності та стабільності технологічних процесів слід оцінити такі показники якостіяк середнє значення контрольованого параметраі ступінь його розкиду в аналізованому процесі. Відповідно до теорії ймовірностей як середнє значення випадкової величини доцільно використовувати її математичне очікування, а як статистична характеристика розкиду - дисперсію, середнє квадратичне відхилення або коефіцієнт варіації. Звідси виникає питання: як оцінити ці статистичні характеристики за вибірковими даними та з якою точністю це вдається зробити? Аналогічних прикладів можна навести дуже багато. Тут важливо було показати, як теорія ймовірностей та математична статистика можуть бути використані у виробничому менеджменті при прийнятті рішень у галузі статистичного управління якістю продукції.

Що таке "математична статистика"? Під математичною статистикою розуміють розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки та інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. кожній задачі на підставі наявного статистичного матеріалу "[[2.2], с. 326]. При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів у будь-якій більш менш широкої сукупності, що володіють тими або іншими ознаками.

На кшталт розв'язуваних завдань математична статистика зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання та перевірка гіпотез.

За видом статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрями:

• одновимірна статистика (статистика випадкових величин), у якій результат спостереження описується дійсним числом;
• багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується кількома числами (вектором);
• статистика випадкових процесів та тимчасових рядів, де результат спостереження – функція;
• статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є множиною (геометричною фігурою), упорядкуванням або отримано в результаті вимірювання за якістю.

Історично першими з'явилися деякі області статистики об'єктів нечислової природи (зокрема, завдання оцінювання частки шлюбу та перевірки гіпотез про неї) та одновимірна статистика. Математичний апарат їм простіше, тому з їхньої прикладі зазвичай демонструють основні ідеї математичної статистики.

Тільки методи обробки даних, тобто. Математична статистика є доказовими, які спираються на імовірнісні моделі відповідних реальних явищ і процесів. Йдеться про моделі поведінки споживачів, виникнення ризиків, функціонування технологічного обладнання, отримання результатів експерименту, перебігу захворювання тощо. Імовірнісну модель реального явища слід вважати побудованою, якщо аналізовані величини та зв'язки між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Відповідність імовірнісної моделі дійсності, тобто. її адекватність обгрунтовують, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.

Неймовірні методи обробки даних є пошуковими, їх можна використовувати лише при попередньому аналізі даних, оскільки вони не дають можливості оцінити точність та надійність висновків, отриманих на підставі обмеженого статистичного матеріалу.

Імовірнісні та статистичні методизастосовні усюди, де вдається побудувати та обґрунтувати ймовірнісну модель явища або процесу. Їх застосування обов'язково, коли зроблені з урахуванням вибіркових даних висновки переносяться всю сукупність (наприклад, з вибірки протягом усього партію продукції).

У конкретних галузях застосування використовуються як імовірнісно- статистичні методиширокого застосування, і специфічні. Наприклад, розділ виробничого менеджменту, присвяченого статистичним методам управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналізточності та стабільності технологічних процесів та статистична оцінка якості. До специфічних належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки та контролю надійності та ін.

Широко застосовуються такі прикладні імовірнісно-статистичні дисципліни, як теорія надійності та теорія масового обслуговування. Зміст першої їх ясно з назви, друга займається вивченням систем типу телефонної станції, яку у випадкові моменти часу надходять виклики - вимоги абонентів, набираючих номери у своїх телефонних апаратах. Тривалість обслуговування цих вимог, тобто. тривалість розмов також моделюється випадковими величинами. Великий внесок у розвиток цих дисциплін зробили член-кореспондент АН СРСР А.Я. Хінчін (1894-1959), академік АН УРСР Б.В. Гнєденко (1912-1995) та інші вітчизняні вчені.

Коротко про історію математичної статистики. Математична статистика як наука починається з робіт знаменитого німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1777-1855), який на основі теорії ймовірностей досліджував та обґрунтував метод найменших квадратів, створений ним у 1795 р. та застосований для обробки астрономічних даних (з метою уточнення орбіти малої планети Церера). Його ім'ям часто називають один із найбільш популярних розподілів ймовірностей - нормальний, а в теорії випадкових процесів основний об'єкт вивчення - гауссівські процеси.

Наприкінці ХІХ ст. – на початку ХХ ст. великий внесок у математичну статистику зробили англійські дослідники, передусім К. Пірсон (1857-1936) та Р.А. Фішер (1890–1962). Зокрема, Пірсон розробив критерій "хі-квадрат" перевірки статистичних гіпотез, а Фішер - дисперсійний аналіз, теорію планування експерименту, метод максимальної правдоподібності оцінки параметрів

У 30-ті роки ХХ ст. поляк Єжи Нейман (1894-1977) та англієць Е. Пірсон розвинули загальну теорію перевірки статистичних гіпотез, а радянські математики академік О.М. Колмогоров (1903-1987) та член-кореспондент АН СРСР Н.В. Смирнов (1900–1966) заклали основи непараметричної статистики. У сорокові роки ХХ ст. румун А. Вальд (1902-1950) побудував теорію послідовного статистичного аналізу.

Математична статистика бурхливо розвивається й у час. Так, за останні 40 років можна виділити чотири принципово нових напрямки досліджень [[2.16]]:

• розробка та впровадження математичних методів планування експериментів;
• розвиток статистики об'єктів нечислової природи як самостійного спрямування прикладної математичної статистики;
• розвиток статистичних методів, стійких по відношенню до малих відхилень від використовуваної ймовірнісної моделі;
• широке розгортання робіт із створення комп'ютерних пакетів програм, призначених щодо статистичного аналізу даних.

Імовірнісно-статистичні методи та оптимізація. Ідея оптимізації пронизує сучасну прикладну математичну статистику та інші статистичні методи. А саме - методи планування експериментів, статистичного приймального контролю, статистичного регулювання технологічних процесів та ін. прийняття рішень, наприклад, прикладна теорія оптимізації якості продукції та вимог стандартів, передбачають широке використання імовірнісно-статистичних методів, насамперед прикладної математичної статистики.

У виробничому менеджменті, зокрема, при оптимізації якості продукції та вимог стандартів особливо важливо застосовувати статистичні методипочатковому етапі життєвого циклу продукції, тобто. на етапі науково-дослідної підготовки дослідно-конструкторських розробок (розробка перспективних вимог до продукції, аванпроекту, технічного завдання на дослідно-конструкторську розробку). Це пояснюється обмеженістю інформації, доступної на початковому етапі життєвого циклу продукції, та необхідністю прогнозування технічних можливостей та економічної ситуації на майбутнє. Статистичні методиповинні застосовуватися на всіх етапах розв'язання задачі оптимізації – при шкалюванні змінних, розробці математичних моделей функціонування виробів та систем, проведенні технічних та економічних експериментів тощо.

У завданнях оптимізації, у тому числі оптимізації якості продукції та вимог стандартів, використовують усі галузі статистики. А саме – статистику випадкових величин, багатовимірний статистичний аналіз, статистику випадкових процесів та тимчасових рядів, статистику об'єктів нечислової природи Вибір статистичного методу для аналізу конкретних даних доцільно проводити відповідно до рекомендацій [

3.5.1. Імовірнісно-статистичний метод дослідження.

У багатьох випадках необхідно досліджувати не лише детерміновані, а й випадкові імовірнісні (статистичні) процеси. Ці процеси розглядаються з урахуванням теорії ймовірностей.

Сукупність випадкової величини x становить первинний математичний матеріал. Під сукупністю розуміють багато однорідних подій. Сукупність, що містить різні варіанти масового явища, називають генеральною сукупністю, або великою вибіркою N.Зазвичай вивчають лише частину генеральної сукупності, яка називається виборною сукупністю чи малою вибіркою.

Ймовірністю Р(х)події хназивають відношення числа випадків N(x),які призводять до настання події х, до загального числа можливих випадків N:

P(x)=N(x)/N.

Теорія імовірностірозглядає теоретичні розподілу випадкових величин та його характеристики.

Математична статистиказаймається способами обробки та аналізу емпіричних подій.

Ці дві споріднені науки становлять єдину математичну теорію масових випадкових процесів, що широко застосовується для аналізу наукових досліджень.

Дуже часто застосовують методи ймовірностей та математичної статистики в теорії надійності, живучості та безпеки, яка широко використовується в різних галузях науки та техніки.

3.5.2. Метод статистичного моделювання чи статистичних випробувань (метод Монте-Карло).

Цей метод є чисельним методом вирішення складних завдань і заснований на використанні випадкових чисел, що моделюють ймовірнісні процеси. Результати вирішення цим методом дозволяють встановити емпірично залежність досліджуваних процесів.

Вирішення завдань методом Монте-Карло ефективне лише з використанням швидкодіючих ЕОМ. Для вирішення завдань методом Монте-Карло необхідно мати статистичний ряд, знати закон його розподілу, середнє математичне очікування т(х),середньоквадратичне відхилення.

З допомогою цього можна отримати як завгодно задану точність рішення, тобто.

-> т(х)

3.5.3. Метод системного аналізу.

Під системним аналізом розуміють сукупність прийомів і методів вивчення складних систем, що є складну сукупність взаємодіючих між собою елементів. Взаємодія елементів системи характеризується прямими та зворотними зв'язками.

Сутність системного аналізу полягає в тому, щоб виявити ці зв'язки та встановити їх вплив на поведінку всієї системи загалом. Найбільш повно і глибоко можна виконати системний аналіз методами кібернетики, яка є наукою про складні динамічні системи, здатні сприймати, зберігати і переробляти інформацію з метою оптимізації та управління.

Системний аналіз складається із чотирьох етапів.

Перший етап полягає у постановці завдання: визначають об'єкт, цілі та завдання дослідження, а також критерії для вивчення об'єкта та управління ним.

Під час другого етапу визначають межі системи, що вивчається, і визначають її структуру. Всі об'єкти та процеси, що мають відношення до поставленої мети, розбивають на два класи ~ власне досліджувану систему та зовнішнє середовище. Розрізняють замкнутіі відкритісистеми. При дослідженні замкнутих систем впливом довкілля з їхньої поведінка нехтують. Потім виділяють окремі складові системи - її елементи, встановлюють взаємодію між ними і зовнішнім середовищем.

Третій етап системного аналізу полягає у складанні математичної моделі досліджуваної системи. Спочатку виробляють параметризацію системи, описують основні елементи системи та елементарні на неї з допомогою тих чи інших параметрів. При цьому розрізняють параметри, що характеризують безперервні та дискретні, детерміновані та ймовірнісні процеси. Залежно від особливостей процесів використовують той чи інший математичний апарат.

В результаті третього етапу системного аналізу формуються закінчені математичні моделі системи, описані формальною, наприклад алгоритмічною, мовою.

На четвертому етапі аналізують отриману математичну модель, знаходять її екстремальні умови з метою оптимізації процесів та управління системами та формулюють висновки. Оцінку оптимізації проводять за критерієм оптимізації, який приймає в цьому випадку екстремальні значення (мінімум, максимум, мінімакс).

Зазвичай вибирають якийсь один критерій, а для інших встановлюють гранично гранично-допустимі значення. Іноді застосовують змішані критерії, що є функцією від первинних параметрів.

З обраного критерію оптимізації становлять залежність критерію оптимізації від параметрів моделі досліджуваного об'єкта (процесу).

Відомі різні математичні методи оптимізації досліджуваних моделей: методи лінійного, нелінійного чи динамічного програмування; методи імовірнісно-статистичні, засновані на теорії масового обслуговування; теорія ігор, що розглядає розвиток процесів як випадкові ситуації.

Запитання для самоконтролю знань

Методологія теоретичних досліджень.

Основні розділи етапу теоретичних розробок наукового дослідження.

Типи моделей та види моделювання об'єкта дослідження.

Аналітичні методи дослідження.

Аналітичні методи дослідження із застосуванням експерименту.

Імовірнісно-аналітичний метод дослідження.

Методи статичного моделювання (метод Монте-Карло).

Спосіб системного аналізу.