Ймовірно статистичні методи. Ймовірнісно-статистичні методи моделювання економічних систем
3. Суть імовірнісно-статистичних методів
Як підходи, ідеї та результати теорії ймовірностей та математичної статистики використовуються при обробці даних – результатів спостережень, вимірювань, випробувань, аналізів, дослідів з метою ухвалення практично важливих рішень?
Базою є імовірнісна модель реального явища чи процесу, тобто. математична модель, у якій об'єктивні співвідношення виражені термінах теорії ймовірностей. Імовірності використовуються передусім для опису невизначеностей, які необхідно враховувати під час прийняття рішень. Маються на увазі як небажані можливості (ризики), так і привабливі (щасливий випадок). Іноді випадковість вноситься в ситуацію свідомо, наприклад, під час жеребкування, випадкового відбору одиниць для контролю, проведення лотерей або опитувань споживачів.
Теорія ймовірностей дозволяє за одними ймовірностями розрахувати інші, які цікавлять дослідника. Наприклад, за ймовірністю випадання герба можна розрахувати ймовірність того, що при 10 кидання монет випаде не менше 3 гербів. Подібний розрахунок спирається на ймовірну модель, згідно з якою кидання монет описуються схемою незалежних випробувань, крім того, випадання герба і решітки рівноможливі, а тому ймовірність кожної з цих подій дорівнює ½. Більш складною є модель, де замість кидання монети розглядається перевірка якості одиниці виробленої продукції. Відповідна ймовірна модель спирається на припущення про те, що контроль якості різних одиниць продукції описується схемою незалежних випробувань. На відміну від моделі з киданням монет, необхідно ввести новий параметр – ймовірність рте, що одиниця продукції є дефектною. Модель буде повністю описана, якщо прийняти, що всі одиниці продукції мають однакову можливість виявитися дефектними. Якщо останнє припущення неправильне, число параметрів моделі зростає. Наприклад, можна прийняти, що кожна одиниця продукції має свою можливість виявитися дефектною.
Обговоримо модель контролю якості із загальною для всіх одиниць продукції ймовірністю дефектності р. Щоб під час аналізу моделі «дійти до числа», необхідно замінити рна деяке конкретне значення. Для цього необхідно вийти з рамок ймовірнісної моделі та звернутися до даних, отриманих під час контролю якості. Математична статистика вирішує зворотне завдання стосовно теорії ймовірностей. Її мета – на основі результатів спостережень (вимірювань, аналізів, випробувань, дослідів) отримати висновки про ймовірності, що лежать в основі ймовірнісної моделі. Наприклад, на основі частоти появи дефектних виробів під час контролю можна зробити висновки про ймовірність дефектності (див. обговорення вище з використанням теореми Бернуллі). На основі нерівності Чебишева робилися висновки про відповідність частоти появи дефектних виробів гіпотезі про те, що ймовірність дефектності набуває певного значення.
Таким чином, застосування математичної статистики спирається на ймовірну модель явища або процесу. Використовуються два паралельних ряду понять – які стосуються теорії (імовірнісної моделі) і які стосуються практики (вибірці результатів спостережень). Наприклад, теоретичній ймовірності відповідає частота, знайдена за вибіркою. Математичне очікування (теоретичний ряд) відповідає вибіркове середнє арифметичне (практичний ряд). Як правило, вибіркові показники є оцінками теоретичних. При цьому величини, що належать до теоретичного ряду, «перебувають у головах дослідників», відносяться до світу ідей (за давньогрецьким філософом Платоном), недоступні для безпосереднього виміру. Дослідники мають у своєму розпорядженні лише вибіркові дані, за допомогою яких вони намагаються встановити властивості теоретичної ймовірнісної моделі, що їх цікавлять.
Навіщо ж потрібна імовірнісна модель? Справа в тому, що тільки з її допомогою можна перенести властивості, встановлені за результатами аналізу конкретної вибірки, на інші вибірки, а також на так звану генеральну сукупність. Термін «генеральна сукупність» використовується, коли йдеться про велику, але кінцеву сукупність одиниць, що вивчаються. Наприклад, про сукупність всіх жителів Росії або сукупність всіх споживачів розчинної кави в Москві. Мета маркетингових чи соціологічних опитувань у тому, щоб твердження, отримані за вибіркою із сотень чи тисяч жителів, перенести на генеральні сукупності кілька мільйонів. Під час контролю якості у ролі генеральної сукупності виступає партія продукції.
Щоб перенести висновки з вибірки більш широку сукупність, необхідні ті чи інші припущення про зв'язок вибіркових характеристик з характеристиками цієї більшої сукупності. Ці припущення ґрунтуються на відповідній імовірнісній моделі.
Звичайно, можна обробляти вибіркові дані, не використовуючи ту чи іншу ймовірну модель. Наприклад, можна розраховувати вибіркове середнє арифметичне, підраховувати частоту виконання тих чи інших умов тощо. Проте результати розрахунків відноситимуться лише до конкретної вибірки, перенесення отриманих з їх допомогою висновків на будь-яку іншу сукупність некоректне. Іноді подібну діяльність називають "аналіз даних". Порівняно з імовірнісно-статистичними методами, аналіз даних має обмежену пізнавальну цінність.
Отже, використання імовірнісних моделей на основі оцінювання та перевірки гіпотез за допомогою вибіркових характеристик – ось суть імовірнісно-статистичних методів прийняття рішень.
Підкреслимо, що логіка використання вибіркових характеристик до ухвалення рішень з урахуванням теоретичних моделей передбачає одночасне використання двох паралельних рядів понять, одне із яких відповідає імовірнісним моделям, а другий – вибірковим даним. На жаль, у ряді літературних джерел, зазвичай застарілих чи написаних у рецептурному дусі, немає різниці між вибірковими і теоретичними характеристиками, що призводить читачів до подивів і помилок при практичному використанні статистичних методів.
| Попередня |
Що таке «математична статистика»
Під математичною статистикою розуміють розділ математики, присвячений математичним методам збору, систематизації, обробки та інтерпретації статистичних даних, а також використання їх для наукових або практичних висновків. Правила та процедури математичної статистики спираються на теорію ймовірностей, що дозволяє оцінити точність і надійність висновків, одержуваних у кожному завданні на підставі наявного статистичного матеріалу». При цьому статистичними даними називаються відомості про кількість об'єктів у будь-якій більш менш широкої сукупності, що володіють тими або іншими ознаками.
На кшталт розв'язуваних завдань математична статистика зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання та перевірка гіпотез.
За видом статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрями:
- - одновимірна статистика (статистика випадкових величин), у якій результат спостереження описується дійсним числом;
- - багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується кількома числами (вектором);
- - статистика випадкових процесів та часових рядів, де результат спостереження – функція;
- - статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є множиною (геометричною фігурою), упорядкуванням або отримано в результаті вимірювання за якістю.
Історично першою з'явилися деякі області статистики об'єктів нечислової природи (зокрема, завдання оцінювання частки шлюбу та перевірки гіпотез про неї) та одновимірна статистика. Математичний апарат їм простіше, тому з їхньої прикладі зазвичай демонструють основні ідеї математичної статистики.
Тільки методи обробки даних, тобто. Математична статистика є доказовими, які спираються на імовірнісні моделі відповідних реальних явищ і процесів. Йдеться про моделі поведінки споживачів, виникнення ризиків, функціонування технологічного обладнання, отримання результатів експерименту, перебігу захворювання тощо. Імовірнісну модель реального явища слід вважати побудованою, якщо аналізовані величини та зв'язки між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Відповідність імовірнісної моделі дійсності, тобто. її адекватність обґрунтовують, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.
Неймовірні методи обробки даних є пошуковими, їх можна використовувати лише при попередньому аналізі даних, оскільки вони не дають можливості оцінити точність та надійність висновків, отриманих на підставі обмеженого статистичного матеріалу.
Імовірнісні та статистичні методи застосовні усюди, де вдається побудувати та обґрунтувати ймовірнісну модель явища чи процесу. Їх застосування обов'язково, коли зроблені з урахуванням вибіркових даних висновки переносяться всю сукупність (наприклад, з вибірки протягом усього партію продукції).
У конкретних галузях застосування використовуються як імовірнісно-статистичні методи широкого застосування, так і специфічні. Наприклад, розділ виробничого менеджменту, присвяченого статистичним методам управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналіз точності та стабільності технологічних процесів та статистична оцінка якості. До специфічних методів належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки та контролю надійності та ін.
Широко застосовуються такі прикладні імовірнісно-статистичні дисципліни, як теорія надійності та теорія масового обслуговування. Зміст першої їх ясно з назви, друга займається вивченням систем типу телефонної станції, яку у випадкові моменти часу надходять виклики - вимоги абонентів, набираючих номери у своїх телефонних апаратах. Тривалість обслуговування цих вимог, тобто. тривалість розмов також моделюється випадковими величинами. Великий внесок у розвиток цих дисциплін зробили член-кореспондент АН СРСР А.Я. Хінчін (1894-1959), академік АН УРСР Б.В.Гнеденко (1912-1995) та інші вітчизняні вчені.
Ймовірнісно-статистичні методи моделювання економічних систем
Вступ
Під завданням ідентифікації закону розподілу випадкової величини, що спостерігається (структурно-параметричної ідентифікації), як правило, розуміють завдання вибору такої параметричної моделі закону розподілу ймовірностей, яка найкраще відповідає результатам експериментальних спостережень. Випадкові помилки засобів вимірів негаразд часто підпорядковуються нормальному закону, точніше, негаразд часто описуються моделлю нормального закону. В основі вимірювальних приладів та систем лежать різні фізичні принципи, різні методи вимірювання та різні перетворення вимірювальних сигналів. Похибки вимірювань як величини є наслідком впливу безлічі факторів, випадкового та невипадкового характеру, що діють постійно чи епізодично. Тому зрозуміло, що при виконанні певних передумов (теоретичних і технічних) похибки вимірювань досить добре описуються моделлю нормального закону.
Взагалі кажучи, слід розуміти, що справжній закон розподілу (якщо він, звичайно, існує), який описує похибки конкретної вимірювальної системи, залишається (залишиться) невідомим, незважаючи на всі наші спроби його ідентифікувати. На підставі даних вимірювань і теоретичних міркувань ми можемо лише підібрати ймовірну модель, яка в певному сенсі найкраще наближає цей істинний закон. Якщо побудована модель адекватна, тобто застосовувані критерії не дають підстав для її відхилення, то на основі даної моделі можна обчислити всі ймовірнісні характеристики випадкової складової похибки вимірювального засобу, які будуть відрізнятися від справжніх значень тільки за рахунок не виключеної систематичної (неспостережуваної або нереєстрованої) ) складової похибки вимірів. Її трохи і характеризує правильність вимірів. Безліч можливих законів розподілу ймовірностей, які можна використовувати для опису випадкових величин, що спостерігаються, не обмежена. Безглуздо ставити за мету завдання ідентифікації знаходження справжнього закону розподілу спостережуваної величини. Ми можемо лише вирішувати завдання вибору найкращої моделі з деякої множини. Наприклад, з того безлічі параметричних законів і се мейств розподілів, які у додатках, і згадка про які можна знайти у літературних джерелах.
Класичний підхід до структурно-параметричної ідентифікації закону розподілу. Під класичним підходом розумітимемо алгоритм вибору закону розподілу, що цілком базується на апараті математичної статистики.
1. Елементарні поняття про випадкові події, величини та функції
Ми вже бачили, що для багатьох експериментів немає ніяких відмінностей у підрахунку ймовірностей подій, тоді як елементарні результати цих експериментів дуже різняться. Але нас і мають цікавити саме ймовірність подій, а не структура простору елементарних результатів. Тому час у всіх таких «схожих» експериментах замість різних елементарних результатів використовувати, наприклад, числа. Інакше кажучи, кожному елементарному результату поставити у відповідність деяке речове число, і працювати тільки з числами.
Нехай задано імовірнісний простір.
Визначення 26.Функція називається випадковою величиною, якщо для будь-якої борелівської множини безліч є подією, тобто. належить - алгебри .
Безліч , Що складається з тих елементарних наслідків , для яких належить називається повним прообразом безлічі.
Примітка 9 . Взагалі, нехай функція діє з безлічі у безліч , та задані -алгебри і підмножин і відповідно. Функція називається вимірною, якщо для будь-якої множини його повний прообраз належить.
Зауваження 10. Читач, який не бажає забивати собі голову абстракціями, пов'язаними з -алгебрами подій і з вимірністю, може сміливо вважати, що будь-яка безліч елементарних наслідків є подія, і, отже, випадкова величина є довільнафункція з в . Неприємностей на практиці це не тягне за собою, так що все подальше в цьому параграфі можна пропустити.
Тепер, позбавившись нецікавих читачів, спробуємо зрозуміти, навіщо випадковій величині потрібна вимірність.
Якщо задана випадкова величина , нам може знадобитися обчислити ймовірності виду , , , (і взагалі різні ймовірності попадання в борелівські множини на прямий). Це можливо лише якщо множини, що стоять під знаком ймовірності, є подіями - адже ймовірністьє функція, визначена тільки на -алгебри подій. Вимога вимірності рівнозначна тому, що для будь-якої борелівської множини визначено ймовірність.
Можна вимагати у визначенні чогось іншого. Наприклад, щоб подією було потрапляння до будь-якого інтервалу: , чи будь-який полуинтервал: .
Переконаємося, наприклад, що еквівалентні визначення 26 та 27:
Визначення 27. Функція називається випадковою величиною, якщо для будь-яких речових безліч належить -алгебри .
Доведення еквівалентності визначень 26, 27.
Якщо - Випадкова величина в сенсі визначення 26, то вона буде випадковою величиною і в сенсі визначення 27, оскільки будь-який інтервал є борелівським безліччю.
Доведемо, що вірне та протилежне. Нехай для будь-якого інтервалу виконано . Ми повинні довести, що те саме вірно і для будь-яких борелівських множин.
Зберемо в безлічі всі підмножини речової прямої, прообрази яких є подіями. Безліч вже містить усі інтервали . Покажемо тепер, що безліч є -алгеброю. За визначенням, тоді і тільки тоді, коли безліч належить.
1. Переконаємося, що . Але і, отже, .
2. Переконаємося, що для будь-кого . Нехай . Тоді , так як - -алгебра.
3. Переконаємося, що для будь-яких . Нехай для всіх . Але - -алгебра, тому
Ми довели, що - -Алгебра і містить всі інтервали на прямий. Але - найменша з -алгебр, що містять усі інтервали на прямий. Отже, містить: .
Наведемо приклади вимірних та незмірних функцій.
Приклад 25. Підкидаємо кубик. Нехай , і дві функції з в задані так: , . Поки що не задана -алгебра , не можна говорити про вимірність. Функція, вимірна щодо якоїсь -алгебри , може бути такий інший .
Якщо є безліч усіх підмножин , то і є випадковими величинами, оскільки будь-яка безліч елементарних наслідків належить , у тому числі й або . Можна записати відповідність між значеннями випадкових величин і та ймовірностями приймати ці значення у вигляді «таблиці розподілу ймовірностей»або, коротко, «таблиці розподілу»:
Тут.
2. Нехай -алгебра подій складається з чотирьох множин:
тобто. подією є, крім достовірного та неможливого подій, випадання парного чи непарного числа очок. Переконаємося, що за такої порівняно бідної -алгебри ні ні є випадковими величинами, оскільки вони незмірні. Візьмемо, скажімо, . Бачимо, що і
2. Числові характеристики випадкових величин
Математичне очікування.Математичним очікуванням дискретної випадкової величини Х, яка приймає кінцеве число значень хi з ймовірностями рi, називається сума:
(6а)
Математичним очікуванням безперервної випадкової величини Х називається інтеграл від добутку її значень х на щільність розподілу ймовірностей f(x):
(6б)
Невласний інтеграл (6б) передбачається абсолютно схожим (інакше говорять, що математичне очікування М (Х) немає). Математичне очікування характеризує середнє значення випадкової величини Х. Його розмірність збігається із розмірністю випадкової величини. Властивості математичного очікування:
Дисперсія.Дисперсією випадкової величини Х називається число:
Дисперсія є характеристикою розсіювання значень випадкової величини Х щодо середнього значення М (Х). Розмірність дисперсії дорівнює розмірності випадкової величини у квадраті. Виходячи з визначень дисперсії (8) та математичного очікування (5) для дискретної випадкової величини та (6) для безперервної випадкової величини отримаємо аналогічні вирази для дисперсії:
Тут m = М(Х).
Властивості дисперсії:
(10)
Середнє квадратичне відхилення:
(11)
Так як розмірність середнього квадратичного відхилення та ж, що й у випадкової величини, воно частіше, ніж дисперсія, використовується як міра розсіювання.
Моменти розподілу.Поняття математичного очікування та дисперсії є окремими випадками більш загального поняття для числових характеристик випадкових величин - моментів розподілу. Моменти розподілу випадкової величини вводяться як математичні очікування деяких найпростіших функцій випадкової величини. Так, моментом порядку k щодо точки х0називається математичне очікування М (Х - х0) k. Моменти щодо початку координат х = 0 називаються початковими моментами та позначаються:
(12)
Початковий момент першого порядку є центр розподілу випадкової величини, що розглядається:
(13)
Моменти щодо центру розподілу х = m називаються центральними моментами та позначаються:
(14)
З (7) слід, що центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю:
(15)
Центральні моменти не залежать від початку відліку значень випадкової величини, так як при зрушенні на постійне значення її центр розподілу зрушується на те ж значення, а відхилення від центру не змінюється:
Х – m = (Х – С) – (m – С).
Тепер очевидно, що дисперсія – це центральний момент другого порядку:
(16)
Асиметрія.Центральний момент третього порядку:
(17)
служить з метою оцінки асиметрії розподілу. Якщо розподіл симетрично щодо точки х = m, то центральний момент третього порядку дорівнюватиме нулю (як і всі центральні моменти непарних порядків). Тому, якщо центральний момент третього порядку відмінний від нуля, то розподіл не може бути симетричним. Величину асиметрії оцінюють за допомогою безрозмірного коефіцієнта асиметрії:
(18)
Знак коефіцієнта асиметрії (18) свідчить про правосторонню чи лівосторонню асиметрію (рис. 2).
Рис. 1. Види асиметрії розподілів
Ексцес.Центральний момент четвертого порядку:
(19)
служить для оцінки так званого ексцесу, що визначає ступінь крутості (гостровершинності) кривої розподілу поблизу центру розподілу по відношенню до кривої нормального розподілу. Тому що для нормального розподілу , то як ексцес приймається величина:
(20)
На рис. 3 наведено приклади кривих розподілу з різними значеннями ексцесу. Для нормального розподілу Е = 0. Криві, більш гостроверхі, ніж нормальна, мають позитивний ексцес, більш плосковершинні - негативний.
Рис. 2. Криві розподіли з різним ступенем крутості (ексцесом)
p align="justify"> Моменти більш високих порядків в інженерних додатках математичної статистики зазвичай не застосовуються.
Модадискретна випадкова величина - це її найбільш ймовірне значення. Модою безперервної випадкової величини називається її значення, у якому щільність ймовірності максимальна (рис. 2). Якщо крива розподілу має один максимум, то розподіл називається унімодальним. Якщо крива розподілу має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальним. Іноді зустрічаються розподіли, криві яких мають максимум, а мінімум. Такі розподіли називаються антимодальними. Загалом мода і математичне очікування випадкової величини не збігаються. У окремому випадку, для модального, тобто. що має моду, симетричного розподілу та за умови, що існує математичне очікування, останнє збігається з модою та центром симетрії розподілу.
Медіанавипадкової величини Х - це її значення Ме, для якого має місце рівність: тобто. рівноймовірно, що випадкова величина Х виявиться меншою або більшою за Ме. Геометрично медіана - це абсцис точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл. У разі симетричного модального розподілу медіана, мода та математичне очікування збігаються.
. Статистична оцінка законів розподілу випадкових величин
Генеральною сукупністю - називається сукупність всіх об'єктів, що підлягають вивченню, або можливих результатів усіх спостережень, що проводяться в однакових умовах над одним об'єктом.
Вибірковою сукупністю або вибіркою називається сукупність об'єктів чи результатів спостереження над об'єктом, відібраних випадково з генеральної сукупності.
Об'ємом вибіркиназивається число об'єктів чи спостережень у вибірці.
Конкретні значення вибірки називаються спостережуваними значеннями випадкової величини Х. Значення, що спостерігаються, заносяться в протокол. Протокол є таблицею. Складений протокол є первинною формою запису обробки отриманого матеріалу. Для отримання достовірних, надійних висновків вибірка має бути досить представницькою за обсягом. Велика вибірка – це невпорядковане безліч чисел. Для дослідження вибірку призводять до наочно упорядкованого вигляду. Для цього в протоколі знаходять найбільше та найменше значення випадкової величини. Вибірка, відсортована за зростанням, наведено у таблиці 1.
Таблиця 1. Протокол
8,66-5,49-4,11-3,48-2,9-2,32-1,82-1,09-0,440,64-8,31-4,71-3,92-3,41-2,85-2,31-1,82-1,01-0,430,71-8,23-4,68-3,85-3,33-2,83-2,29-1,8-0,99-0,430,73-7,67-4,6-3,85-3,25-2,77-2,27-1,77-0,95-0,310,99-6,64-4,43-3,81-3,08-2,72-2,25-1,73-0,89-0,31,03-6,6-4,38-3,8-3,07-2,67-2,19-1,38-0,70,041,05-6,22-4,38-3,77-3,01-2,6-2,15-1,32-0,560,081,13-5,87-4,25-3,73-3,01-2,49-2,09-1,3-0,510,151,76-5,74-4,18-3,59-2,99-2,37-2,01-1,28-0,490,262,95-5,68-4,14-3,49-2,98-2,33-1,91-1,24-0,480,534,42
Розмахом вибіркиназивається різницю між найбільшим і найменшим значенням випадкової величини Х:
Розмах вибірки розбивають на k інтервалів – розрядів. Число розрядів встановлюють залежно від величини розмаху вибірки від 8 до 25, у цій роботі приймемо k = 10.
Тоді довжина інтервалу дорівнюватиме:
У протоколі підрахуємо число значень, що спостерігаються, що потрапили в кожен інтервал, позначимо їх m1, m2,…, m10. .
Назвемо mi частотою влученнявипадкової величини i інтервал. Якщо яке-небудь значення випадкової величини, що спостерігається, збігається з кінцем інтервалу, то це значення випадкової величини за домовленістю відносять в один з інтервалів.
Після того як визначили частоти mi, визначимо частостідовільної величини, тобто. знайдемо відношення частот mi до загального числа значень n, що спостерігаються.
Частина, умова повноти
Знайдемо середину кожного інтервалу: .
Складемо таблицю 2
Таблиця значень меж інтервалів та відповідних частостей , де i = 1, 2, 3, …, k називається статистичним рядом. Графічним зображенням статистичного ряду називається гістограма. Вона будується так: по осі абсцис відкладають інтервали і кожному такому інтервалі, як у підставі, будується прямокутник, площа якого дорівнює відповідної частоти.
, - Висота прямокутника, .
Таблиця 2
Номер інтервалуЛіва межа інтервалуПрава межа інтервалуІнтервалСередина інтервалуЧастота інтервалуЧасткість інтервалуВисота прямо-кутника1-8,66-7,352(-8,66; -7,352)-8,00640,040,03062-7,342 ,030,02293-6,044-4,736(-6,044; -4,736)-5,3940,040,03064-4,736-3,428(-4,736; -3,428)-4,082200,20,12 3,428; -0,158140,140,107080,4961,804(0,496; 1,804)1,1590,090,068891,8043,112(1,804; 3,112)2,45810,010,12,3 )3,76610,010,0076Сумма1001
Малюнок 3
Статистичною функцією розподілу називається частота випадкової величини, яка не перевищує заданого значення Х:
Для дискретної випадкової величини Х статистична функція розподілу знаходиться за такою формулою:
Запишемо статистичну функцію розподілу у розгорнутому вигляді:
де - це середина інтервалу i, а - це відповідні частоти, де i = 1, 2, ..., k.
Графік статистичної функції розподілу є ступінчаста лінія, точками розриву якої є середини інтервалів, а кінцеві стрибки дорівнюють відповідним частотам.
Малюнок 3
Обчислення числових характеристик статистичного ряду
Статистичне математичне очікування,
Статистична дисперсія,
Статистичне середньоквадратичне відхилення.
Статистичним математичним очікуваннямабо статистичним середнімназивається середньоарифметичне значень випадкової величини Х, що спостерігаються.
Статистичною дисперсієюназивається середньоарифметичне значення величини
При великому обсязі вибірки обчислення за формулами приводять до громіздких викладок. Для спрощення розрахунків використовують статистичний ряд із кордонами та частостями , де i = 1, 2, 3, …, k, знаходять середини інтервалів , а потім усі елементи вибірки , які потрапили в інтервал , замінюють єдиним значенням тоді таких значень буде у кожному інтервалі.
де - Середнє значення відповідного інтервалу ;- Частина інтервалу
Таблиця 4. Числові показники
Частина PiXiPi(Xi-m) -0,21568,971940,35894-4,0820,20-0,81642,847050,56945-2,7740,26-0,72120,143880,03746-1,4660,18-0,26 -0,1580,14-0,02215,002740,700481,150,090,103512,564761,130892,4580,010,024623,548500,2355103,37903 -2,3947 Статистична дисперсія 5,3822Статистичне середнє квадратичне відхилення2,3200
Визначає положення центру угруповання значень випадкової величини, що спостерігаються.
, характеризують розсіювання значень випадкової величини, що спостерігаються навколо
У кожному статистичному розподілі неминуче присутні елементи випадковості. Проте за дуже велику кількість спостережень ці випадковості згладжуються, і випадкові явища виявляють властиву йому закономірність.
При обробці статистичного матеріалу доводиться вирішувати питання, як підібрати для даного статистичного ряду теоретичну криву. Ця теоретична крива розподілу має виражати суттєві риси статистичного розподілу - це завдання називається завданням згладжування чи вирівнювання статистичного ряду.
Іноді загальний вигляд розподілу випадкової величини Х випливає із самої природи цієї випадкової величини.
Нехай випадкова величина Х – це результат виміру деякої фізичної величини приладу.
Х = точне значення фізичної величини + помилка приладу.
Випадкова помилка приладу при вимірі має сумарну природу та розподілена за нормальним законом. Отже такий самий розподіл має випадкова величина Х, тобто. нормальний розподіл із щільністю ймовірності:
Де , , .
Параметри і визначаються так, щоб числові характеристики теоретичного розподілу дорівнювали відповідним числовим характеристикам статистичного розподілу. При нормальному розподілі вважають, що ,,, Тоді функція нормального розподілу набуде вигляду:
Таблиця 5. Вирівнююча крива
Номер інтервалуСередина інтервалу Xi Табульована функція Нормальна крива 1-8,0060-2,41870,02140,00922-6,6980-1,85490,07140,03083-5,3900-1,29110,17340,07474-4,0820-0,72230 2,7740-0,16350,39360,1697M-2,394700,39890,17206-1,46600,40030,36820,15877-0,15800,96410,25070,125 09170,04480,0193103,76602,65550,01170,0051
Теоретичну нормальну криву будуємо за точками на одному графіку з гістограмою статистичного ряду (Помилка! Джерело посилання не знайдено).
Малюнок 6
Вирівнювання статистичної функції розподілу
Статистичну функцію розподілу вирівнюємо функцією розподілу нормального закону:
де ,,- Функція Лапласа.
Таблиця 7. Функція розподілу
Номер інтервалуСередина інтервалу Xi Функція Лапласа Функція розподілу 1-8,0060-2,4187-0,49220,00782-6,6980-1,8549-0,46820,03183-5,3900-1,2911-0,40170,09834-4,0820-0, 7273-0,26650,23355-2,7740-0,1635-0,06490,4351m-2,3947000,50006-1,46600,40030,15550,65557-0,15501 52790,43670,936792,45802,09170,48180,9818103,76602,65550,49600,9960
Будуємо графік теоретичної функції розподілу за точками / разом із графіком статистичної функції розподілу.
Малюнок 6
Нехай вивчається випадкова величина Х з математичним очікуванням та дисперсією , обидва параметри невідомі.
Нехай х1, х2, х3, …, хn – вибірка, отримана в результаті проведення n незалежних спостережень випадкової величини Х. Щоб підкреслити випадковий характер величин х1, х2, х3, …, хn перепишемо їх у вигляді:
Х1, Х2, Х3, …, Хn, де Хi - значення випадкової величини Х в i-му досвіді.
Потрібно на підставі цих досвідчених даних оцінити математичне очікування та дисперсію випадкової величини. Такі оцінки називаються точковими, як оцінку m і D можна прийняти статистичне математичне очікування і статистичну дисперсію, де
До проведення досвіду вибірка Х1, Х2, Х3, …, Хn є сукупність незалежних випадкових величин, які мають математичне очікування та дисперсію, а значить розподіл ймовірності такі самі як і сама випадкова величина Х. Таким чином:
Де i = 1, 2, 3, …, n.
Виходячи з цього, знайдемо математичне очікування та дисперсію випадкової величини (користуючись властивостями математичного очікування).
Таким чином, математичне очікування статистичного середнього дорівнює точному значенню математичного очікування m вимірюваної величини, а дисперсія статистичного середнього у n разів менше дисперсії окремих результатів вимірів.
при
Це означає, що при великому обсязі вибірки статистичне середні N є величиною майже невипадковою, вона лише незначно відхиляється від точного значення випадкової величини m. Цей закон називається законом великих чисел Чебишева.
Точкові оцінки невідомих значень математичного очікування та дисперсії мають велике значення на початковому етапі обробки статичних даних. Їх недолік у тому, що невідомо з якою точністю вони дають параметр, що оцінюється.
Нехай за цією вибіркою Х1, Х2, Х3, …, Хn отримані точні статистичні оцінки і тоді числові характеристики випадкової величини Х будуть приблизно рівні . Для вибірки невеликого обсягу питання поточності оцінки істотне, т.к. між m та , D та будуть недостатньо великі відхилення. Крім того, при вирішенні практичних завдань потрібно не тільки знайти наближені значення m і D, але й оцінити їх точність і надійність. Нехай , тобто. є точковою оцінкою для m. Очевидно, що тим точніше визначає m, чим менше модуль різниці . Нехай , де ?>0, тоді, чим менше ?, тим точніше, оцінка m. Таким чином, ?>0 характеризує точність оцінки параметра. Проте статистичні методи неможливо категорично стверджувати, що оцінка істинного значення m задовольняє , можна лише говорити про ймовірність ?, з якою ця нерівність виконується:
Таким чином, ?- це довірча ймовірністьабо надійність оцінки, значення ? вибираються заздалегідь залежно від завдання, що розв'язується. Надійність ? прийнято обирати 0.9; 0.95; 0.99; 0,999. Події з такою ймовірністю практично достовірні. За заданою вірогідністю можна знайти число ?>0 з .
Тоді отримаємо інтервал , який накриває з ймовірністю ? справжнє значення математичного очікування m, довжина цього інтервалу дорівнює 2 ?. Цей інтервал називається довірчим інтервалом. А такий спосіб оцінки невідомого параметра m - інтервальним.
Нехай дана вибірка Х1, Х2, Х3, …, Хn, і нехай по цій вибірці знайдено , ,.
Потрібно знайти довірчий інтервал для математичного очікування m з довірчою ймовірністю ?. Величина є величина випадкова з математичним очікуванням, .
Випадкова величина має сумарну природу, при великому обсязі вибірки вона розподілена згідно із законом близьким до нормального. Тоді ймовірність попадання випадкової величини в інтервал дорівнюватиме:
Де
Де - Функція Лапласа.
З формули (3) та таблиць функції Лапласа знаходимо число ?>0 та записуємо довірчий інтервал для точного значення випадкової величини Х з надійністю?
У цій роботі значення ? замінимо , і тоді формула (3) набуде вигляду:
Знайдемо довірчий інтервал , В якому знаходиться математичне очікування. При ? = 0.99, n = 100, ,.
за таблицями Лапласа знаходимо:
Звідси? = 0,5986.
Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю 99% є точне значення математичного очікування.
Висновок
випадковий розмір розподіл економічний
Вирішення завдань структурно-параметричної ідентифікації при обмежених обсягах вибірок, якими, як правило, мають метрологи, загострює проблему. У цьому випадку ще більш важливими виявляються коректність застосування статистичних методів аналізу. користування оцінок, що володіють найкращими статистичними властивостями, та критеріїв, що мають найбільшу потужність.
При вирішенні завдань ідентифікації краще спиратися на класичний підхід. При ідентифікації рекомендується розглядати ширше безліч законів розподілу, зокрема моделі як сумішей законів. У цьому випадку для будь-якого емпіричного розподілу ми завжди зможемо побудувати адекватну, статистично суттєво більш обґрунтовану математичну модель.
Слід орієнтуватися на використання та розробку програмних систем, що забезпечують вирішення завдань структурно-параметричної ідентифікації законів розподілів за будь-якої форми реєстрованих спостережень (вимірювань), що включають сучасні методи статис тичного аналізу, орієнтуватися на широке, але коректне використання у дослідженнях методів комп'ютерного моделювання. Ми вже бачили, що для багатьох експериментів немає ніяких відмінностей у підрахунку ймовірностей подій, тоді як елементарні результати цих експериментів дуже різняться. Але нас і мають цікавити саме ймовірність подій, а не структура простору елементарних результатів. Тому час у всіх таких «схожих» експериментах замість різних елементарних результатів використовувати, наприклад, числа. Інакше кажучи, кожному елементарному результату поставити у відповідність деяке речове число, і працювати тільки з числами.
При проведенні психолого-педагогічних досліджень важлива роль приділяється математичним методам моделювання процесів та обробки експериментальних даних. До таких методів слід віднести, передусім, звані, вероятностно-статистические методи дослідження. Це з тим, що у поведінка як окремої людини у його діяльності, і людини у колективі істотно впливає безліч випадкових чинників. Випадковість не дозволяє описувати явища в рамках детермінованих моделей, тому що проявляється як недостатня регулярність у масових явищах і, отже, не дає змоги з достовірністю передбачати настання певних подій. Однак щодо таких явищ виявляються певні закономірності. Нерегулярність, властива випадковим подіям, за великої кількості випробувань, зазвичай, компенсується появою статистичної закономірності, стабілізацією частот наступів випадкових подій. Отже, ці випадкові події мають певну ймовірність. Існують два принципово різняться вероятностно-статистических методу психолого-педагогічних досліджень: класичний і некласичний. Проведемо порівняльний аналіз цих методів.
Класичний імовірнісно-статистичний метод. В основі класичного імовірнісно-статистичного методу дослідження лежать теорія ймовірностей та математична статистика. Цей метод застосовується щодо масових явищ випадкового характеру, він включає кілька етапів, основні у тому числі наступні.
1. Побудова імовірнісної моделі реальності, з аналізу статистичних даних (визначення закону розподілу випадкової величини). Природно, що закономірності масових випадкових явищ виражаються тим паче виразно, що більше обсяг статистичного матеріалу. Вибіркові дані, отримані під час проведення експерименту, завжди обмежені і мають, строго кажучи, випадковий характер. У зв'язку з цим важлива роль відводиться узагальнення закономірностей, отриманих на вибірці, та поширення їх на всю генеральну сукупність об'єктів. З метою вирішення цього завдання приймається певна гіпотеза про характер статистичної закономірності, яка проявляється у досліджуваному явищі, наприклад, гіпотеза про те, що явище, що досліджується, підпорядковується закону нормального розподілу. Така гіпотеза носить назву нульової гіпотези, яка може виявитися помилковою, тому поряд з нульовою гіпотезою ще висувається і альтернативна чи конкуруюча гіпотеза. Перевірка того, наскільки отримані експериментальні дані відповідають тій чи іншій статистичній гіпотезі, здійснюється за допомогою так званих непараметричних статистичних критеріїв або критеріїв згоди. В даний час широко використовуються критерії згоди Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат та ін. Основна ідея цих критеріїв полягає у вимірі відстані між функцією емпіричного розподілу та функцією повністю відомого теоретичного розподілу. Методологія перевірки статистичної гіпотези суворо розроблена та викладена у великій кількості робіт з математичної статистики.
2. Проведення необхідних розрахунків математичними засобами у межах імовірнісної моделі. Відповідно до встановленої ймовірнісної моделі явища проводяться обчислення характеристичних параметрів, наприклад, таких як математичне очікування або середнє значення, дисперсія, стандартне відхилення, мода, медіана, показник асиметрії та ін.
3. Інтерпретація імовірнісно-статистичних висновків стосовно реальної ситуації.
В даний час класичний імовірнісно-статистичний метод добре розроблений і широко використовується при проведенні досліджень у різних галузях природничих, технічних та суспільних наук. Детальний опис суті даного методу та його застосування до вирішення конкретних завдань можна знайти у великій кількості літературних джерел, наприклад.
Некласичний імовірнісно-статистичний метод. Некласичний ймовірно-статистичний метод досліджень відрізняється від класичного тим, що він застосовується не лише до масових, а й до окремих подій, які мають принципово випадковий характер. Даний метод може бути ефективно використаний при аналізі поведінки індивіда у процесі виконання тієї чи іншої діяльності, наприклад, у процесі засвоєння знань учням. Особливості некласичного вероятностно-статистического методу психолого-педагогічних досліджень розглянемо з прикладу поведінки учнів у процесі засвоєння знань.
Вперше вероятностно-статистична модель поведінки учнів у процесі засвоєння знань було запропоновано у роботі . Подальший розвиток цієї моделі було зроблено у роботі. Вчення як вид діяльності, мета якого набуття людиною знань, умінь та навичок, залежить від рівня розвитку свідомості учня. До структури свідомості входять такі пізнавальні процеси, як відчуття, сприйняття, пам'ять, мислення, уяву. Аналіз цих процесів показує, що їм притаманні елементи випадковості, зумовлені випадковим характером психічного та соматичного станів індивіда, а також фізіологічним, психологічним та інформаційним шумами під час роботи головного мозку. Останнє призвело при описі процесів мислення відмовитися від використання моделі детерміністської динамічної системи на користь моделі випадкової динамічної системи. Це означає, що детермінізм свідомості реалізується через випадковість. Звідси можна зробити висновок, що знання людини, що є фактично продуктом свідомості, також мають випадковий характер, і, отже, для опису поведінки кожного окремого учня в процесі засвоєння знань може бути використаний імовірнісно-статистичний метод.
Відповідно до цього методу учень ідентифікується функцією розподілу (щільністю ймовірності), що визначає ймовірність знаходження його в одиничній галузі інформаційного простору. У процесі навчання функція розподілу, з якою ідентифікується учень, еволюціонуючи, рухається інформаційному просторі. Кожен учень має індивідуальні властивості і допускається незалежна локалізація (просторова та кінематична) індивідів один щодо одного.
На основі закону збереження ймовірності записується система диференціальних рівнянь, що є рівняннями безперервності, які пов'язують зміну щільності ймовірності за одиницю часу у фазовому просторі (просторі координат, швидкостей і прискорень різних порядків) з дивергенцією потоку щільності ймовірності в аналізованому фазовому просторі. Проведено аналіз аналітичних рішень низки рівнянь безперервності (функцій розподілу), що характеризують поведінку окремих учнів у процесі навчання.
Під час проведення експериментальних досліджень поведінки учнів у процесі засвоєння знань використовується вероятностно-статистическое шкалювання , відповідно до яким шкала вимірів є упорядковану систему
1. Знаходження експериментальних функцій розподілу за результатами контрольного заходу, наприклад, іспиту. Типовий вид індивідуальних функцій розподілу, знайдених під час використання двадцятибальної шкали, представлений на рис. 1. Методика знаходження таких функцій описана у .
2. Відображення функцій розподілу на числовий простір. Для цього він проводиться розрахунок моментів індивідуальних функцій розподілу. Насправді, зазвичай, досить обмежитися визначенням моментів першого порядку (математичного очікування), другого порядку (дисперсії) і третього порядку, що характеризує асиметрію функції розподілу.
3. Ранжування учнів за рівнем знань з урахуванням порівняння моментів різних порядків їх індивідуальних функцій розподілу.
Рис. 1. Типовий вид індивідуальних функцій розподілу студентів, які отримали на іспиті з загальної фізики різні оцінки: 1 – традиційна оцінка «2»; 2 – традиційна оцінка «3»; 3 – традиційна оцінка «4»; 4 – традиційна оцінка «5»
На основі адитивності індивідуальних функцій розподілу знайдено експериментальні функції розподілу для потоку студентів (рис. 2).
Рис. 2. Еволюція повної функції розподілу потоку студентів, апроксимованої гладкими лініями: 1 – після першого курсу; 2 – після другого курсу; 3 – після третього курсу; 4 – після четвертого курсу; 5 - після п'ятого курсу
Аналіз даних, поданих на рис. 2 показує, що в міру просування в інформаційному просторі функції розподілу розпливаються. Це відбувається через те, що математичні очікування функцій розподілу індивідів рухаються з різними швидкостями, а самі функції розпливаються через дисперсію. Подальший аналіз даних функцій розподілу може бути проведений у рамках класичного імовірнісно-статистичного методу.
Обговорення результатів. Аналіз класичного та некласичного імовірнісно-статистичних методів психолого-педагогічних досліджень показав, що між ними є суттєва відмінність. Воно, як це можна зрозуміти зі сказаного вище, полягає в тому, що класичний метод застосовний лише до аналізу масових подій, а некласичний метод застосовний як до аналізу масових, так і одиночних подій. У зв'язку з цим класичний метод може бути умовно названий масовим імовірнісно-статистичним методом (МВСМ), а некласичний метод - індивідуальним імовірнісно-статистичним методом (ІВСМ). У 4] показано, що жоден із класичних методів оцінки знань учнів у рамках ймовірносно-статистичної моделі індивіда не може бути застосований для цих цілей.
Відмінні риси методів МВСМ та ІВСМ розглянемо на прикладі вимірювання повноти знань учнів. З цією метою проведемо уявний експеримент. Припустимо, що є велика кількість абсолютно однакових за психічними і фізичними характеристиками учнів, які мають однакову передісторію, і нехай вони, не взаємодіючи один з одним, одночасно беруть участь в тому самому пізнавальному процесі, відчуваючи абсолютно однаковий строго детерміноване вплив. Тоді відповідно до класичних уявлень про об'єкти вимірювання всі учні мали б отримати однакові оцінки повноти знань з будь-якою заданою точністю вимірювань. Проте насправді за досить велику точність вимірювань оцінки повноти знань учнів відрізнятимуться . Пояснити такий результат вимірювань у рамках МВСМ неможливо, оскільки вихідно передбачається, що вплив на абсолютно однакових невзаємодіючих між собою учнів має строго детермінований характер. Класичний вероятностно-статистический метод не враховує те, що детермінізм процесу пізнання реалізується через випадковість, внутрішньо властиву кожному індивіду, що пізнає навколишній світ.
Випадковий характер поведінки учня у процесі засвоєння знань враховує ІВСМ. Застосування індивідуального вероятностно-статистического методу для аналізу поведінки аналізованого ідеалізованого колективу учнів показало, що вказати точно становище кожного учня у інформаційному просторі не можна, можна лише казати ймовірності перебування їх у тій чи іншій області інформаційного простору. Фактично кожен учень ідентифікується індивідуальною функцією розподілу, причому її параметри, такі як математичне очікування, дисперсія та інших., індивідуальні кожному за учня. Це означає, що індивідуальні функції розподілу будуть у різних галузях інформаційного простору. Причина такої поведінки учнів полягає у випадковому характері процесу пізнання.
Однак у ряді випадків результати досліджень, здобуті в рамках МВСМ, можуть бути інтерпретовані і в рамках ІВСМ. Припустимо, що викладач в оцінці знань учня використовує п'ятибальну шкалу вимірів. І тут похибка в оцінці знань становить ±0,5 бала. Отже, коли учню виставляється оцінка, наприклад, 4 бали, це означає, що його знання перебувають у проміжку від 3,5 до 4,5 балів. Фактично, положення індивіда в інформаційному просторі в даному випадку визначається прямокутною функцією розподілу, ширина якої дорівнює похибці вимірювання ±0,5 бала, а оцінка є математичним очікуванням. Ця похибка настільки велика, що дозволяє спостерігати справжній вид функції розподілу. Однак, незважаючи на таку грубу апроксимацію функції розподілу, вивчення її еволюції дозволяє отримати важливу інформацію як про поведінку окремого індивіда, так і колективу учнів в цілому.
На результат виміру повноти знань учня безпосередньо чи опосередковано впливає свідомість викладача (вимірника), якому також властива випадковість. У процесі педагогічних вимірів фактично має місце взаємодія двох випадкових динамічних систем, що ідентифікують поведінку учня та викладача у цьому процесі. В розглянуто взаємодію студентської підсистеми з професорсько-викладацькою підсистемою та показано, що швидкість руху математичного очікування індивідуальних функцій розподілу студентів в інформаційному просторі пропорційна функції впливу професорсько-викладацького колективу та обернено пропорційна функції інертності, що характеризує неподажність зміні положення математичного у механіці).
В даний час, незважаючи на значні досягнення у розробці теоретичних та практичних основ вимірів при проведенні психолого-педагогічних досліджень, проблема вимірів загалом ще далека від вирішення. Це пов'язано, перш за все, з тим, що досі немає достатньої інформації про вплив свідомості на процес вимірювання. Аналогічна ситуація склалася і під час вирішення проблеми вимірювань у квантовій механіці. Так, у роботі при розгляді концептуальних проблем квантової теорії вимірів йдеться про те, що дозволити деякі парадокси вимірів у квантовій механіці «навряд чи можливо без безпосереднього включення свідомості спостерігача у теоретичний опис квантового виміру». Далі йдеться, що «… несуперечливим є припущення у тому, що свідомість може зробити можливим деяке подія, навіть якщо за законами фізики (квантової механіки) ймовірність цієї події мала. Зробимо важливе уточнення формулювання: свідомість цього спостерігача може зробити ймовірним, що він побачить цю подію».
Відповідно до трьох основних можливостей - прийняття рішення в умовах повної визначеності, ризику та невизначеності - методи та алгоритми прийняття рішення можна розділити на три основні види: аналітичні, статистичні та засновані на нечіткій формалізації. У кожному конкретному випадку метод прийняття рішення вибирається, виходячи з поставленого завдання, доступних вихідних даних, наявних моделей задачі, середовища прийняття рішення, процесу прийняття рішення, необхідної точності рішення, особистих переваг аналітика.
У деяких інформаційних системах процес вибору алгоритму може бути автоматизований:
У відповідній автоматизованій системі закладено можливість використання множини різнотипних алгоритмів (бібліотека алгоритмів);
Система в діалоговому режимі пропонує користувачеві відповісти на низку питань про основні характеристики цієї задачі;
За результатами відповідей користувача система пропонує найбільш підходящий (відповідно до заданих критеріїв) алгоритм з бібліотеки.
2.3.1 Імовірнісно-статистичні методи прийняття рішення
Імовірнісно-статистичні методи прийняття рішення (МПР) використовуються в тому випадку, коли ефективність прийнятих рішень залежить від факторів, що є випадковими величинами, для яких відомі закони розподілу ймовірностей та інші статистичні характеристики. При цьому кожне рішення може призвести до одного з безлічі можливих результатів, причому кожен результат має певну ймовірність появи, яка може бути розрахована. Показники, що характеризують проблемну ситуацію, також описуються з допомогою вероятностных характеристик.При таких ЗПР ЛПР завжди ризикує отримати той результат, який орієнтується, обираючи оптимальне рішення з урахуванням середніх статистичних характеристик випадкових чинників, тобто рішення приймається за умов ризику.
На практиці імовірнісні та статистичні методи часто застосовуються, коли зроблені на основі вибіркових даних висновки переносяться на всю сукупність (наприклад, з вибірки на всю партію продукції). Однак при цьому в кожній конкретній ситуації слід попередньо оцінити важливу можливість отримання достовірних імовірнісних і статистичних даних.
При використанні ідей та результатів теорії ймовірностей та математичної статистики при прийнятті рішень базою є математична модель, в якій об'єктивні співвідношення виражені у термінах теорії ймовірностей. Імовірності використовуються передусім для опису випадковості, яку необхідно враховувати під час прийняття рішень. Маються на увазі як небажані можливості (ризики), так і привабливі (щасливий випадок).
Суть імовірнісно-статистичних методів прийняття рішень полягає у використанні імовірнісних моделей на основі оцінювання та перевірки гіпотез за допомогою вибіркових характеристик.
Наголосимо, що логіка використання вибіркових характеристик для прийняття рішень на основі теоретичних моделей передбачає одночасне використання двох паралельних рядів понять– які стосуються теорії (імовірнісної моделі) і які стосуються практики (вибірці результатів спостережень).Наприклад, теоретичній ймовірності відповідає частота, знайдена за вибіркою. Математичне очікування (теоретичний ряд) відповідає вибіркове середнє арифметичне (практичний ряд). Як правило, вибіркові показники є оцінками теоретичних показників.
До переваг використання цих методів належить можливість урахування різних сценаріїв розвитку подій та його ймовірностей. Недоліком цих методів є те, що використовуються у розрахунках значення ймовірностей розвитку сценаріїв зазвичай практично важко отримати.
Застосування конкретного імовірнісно-статистичного методу прийняття рішень складається з трьох етапів:
Перехід від економічної, управлінської, технологічної дійсності до абстрактної математико-статистичної схемою, тобто. побудова імовірнісної моделі системи управління, технологічного процесу, процедури прийняття рішень, зокрема за результатами статистичного контролю тощо.
Проведення розрахунків та отримання висновків суто математичними засобами в рамках імовірнісної моделі;
Інтерпретація математико-статистичних висновків стосовно реальної ситуації та прийняття відповідного рішення (наприклад, про відповідність або невідповідність якості продукції встановленим вимогам, необхідність налагодження технологічного процесу тощо), зокрема, висновки (про частку дефектних одиниць продукції в партії, про конкретному вигляді законів розподілу контрольованих параметрів технологічного процесу та ін.).
Імовірнісну модель реального явища слід вважати побудованою, якщо аналізовані величини та зв'язки між ними виражені в термінах теорії ймовірностей. Адекватність імовірнісної моделі доводять, зокрема, за допомогою статистичних методів перевірки гіпотез.
Математична статистика на кшталт розв'язуваних завдань зазвичай ділиться на три розділи: опис даних, оцінювання та перевірка гіпотез. За видом статистичних даних математична статистика ділиться на чотири напрями:
Одномірна статистика (статистика випадкових величин), у якій результат спостереження описується дійсним числом;
багатовимірний статистичний аналіз, де результат спостереження над об'єктом описується кількома числами (вектором);
Статистика випадкових процесів та часових рядів, де результат спостереження – функція;
Статистика об'єктів нечислової природи, в якій результат спостереження має нечислову природу, наприклад, є множиною (геометричною фігурою), впорядкуванням або отриманим результатом вимірювання за якісною ознакою.
Приклад, коли доцільно використовувати імовірнісно-статистичні моделі.
При контролі якості будь-якої продукції для ухвалення рішення про те чи відповідає партія продукції, що випускається, встановленим вимогам, з неї відбирається вибірка. За результатами контролю вибірки робиться висновок про всю партію. У цьому випадку дуже важливо уникнути суб'єктивізму при формуванні вибірки, тобто необхідно, щоб кожна одиниця продукції контрольованої партії мала однакову можливість бути відібраною у вибірку. Вибір на підставі жереба в такій ситуації не є достатньо об'єктивним. Тому у виробничих умовах відбір одиниць продукції у вибірку зазвичай здійснюють не за допомогою жереба, а за спеціальними таблицями випадкових чисел або за допомогою комп'ютерних датчиків випадкових чисел.
При статистичному регулюванні технологічних процесів на основі методів математичної статистики розробляються правила та плани статистичного контролю процесів, спрямовані на своєчасне виявлення розладки технологічних процесів та вжиття заходів до їх налагодження та запобігання випуску продукції, що не відповідає встановленим вимогам. Ці заходи спрямовані на скорочення витрат виробництва та втрат від постачання неякісних одиниць продукції. При статистичному приймальному контролі з урахуванням методів математичної статистики розробляються плани контролю якості шляхом аналізу вибірок із партій продукції. Складність у тому, щоб вміти правильно будувати вероятностно-статистические моделі прийняття рішень, основі яких можна відповісти на поставлені вище питання. У математичній статистиці при цьому розроблені імовірнісні моделі та методи перевірки гіпотез3.
Крім того, у низці управлінських, виробничих, економічних, народногосподарських ситуацій виникають завдання іншого типу – завдання оцінки характеристик та параметрів розподілу ймовірностей.
Або при статистичному аналізі точності та стабільності технологічних процесів слід оцінити такі показники якості, як середнє значення контрольованого параметра та ступінь його розкиду в аналізованому процесі. Відповідно до теорії ймовірностей як середнє значення випадкової величини доцільно використовувати її математичне очікування, а статистичної характеристики розкиду – дисперсію, середнє квадратичне відхилення чи коефіцієнт варіації. Звідси виникає питання: як оцінити ці статистичні характеристики за вибірковими даними та з якою точністю це вдається зробити? Аналогічних прикладів у літературі багато. Всі вони показують, як теорія ймовірностей та математична статистика можуть бути використані у виробничому менеджменті при прийнятті рішень у галузі статистичного управління якістю продукції.
У конкретних галузях застосування використовуються як імовірнісно-статистичні методи широкого застосування, так і специфічні. Наприклад, розділ виробничого менеджменту, присвяченого статистичним методам управління якістю продукції, використовують прикладну математичну статистику (включаючи планування експериментів). За допомогою її методів проводиться статистичний аналіз точності та стабільності технологічних процесів та статистична оцінка якості. До специфічних методів належать методи статистичного приймального контролю якості продукції, статистичного регулювання технологічних процесів, оцінки та контролю надійності та ін.
У виробничому менеджменті, зокрема, при оптимізації якості продукції і на забезпечення відповідності вимогам стандартів особливо важливо застосовувати статистичні методи на початковому етапі життєвого циклу продукції, тобто. на етапі науково-дослідної підготовки дослідно-конструкторських розробок (розробка перспективних вимог до продукції, аванпроекту, технічного завдання на дослідно-конструкторську розробку). Це пояснюється обмеженістю інформації, доступної на початковому етапі життєвого циклу продукції, та необхідністю прогнозування технічних можливостей та економічної ситуації на майбутнє.
Найбільш поширеними імовірнісно-статистичними методами є регресійний аналіз, факторний аналіз, дисперсійний аналіз, статистичні методи оцінки ризику, метод сценаріїв тощо. Дедалі більшого значення набуває область статистичних методів, присвячена аналізу статистичних даних нечислової природи, тобто. результатів вимірювань за якісними та різнотипними ознаками. Одне з основних застосувань статистики об'єктів нечислової природи – теорія та практика експертних оцінок, пов'язані з теорією статистичних рішень та проблемами голосування.
Роль людини при вирішенні завдань методами теорії статистичних рішень полягає у постановці задачі, тобто у приведенні реальної задачі до відповідної типової, у визначенні ймовірностей подій на основі статистичних даних, а також у затвердженні оптимального рішення.
