Відеоурок «Елементи симетрії правильних багатогранників. Висновок уроку роблять самі учні

Правильні багатогранники. Симетрія у просторі. «Симетрія ... є ідея, за допомогою якої людина століттями намагалася пояснювати і створювати порядок, красу і досконалість» (Герман Вейль) Багатогранник - геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками, званими гранями. Сторони граней називаються ребрами багатогранника. По числу граней розрізняють чотиригранники, п'ятигранники тощо. буд. Багатогранник називається правильним, якщо: -він опуклий -всі його грані є рівними правильними багатокутниками -у кожному його вершині сходиться однакове число ребер. Існує п'ять типів правильних багатогранників. Ці багатогранники та їхні властивості були описані понад дві тисячі років тому давньогрецьким філософом Платоном, чим і пояснюється їхня загальна назва. Кожному правильному багатограннику відповідає інший правильний багатогранник з числом граней, що дорівнює кількості вершин даного багатогранника. Число ребер в обох багатогранників однаково. Закон взаємності 4 У кожній вершині багатогранника має сходитися стільки правильних n – косинців, щоб сума їх кутів була меншою за 0 0 360 . Тобто має виконуватися формула βk< 360 (βградусная мера угла многоугольника, являющегося гранью многогранника, k – число многоугольников, сходящихся в одной вершине многогранника.) название β k Сумма плоских углов тетраэдр 60 3 180 октаэдр 60 4 240 икосаэдр 60 5 300 гексаэдр 90 3 270 додекаэдр 108 3 324 5 Выводы: Многогранник называется правильным, если: Он выпуклый; Все его грани равные правильные многоугольники; В каждой вершине сходится одно число граней; Все его двугранные углы равны. 6 Тетраэдр - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это – правильная треугольная пирамида). ППространственная теорема Пифагора Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра- прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней. Гексаэдр - правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов Октаэдр - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p,q} .Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814-1895г.р.), швейцарским математиком, которому принадлежат не мало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Название Запись Шлефли Число вершин N0 Число ребер N1 Число граней N2 Тетраэдр {3,3} 4 6 4 Куб {4,3} 8 12 6 Октаэдр {3,4} 6 12 8 Икосаэдр {3,5} 12 30 20 Додекаэдр {5,3} 20 30 12 Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (17071783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников. Вершины + Грани - Рёбра = 2. Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом рёбер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p,q} .Речь идёт о соотношении N0 - N1 +N2= 2, которое называется «формулой Эйлера». Левая часть этой формулы называется «эйлеровой характеристикой». Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые, многогранники обладающие двумя свойствами: -Все грани являются правильными многогранниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это -правильный многогранник); -Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. Двойственные к полуправильным многогранникам, так называемые Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. Первое построение полуправильных многогранников приписывается, Архимеду хотя соответствующие работы утеряны. Существует две бесконечные последовательности полуправильных многогранников - правильные призмы и антипризмы. Кроме них, существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел. Усечённый тетраэдр Усечённый додекаэдр Усечённый куб Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники. Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя 100 лет переоткрыт Иоганом Кеплером (1571-1630) в 1619 году, и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда. Малый звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения. Симметрией в геометрии называют способность фигур к отображению. В переводе с древнегреческого это слово обозначает «соразмерность». Существует несколько видов симметрии - зеркальная, лучевая, центральная, осевая. На практике симметричные построения применяются в архитектуре, дизайне и многих других отраслях. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Рассматривается 3 случая расположения центра симметрии: центр вне фигуры; центр внутри фигуры; центр – точка данной фигуры. Практическая работа Ж У Н Г О Ш Б П Т Распределите по видам симметрии. Определение Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1. М ММ М м М К К ОО К1 М1М ОМ=ОМ1 ; ММ1 М1 МК=М1К1 Фигуры, симметричные относительно плоскости Фигура (тело) называется симметричной относительно некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает фигуру на две равные симметричные части. Сколько плоскостей симметрии имеет куб? Ответы: 2; 4; 5; 6; 9 Симметрия в пирамиде Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии Зеркальная симметрия в призме 1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма? Ответы: а)2 б)4 в)3 г) г)5 5 д)12 2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник? Ответы: б)б)33 в)1 а)2 г)4 д)8 3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная призма? Ответы: а) а)44 б)3 в)1 г)2 д)5 Симметрии тетраэдра Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Элементы симметрии правильных многогранников тетраэдр октаэдр икосаэдр гексаэдр додекаэдр Центры симметрии - 1 1 1 1 Оси симметрии 3 9 15 9 15 Плоскости симметрии 6 9 15 9 15 28 Задачи на дом. 1. Сколько плоскостей симметрии имеет пирамида, в основании которой лежит прямоугольник, ромб? Какое дополнительное условие должно присутствовать в условии задачи, чтобы ваш ответ был верен? Задачи на дом. 2. Начертить четырехугольную пирамиду, которая имеет одну плоскость симметрии. а) какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды? б) куда должна проектироваться вершина пирамиды? 3.Существует ли четырехугольная пирамида, не имеющая ни одной плоскости симметрии? (привести пример)

Елементи симетрії правильних багатогранників Геометрія. 10 клас.

Тетраедр- (Від грецького tetra - чотири і hedra - грань) - правильний багатогранник, складений з 4 рівносторонніх трикутників. З визначення правильного багатогранника слід, що це ребра тетраедра мають рівну довжину, а грані - рівну площу.

Елементи симетрії тетраедра

Тетраедр має три осі симетрії, які проходять через середини ребер, що схрещуються.

Тетраедр має 6 площин симетрії, кожна з яких проходить через ребро тетраедра перпендикулярно ребру, що схрещується з ним.

Октаедр -(Від грецького okto - вісім і hedra - грань) - правильний багатогранник, складений з 8 рівносторонніх трикутників. Октаедр має 6 вершин та 12 ребер. Кожна вершина октаедра є вершиною 4 трикутників, таким чином, сума плоских кутів при вершині октаедра становить 240 .

Елементи симетрії октаедра

Три з дев'яти осей симетрії октаедра проходять через протилежні вершини, шість - через середини ребер. Центр симетрії октаедра - точка перетину осей симетрії.

Три з 9 площин симетрії тетраедра проходять через кожні 4 вершини октаедра, що лежать в одній площині.

Шість площин симетрії проходять через дві вершини, що не належать до однієї грані, і середини протилежних ребер.

Ікосаедр- (Від грецького ico - шість і hedra - грань) правильний опуклий багатогранник, складений з 20 правильних трикутників. Кожна з 12 вершин ікосаедра є вершиною 5 рівносторонніх трикутників, тому сума кутів при вершині дорівнює

Елементи симетрії ікосаедра

Правильний ікосаедр має 15 осей симетрії, кожна з яких проходить через середини протилежних паралельних ребер. Точка перетину всіх осей симетрії ікосаедра є його центром симетрії.

Площин симетрії також 15.Плоскості симетрії проходять через чотири вершини, що лежать в одній площині, і середини паралельних паралельних ребер.

Куб або гексаедр(від грецького hex – шість і hedra – грань) складений з 6 квадратів. Кожна з 8 вершин куба є вершиною 3 квадратів, тому сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 2700. У куба 12 ребер, що мають рівну довжину.

Елементи симетрії куба

Вісь симетрії куба може проходити через середини паралельних ребер, не належать однієї грані, або через точку перетину діагоналей протилежних граней. Центром симетрії куба є точка перетину його діагоналей.

Через центр симетрії проходять 9 осей симетрії.

Площин симетрії у куба також 9 і проходять вони або через протилежні ребра

(Таких площин-6), або через середини протилежних ребер (таких - 3).

Додекаедр(Від грецького dodeka - дванадцять і hedra - грань) це правильний багатогранник, складений з 12 рівносторонніх п'ятикутників. Додекаедр має 20 вершин та 30 ребер. Вершина додекаедра є вершиною трьох п'ятикутників, таким чином сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 3240.

Елементи симетрії додекаедра

Додекаедр має центр симетрії та 15 осей симетрії. Кожна осі проходить через середини протилежних паралельних ребер.

Додекаедр має 15 площин симетрії. Будь-яка з площин симетрії проходить у кожній грані через вершину та середину протилежного ребра.

Розгортки правильних багатогранників

Розгортка-це спосіб розгорнути багатогранник на площину після проведення розрізів по кількох ребрах. Розгортка є плоским багатокутником, складеним з менших багатокутників - граней вихідного багатогранника. Один і той самий багатогранник може мати кілька різних розгорток.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета вивчення

• Познайомити учнів із новим типом опуклих багатогранників – правильними багатогранниками.
• Показати вплив правильних багатогранників на виникнення філософських теорій та фантастичних гіпотез.
• Показати зв'язок геометрії та природи.
• Вивчити елементи симетрії правильних багатогранників.

Прогнозований результат

• Знати визначення правильних опуклих багатогранників.
• Вміти довести, що є лише п'ять видів таких тіл.
• Вміти охарактеризувати кожен вид правильних багатогранників.
• Знати теорему Ейлера (без підтвердження).
• Мати поняття про симетрію у просторі (центральна, осьова, дзеркальна).
• Знати приклади симетрій у навколишньому світі.
• Знати елементи симетрії кожного правильного багатогранника.
• Вміти вирішувати завдання знайти елементи правильних багатогранників.

План уроку

• Організаційний момент.
• Актуалізація знань.
• Введення нового поняття, вивчення правильних опуклих багатогранників.
• Правильні багатогранники у філософській картині світу Платона (повідомлення учня).
• Формула Ейлера (дослідницька робота класу).
• Правильні багатогранники (повідомлення учня).
• Правильні багатогранники на картинах великих художників (повідомлення учня).
• Правильні багатогранники та природа (повідомлення учня).
• Елементи симетрії правильних багатогранників (повідомлення учня).
• Розв'язання задач.
• Підбиття підсумку уроку.
• Домашнє завдання.

Устаткування

• Крістільні інструменти.
• Моделі багатогранників.
• Репродукція картини С. Далі "Таємна вечеря".
• Комп'ютер, проектор.
• Ілюстрації до повідомлень учнів:
  • модель сонячної системи І. Кеплера;
  • ікосаедро-додекаедрова структура землі;
  • правильні багатогранники у природі.

"Правильних багатогранників зухвало мало, але цей дуже скромний
за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук.
Л. Керрол

Хід уроку

На даний момент вже ви маєте уявлення про такі багатогранники як призма та піраміда. На сьогоднішньому уроці у вас є можливість значно розширити свої знання про багатогранники, ви дізнаєтеся про так звані правильні опуклі багатогранники. З деякими поняттями ви вже знайомі – це багатогранники та опуклі багатогранники. Згадаймо їх.

• Дайте визначення багатогранника.
• Який багатогранник називається опуклим?

Нами вже використовувалися словосполучення "правильні призми" та "правильні піраміди". Виявляється, нова комбінація знайомих понять утворює зовсім нове з геометричного погляду поняття. Які ж опуклі багатогранники називатимемо правильними? Послухайте уважне визначення.

Випуклий багатогранник називається правильним, якщо його грані є правильними багатогранниками з одним і тим самим числом сторін і в кожній вершині багатогранника сходиться одне і те ж число ребер.

Може здатися, що друга частина визначення є зайвою і досить сказати, що опуклий багатогранник називається правильним, якщо його грані є правильними багатогранниками з одним і тим самим числом сторін. Чи достатньо цього насправді?

Подивіться багатогранник. (Демонструється модель багатогранника, який виходить із двох правильних тетраедрів, приклеєних одна до одної однією гранню). Чи залишає він враження правильного багатогранника? ( Ні!). Подивимося на його грані – правильні трикутники. Порахуємо число ребер, що сходяться у кожній вершині. У деяких вершинах сходяться три ребра, у деяких – чотири. Друга частина визначення правильного опуклого багатогранника не виконується і розглянутий багатогранник, дійсно, не є правильним. Таким чином, коли даватимете визначення, пам'ятаєте про обидві його частини.

Усього існує п'ять видів правильних опуклих багатогранників. Їх гранями є правильні трикутники, правильні чотирикутники (квадрати) та правильні п'ятикутники.

Доведемо, що немає правильного багатогранника, гранями якого є правильні шестикутники, семикутники і, взагалі, n - косинці при n 6 .

Насправді, кут правильного n-кутника при n 6 не менше 120 про (поясніть чому). З іншого боку, при кожній вершині багатогранника має бути не менше трьох плоских кутів. Тому якби існував правильний багатогранник, у якого грані - правильні n-кутники при n 6, то сума плоских кутів при кожній вершині такого багатогранника була б не меншою ніж 120 о * 3 = 360 о . Але це неможливо, тому що сума всіх плоских кутів при кожній вершині опуклого багатогранника менше 360 о.

З цієї причини кожна вершина правильного багатогранника може бути вершиною або трьох, чотирьох або п'яти рівносторонніх трикутників, або квадратів, або трьох правильних п'ятикутників. Інших можливостей немає. Відповідно до цього отримуємо такі правильні багатогранники.

Назви цих багатогранників прийшли з Стародавньої Греції, і в них вказується кількість граней:

• "едра" - грань
• "тетра" - 4
• "гекса" - 6
• "окта" - 8
• "ікоса" - 20
• "додека" - 12

Вам необхідно запам'ятати назви цих багатогранників, вміти охарактеризувати кожен із них і довести, що інших видів правильних багатогранників, крім перерахованих п'яти, немає.

Звертаю увагу на слова Л. Керролла, які є епіграфом сьогоднішнього уроку: "Правильних багатогранників зухвало мало, але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в глибини різних наук".

Про те, як використовували правильні багатогранники у своїх наукових фантазіях вчені, нам розкажуть:

Повідомлення "Правильні багатогранники у філософській картині світу Платона"

Правильні багатогранники іноді називають Платоновими тілами, оскільки вони займають чільне місце у філософській картині світу, розробленої великим мислителем Стародавньої Греції Платоном (бл. 428 – бл. 348 до н.е.).

Платон вважав, що світ будується з чотирьох "віршів" - вогню, землі, повітря і води, а атоми цих "віршів" мають форму чотирьох правильних багатогранників. Тетраедр уособлював вогонь, оскільки його вершина спрямована вгору, як у полум'я, що розгорілося; ікосаедр - як самий обтічний - воду; куб – найстійкіша з фігур – землю, а октаедр – повітря. В наш час цю систему можна порівняти з чотирма станами речовини – твердим, рідким, газоподібним та полум'яним. П'ятий багатогранник - додекаедр символізував увесь світ і вважався найголовнішим.

Це була одна з перших спроб увести в науку ідею систематизації.

Вчитель. А тепер від Стародавньої Греції перейдемо до Європи XVI – XVII ст., коли жив і творив чудовий німецький астроном, математик Йоган Кеплер (1571 – 1630).

Повідомлення "Кубок Кеплера"

Рис.6. Модель Сонячної системи І. Кеплера

Уявимо себе дома Кеплера. Перед ним різні таблиці – стовпчики цифр. Це результати спостережень руху планет Сонячної системи - як власних, і великих попередників - астрономів. У цьому світі обчислювальної роботи хоче знайти деякі закономірності. Йоганн Кеплер, для якого правильні багатогранники були улюбленим предметом вивчення, припустив, що існує зв'язок між п'ятьма правильними багатогранниками та шістьма відкритими на той час планетами Сонячної системи. Згідно з цим припущенням, у сферу орбіти Сатурна можна вписати куб, до якого

вписується сфера орбіти Юпітера. У неї, своєю чергою, вписується тетраедр, описаний біля сфери орбіти Марса. У сферу орбіти Марса вписується додекаедр, куди вписується сфера орбіти Землі. А вона описана біля ікосаедра, в який вписана сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети описана у октаедра, в який вписується світ Меркурія.

Така модель Сонячної системи (рис. 6) одержала назву "Космічного кубка" Кеплера. Результати своїх обчислень учений опублікував у книзі "Таємниця світобудови". Він вважав, що таємниця Всесвіту розкрита.

Рік за роком учений уточнював свої спостереження, перевіряв ще раз дані колег, але, нарешті, знайшов у собі сили відмовитися від привабливої ​​гіпотези. Однак її сліди проглядаються у третьому законі Кеплера, де йдеться про куби середніх відстаней від Сонця.

Вчитель. Сьогодні можна з упевненістю стверджувати, що відстані між планетами та їх кількість ніяк не пов'язані з багатогранниками. Звичайно, структура Сонячної системи не є випадковою, але справжні причини, через які вона влаштована так, а не інакше, досі не відомі. Ідеї ​​Кеплера виявилися помилковими, але без гіпотез, іноді найнесподіваніших, начебто, маячних, неспроможна існувати наука.

Повідомлення "Ікосаедро-додекаедрова структура Землі"

Рис 7. Ікосаедро-додекаедрова структура Землі

Ідеї ​​Платона і Кеплера про зв'язок правильних багатогранників з гармонійним устроєм світу і в наш час знайшли своє продовження в цікавій науковій гіпотезі, яку на початку 80-х років. висловили московські інженери В. Макаров та В. Морозов. Вони вважають, що ядро ​​Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що впливає на розвиток усіх природних процесів, що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а точніше, його силове поле, зумовлюють ікосаедро-додекаедрову структуру Землі (рис.7). Вона в тому, що у земної корі хіба що проступають проекції вписаних у земну кулю правильних багатогранників: икосаэдра і додекаэдра.

Багато покладів корисних копалин тягнуться вздовж ікосаедро-додекаедрової сітки; 62 вершини і середини ребер багатогранників, званих авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища. Тут розташовуються осередки найдавніших культур та цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обська культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми та мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану. У цих вузлах знаходяться озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать ставлення до цієї наукової гіпотези, у якій, очевидно, правильні багатогранники займають важливе місце.

Вчитель. А зараз від наукових гіпотез перейдемо до наукових фактів.

Дослідницька робота "Формула Ейлера"

Вивчаючи будь-які багатогранники, найприродніше підрахувати, скільки в них граней, скільки ребер і вершин. Підрахуємо і кількість зазначених елементів Платонових тіл і занесемо результати в таблицю № 1.

Аналізуючи таблицю № 1, постає питання: "Чи немає закономірності у зростанні чисел у кожному стовпці?" Мабуть, ні. Наприклад, у стовпці "грані" здавалося б, проглядається закономірність (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), але потім намічена закономірність порушується (8 + 2 12, 12 + 2 20). У стовпці "вершини" немає навіть стабільного зростання.

Число вершин то зростає (від 4 до 8, від 6 до 20), а то й убуває (від 8 до 6, від 20 до 12). У стовпці "ребра" закономірності теж не видно.

Але можна розглянути суму чисел у двох стовпцях, хоча б у стовпцях "грані" та "вершини" (Г+В). Складемо нову таблицю своїх підрахунків (див. табл. № 2). Ось тепер закономірності може не помітити лише "сліпий". Сформулюємо її так: "Сума числа граней і вершин дорівнює числу ребер, збільшеному на 2 ", тобто.

Р + В = Р + 2

Отже, ми разом "відкрили" формулу, яка була помічена вже Декартом в 1640, а пізніше знову відкрита Ейлером (1752), ім'я якого з тих пір вона носить. Формула Ейлера вірна для будь-яких опуклих багатогранників.

Запам'ятайте цю формулу, вона стане вам у нагоді для вирішення деяких завдань.

"Таємна вечеря" С. Далі

Велике зацікавлення форм правильних багатогранників виявляли також скульптори, архітектори, художники. Їх усіх вражала досконалість, гармонія багатогранників. Леонардо да Вінчі (1452 - 1519) захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх у своїх полотнах. Сальвадор Далі на картині "Таємна вечеря" зобразив І. Христа зі своїми учнями на тлі величезного прозорого додекаедру.

Вченим досить добре вивчені правильні опуклі багатогранники, доведено, що існує всього п'ять видів таких багатогранників, але чи сама людина їх вигадала. Швидше за все – ні, він "підглянув" їх у природи.

Послухаємо повідомлення: "Правильні багатогранники та природа".

Повідомлення "Правильні багатогранники та природа"

Правильні багатогранники зустрічаються у живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарії ( Circjgjnia icosahtdra ) за формою нагадує ікосаедр (рис. 8).

Чим викликана така природна геометризація феодарій? Очевидно, тим, що з усіх багатогранників з тим самим числом граней саме ікосаедр має найбільший обсяг при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск водної товщі.

Правильні багатогранники – найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Підтвердженням цього є форма деяких кристалів. Взяти бодай кухонну сіль, без якої ми не можемо обійтися.

Відомо, що вона розчинна у воді, служить провідником електричного струму. А кристали кухонної солі (NaCl) мають форму куба. При виробництві алюмінію користуються алюмінієво-калієвими кварцами, монокристал яких має форму правильного октаедра. Одержання сірчаної кислоти, заліза, спеціальних сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану (FeS). Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедру.

У різних хімічних реакціях застосовується сурм'янистий сірчанокислий натрій - речовина, синтезована вченими. Кристал сурм'янистого сірчанокислого натрію має форму тетраедра.

Останній правильний багатогранник - ікосаедр передає форму кристалів бору (В). Свого часу бір використовувався для створення напівпровідників першого покоління.

Вчитель. Отже, завдяки правильним багатогранникам відкриваються як дивовижні властивості геометричних фігур, а й шляхи пізнання природної гармонії. Послухаємо повідомлення симетрії правильних багатогранників.

Проте знову повертаємося до обчислень.

Вирішимо кілька завдань.

Завдання. Визначте кількість граней, вершин та ребер багатогранника, зображеного на малюнку 9. Перевірте здійсненність формули Ейлера для даного багатогранника.

Завдання: №28.

Добігає кінця урок, підіб'ємо підсумки.

• З якими новими геометричними тілами ми познайомилися сьогодні?
• Чому Л. Керрол так високо оцінив значення цих багатогранників?

Будинки: параграф 3, п.32 № 274, 279. Рис. 9

Література

• Азевич А.І. 20 уроків гармонії: Гуманітарно-математичний курс. М.: Школа-Прес, 1998. (Бібліотека журналу "Математика у школі". Вип.7).
• Вінніджер. Моделі багатогранників. М., 1975.
• Геометрія: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев та ін-5-е вид.- М.: Просвітництво, 1997.
• Гросман З., Тернер Дж. Математика для біологів. М., 1983.
• Кованцов Н.І. Математика та романтика. Київ, 1976.
• Смирнова І.М. У світі багатогранників. М., 1990.
• Шафрановський І.І. Симетрія у природі. Л., 1988.

Радіуси описаної () та вписаної () сфер задаються формулами:

де θ - Двогранний кут між суміжними гранями багатогранника. Радіус серединної сфери задається формулою:

де h - величина описана вище, щодо двогранних кутів (h = 4, 6, 6, 10 або 10). Відношення описаних радіусів до вписаних радіусів симетрично щодо p і q:

Кінь поверхні S правильного багатогранника (p, q) обчислюється, як площа правильного p-кутника, помножена на число граней Г:

Об'єм правильного багатогранника обчислюється як помножений на число граней об'єм правильної піраміди, основою якої служить правильний p-кутник, а висотою - радіус вписаної сфери r:

Історія.