Види лінійних рівнянь та їх розв'язання. Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Навчитися вирішувати рівняння - це одне з головних завдань, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до складніших. Якщо не засвоєно дій, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.

Для продовження розмови потрібно домовитись про позначення.

Загальний вид лінійного рівняння з однією невідомою та принцип його вирішення

Будь-яке рівняння, яке може призвести до запису такого виду:

а * х = в,

називається лінійним. Це загальна формула. Але часто у завданнях лінійні рівняння записані у неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйнятий запис. До цих дій належать:

розкриття дужок;
переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - у праву;
приведення подібних доданків.

Якщо невідома величина стоїть у знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, у яких вираз нічого очікувати мати сенсу. Інакше кажучи, потрібно дізнатися область визначення рівняння.

Принцип, яким вирішуються все лінійні рівняння, зводиться до того що, щоб розділити значення правої частини рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» дорівнюватиме в/а.

Приватні випадки лінійного рівняння та їх вирішення

Під час міркувань можуть бути такі моменти, коли лінійні рівняння приймають одне із особливих видів. Кожен із них має конкретне рішення.

У першій ситуації:

а * х = 0, причому а ≠ 0.

Вирішенням такого рівняння завжди буде х = 0.

У другому випадку «а» набуває значення дорівнює нулю:

0 * х = 0.

Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто має нескінченну кількість коренів.

Третя ситуація виглядає так:

0 * х = в, де у ≠ 0.

Це рівняння немає сенсу. Тому що коріння, яке задовольняє йому, не існує.

Загальний вигляд лінійного рівняння із двома змінними

З його назви стає зрозумілим, що невідомих величин у ньому вже дві. Лінійні рівняння із двома зміннимивиглядають так:

а * х + в * у = с.

Оскільки в записі зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповна відповідь. Пара величин, у яких рівняння перетворюється на тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першою записують ту змінну, яка йде раніше за абеткою. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути безліч.

Як вирішити лінійне рівняння із двома невідомими?

Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться правильною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівною якомусь простому числу, а потім знайти другу.

При вирішенні часто доводиться виконувати дії спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:

кожне доданок можна перенести на протилежну частину рівності, замінивши в нього знак на протилежний;
ліву та праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне й те саме число, якщо воно не дорівнює нулю.

Приклади завдань із лінійними рівняннями

Перше завдання.Розв'язати лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15)/(х + 3) = 4.

У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати поділ 20 на 4. Результат дорівнюватиме 5. Це і є відповідь: х=5.

Третє рівняння вимагає, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно полягатиме у розкритті дужок та приведенні подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім треба перенести всі невідомі до лівої частини рівності, а решта — до правої. Рівняння виглядатиме так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці потрібно виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» дорівнюватиме одній цілій і одній сьомій.

У решті прикладів змінні перебувають у знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, за яких значень рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, за яких знаменники звертаються до нуля. У першому прикладі це «-4», у другому воно «-3». Тобто ці значення слід виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вирази у знаменнику.

Розкривши дужки та навівши подібні доданки, у першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а у другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним "-3", це означає, що останнє рішень не має.

Друге завдання.Розв'язати рівняння: -7х + 2у = 5.

Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння набуде вигляду -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і змінивши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у =6. Відповідь: одне з розв'язків рівняння х = 1, у = 6.

Загальний вигляд нерівності з однією змінною

Усі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:

а * х > в;
а*х< в;
а * х ≥в;
а * х ≤ ст.

Загалом воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.

Правила тотожних перетворень нерівності

Так само як лінійні рівняння та нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:

до лівої та правої частин нерівності можна додати будь-яке буквене або числове вираз, причому знак нерівності залишиться тим самим;
також можна і помножити або розділити на те саме позитивне число, від цього знову знак не змінюється;
при множенні чи розподілі одне і те негативне число рівність залишиться вірним за умови зміни знака нерівності на протилежний.

Загальний вигляд подвійних нерівностей

У завданнях можуть бути такі варіанти нерівностей:

в< а * х < с;
в ≤ а * х< с;
в< а * х ≤ с;
у ≤ а * х ≤ с.

Подвійними воно називається, тому що обмежене знаками нерівності із двох сторін. Воно вирішується з допомогою тих самих правил, як і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до низки тотожних перетворень. Поки що не буде отримано найпростіше.

Особливості вирішення подвійних нерівностей

Першою є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностей немає потреби. А ось у складних випадках він може бути необхідним.

Для зображення нерівності слід зазначити на осі всі точки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, що позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, що вийшло після перетворень. Тут також важливо правильно намалювати крапки. Якщо нерівність сувора, тобто< или >, то ці значення виколоті. У несуворих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.

Потім слід позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їхнє перетинання вкаже відповідь.

Друга особливість пов'язані з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший – це остаточна нерівність. Другий – у вигляді проміжків. Ось із ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності та дужок із числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ "і". Ці знаки виглядають так: ∈ та ∩. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точку виключено із відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак нескінченності завжди стоїть у круглій дужці.

Приклади розв'язання нерівностей

1. Вирішити нерівність 7 - 5х ≥ 37.

Після нескладних перетворень виходить: -5х ≥ 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х ≤ -6. Це вже відповідь, але її можна записати і по-іншому: х∈(-∞;-6).

2. Розв'яжіть подвійну нерівність -4< 2x + 6 ≤ 8.

Спочатку потрібно скрізь відняти 6. Вийде: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

І т.п., логічно познайомитися з рівняннями та іншими видами. Наступними по черзі йдуть лінійні рівняння, цілеспрямоване вивчення яких починається під час уроків алгебри у 7 класі.

Зрозуміло, спочатку треба пояснити, що таке лінійне рівняння, дати визначення лінійного рівняння, його коефіцієнтів, показати його загальний вигляд. Далі можна розбиратися, скільки розв'язків має лінійне рівняння в залежності від значень коефіцієнтів, і як знаходиться коріння. Це дозволить перейти до вирішення прикладів і тим самим закріпити вивчену теорію. У цій статті ми це зробимо: детально зупинимося на всіх теоретичних та практичних моментах, що стосуються лінійних рівнянь та їх вирішення.

Відразу скажемо, що тут ми розглядатимемо лише лінійні рівняння з однією змінною, а вже в окремій статті вивчатимемо принципи вирішення лінійних рівнянь із двома змінними.

Навігація на сторінці.

Що таке лінійне рівняння?

Визначення лінійного рівняння дається у вигляді його записи. Причому різних підручниках математики і алгебри формулювання визначень лінійних рівнянь мають деякі відмінності, які впливають суть питання.

Наприклад, у підручнику алгебри для 7 класу Ю. Н. Макарічева та ін. Лінійне рівняння визначається наступним чином:

Визначення.

Рівняння виду a x = bде x – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо приклади лінійних рівнянь, які відповідають озвученому визначенню. Наприклад, 5 x = 10 - це лінійне рівняння з однією змінною x тут коефіцієнт a дорівнює 5 а число b є 10 . Інший приклад: −2,3·y=0 – це також лінійне рівняння, але із змінною y , у якому a=−2,3 та b=0 . А в лінійних рівняннях x=−2 та −x=3,33 a не присутні у явному вигляді та дорівнюють 1 та −1 відповідно, при цьому у першому рівнянні b=−2 , а у другому - b=3,33 .

А роком раніше в підручнику математики Віленкіна Н. Я. лінійними рівняннями з одним невідомим крім рівнянь виду a x = b вважали і рівняння, які можна привести до такого виду за допомогою перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також за допомогою приведення подібних доданків. Відповідно до цього визначення, рівняння виду 5 x = 2 x 6 і т.п. також лінійні.

У свою чергу у підручнику алгебри для 7 класів А. Г. Мордковича дається таке визначення:

Визначення.

Лінійне рівняння з однією змінною x- Це рівняння виду a x + b = 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Наприклад, лінійними рівняннями такого виду є 2·x−12=0 , тут коефіцієнт a дорівнює 2 , а b – дорівнює −12 і 0,2·y+4,6=0 з коефіцієнтами a=0,2 і b =4,6. Але в той же час там наводяться приклади лінійних рівнянь, що мають вигляд не x + b = 0, а x = b, наприклад, 3 x = 12 .

Давайте, щоб у нас надалі не було різночитань, під лінійним рівняннями з однією змінною x і коефіцієнтами a і b розумітимемо рівняння виду a x + b = 0 . Такий вид лінійного рівняння є найбільш виправданим, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівнянняпершого ступеня. А всі інші вказані вище рівняння, а також рівняння, які за допомогою рівносильних перетворень наводяться до вигляду a x + b = 0, будемо називати рівняннями, що зводяться до лінійних рівнянь. При такому підході рівняння 2 · x + 6 = 0 - це лінійне рівняння, а 2 · x = -6 , 4 +25 · y = 6 + 24 · y, 4 · (x +5) = 12 і т.п. - Це рівняння, що зводяться до лінійних.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Тепер настав час розібратися, як вирішуються лінійні рівняння a x + b = 0 . Іншими словами, час дізнатися, чи має лінійне рівняння коріння, і якщо має, то скільки їх і як їх знайти.

Наявність коренів лінійного рівняння залежить від значень коефіцієнтів a і b. При цьому лінійне рівняння a x + b = 0 має

єдиний корінь при a≠0 ,
не має коріння при a=0 і b≠0 ,
має нескінченно багато коренів при a = 0 і b = 0, у цьому випадку будь-яке число є коренем лінійного рівняння.

Пояснимо, як було отримано ці результати.

Ми знаємо, що для вирішення рівнянь можна переходити від вихідного рівняння до рівносильних рівнянь , тобто до рівнянь з тими ж коренями або також як і вихідне, що не має коріння. Для цього можна використовувати такі рівносильні перетворення:

перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком,
а також множення або розподіл обидві частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.

Отже, в лінійному рівнянні з однієї змінної виду a x + b = 0 ми можемо перенести доданок b з лівої частини в праву частину з протилежним знаком. При цьому рівняння набуде вигляду a x = − b .

А далі напрошується поділ обох частин рівняння на число a. Але є одне але: число a може дорівнювати нулю, в цьому випадку такий поділ неможливий. Щоб впоратися з цією проблемою, спочатку вважатимемо, що число a відмінне від нуля, а випадок рівного нулю a розглянемо окремо трохи пізніше.

Отже, коли a не дорівнює нулю, ми можемо обидві частини рівняння a·x=−b розділити на a , після цього воно перетворюється на вигляд x=(−b):a , цей результат можна записати з використанням дробової риси як .

Таким чином, при a≠0 лінійне рівняння a x + b = 0 рівносильне рівнянню , звідки видно його корінь .

Нескладно показати, що це коріння єдине, тобто, лінійне рівняння не має іншого коріння. Це дозволяє зробити метод протилежного.

Позначимо корінь як х 1 . Припустимо, існує ще один корінь лінійного рівняння, який позначимо x 2 , причому x 2 ≠x 1 , що в силу визначення рівних чисел через різницюеквівалентно умові x 1 −x 2 ≠0. Оскільки x 1 і x 2 коріння лінійного рівняння a x + b = 0, то мають місце числові рівності a x 1 + b = 0 і a x 2 + b = 0 . Ми можемо виконати віднімання відповідних частин цих рівностей, що нам дозволяють зробити властивості числових рівностей , маємо a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , звідки a x 1 x 2)+( b−b)=0 і далі a·(x 1 −x 2)=0 . А ця рівність неможлива, тому що і a≠0 і x 1 −x 2 ≠0 . Так ми дійшли суперечності, що доводить єдиність кореня лінійного рівняння a x + b = 0 при a≠0 .

Так ми вирішили лінійне рівняння a x + b = 0 при a≠0. Перший результат, наведений на початку цього пункту, є обґрунтованим. Залишилися ще два, які відповідають умові a = 0.

При a = 0 лінійне рівняння a x + b = 0 набуває вигляду 0 x + b = 0 . З цього рівняння і властивості множення чисел на нуль випливає, що яке б число ми не взяли як x, при його підстановці рівняння 0 x + b = 0 вийде числова рівність b = 0 . Це рівність правильне, коли b=0 , а інших випадках при b≠0 це рівність неправильне.

Отже, при a = 0 і b = 0 будь-яке число є коренем лінійного рівняння a x + b = 0 , так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа дає правильну числову рівність 0 = 0 . А при a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a x + b = 0 не має коренів, так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа призводить до невірної числової рівності b = 0 .

Наведені обґрунтування дозволяють сформувати послідовність дій, що дозволяє вирішити будь-яке лінійне рівняння. Отже, алгоритм вирішення лінійного рівняннятакий:

Спочатку по запису лінійного рівняння знаходимо значення коефіцієнтів a і b.
Якщо a=0 і b=0 , це рівняння має нескінченно багато коренів, саме, будь-яке число є коренем цього лінійного рівняння.
Якщо ж відмінно від нуля, то

коефіцієнт b переноситься в праву частину з протилежним знаком, при цьому лінійне рівняння перетворюється на вигляд a x = − b ,
після чого обидві частини отриманого рівняння діляться на відмінне від нуля число a, що дає шуканий корінь вихідного лінійного рівняння.

Записаний алгоритм є вичерпною відповіддю питанням, як вирішувати лінійні рівняння.

На закінчення цього пункту варто сказати, що схожий алгоритм застосовується для вирішення рівнянь виду a x = b. Його відмінність у тому, що з a≠0 відразу виконується розподіл обох частин рівняння цього числа, тут b вже у потрібної частини рівняння і потрібно здійснювати його перенесення.

Для вирішення рівнянь виду a x = b застосовується такий алгоритм:

Якщо a=0 і b=0 , то рівняння має безліч коренів, якими є будь-які числа.
Якщо a=0 і b≠0 то вихідне рівняння не має коренів.
Якщо ж a від нуля, то обидві частини рівняння діляться на відмінне від нуля число a , звідки перебуває єдиний корінь рівняння, рівний b/a .

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Переходимо до практики. Розберемо, як застосовується алгоритм розв'язання лінійних рівнянь. Наведемо рішення характерних прикладів, що відповідають різним значенням коефіцієнтів лінійних рівнянь.

приклад.

Розв'яжіть лінійне рівняння 0·x−0=0 .

Рішення.

У цьому лінійному рівнянні a=0 і b=−0 , що саме, b=0 . Отже, це рівняння має безліч коренів, будь-яке число є коренем цього рівняння.

Відповідь:

x – будь-яке число.

приклад.

Чи має рішення лінійне рівняння 0 x + 2,7 = 0?

Рішення.

У разі коефіцієнт a дорівнює нулю, а коефіцієнт b цього лінійного рівняння дорівнює 2,7 , тобто, відмінний від нуля. Тому лінійне рівняння не має коріння.

Лінійні рівняння – досить нешкідлива та зрозуміла тема шкільної математики. Але, як це не дивно, кількість помилок на рівному місці при вирішенні лінійних рівнянь лише трохи менша, ніж в інших темах – квадратних рівняннях, логарифмах, тригонометрії та інших. Причини більшості помилок – банальні тотожні перетворення рівнянь. Насамперед, це плутанина у знаках при перенесенні доданків з однієї частини рівняння до іншої, а також помилки при роботі з дробами та дробовими коефіцієнтами. Так Так! Дроби в лінійних рівняннях також зустрічаються! Часто й поруч. Трохи нижче такі злі рівняння ми з вами також обов'язково розберемо.

Ну що, не тягтимемо кота за хвіст і почнемо розбиратися, мабуть? Тоді читаємо та вникаємо.)

Що таке лінійне рівняння? приклади.

Зазвичай лінійне рівняння має такий вигляд:

ax + b = 0,

Де a та b – будь-які числа. Які завгодно: цілі, дробові, негативні, ірраціональні – будь-які можуть бути!

Наприклад:

7х + 1 = 0 (тут a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (тут a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (тут a = 1/2, b = -1,1)

Загалом ви зрозуміли, я сподіваюся.) Все просто, як у казці. До певного часу… А якщо придивитися до загального запису ax+b=0 більш уважно, та трохи задуматися? Адже a та b – будь-які числа! А якщо у нас, скажімо, a = 0 і b = 0 (будь-які числа можна брати!), то що у нас тоді вийде?

0 = 0

Але це ще не всі приколи! А якщо, скажімо, a = 0, b = -10? Тоді вже зовсім якась ахінея виходить:

0 = 10.

Що дуже і дуже напружує і підриває довіру до математики, що завойовується потім і кров'ю ... Особливо на контрольних і іспитах. А з цих незрозумілих і дивних рівностей ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі! І ось тут навіть добре підготовлені учні, часом, можуть впасти, як то кажуть, у ступор… Але не переживайте! У цьому уроці всі такі сюрпризи ми також розглянемо. І ікс з таких рівностей теж обов'язково знайдемо.) Причому цей ікс шукається дуже і дуже просто. Так Так! Дивно, але факт.)

Ну гаразд, це зрозуміло. Але як же можна дізнатися на вигляд завдання, що перед нами саме лінійне рівняння, а не якесь ще? На жаль, тільки на вигляд розпізнати тип рівняння можливо далеко не завжди. Справа в тому, що лінійними називаються як рівняння виду ax+b=0, а й будь-які інші рівняння, які тотожними перетвореннями, однак, зводяться до такого виду. А як тут дізнаєшся, зводиться воно чи ні? Поки що приклад майже не вирішиш – майже ніяк. Це засмучує. Але для деяких типів рівнянь можна при одному побіжному погляді відразу з упевненістю сказати, лінійне воно чи ні.

Для цього ще раз звернемося до загальної структури будь-якого лінійного рівняння:

ax + b = 0

Зверніть увагу: у лінійному рівнянні завждиє тільки змінна ікс у першому ступеніі якісь числа! І все! Більше нічого. При цьому немає іксів у квадраті, у кубі, під коренем, під логарифмом та іншою екзотикою. І (що особливо важливо!) немає дробів з іксом у знаменниках!А ось дроби з числами у знаменниках чи поділ на число– просто!

Наприклад:

Це лінійне рівняння. У рівнянні є лише ікси першою мірою і числа. І немає іксів у вищих ступенях – у квадраті, у кубі тощо. Так, тут є дроби, але при цьому у знаменниках дробів сидять лише числа.А саме - двійка та трійка. Іншими словами, у рівнянні немає поділу на ікс.

А ось рівняння

Вже не можна назвати лінійним, хоча тут також присутні лише числа та ікси в першому ступені. Бо, крім іншого, тут є ще й дроби з іксами у знаменниках. І після спрощень і перетворень таке рівняння може стати будь-яким: і лінійним, і квадратним – всяким.

Як розв'язувати лінійні рівняння? приклади.

То як вирішувати лінійні рівняння? Читайте далі і дивуйтеся.) Все рішення лінійних рівнянь базується на двох основних речах. Перелічимо їх.

1) Набір елементарних дій та правил математики.

Це використання дужок, розкриття дужок, робота з дробами, робота з негативними числами, таблиця множення тощо. Ці знання й уміння необхідні як вирішення лінійних рівнянь, а всієї математики взагалі. І якщо з цим проблеми, згадуйте молодші класи. Інакше несолодко вам доведеться.

Їх лише два. Так Так! Більше того, ці базові тотожні перетворення лежать в основі рішення не тільки лінійних, а взагалі будь-яких рівнянь математики! Одним словом, розв'язання будь-якого іншого рівняння – квадратного, логарифмічного, тригонометричного, ірраціонального тощо. - Як правило, починається з цих самих базових перетворень. А ось рішення саме лінійних рівнянь, власне, на них (перетвореннях) і закінчується. Готовою відповіддю.) Тож не полінуйтеся і прогуляєтеся за посиланням.) Тим більше, що там лінійні рівняння теж детально розбираються.

Що ж, я думаю, настав час приступати до розбору прикладів.

Для початку, як розминка, розглянемо якусь елементарщину. Без будь-яких дробів та інших наворотів. Наприклад, таке рівняння:

х - 2 = 4 - 5х

Це класичне лінійне рівняння. Всі ікси максимум у першому ступені і поділу на ікс ніде немає. Схема рішення в таких рівняннях завжди єдина і проста до жаху: всі члени з іксами треба зібрати зліва, а всі члени без іксів (тобто числа) зібрати праворуч. Ось і приступаємо до збирання.

Для цього запускаємо у хід перше тотожне перетворення. Нам потрібно перенести -5х ліворуч, а -2 перенести праворуч. Зі зміною знака, ясна річ.) От і переносимо:

х + 5х = 4 + 2

Ну ось. Півсправи зроблено: ікси зібрали в купку, числа теж. Тепер зліва наводимо подібні, а праворуч – рахуємо. Отримуємо:

6х = 6

Чого тепер нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс залишився! А шістка – заважає. Як її позбутися? Запускаємо тепер друге тотожне перетворення – ділимо обидві частини рівняння на 6. І – вуаля! Відповідь готова.)

х = 1

Зрозуміло, приклад дуже примітивний. Щоби загальну ідею вловити. Що ж, вирішимо щось істотніше. Наприклад, розберемо ось таке рівняння:

Детально розберемо.) Це теж лінійне рівняння, хоча, начебто, тут є дроби. Але в дробах є поділ на двійку і є поділ на трійку, а от поділ на вираз з іксом - немає! Тож – вирішуємо. Використовуючи ті самі тотожні перетворення, так.)

Що спочатку робитимемо? З іксами - вліво, без іксів - праворуч? В принципі можна і так. Летіти в Сочі через Владивосток.) А можна піти найкоротшим шляхом, відразу скориставшись універсальним і потужним способом. Якщо знати тотожні перетворення, очевидно.)

Для початку ставлю ключове питання: що вам найсильніше впадає в око і найбільше не подобається в цьому рівнянні? 99 людей зі 100 скажуть: дроби!І будуть праві.) От і позбудемося спочатку їх. Безпечно для самого рівняння.) Тому почнемо відразу з другого тотожного перетворення- З домноження. На що треба помножити ліву частину, щоб знаменник успішно скоротився? Правильно на двійку. А праву частину? На трійку! Але ... Математика - жінка примхлива. Вона, розумієш, вимагає множити обидві частини тільки на те саме число!Кожну частину помножувати на своє число – не котить… Що будемо робити? Що-що… Шукати компроміс. Щоб і наші хотілки задовольнити (позбутися дробів) і математику не образити.) А помножимо обидві частини на шістку!) Тобто, на загальний знаменник всіх дробів, що входять до рівняння. Тоді одним махом і двійка скоротиться, і трійка!

От і множимо. Всю ліву частину та всю праву частину цілком! Тому використовуємо дужки. Ось так виглядає сама процедура:

Тепер розкриваємо ці дужки:

Тепер, представивши 6 як 6/1, помножимо шістку на кожну дробу зліва і справа. Це звичайне множення дробів, але, так і бути, розпишу детально:

А ось тут – увага! Чисельник (х-3) я взяв у дужки! Це все тому, що при множенні дробів чисельник множиться весь, повністю! І з виразом х-3 треба працювати як із однією цільною конструкцією. А от якщо ви запишете чисельник так:

6х - 3,

Але у нас все правильно і треба вирішувати. Що далі робити? Розкривати дужки у чисельнику зліва? Ні в якому разі! Ми з вами домножували обидві частини на 6, щоб позбутися дробів, а не для того щоб паритися з розкриттям дужок. На цьому етапі нам треба скоротити наші дроби.З почуттям глибокого задоволення скорочуємо всі знаменники і отримуємо рівняння без будь-яких дробів, у лінійку:

3(х-3) + 6х = 30 - 4х

А ось тепер і дужки, що залишилися, можна розкрити:

3х - 9 + 6х = 30 - 4х

Рівняння стає все краще та краще! Ось тепер знову згадуємо про перше тотожне перетворення. З кам'яним обличчям повторюємо заклинання з молодших класів: з іксами – ліворуч, без іксів – праворуч. І застосовуємо це перетворення:

3х + 6х + 4х = 30 + 9

Наводимо подібні ліворуч і вважаємо праворуч:

13х = 39

Залишилося поділити обидві частини на 13. Тобто знову застосувати друге перетворення. Ділимо і отримуємо відповідь:

х = 3

Готова справа. Як ви бачите, у цьому рівнянні нам довелося один раз застосувати перше перетворення (перенесення доданків) і двічі – друге: на початку рішення ми використовували домноження (на 6) з метою позбутися дробів, а наприкінці рішення використовували поділ (на 13), щоб позбавитися коефіцієнта перед іксом. І рішення будь-якого (так-так, будь-якого!) лінійного рівняння складається з комбінації цих самих перетворень у тій чи іншій послідовності. З чого саме починати – від конкретного рівняння залежить. Десь вигідніше починати з перенесення, а десь (як у цьому прикладі) – з домноження (чи поділу).

Працюємо від простого – до складного. Розглянемо тепер відверту бляху. З купою дробів та дужок. А я вже підкажу, як не надертися.)

Наприклад, ось таке рівняння:

Хвилину дивимося на рівняння, жахаємося, але таки беремо себе в руки! Основна проблема – з чого починати? Можна скласти дроби у правій частині. Можна виконати віднімання дробів у дужках. Можна обидві частини на щось примножити. Або поділити… То що ж таки можна? Відповідь: все можна! Жодна з перерахованих дій математика не забороняє. І яку б послідовність дій і перетворень ви не обрали, відповідь вийде завжди одна – правильна. Якщо, звичайно, на якомусь кроці не порушити тотожність ваших перетворень і тим самим не наляпати помилок…

А щоб не наляпати помилок, у таких наворочених прикладах, як цей, завжди найкорисніше оцінити його зовнішній вигляд і в умі прикинути: що можна таке зробити в прикладі, щоб максимальноспростити його за крок?

От і прикидаємо. Зліва стоять шістки у знаменниках. Особисто мені вони не подобаються, а забрати їх дуже легко. Домножу я обидві частини рівняння на 6! Тоді шістки зліва благополучно скоротяться, дроби в дужках поки що нікуди не подінуться. Та й нічого страшного. З ними трохи пізніше розправимося.) А ось праворуч у нас скоротяться знаменники 2 і 3. Саме при цій дії (множенні на 6) у нас за один крок досягаються максимальні спрощення!

Після множення все наше зле рівняння стане таким:

Хто не зрозумів, як саме вийшло це рівняння, ви погано засвоїли розбір попереднього прикладу. А я намагався, між іншим…

Отже, розкриваємо:

Тепер самим логічним кроком було б усамітнити дроби зліва, а 5х відправити у праву частину. Водночас і подібні у правій частині наведемо. Отримаємо:

Вже набагато краще. Тепер ліва частина сама собою підготувалася до множення. На що треба домножити ліву частину, щоб одразу і п'ятірка скоротилася, і четвірка? На 20! Але ще у нас є мінуси в обох частинах рівняння. Тому найзручніше буде множити обидві частини рівняння не так на 20, але в -20. Тоді одним махом і мінуси зникнуть і дроби.

Ось і множимо:

Кому досі незрозумілий цей крок – значить проблеми не в рівняннях. Проблеми – в основах! Знову згадуємо золоте правило розкриття дужок:

Якщо число множиться на якийсь вираз у дужках, то це число треба послідовно помножити на кожне доданок цього виразу. У цьому якщо число позитивно, знаки виразів після розкриття зберігаються. Якщо негативно – змінюються протилежні:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Мінуси у нас зникли після збільшення обох частин на -20. І тепер дужки з дробами зліва ми множимо цілком собі додатне число 20. Отже, при розкритті цих дужок усі знаки, що були всередині них, зберігаються. А ось звідки взялися дужки у чисельниках дробів, я вже докладно пояснював у попередньому прикладі.

А ось тепер дроби і скоротити можна:

4(3-5х)-5(3х-2) = 20

Розкриваємо дужки, що залишилися. Знову ж таки, правильно розкриваємо. Перші дужки множаться на позитивне число 4 і всі знаки при їх розкритті зберігаються. А ось другі дужки множаться на негативнечисло -5 і тому всі знаки змінюються на протилежні:

12 - 20х - 15х + 10 = 20

Залишилися дрібниці. З іксами вліво, без іксів – праворуч:

-20х - 15х = 20 - 10 - 12

-35х = -2

Ось майже все. Зліва потрібний чистий ікс, а число -35 заважає. Ось і ділимо обидві частини на (-35). Нагадую, що друге тотожне перетворення дозволяє нам множити і ділити обидві частини на яке завгодночисло. В тому числі і на негативне.) Аби не на нуль! Сміливо ділимо та отримуємо відповідь:

X = 2/35

Цього разу ікс вийшов дрібним. Нічого страшного. Такий приклад.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь (навіть найбільш накручених) досить простий: беремо вихідне рівняння і тотожними перетвореннями послідовно спрощуємо його до отримання відповіді. З дотриманням основ, зрозуміло! Головні проблеми тут саме у недотриманні основ (скажімо, перед дужками стоїть мінус, а знаки при розкритті змінити забули), а також у банальній арифметиці. Тож не нехтуйте основами! Вони - фундамент всієї решти математики!

Деякі приколи під час вирішення лінійних рівнянь. Або особливі випадки.

Все б нічого. Проте… Потрапляються серед лінійних рівнянь і такі кумедні перли, які у процесі їх вирішення можуть і у сильний ступор увігнати. Навіть відмінника.)

Наприклад, ось таке нешкідливе на вигляд рівняння:

7х + 3 = 4х + 5 + 3х - 2

Широко позіхаючи і злегка сумуючи, збираємо всі ікси зліва, а всі числа праворуч:

7х-4х-3х = 5-2-3

Наводимо подібні, рахуємо та отримуємо:

0 = 0

Ось раз! Видав приклад фокус! Сама собою ця рівність заперечень не викликає: нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! Безслідно! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс. Інакше рішення не вважається, так.) Що ж робити?

Без паніки! У таких нестандартних випадках рятують найзагальніші поняття та принципи математики. Що таке рівняння? Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння?

Вирішити рівняння – це означає знайти Усезначення змінної ікс, які при підстановці в вихіднерівняння дадуть нам правильну рівність (тотожність)!

Але вірна рівність у нас вже вийшло! 0=0, вірніше нікуди!) Залишається здогадатися, за яких саме іксів у нас виходить ця рівність. Які ж такі ікси можна підставляти у вихіднерівняння, якщо при підстановці всі вони все одно скорочуються на повний нуль?Невже не здогадалися?

Ну звичайно ж! Ікси можна підставляти будь-які!!! Цілком будь-які. Які бажаєте, такі і підставляйте. Хоч 1, хоч -23, хоч 2,7 – які завгодно! Вони все одно скоротяться, і в результаті залишиться чиста правда. Спробуйте, поставте та переконайтеся особисто.)

Ось вам і відповідь:

х – будь-яке число.

У науковому записі ця рівність пишеться так:

Читається цей запис так: "Ікс - будь-яке дійсне число."

Або в іншій формі через проміжки:

Як вам більше подобається, так і оформлюйте. Це вірна і повноцінна відповідь!

А тепер я зміню в нашому вихідному рівнянні лише одне число. Ось таке рівняння тепер вирішимо:

7х + 2 = 4х + 5 + 3х - 2

Знову переносимо доданки, рахуємо та отримуємо:

7х - 4х - 3х = 5 - 2 - 2

0 = 1

І як вам цей прикол? Було звичайне лінійне рівняння, а стала незрозуміла рівність

0 = 1…

Говорячи науковою мовою, ми отримали неправильна рівність.А російською неправда це. Марення сивої кобили. Ахінея.) Бо нуль не дорівнює одиниці!

А тепер знову розуміємо, які ж ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам правильна рівність?Які? А жодні! Який ікс не підставляй, все одно все зменшується і залишиться лажа.)

Ось і відповідь: рішень немає.

У математичному записі така відповідь оформляється так:

Читається: «Ікс належить пустій множині.»

Такі відповіді в математиці теж зустрічаються досить часто: далеко не завжди в будь-якого рівняння є коріння в принципі. Якісь рівняння можуть і зовсім не мати коріння. Зовсім.

Ось такі два сюрпризи. Сподіваюся, що тепер раптова пропажа іксів у рівнянні не поставить вас надовго в глухий кут. Справа цілком знайома.)

І тут чую закономірне питання: а в ОДЕ чи ЄДІ вони будуть? На ЄДІ самі по собі як завдання – ні. Занадто простенькі. А ось в ОДЕ або в текстових завданнях – просто! Тож тепер – тренуємось і вирішуємо:

Відповіді (безладно): -2; -1; будь-яке число; 2; немає рішень; 7/13.

Все вийшло? Чудово! У вас непогані шанси на іспиті.

Щось не сходиться? Гм... Смуток, звісно. Значить, десь поки що є прогалини. Або основах, чи тотожних перетвореннях. Або ж справа в банальній неуважності. Перечитайте урок ще раз. Бо не та це тема, без якої можна так легко обійтися в математиці.

Успіхів! Вона вам обов'язково усміхнеться, повірте!)