Види трикутників. Кути трикутника

Стандартні позначення

Трикутник з вершинами A, Bі Cпозначається як (див. мал.). Трикутник має три сторони:

Довжини сторін трикутника позначаються малими латинськими літерами (a, b, c):

Трикутник має такі кути:

Величини кутів за відповідних вершин традиційно позначаються грецькими літерами (α, β, γ).

Ознаки рівності трикутників

Трикутник на евклідовій площині однозначно (з точністю до конгруентності) можна визначити за такими трійками основних елементів:

1. a, b, γ (рівність з двох сторін і куту, що лежить між ними);
2. a, β, γ (рівність по стороні та двом прилеглим кутам);
3. a, b, c (рівність з трьох сторін).

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

1. по катету та гіпотенузі;
2. за двома катетами;
3. по катету та гострому куту;
4. з гіпотенузи та гострого кута.

Деякі точки у трикутнику – «парні». Наприклад, існує дві точки, з яких всі сторони видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Вони називаються точками Торрічеллі. Також існує дві точки, проекції яких сторони лежать у вершинах правильного трикутника. Це - точки Аполлонія. Крапки і такі, що називаються точками Брокара.

Прямі

У будь-якому трикутнику центр ваги, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, званій прямий Ейлера.

Пряма, що проходить через центр описаного кола та точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Також на одній прямій лежать точки Торрічеллі та точка Лемуана. Основи зовнішніх бісектрис кутів трикутника лежать на одній прямій, званій віссю зовнішніх бісектрис. На одній прямій лежать також точки перетину прямих, що містять сторони ортотрикутника, з прямими сторонами трикутника, що містять. Ця пряма називається ортоцентричною віссю, вона перпендикулярна до прямої Ейлера.

Якщо на описаному колі трикутника взяти крапку, то її проекції на сторони трикутника лежатимуть на одній прямій, званій прямий Сімсонацієї точки. Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні.

Трикутники

• Трикутник з вершинами в основах чевіан, проведених через дану точку, називається чевіанним трикутникомцієї точки.
• Трикутник з вершинами в проекціях даної точки на сторони називається подернимабо педальним трикутникомцієї точки.
• Трикутник у вершинах у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаним колом, називають окружно-чевіанним трикутником. Окружно-чевіанний трикутник подібний до подерного.

Кола

• Вписане коло- Коло , Що стосується всіх трьох сторін трикутника. Вона єдина. Центр вписаного кола називається інцентром.
• Описане коло- Коло, що проходить через всі три вершини трикутника. Описане коло також єдине.
• Вписане коло- коло, що стосується однієї сторони трикутника та продовження двох інших сторін. Таких кіл у трикутнику три. Їхній радикальний центр - центр вписаного кола серединного трикутника, званий точкою Шпікера.

Середини трьох сторін трикутника, основи трьох його висот і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, лежать на одному колі, що називається коло дев'яти точокабо колом Ейлера. Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера. Окружність дев'яти точок стосується вписаного кола і трьох вписаних. Точка торкання вписаного кола та кола дев'яти точок називається точкою Фейєрбаха. Якщо від кожної вершини відкласти назовні трикутника на прямих, що містять сторони, ортезки, рівні по довжині протилежним сторонам, то шість точок, що виходять, лежать на одному колі - кола Конвею. У будь-який трикутник можна вписати три кола таким чином, що кожна з них стосується двох сторін трикутника та двох інших кіл. Такі кола називаються коло Мальфатті. Центри описаних кіл шести трикутників, на які трикутник розбивається медіанами, лежать на одному колі, яке називається коло Ламуна.

У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника та описаного кола. Такі кола називають напіввписанимиабо колами Верр'єра. Відрізки, що з'єднують точки дотику кіл Верр'єра з описаним колом, перетинаються в одній точці, званій точкою Верр'єра. Вона служить центром гомотетії, яка переводить описане коло у вписане. Точки торкання кіл Верр'єра зі сторонами лежать на прямій, яка проходить через центр вписаного кола.

Відрізки, що з'єднують точки торкання вписаного кола з вершинами, перетинаються в одній точці, яка називається точкою Жергона, а відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику до вписаних кіл - в точці Нагеля.

Еліпси, параболи та гіперболи

Вписана коніка (еліпс) та її перспектор

У трикутник можна вписати нескінченно багато кузнечиків (еліпсів, парабол або гіпербол). Якщо в трикутник вписати довільну коніку і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то прямі перетнуться в одній точці, званій перспекторомконики. Для будь-якої точки площини, що не лежить на боці або її продовженні існує вписана коніка з перспективою в цій точці.

Описаний еліпс Штейнера та чевіани, що проходять через його фокуси

У трикутник можна вписати еліпс, що стосується сторін у серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера(Його перспективником буде центроїд трикутника). Описаний еліпс, що стосується прямих, що проходять через вершини паралельно сторонам, називається описаним еліпсом Штейнера. Якщо афінним перетворенням («перекосом») перевести трикутник у правильний, його вписаний і описаний еліпс Штейнера перейдуть у вписану і описану окружности. Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнер (точки Скутіна), рівні (теорема Скутіна). З усіх описаних еліпсів описаний еліпс Штейнер має найменшу площу, а з усіх вписаних найбільшу площу має вписаний еліпс Штейнера.

Еліпс Брокара та його перспективник - точка Лемуана

Еліпс з фокусами в точках Брокара називається еліпсом Брокара. Його перспективою є точка Лемуана.

Властивості вписаної параболи

Парабола Кіперта

Перспектори вписаних парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Парабола, вписана в трикутник, що має директрису пряму Ейлера, називається параболою Кіперта. Її перспектор - четверта точка перетину описаного кола та описаного еліпса Штейнера, звана точкою Штейнера.

Гіпербола Кіперта

Якщо описана гіпербола проходить через точку перетину висот, вона рівностороння (тобто її асимптоти перпендикулярні). Точка перетину асимптот рівносторонньої гіперболи лежить на колі дев'яти точок.

Перетворення

Якщо прямі, що проходять через вершини та деяку точку, що не лежить на сторонах та їх продовженнях, відобразити щодо відповідних бісектрис, то їх образи також перетнуться в одній точці, яка називається ізогонально сполученоївихідної (якщо точка лежала на описаному колі, то прямі будуть паралельні). Ізогонально сполученими є багато пар чудових точок: центр описаного кола і ортоцентр, центроїд і точка Лемуана, точки Брокара. Крапки Аполлонія ізгонально пов'язані точкам Торрічеллі, а центр вписаного кола ізогонально пов'язаний сам собі. Під дією ізогонального сполучення прямі переходять в описані коніки, а описані коніки - у прямі. Так, ізогонально пов'язані гіпербола Кіперта і вісь Брокара, гіпербола Енжабека і пряма Ейлера, гіпербола Фейєрбаха та лінія центрів, вписаних про описані кола. Описані кола подерних трикутників ізгонально сполучених точок збігаються. Фокуси вписаних еліпсів ізгонально пов'язані.

Якщо замість симетричної чевіани брати чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа вихідної, такі чевіани також перетнуться в одній точці. Перетворення, що вийшло, називається ізотомічним сполученням. Воно також переводить прямі описані коніки. Ізотомічно пов'язані точки Жергона та Нагеля. При афінних перетвореннях ізотомічно сполучені точки переходять в ізотомічно сполучені. При ізотомічному поєднанні в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.

Якщо сегменти, що відсікаються сторонами трикутника від описаного кола, вписати кола, що стосуються сторін в підставах чевіан, проведених через деяку точку, а потім з'єднати точки торкання цих кіл з описаним колом з протилежними вершинами, такі прямі перетинаються в одній точці. Перетворення площини, що співставляє вихідній точці, називається ізоциркулярним перетворенням. Композиція ізогонального та ізотомічного сполучення є композицією ізоциркулярного перетворення з самим собою. Ця композиція - проективне перетворення, яке сторони трикутника залишає на місці, а вісь зовнішніх бісектрис переводить у нескінченно віддалену пряму.

Якщо продовжити сторони чевіанного трикутника деякої точки і взяти їх точки перетину з відповідними сторонами, то отримані точки перетину лежатимуть на одній прямій, званій трилінійною поляроювихідної точки. Ортоцентрична вісь – трилінійна поляра ортоцентру; Трилінійною полярною центру вписаного кола служить вісь зовнішніх бісектрис. Трилінійні поляри точок, що лежать на описаній коніці, перетинаються в одній точці (для описаного кола це точка Лемуана, для описаного еліпса Штейнер - центроїд). Композиція ізогонального (або ізотомічного) сполучення і трилінійної поляри є перетворенням двоїстості (якщо точка, ізогонально (ізотомічно) сполучена точці , лежить на трилінійній полярі точки , то трилінійна поляра точки, ізогонально (ізотомічно) спряженої точки).

Кубики

Співвідношення у трикутнику

Примітка:у цьому розділі , , - це довжини трьох сторін трикутника, і , , - це кути, що лежать відповідно навпроти цих трьох сторін (протилежні кути).

Нерівність трикутника

У невиродженому трикутнику сума довжин двох сторін більше довжини третьої сторони, у виродженому - дорівнює. Інакше висловлюючись, довжини сторін трикутника пов'язані наступними нерівностями:

Нерівність трикутника є однією з аксіом метрики.

Теорема про суму кутів трикутника

Теорема синусів

де R - радіус кола, описаного навколо трикутника. З теореми випливає, що якщо a< b < c, то α < β < γ.

Теорема косінусів

Теорема тангенсів

Інші співвідношення

Метричні співвідношення в трикутнику наведені для:

Рішення трикутників

Обчислення невідомих сторін та кутів трикутника, виходячи з відомих, історично отримало назву «рішення трикутників» . При цьому використовуються наведені загальні тригонометричні теореми.

Площа трикутника

Для площі справедливі нерівності:

Обчислення площі трикутника у просторі за допомогою векторів

Нехай вершини трикутника перебувають у точках , , .

Введемо вектор площі. Довжина цього вектора дорівнює площі трикутника, а спрямований по нормалі до площини трикутника:

Покладемо , де , - проекції трикутника на координатні площини. При цьому

та аналогічно

Площа трикутника дорівнює.

Альтернативою служить обчислення довжин сторін (за теоремою Піфагора) і далі за формулою Герона.

Теореми про трикутники

Теорема ДезаргуЯкщо два трикутники перспективні (прямі, що проходять через відповідні вершини трикутників, перетинаються в одній точці), то їх відповідні сторони перетинаються на одній прямій.

Теорема Сонда: якщо два трикутники перспективні і ортологічні (перпендикуляри, опущені з вершин одного трикутника на сторони, протилежні відповідним вершинам трикутника, і навпаки), то обидва центри ортології (точки перетину цих перпендикулярів) і центр перспективи лежать на одній прямій, перпендикулярній з теореми Дезарга).

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігури та знайдіть серед них «зайву» (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).

Рис. 2. Чотирикутники

Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.

Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупокутний трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівностегнові, різнобічні.

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Рис. 7. Рівностегновий трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .

Рис. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Рис. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.

Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Рис. 10. Різносторонній трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Рис. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо за величиною кутів.

Гострокутні трикутники: №1, №3.

Прямокутні трикутники: №2, №6.

Тупокутні трикутники: №4, №5.

Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різносторонні трикутники: №4, №6.

Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.

Рівносторонній трикутник: №1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Рис. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні поради для вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Закінчіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупокутний трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) рівнобедрений трикутник.

3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.

Мабуть, найголовнішою, найпростішою і найцікавішою фігурою в геометрії є трикутник. У курсі середньої школи вивчаються його основні властивості, проте іноді знання з цієї теми формуються неповними. Види трикутників спочатку визначають їх властивості. Але така вистава залишається змішаною. Тому зараз розберемо трохи докладніше цю тему.

Види трикутників залежить від градусної міри кутів. Ці постаті бувають гостро-, прямо-і тупокутні. Якщо всі кути не перевищують значення 90 градусів, то фігуру сміливо можна назвати гострокутною. Якщо хоча б один кут трикутника дорівнює 90 градусів, то ви маєте справу з прямокутним підвидом. Відповідно, у решті випадків розглянуту називають тупокутною.

Існує безліч завдань для гострокутних підвидів. Відмінною рисою є внутрішнє місцезнаходження точок перетину бісектрис, медіан та висот. В інших випадках ця умова може не виконуватись. Визначити тип фігури "трикутник" неважко. Достатньо знати, наприклад, косинус кожного кута. Якщо якісь значення менші за нуль, значить, трикутник у будь-якому випадку є тупокутним. У разі нульового показника фігура має прямим кутом. Усі позитивні значення гарантовано підкажуть вам, що перед вами гострокутний вигляд.

Не можна не сказати про правильний трикутник. Це найідеальніший вид, де збігаються всі точки перетину медіан, бісектрис та висот. Центр вписаного та описаного кола лежить також в одному місці. Для вирішення завдань необхідно знати лише одну сторону, тому що вам кути спочатку задані, а дві інші сторони відомої. Тобто фігура задається лише одним параметром. Існують їх головна особливість – рівність двох сторін та кутів при підставі.

Іноді зустрічається питання, чи існує трикутник із заданими сторонами. Насправді вас запитують, чи цей опис підходить під основні види. Наприклад, якщо сума двох сторін менша за третю, то в реальності такої фігури не існує взагалі. Якщо завдання просять знайти косинуси кутів трикутника зі сторонами 3,5,9, то тут очевидний можна пояснити без складних математичних прийомів. Припустимо, ви хочете з пункту A потрапити до пункту B. Відстань по прямій дорівнює 9 кілометрам. Однак ви згадали, що необхідно зайти до пункту C у магазин. Відстань від А до С дорівнює 3 кілометрам, а від С до В - 5. Таким чином виходить, що, рухаючись через магазин, ви пройдете на один кілометр менше. Але оскільки пункт C не розташований на прямій AB, то вам доведеться пройти зайву відстань. Тут виникає суперечність. Це, звісно, ​​умовне пояснення. Математика знає не один спосіб доказу того, що всі види трикутників підпорядковуються основному тотожності. Воно говорить про те, що сума двох сторін більша за довжину третьої.

Будь-який вид має такі властивості:

1) Сума всіх кутів дорівнює 180 градусів.

2) Завжди існує ортоцентр – точка перетину всіх трьох висот.

3) Усі три медіани, проведені з вершин внутрішніх кутів, перетинаються в одному місці.

4) Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Також можна вписати коло так, щоб воно мало лише три точки дотику і не виходило за зовнішні сторони.

Тепер ви познайомилися з основними властивостями, які мають різні види трикутників. У майбутньому важливо розуміти, з чим ви маєте справу під час вирішення завдання.

Трикутники

Трикутникомназивається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинамитрикутника, а відрізки - його сторонами.

Види трикутників

Трикутник називається рівнобедреним,якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами,а третя сторона називається основоютрикутник.

Трикутник, у якого всі сторни рівні, називається рівностороннімабо правильним.

Трикутник називається прямокутним,якщо він має прямий кут, тобто кут 90°. Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою,дві інші сторони називаються катетами.

Трикутник називається гострокутним,якщо всі три його кути - гострі, тобто менше 90 °.

Трикутник називається тупокутним,якщо один із його кутів - тупий, тобто більше 90°.

Основні лінії трикутника

Медіана

Медіанатрикутника - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони цього трикутника.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектриса кута- це промінь, що виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить цей кут навпіл. Бісектриса трикутниканазивається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні цього трикутника.

Властивості бісектрис трикутника

Висота

ВисотоюТрикутник називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону цього трикутника.

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутникувисота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібнівихідному.

У гострокутному трикутникудві його висоти відсікають від нього подібнітрикутники.

Середній перпендикуляр

Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називають серединним перпендикуляромдо відрізка .

Властивості серединних перпендикулярів трикутника

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Правильне і зворотне твердження: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього.

Крапка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника, є центром кола, описаного біля цього трикутника.

Середня лінія

Середньою лінією трикутниканазивається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

Властивість середньої лінії трикутника

Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.

Формули та співвідношення

Ознаки рівності трикутників

Два трикутники рівні, якщо вони відповідно рівні:

дві сторони та кут між ними;

два кути та прилегла до них сторона;

три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Два прямокутний трикутникрівні, якщо вони відповідно рівні:

гіпотенузата гострий кут;

катетта протилежний кут;

катетта прилеглий кут;

два катета;

гіпотенузаі катет.

Подібність трикутників

Два трикутники подібні,якщо виконується одна з наступних умов, ознаками подібності:

два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника;

дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, дорівнюють;

три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого трикутника.

У подібних трикутниках відповідні лінії ( висоти, медіани, бісектриситощо) пропорційні.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює діаметру описаного біля трикутника кола:

Теорема косінусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Формули площі трикутника

Довільний трикутник

a, b, c -сторони; - кут між сторонами aі b;- напівпериметр; R -радіус описаного кола; r -радіус вписаного кола; S -площа; h a - висота, проведена до сторони a.

Про те, що таке трикутник, квадрат, куб, розповідає нам наука геометрія. У сучасному світі її вивчають у школах усі без винятку. Також наукою, яка вивчає те, що таке трикутник і які в нього властивості, є тригонометрія. Вона досліджує докладно всі явища, пов'язані з даними Про те, що таке трикутник, ми й поговоримо сьогодні у нашій статті. Нижче буде описано їх види, а також деякі теореми, пов'язані з ними.

Що таке трикутник? Визначення

Це плаский багатокутник. Кутів він має три, що зрозуміло з його назви. Також він має три сторони та три вершини, перші з них – це відрізки, другі – точки. Знаючи, чому рівні два кути, можна знайти третій, відібравши суму перших двох від числа 180.

Якими є трикутники?

Їх можна класифікувати за різними критеріями.

Насамперед вони діляться на гострокутні, тупокутні та прямокутні. Перші мають гострі кути, тобто такі, які рівні менш ніж 90 градусів. У тупокутних один із кутів — тупий, тобто такий, що дорівнює понад 90 градусів, решта двох — гострі. До гострокутних трикутників належать також і рівносторонні. У таких трикутників усі сторони та кути рівні. Всі вони дорівнюють 60 градусам, це можна легко обчислити, розділивши суму всіх кутів (180) на три.

Прямокутний трикутник

Неможливо не поговорити, що таке прямокутний трикутник.

У такої фігури один кут дорівнює 90 градусів (прямий), тобто дві його сторони розташовані перпендикулярно. Інші два кути є гострими. Вони можуть бути рівними, тоді він буде рівнобедреним. З прямокутним трикутником пов'язана теорема Піфагора. За її допомогою можна знайти третю сторону, знаючи дві перші. Згідно з цією теоремою, якщо додати квадрат одного катета до квадрата іншого, можна отримати квадрат гіпотенузи. Квадрат катета можна підрахувати, відібравши від квадрата гіпотенузи квадрат відомого катета. Говорячи про те, що таке трикутник, можна згадати і про рівнобедрене. Це такий, у якого дві зі сторін рівні, також рівні і два кути.

Що таке катет та гіпотенуза?

Катет - це одна зі сторін трикутника, які утворюють кут 90 градусів. Гіпотенуза - це сторона, що залишилася, яка розташована навпроти прямого кута. З нього на катет можна опустити перпендикуляр. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називається не інакше як косинус, а протилежного синус.

- у чому його особливості?

Він прямокутний. Його катети дорівнюють трьом і чотирьом, а гіпотенуза — п'яти. Якщо ви побачили, що катети цього трикутника дорівнюють трьом і чотирьом, можете не сумніватися, що гіпотенуза дорівнюватиме п'яти. Також за таким принципом можна легко визначити, що катет дорівнюватиме трьом, якщо другий дорівнює чотирьом, а гіпотенуза - п'яти. Щоб довести це твердження, можна застосувати теорему Піфагора. Якщо два катети дорівнюють 3 і 4, то 9 + 16 = 25, корінь з 25 - це 5, тобто гіпотенуза дорівнює 5. Також єгипетським трикутником називається прямокутний, сторони якого дорівнюють 6, 8 і 10; 9, 12 та 15 та іншим числам із співвідношенням 3:4:5.

Яким може бути трикутник?

Також трикутники можуть бути вписаними та описаними. Фігура, навколо якої описано коло, називається вписаною, всі її вершини є точками, що лежать на колі. Описаний трикутник - той, в який вписано коло. Усі його сторони стикаються з нею у певних точках.

Як знаходиться

Площа будь-якої фігури вимірюється у квадратних одиницях (кв. метрах, кв. міліметрах, кв. сантиметрах, кв. дециметрах і т. д.). Дану величину можна розрахувати різноманітними способами, залежно від виду трикутника. Площа будь-якої фігури з кутами можна знайти, якщо помножити її сторону на перпендикуляр, опущений на неї з протилежного кута, і розділивши цю цифру на два. Також можна знайти цю величину, якщо помножити дві сторони. Потім помножити це число на синус кута, розташованого між цими сторонами, і розділити це на два. Знаючи всі сторони трикутника, але не знаючи його кутів, можна знайти площу ще й іншим способом. Для цього необхідно знайти половину периметра. Потім по черзі відібрати від цього числа різні сторони і перемножити отримані чотири значення. Далі знайти з числа, що вийшло. Площу вписаного трикутника можна знайти, перемноживши всі сторони і розділивши отримане число яка описана навколо нього, помножений на чотири.

Площа описаного трикутника знаходиться таким чином: половину периметра множимо на радіус кола, яке в нього вписано. Якщо його площа можна знайти таким чином: сторону зводимо в квадрат, множимо отриману цифру на корінь з трьох, далі ділимо це число на чотири. Подібним чином можна обчислити висоту трикутника, у якого всі сторони рівні, для цього одну з них потрібно помножити на корінь із трьох, а потім розділити це число на два.

Теореми, пов'язані з трикутником

Основними теоремами, пов'язані з цією фігурою, є теорема Піфагора, описана вище, і косінусів. Друга (синусів) полягає в тому, що якщо розділити будь-яку сторону на синус протилежного їй кута, то можна отримати радіус кола, яке описано навколо нього, помножений на два. Третя (косінусів) полягає в тому, що, якщо від суми квадратів двох сторін відібрати їх же твір, помножений на два і на косинус кута, розташованого між ними, то вийде квадрат третьої сторони.

Трикутник Далі - що це?

Багато хто, зіткнувшись з цим поняттям, спочатку думає, що це якесь визначення в геометрії, але це зовсім не так. Трикутник Далі - це загальна назва трьох місць, які тісно пов'язані із життям знаменитого художника. «Вершинами» його є будинок, де Сальвадор Далі жив, замок, який він подарував своїй дружині, а також музей сюрреалістичних картин. Під час екскурсії цими місцями можна дізнатися багато цікавих фактів про цього своєрідного креативного художника, відомого у всьому світі.