Зведення комплексного числа до натурального ступеня. Зведення комплексних чисел у ступінь

Почнемо із улюбленого квадрата.

Приклад 9

Звести в квадрат комплексне число

Тут можна піти двома шляхами, перший спосіб це переписати ступінь як добуток множників і перемножити числа за правилом множення многочленів.

Другий спосіб полягає у застосування відомої шкільної формули скороченого множення:

Для комплексного числа легко вивести формулу скороченого множення:

Аналогічну формулу можна вивести для квадрата різниці, а також для куба сума та куба різниці. Але ці формули найбільш актуальні для завдань комплексного аналізу. Що робити, якщо комплексне число потрібно звести, скажімо, до 5-го, 10-го або 100-го ступеня? Зрозуміло, що в формі алгебри зробити такий трюк практично неможливо, дійсно, подумайте, як ви вирішуватимете приклад начебто?

І тут на допомогу приходить тригонометрична форма комплексного числа і, так звана, формула Муавра: Якщо комплексне число представлене в тригонометричній формі, то при його зведенні в натуральний ступінь справедлива формула:

Просто до неподобства.

Приклад 10

Дано комплексне число знайти.

Що потрібно зробити? Спочатку необхідно уявити це число в тригонометричній формі. Уважні читачі помітили, що у Прімері 8 ми це вже зробили:

Тоді, за формулою Муавра:

Упаси боже, не потрібно рахувати на калькуляторі, а ось кут у більшості випадків слід спростити. Як спростити? Образно кажучи, потрібно позбутися зайвих обертів. Один оборот становить радіан або 360 градусів. З'ясуємо, скільки у нас оборотів в аргументі. Для зручності робимо дріб правильною:, після чого стає добре видно, що можна зменшити один оборот:. Сподіваюся всім зрозуміло, що це один і той же кут.

Таким чином, остаточна відповідь запишеться так:

Окремий різновид завдання зведення у ступінь – це зведення у ступінь чисто уявних чисел.

Приклад 12

Звести в ступінь комплексні числа

Тут теж все просто, головне, пам'ятати знамениту рівність.

Якщо уявна одиниця зводиться у парний ступінь, то техніка рішення така:

Якщо уявна одиниця зводиться в непарний ступінь, то «відщипуємо» одне «і», одержуючи парний ступінь:

Якщо є мінус (або будь-який дійсний коефіцієнт), його необхідно попередньо відокремити:

Вилучення коренів із комплексних чисел. Квадратне рівняння з комплексним корінням

Розглянемо приклад:

Не можна вийняти коріння? Якщо йдеться про дійсні числа, то справді не можна. У комплексних числах витягти корінь – можна! А точніше, двакореня:

Чи дійсно знайдене коріння є рішенням рівняння? Виконаємо перевірку:

Що й потрібно було перевірити.

Часто використовується скорочений запис, обидва корені записують в один рядок під «одним гребінцем»: .

Таке коріння також називають пов'язаним комплексним корінням.

Як витягувати квадратне коріння з негативних чисел, думаю, всім зрозуміло: ,,,, і т.д. У всіх випадках виходить двасполучених комплексних кореня.

Приклад 13

Розв'язати квадратне рівняння

Обчислимо дискримінант:

Дискримінант негативний, і дійсних числах рівняння рішення немає. Але ж корінь можна витягти в комплексних числах!

За відомими шкільними формулами одержуємо два корені: – поєднане комплексне коріння

Таким чином, рівняння має два пов'язані комплексні корені:,

Тепер ви зможете вирішити будь-яке квадратне рівняння!

І взагалі, будь-яке рівняння з багаточленом «еного» ступеня має рівнокореневі, частина з яких може бути комплексними.

Простий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 14

Знайти коріння рівняння та розкласти квадратний двочлен на множники.

Розкладання на множники здійснюється знову ж таки за стандартною шкільною формулою.