Зведення логарифму до ступеня. Логарифм

Наведено основні властивості натурального логарифму, графік, область визначення, безліч значень, основні формули, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та представлення функції ln x за допомогою комплексних чисел.

Визначення

Натуральний логарифм- це функція y = ln x, зворотна до експоненти , x = e y , що є логарифмом на основі числа е : ln x = log e x.

Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.

Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.

Графік функції y = ln x.

Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої y = x .

Натуральний логарифм визначено за позитивних значень змінної x . Він монотонно зростає у своїй області визначення.

При x → 0 межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).

При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a зростає швидше за логарифму.

Властивості натурального логарифму

Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання

Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості натурального логарифму представлені у таблиці.

Значення ln x

ln 1 = 0

Основні формули натуральних логарифмів

Формули, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:

Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".

Зворотня функція

Зворотною для натурального логарифму є експонента.

Якщо то

Якщо то .

Похідна ln x

Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:
.
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексної змінної z:
.
Виразимо комплексну змінну zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде тим самим числом при різних n .

Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Визначення логарифму

Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а щоб отримати b .

Числом ев математиці прийнято позначати межу, якої прагнути вираз

Число еє ірраціональним числом- Числом, несумірним з одиницею, воно не може бути точно вираженим ні цілим ні дробовим раціональнимчислом.

Літера е- перша літера латинського слова exponere- виставляти напоказ, звідси в математиці назва експоненційна- Показова функція.

Число ешироко застосовується в математиці, і в усіх науках, які так чи інакше застосовують для своїх потреб математичні розрахунки.

Логарифми. Властивості логарифмів

Визначення: Логарифмом позитивного числа b на підставі називається показник ступеня с, в який треба звести число а щоб отримати число b.

Основна логарифмічна тотожність:

7) Формула переходу до нової основи:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Завдання та тести на тему «Логорифми. Властивості логарифмів»

• Логарифми - Важливі теми для повторення ЄДІ з математики

Для успішного виконання завдань на цю тему Ви повинні знати визначення логарифму, властивості логарифмів, основну логарифмічну тотожність, визначення десяткового та натурального логарифмів. Основні типи завдань з цієї теми — це завдання на обчислення та перетворення логарифмічних виразів. Розглянемо їхнє рішення на наступних прикладах.

Рішення:Використовуючи властивості логарифмів, отримаємо

Рішення:використовуючи властивості ступеня, отримаємо

1) (2 2) log 2 5 = (2 log 2 5) 2 = 5 2 = 25

Властивості логарифмів, формулювання та докази.

Логарифми мають низку характерних властивостей. У цій статті ми розберемо основні властивості логарифмів. Тут ми дамо їх формулювання, запишемо властивості логарифмів як формул, покажемо приклади їх застосування, і навіть наведемо докази властивостей логарифмів.

Навігація на сторінці.

Основні властивості логарифмів, формули

Для зручності запам'ятовування та використання уявимо основні властивості логарифмівяк списку формул. У наступному пункті дамо їх формулювання, докази, приклади використання та необхідні пояснення.

Властивість приватного логарифму: , де a>0, a≠1, x>0, y>0.

Наслідок: , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

Наслідок 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Наслідок 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p і q – дійсні числа, q≠0 , зокрема при b=a маємо .

Формулювання та докази властивостей

Переходимо до формулювання та доказу записаних властивостей логарифмів. Всі властивості логарифмів доводяться на основі визначення логарифму і основного логарифмічного тотожності, що випливає з нього, а також властивостей ступеня.

Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.

Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

Логарифм ступеня числа, що дорівнює підставі логарифму, дорівнює показнику ступеня. Цій властивості логарифму відповідає формула виду log a a p = p, де a>0, a≠1 і p – будь-яке дійсне число. Ця властивість безпосередньо випливає з визначення логарифму. Зауважимо, що воно дозволяє відразу вказати значення логарифму, якщо є можливість уявити число під знаком логарифму у вигляді ступеня основи, детальніше про це ми поговоримо у статті обчислення логарифмів.

Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. У силу властивостей ступеня a log a x + log a y = a log a x a log a y , а так як по основному логарифмічної тотожності a log a x = x і a log a y = y , то a log a x log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 .

Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n. Ця рівність без проблем доводиться методом математичної індукції.

Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0, a≠1, x та y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то за визначенням логарифму .

Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b | , Звідки log a b p = p log a | b | .

Наприклад, і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

Доказ базується на рівністі (дивіться визначення ступеня з дробовим показником), яке справедливе для будь-яких позитивних b , та властивості логарифму ступеня: .

Ось приклад використання цієї властивості: .

Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log ab log ca . Так доведено рівність log c b = log a b log c a , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму .

Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

Часто використовується окремий випадок формули переходу до нової основи логарифму при c = b виду. Звідси видно, що log ab і log ba – взаємно зворотні числа. Наприклад, .

Також часто використовується формула, яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму: .

Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 2 і за 0 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1 2 . На цьому доказ завершено.

Основні властивості логарифмів

• Матеріали до уроку
• Завантажити всі формули

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми – це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати – без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими основами: log a x та log a y . Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму добутку, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади – і переконайтесь:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 6 4 + log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні – подібні висловлювання на повному серйозі (іноді – практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

• log a x n = n · log a x;
• 
• 

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

[Підпис до малюнка]

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:

[Підпис до малюнка]

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм log a x . Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

[Підпис до малюнка]

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

[Підпис до малюнка]

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

[Підпис до малюнка]

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму – точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

[Підпис до малюнка]

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

[Підпис до малюнка]

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

1. n = log a a n

2. У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

   Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.

   Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a ? Правильно: вийде це число a . Уважно прочитайте цей абзац ще раз – багато хто на ньому «зависає».

   Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

   [Підпис до малюнка]

   Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 - просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

   [Підпис до малюнка]

   Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

   Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

   Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями - швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

   1. log a a = 1 – це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
   2. log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Підстава a може бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.

   Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її – і вирішуйте завдання.

   Логарифм. Властивості логарифму (складання та віднімання).

   Властивості логарифмувипливають із його визначення. І так логарифм числа bна підставі авизначається як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

   З цього формулювання випливає, що обчислення x=log a b, рівнозначне рішенню рівняння a x = b.Наприклад, log 2 8 = 3тому що 8 = 2 3 . Формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа.

   З логарифмами, як і з будь-якими числами, можна виконувати операції складання, відніманняі всіляко трансформувати. Але через те, що логарифми — це не зовсім ординарні числа, тут застосовні свої особливі правила, які називаються основними властивостями.

   Складання та віднімання логарифмів.

   Візьмемо два логарифми з однаковими підставами: log a xі log a y. Тоді зними можна виконувати операції складання та віднімання:

   Як бачимо, сума логарифмівдорівнює логарифму твору, а різниця логарифмів- Логарифму приватного. Причому це правильно якщо числа ахі упозитивні та а ≠ 1.

   Важливо звертати увагу, що основним аспектом даних формулах виступають одні й самі підстави. Якщо підстави відрізняються одна від одної, ці правила не застосовуються!

   Правила складання та віднімання логарифмів з однаковими підставами читаються не тільки зліва на право, а й на оборот. В результаті ми маємо теореми логарифму твору та логарифму приватного.

   Логарифм творудвох позитивних чисел дорівнює сумі їх логарифмів ; перефразовуючи цю теорему отримаємо наступне, якщо числа а, xі упозитивні та а ≠ 1, то:

   Логарифм приватногодвох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника. Говорячи інакше, якщо числа а, хі упозитивні та а ≠ 1, то:

   Застосуємо вищевикладені теореми на вирішення прикладів:

   Якщо числа xі унегативні, то формула логарифму творустає безглуздою. Так, заборонено писати:

   оскільки вирази log 2 (-8) та log 2 (-4) взагалі не визначені (логарифмічна функція у= log 2 хвизначено лише для позитивних значень аргументу х).

   Теорема творузастосовна як для двох, але й необмеженого числа сомножителей. Це означає, що для будь-якого натурального kта будь-яких позитивних чисел x 1 , x 2 , . . . ,x nіснує тотожність:

   З теореми логарифму приватногоможна отримати ще одну властивість логарифму. Загальновідомо, що log a 1= 0, отже,

   А значить має місце рівність:

   Логарифми двох взаємно зворотних чиселпо одному й тому підставі будуть різні друг від друга виключно знаком. Так:

   Логарифм. Властивості логарифмів

   Логарифм. Властивості логарифмів

   Розглянемо рівність. Нехай нам відомі значення і ми хочемо знайти значення.

   Тобто ми шукаємо показник ступеня, в який потрібно звести, щоб отримати .

   Нехай змінна може приймати будь-яке дійсне значення, тоді на змінні та накладаються такі обмеження: o» title=»a>o»/>

   Якщо нам відомі значення і , і перед нами стоїть завдання знайти невідоме , то для цієї мети вводиться математична дія, яка називається логарифмування.

   Щоб знайти значення, ми беремо логарифм числапо підставі :

   Логарифмом числа на підставі називається показник ступеня, в який треба звести, щоб отримати .

   Тобто основне логарифмічне тотожність:

   o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

   є по суті математичним записом визначення логарифму.

   Математична операція логарифмування є зворотною по відношенню до операції зведення в ступінь, тому властивості логарифмівтісно пов'язані з властивостями ступеня.

   Перерахуємо основні властивості логарифмів:

   (o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Наступна група властивостей дозволяє представити показник ступеня виразу, що стоїть під знаком логарифму, або стоїть на підставі логарифму як коефіцієнт перед знаком логарифму:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Наступна група формул дозволяє перейти від логарифму з даною основою до логарифму з довільною основою, і називається формулами переходу до нової основи:

   10.

   12. (наслідок з якості 11)

   

   Наступні три властивості не дуже відомі, однак вони часто використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь або при спрощенні виразів, що містять логарифми:

   13.

   14.

   15.

   Приватні випадки:

   — десятковий логарифм

   — натуральний логарифм

   При спрощенні виразів, що містять логарифми, застосовується загальний підхід:

   1. Подаємо десяткові дроби у вигляді звичайних.

   2. Змішані числа подаємо у вигляді неправильних дробів.

   3. Числа, що стоять на підставі логарифму та під знаком логарифму розкладаємо на прості множники.

   4. Намагаємось привести всі логарифми до однієї основи.

   5. Застосовуємо властивості логарифмів.

   Давайте розглянемо приклади спрощення виразів, що містять логарифми.

   приклад 1.

   Обчислити:

   Спростимо всі показники ступенів: наше завдання привести їх до логарифмів, в основі яких стоїть те ж число, що і в основі ступеня.

   ==(за якістю 7)=(за якістю 6) =

   Підставимо показники, які у нас вийшли у вихідний вираз. Отримаємо:

   Відповідь: 5,25

   Приклад 2. Обчислити:

   

   Приведемо всі логарифми до основи 6 (при цьому логарифми із знаменника дробу «перекочують» до чисельника):

   Розкладемо числа, що стоять під знаком логарифму на прості множники:

   Застосуємо властивості 4 та 6:

   Введемо заміну

   Отримаємо:

   Відповідь: 1

   Логарифм . Основна логарифмічна тотожність.

   Властивості логарифмів. Десятковий логарифм. Натуральний логарифм.

   Логарифмом позитивного числа N на підставі (b > 0, b 1) називається показник ступеня x , в яку потрібно звести b щоб отримати N .

   Цей запис рівнозначний наступному: b x = N .

   Приміри: log 3 81 = 4 , так як 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3, оскільки (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Наведене вище визначення логарифму можна записати у вигляді тотожності:

   

   Основні властивості логарифмів.

   2) log 1 = 0, так як b 0 = 1 .

   3) Логарифм твору дорівнює сумі логарифмів співмножників:

   4) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів діленого та дільника:

   5) Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм її основи:

   Наслідком цієї властивості є таке: логарифм кореня дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на ступінь кореня:

   

   6) Якщо на підставі логарифму знаходиться ступінь, то величину, зворотний показник ступеня, можна винести за знак лога риму:

   

   Два останні властивості можна поєднати в одне:

   

   7) Формула модуля переходу (т. e. переходу від однієї основи логарифму до іншої основи):

   

   В окремому випадку при N = aмаємо:

   

   Десятичним логарифмом називається логарифм з основи 10. Він позначається lg, тобто. log 10 N= lg N. Логарифми чисел 10, 100, 1000, . p авни відповідно 1, 2, 3, …, тобто. мають стільки позитивних

   одиниць, скільки нулів стоїть у логарифмованій кількості після одиниці. Логарифми чисел 0.1, 0.01, 0.001, . p авни відповідно –1, –2, –3, …, тобто. мають стільки негативних одиниць, скільки нулів стоїть в логарифмується перед одиницею (вважаючи і нуль цілих). Логарифми інших чисел мають дрібну частину, звану мантисою. Ціла частина логарифму називається характеристикою. Для практичного застосування десяткові логарифми найбільш зручні.

   Натуральним логарифмом називається логарифм з основи е. Він позначається ln, тобто. log e N= ln N. Число еє ірраціональним, його наближене значення 2.718281828. Воно є межею, якої прагне число (1 + 1 / n) nпри необмеженому зростанні n(Див. перша чудова межана сторінці "Межі числових послідовностей").
   Як це здасться дивним, натуральні логарифми виявилися дуже зручними при проведенні різноманітних операцій, пов'язаних з аналізом функцій. Обчислення логарифмів на підставі ездійснюється набагато швидше, ніж з будь-якої іншої основи.

• Що потрібно сьогодні для усиновлення дитини у Росії? Усиновлення у Росії, крім відповідального особистого рішення, передбачає низку процедур державної перевірки кандидатів. Жорсткий відбір на підготовчому етапі сприяє більш […]
• Відомості безкоштовно по ІПН або ОГРН з реєстру податкової по всій Росії - онлайн
• Покарання за їзду без документів (право водія, страховка, СТС) Іноді по забудькуватості водії сідають за кермо без ВУ та отримують штраф за їзду без документів. Нагадаємо, що автоаматор за кермом при собі в обов'язковому порядку […]
• Квіти чоловіків. Які квіти можна подарувати чоловікові? Які квіти можна подарувати чоловікові? "Чоловічих" квітів не так багато, але є такі, які дарують чоловікам. Маленький список квітів перед вами: Хризантеми. Троянди. Гвоздики. […]
• Службова записка – це спеціальна форма документа, яка використовується у внутрішньому середовищі підприємства та служить для швидкого вирішення поточних виробничих проблем. Зазвичай цей документ складається з метою внесення будь-якого […]
• Коли і як отримати накопичувальну частину пенсії в Ощадбанку? Ощадбанк є банк-партнер державного пенсійного фонду. На підставі цього громадяни, які оформили накопичувальну пенсію, могли переводити до нього накопичувальну частину […]
• Дитяча допомога в Ульяновську та Ульяновській області у 2018 році Крім того, у всіх суб'єктах працюють програми, затверджені федеральним законодавством. Розберемо, хто та на які пільги може розраховувати. Як регіональна влада […]
• Докладне керівництво, як скласти довіреність на подання інтересів фізичної особи в суді У цивільному чи арбітражному позові, в адміністративній чи кримінальній справі інтереси та позивача, та відповідача можуть представлятися повіреним: […]

Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b * a c = a b + c). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а згодом, у VIII столітті, математик Вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони стали для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простим та доступним мовою.

Визначення в математиці

Логарифмом називається вираз наступного виду: log a b=c, тобто логарифмом будь-якого невід'ємного числа (тобто будь-якого позитивного) "b" за його основою "a" вважається ступінь "c", в яку необхідно звести основу "a", щоб у результаті отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, скажімо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти такий ступінь, щоб з 2 до ступеня отримати 8. Зробивши в умі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 у ступені 3 відповідає у відповідь число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема видається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне - зрозуміти загальний їхній зміст і запам'ятати їхню власність і деякі правила. Існує три окремі види логарифмічних виразів:

1. Натуральний логарифм ln a де основою є число Ейлера (e = 2,7).
2. Десятковий a де підставою служить число 10.
3. Логарифм будь-якого числа b на підставі a>1.

Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості та черговість дій за їх рішення.

Правила та деякі обмеження

У математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню та є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо отримати корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна легко навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

• основа "a" завжди має бути більшою за нуль, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій зміст, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
• якщо а > 0, то і а b > 0, виходить, що і "з" має бути більшим за нуль.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати такий ступінь, звівши до якого число десять ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, 10 2 =100.

А тепер давайте уявимо цей вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти той ступінь, в який необхідно ввести основу логарифму, щоб отримати задане число.

Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона так:

Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму та знання таблиці множення. Однак для великих значень знадобиться таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не тямить у складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (основа a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, яку зводиться число a. На перетині в осередках визначено значення чисел, що є відповіддю (a c = b). Візьмемо, наприклад, саму першу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке вказано на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!

Рівняння та нерівності

Виходить, що за певних умов показник ступеня – це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні вирази можна записати як логарифмічного рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифму числа 81 на підставі 3, що дорівнює чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенів правила такі самі: 2 -5 = 1/32 запишемо як логарифма, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найцікавіших розділів математики є тема "логарифми". Приклади та розв'язання рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності та як їх відрізнити від рівнянь.

Дано вираз наступного виду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічною нерівністю, тому що невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифму. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа на підставі два більше, ніж число три.

Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями і нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при розв'язанні нерівності визначаються як область допустимих значень розрив цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не проста безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний ряд або набір чисел.

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань знаходження значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість докладніше.

1. Основне тотожність має такий вигляд: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і B більше за нуль.
2. Логарифм твору можна подати в наступній формулі: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовою є: d, s 1 і s 2 > 0; а≠1. Можна навести доказ цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 тоді а f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів ), а далі за визначенням: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, що і потрібно довести.
3. Логарифм приватного має такий вигляд: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теорема у вигляді формули набуває наступного вигляду: log a q b n = n/q log a b.

Називається ця формула "властивістю ступеня логарифму". Вона нагадує властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Погляньмо на доказ.

Нехай log a b = t, виходить a t = b. Якщо звести обидві частини до ступеня m: a tn = b n ;

але оскільки a tn = (a q) nt / q = b n, отже log a q b n = (n * t) / t, тоді log a q b n = n / q log a b. Теорему доведено.

Приклади завдань та нерівностей

Найпоширеніші типи завдань на тему логарифмів – приклади рівнянь та нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять до обов'язкової частини іспитів з математики. Для вступу до університету чи складання вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.

На жаль, єдиного плану чи схеми з вирішення та визначення невідомого значення логарифму не існує, проте до кожної математичної нерівності чи логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз чи привести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте скоріше з ними познайомимося.

При вирішенні ж логарифмічних рівнянь слід визначити, який перед нами вид логарифму: приклад виразу може містити натуральний логарифм або десятковий.

Ось приклади ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити той ступінь, в якому основа 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо розв'язання логарифмічних завдань різного типу.

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами та рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

1. Властивість логарифму твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - як бачите, застосовуючи четверту властивість ступеня логарифму, вдалося вирішити на перший погляд складне і нерозв'язне вираз. Необхідно лише розкласти основу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифму.

Завдання з ЄДІ

Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань у ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні у частині А (найлегша тестова частина іспиту), а й у частини З (найскладніші і об'ємні завдання). Іспит передбачає точне та ідеальне знання теми "Натуральні логарифми".

Приклади та розв'язання завдань взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; x = 8,5.

• Всі логарифми найкраще приводити до однієї підстави, щоб рішення не було громіздким та заплутаним.
• Всі вирази, що стоять під знаком логарифму, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифму і як його підстава, вираз, що залишається під логарифмом, має бути позитивним.

Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N

За умови, що
,
,

З визначення логарифму випливає, що
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.

Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість
пишуть
.

Логарифми на підставі e називаються натуральними та позначаються
.

Основні властивості логарифмів.

Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів

Множник
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a до логарифмів на підставі b .

За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.

Наприклад,

Такі перетворення логарифму називаються логарифмуванням. Перетворення зворотні логарифмування називаються потенціюванням.

Розділ 2. Елементи вищої математики.

1. Межі

Межею функції
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx 0 для кожного наперед заданого
, знайдеться таке число
, що як тільки
, то
.

Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину:
, де -б.м.в., тобто.
.

приклад. Розглянемо функцію
.

При прагненні
, функція y прагне до нуля:

1.1. Основні теореми про межі.

Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині

.

Межа суми (різниці) кінцевого числа функцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функцій.

Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.

Межа частки двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.

Чудові межі

,
, де

1.2. Приклади обчислення меж

Однак не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: або .

.

2. Похідна функції

Нехай ми маємо функцію
, безперервну на відрізку
.

Аргумент отримав деякий приріст
. Тоді і функція отримає збільшення
.

Значення аргументу відповідає значення функції
.

Значення аргументу
відповідає значення функції.

Отже, .

Знайдемо межу цього відношення при
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.

Визначення 3Виробної даної функції
за аргументом називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.

Похідна функції
може бути позначена таким чином:

; ; ; .

Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.

2.1. Механічний сенс похідної.

Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.

Нехай у певний момент часу точка, що рухається
знаходилась на відстані від початкового положення
.

Через деякий проміжок часу
вона перемістилася на відстань
. Ставлення =- Середня швидкість матеріальної точки
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що
.

Отже визначення миттєвої швидкості руху матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.

2.2. Геометричне значення похідної

Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію
.

Рис. 1. Геометричний зміст похідної

Якщо
, то крапка
, буде переміщатися кривою, наближаючись до точки
.

Отже
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямом осі
.

2.3. Таблиця основних формул диференціювання.

Ступінна функція

Показова функція

Логарифмічна функція

Тригонометрична функція

Зворотна тригонометрична функція

2.4. Правила диференціювання.

Похідна від

Похідна суми (різниці) функцій

Похідна робота двох функцій

Похідна приватного двох функцій

2.5. Похідна від складної функції.

Нехай дана функція
така, що її можна подати у вигляді

і
, де змінна є проміжним аргументом, тоді

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.

Приклад1.

Приклад2.

3. Диференціал функції.

Нехай є
, що диференціюється на деякому відрізку
і нехай у цієї функції є похідна

,

тоді можна записати

(1),

де - нескінченно мала величина,

так як при

Помножуючи всі члени рівності (1) на
маємо:

Де
- Б.М.В. вищого ладу.

Величина
називається диференціалом функції
і позначається

.

3.1. Геометричне значення диференціалу.

Нехай дана функція
.

Рис.2. Геометричний зміст диференціала.

.

Очевидно, що диференціал функції
дорівнює приросту ординати дотичної в цій точці.

3.2. Похідні та диференціали різних порядків.

Якщо є
тоді
називається першою похідною.

Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується
.

Похідний n-го порядку від функції
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:

.

Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.

.

.

3.3 Розв'язання біологічних завдань із застосуванням диференціювання.

Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону
, де N – чисельність мікроорганізмів (у тис.), t -Час (Дні).

б) Чи буде в цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?

Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.

Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням

.

Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і чи можна буде в ньому купатися?

РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.

,

Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.

Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація бактерій.

Випливають із його визначення. І так логарифм числа bна підставі авизначається як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x=log a b, рівнозначне рішенню рівняння a x = b.Наприклад, log 2 8 = 3тому що 8 = 2 3 . Формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа .

З логарифмами, як і з будь-якими числами, можна виконувати операції складання, відніманняі всіляко трансформувати. Але через те, що логарифми - це не зовсім ординарні числа, тут застосовні свої особливі правила, які називаються основними властивостями.

Складання та віднімання логарифмів.

Візьмемо два логарифми з однаковими підставами: log a xі log a y. Тоді зними можна виконувати операції складання та віднімання:

log a x + log a y = log a (x · y);

log a x - log a y = log a (x: y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

З теореми логарифму приватногоможна отримати ще одну властивість логарифму. Загальновідомо, що log a 1= 0, отже,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= - log a b.

А значить має місце рівність:

log a 1 / b = - log a b.

Логарифми двох взаємно зворотних чиселпо одному й тому підставі будуть різні друг від друга виключно знаком. Так:

Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.