Усі властивості інтегралів. Основні властивості невизначеного інтегралу

Нехай функція y = f(x) визначена на відрізку [ a, b ], a < b. Виконаємо такі операції:

1) розіб'ємо [ a, b] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b на nчасткових відрізків [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) у кожному з часткових відрізків [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, виберемо довільну точку та обчислимо значення функції у цій точці: f(z i ) ;

3) знайдемо твори f(z i ) · Δ x i , де - Довжина часткового відрізка [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) складемо інтегральну сумуфункції y = f(x) на відрізку [ a, b ]:

З геометричної точки зору ця сума σ є сумою площ прямокутників, основи яких – часткові відрізки [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], а висоти рівні f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) відповідно (рис. 1). Позначимо через λ довжину найбільшого часткового відрізка:

5) знайдемо межу інтегральної суми, коли λ → 0.

Визначення.Якщо існує кінцева межа інтегральної суми (1) і вона не залежить ні від способу розбиття відрізка [ a, b] на часткові відрізки, ні від вибору точок z iв них, то ця межа називається певним інтеграломвід функції y = f(x) на відрізку [ a, b] і позначається

Таким чином,

У цьому випадку функція f(x) називається інтегрованоїна [ a, b]. Числа aі bназиваються відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування, f(x) - підінтегральною функцією, f(x ) dx- підінтегральним виразом, x– змінної інтегрування; відрізок [ a, b] називається проміжком інтегрування.

Теорема 1.Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b], вона інтегрована у цьому відрізку.

Певний інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

Якщо a > b, то, за визначенням, вважаємо

2. Геометричний зміст певного інтегралу

Нехай на відрізку [ a, b] задана безперервна невід'ємна функція y = f(x ) . Криволінійною трапецієюназивається фігура, обмежена зверху графіком функції y = f(x) , знизу – віссю Ох, зліва та справа – прямими x = aі x = b(Рис. 2).

Певний інтеграл від невід'ємної функції y = f(x) з геометричної точки зору дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y = f(x) , ліворуч і праворуч – відрізками прямих x = aі x = b, знизу - відрізком осі Ох.

3. Основні властивості певного інтегралу

1. Значення певного інтеграла залежить від позначення змінної інтегрування:

2. Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу:

3. Певний інтеграл від суми алгебри двох функцій дорівнює сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій:

4.Якщо функція y = f(x) інтегрована на [ a, b] та a < b < c, то

5. (теорема про середнє). Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b], то на цьому відрізку існує точка, така, що

4. Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема 2.Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] та F(x) – якась її первісна на цьому відрізку, то справедлива наступна формула:

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.Різниця F(b) - F(a) прийнято записувати так:

де символ називається знаком подвійної підстановки.

Таким чином, формулу (2) можна записати у вигляді:

приклад 1.Обчислити інтеграл

Рішення. Для підінтегральної функції f(x ) = x 2 довільна первісна має вигляд

Так як у формулі Ньютона-Лейбніца можна використовувати будь-яку первісну, то для обчислення інтеграла візьмемо первісну, що має найпростіший вигляд:

5. Заміна змінної у певному інтегралі

Теорема 3.Нехай функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b]. Якщо:

1) функція x = φ ( t) та її похідна φ "( t) безперервні при ;

2) безліччю значень функції x = φ ( t) при є відрізок [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, то справедлива формула

яка називається формулою заміни змінної у певному інтегралі .

На відміну від невизначеного інтеграла, у разі немає необхідностіповертатися до вихідної змінної інтегрування – достатньо лише знайти нові межі інтегрування α та β (для цього треба вирішити щодо змінної tрівняння φ ( t) = aта φ ( t) = b).

Замість підстановки x = φ ( t) можна використовувати підстановку t = g(x). У цьому випадку знаходження нових меж інтегрування за змінною tспрощується: α = g(a) , β = g(b) .

Приклад 2. Обчислити інтеграл

Рішення. Введемо нову змінну за формулою. Звівши в квадрат обидві частини рівності, отримаємо 1 + x = t 2 , звідки x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Знаходимо нові межі інтегрування. Для цього у формулу підставимо старі межі x = 3 та x = 8. Отримаємо: , звідки t= 2 та α = 2; , звідки t= 3 і β = 3. Отже,

приклад 3.Обчислити

Рішення. Нехай u= ln xтоді , v = x. За формулою (4)

Первісна і невизначений інтеграл.

Первоподібною функцією f(x) на проміжку (a; b) називається така функція F(x), що виконується рівність для будь-якого х із заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи С дорівнює нулю, то справедлива рівність . Таким чином, функція f(x) має безліч первісних F(x)+C, для довільної константи, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Все безліч первісних функцій f(x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) – підінтегральною функцією. Подинтегральное вираз є диференціал функції f(x).

Дія знаходження невідомої функції по заданому диференціалу називається невизначеним інтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

Табличні інтеграли

Найпростіші властивості інтегралів

1. Похідна результату інтегрування дорівнює підінтегральної функції.

2. Невизначений інтеграл диференціала функції дорівнює сумі самої функції та довільної константи.

3. Коефіцієнт можна виносити за знак невизначеного інтегралу.

4. Невизначений інтеграл суми/різниці функцій дорівнює сумі/різниці невизначених інтегралів функцій.

Проміжні рівності першої та другої властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третьої та четвертої властивостей достатньо знайти похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні рівні підінтегральним функцій, що є доказом з першої якості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотним завданням диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

перше властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування, достатньо обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана результаті диференціювання функція виявиться рівної підінтегральної функції, це означатиме, що інтегрування проведено правильно;

друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалом функції знайти її первісну. У цьому властивості засноване безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

1.4.Інваріантність форм інтегрування.

Інваріантне інтегрування - вид інтегрування для функцій, аргументом яких є елементи групи або точки однорідного простору (будь-яку точку такого простору можна перевести в іншу задану дію групи).

функції f(x)зводиться до обчислення інтеграла від диференціальної форми f.w, де

Явна ф-ла для r(х)наводиться нижче. Умова погодження має вигляд .

тут Tg означає оператор зсуву X за допомогою gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нехай X = G - топологія, група, що діє собі лівими зрушеннями. І. в. існує тоді й лише тоді, коли G локально компактна (зокрема, на нескінченномірних групах І. і. не існує). Для підмножини І. в. Характеристичні функції cA (рівний 1 на A і 0 поза А) задає ліву міру Xаара m(A). Визначальною властивістю цього заходу є інваріантність при лівих зрушеннях: m(g-1A)=m(А)для всіх gОG. Ліва міра Хаара на групі визначена однозначно з точністю до скалярного множника. Якщо відома міра Хаара m, то І. в. функції f надається формулою . Аналогічні властивості має правий захід Хаара. Існує безперервний гомоморфізм (відображення, що зберігає групову властивість) DG групи G групу (щодо множення) покладе. чисел, для якого

де dmr і dmi - правий і лівий заходи Хаара. Функцію DG(g) зв. модулем групи G. Якщо , то група G зв. унімодулярний; у цьому випадку правий і лівий заходи Хаара збігаються. Компактні, напівпрості та нільпотентні (зокрема, комутативні) групи унімодулярні. Якщо G - n-вимірна група Лі і q1, ..., qn - базис у просторі лівоінваріантних 1-форм на G, то ліва міра Хаара на G задається n-формою . У локальних координатах для обчислення

форм qi можна скористатися будь-якою матричною реалізацією групи G: матрична 1-форма g-1dg лівоінваріантна, а її коеф. є лівоінваріантними скалярними 1-формами, у тому числі і вибирається шуканий базис. Напр., повна матрична група GL(n, R) унімодулярна та міра Хаара на ній задається формою. Нехай X=G/H - однорідне простір, котрій локально компактна група G є групою перетворень, а замкнута підгрупа Н - стабілізатором певної точки. Для того, щоб на X існувало І. і., необхідно і достатньо, щоб для всіх hОH виконувалася рівність DG(h)=DH(h). Зокрема, це правильно у разі, коли Н компактна чи напівпроста. Повної теорії І. в. на нескінченномірних різноманіттях немає.

Заміна змінних.

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Ця стаття докладно розповідає про основні властивості певного інтегралу. Вони доводяться з допомогою поняття інтеграла Рімана і Дарбу. Обчислення певного інтеграла проходить завдяки 5 властивостям. Ті, що залишилися, застосовуються для оцінювання різних виразів.

Перед переходом до основних властивостей певного інтеграла необхідно переконатися в тому, що a не перевищує b .

Основні властивості певного інтегралу

Функція y = f (x) , визначена при х = а, аналогічно до справедливої ​​рівності ∫ a a f (x) d x = 0 .

Доказ 1

Звідси бачимо, що значення інтеграла з збігаються межами дорівнює нулю. Це наслідок інтеграла Рімана, тому що кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття на проміжку [ a ; a ] і будь-якого вибору точок ζ i дорівнює нулю, тому як x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. . . , n , отже, отримуємо, що межа інтегральних функцій – нуль.

Визначення 2

Для функції, що інтегрується на відрізку [a; b ] , виконується умова ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x .

Доказ 2

Інакше висловлюючись, якщо змінити верхню і нижню межу інтегрування місцями, то значення інтеграла змінить значення протилежне. Ця властивість взята з інтеграла Рімана. Однак, нумерація розбиття відрізка йде з точки x = b.

Визначення 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x застосовується для інтегрованих функцій типу y = f (x) та y = g (x) , визначених на відрізку [a; b].

Доказ 3

Записати інтегральну суму функції y = f (x) ± g (x) для розбиття на відрізки з даним вибором точок ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

де f і g є інтегральними сумами функцій y = f (x) і y = g (x) для розбиття відрізка. Після переходу до межі при λ = m a x i = 1, 2,. . . , n (x i - x i - 1) → 0 отримуємо, що lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

З визначення Рімана цей вислів є рівносильним.

Визначення 4

Винесення постійного множника за знак певного інтегралу. Інтегрована функція з інтервалу [a; b] з довільним значенням k має справедливу нерівність виду ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Доказ 4

Доказ якості певного інтеграла аналогічно попередньому:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (xi - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (xi - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Визначення 5

Якщо функція виду y = f (x) інтегрована на інтервалі x з a ∈ x , b ∈ x , отримуємо, що ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Доказ 5

Властивість вважається справедливою для c ∈ a; b для c ≤ a і c ≥ b . Доказ проводиться аналогічно до попередніх властивостей.

Визначення 6

Коли функція може бути інтегрованою з відрізка [a; b], тоді це можна здійснити для будь-якого внутрішнього відрізка c; d ∈ a; b.

Доказ 6

Доказ ґрунтується на властивості Дарбу: якщо у наявного розбиття відрізка зробити додавання точок, тоді нижня сума Дарбу не зменшуватиметься, а верхня не збільшуватиметься.

Визначення 7

Коли функція інтегрована на [a; b ] з f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за будь-якого значення x ∈ a ; b , тоді одержуємо, що ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Властивість може бути доведена за допомогою визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка і точок ζ i з умовою, що f(x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 отримуємо невід'ємною.

Доказ 7

Якщо функції y = f(x) і y = g(x) інтегруються на відрізку [a; b], тоді такі нерівності вважаються справедливими:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , якщо f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , якщо f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Завдяки твердженню знаємо, що інтегрування допустиме. Цей слідство буде використано в доказі інших властивостей.

Визначення 8

При інтегрованій функції y = f (x) з відрізка [a; b ] маємо справедливу нерівність виду ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Доказ 8

Маємо, що - f(x) ≤ f(x) ≤ f(x) . З попередньої властивості отримали, що нерівність може бути інтегрована почленно і відповідає нерівність виду - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ця подвійна нерівність може бути записана в іншій формі: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Визначення 9

Коли функції y = f(x) та y = g(x) інтегруються з відрізка [a; b] при g (x) ≥ 0 при будь-якому x ∈ a; b , одержуємо нерівність виду m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , де m = min x ∈ a ; b f (x) і M = m a x x ∈ a; bf(x).

Доказ 9

Аналогічним чином провадиться доказ. M і m вважаються найбільшим і найменшим значенням функції y = f(x), визначеної з відрізка [a; b], тоді m ≤ f (x) ≤ M . Необхідно помножити подвійну нерівність на функцію y = g(x), що дасть значення подвійної нерівності виду m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Необхідно проінтегрувати його на відрізку [a; b], тоді отримаємо твердження, що доводиться.

Наслідок: При g (x) = 1 нерівність набуває вигляду m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Перша формула середнього значення

При y = f (x) інтегрована на відрізку [a; b] з m = m i n x ∈ a; b f (x) і M = m a x x ∈ a; b f (x) є число μ ∈ m; M , яке підходить ∫ a b f (x) d x = μ · b - a.

Наслідок: Коли функція y = f(x) безперервна з відрізка [a; b ] , є таке число c ∈ a ; b , яка задовольняє рівності ∫ a b f (x) d x = f (c) · b - a.

Перша формула середнього значення в узагальненій формі

Коли функції y = f (x) і y = g (x) інтегруються з відрізка [ a ; b] з m = m i n x ∈ a; b f (x) і M = m a x x ∈ a; b f (x) , а g (x) > 0 за будь-якого значення x ∈ a ; b. Звідси маємо, що число μ ∈ m ; M , яка задовольняє рівності ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Друга формула середнього значення

Коли функція y = f (x) є інтегрованою з відрізка [a; b], а y = g (x) є монотонною, тоді є число, яке c ∈ a; b , де одержуємо справедливу рівність виду ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У статті ми перерахуємо основні властивості певного інтеграла. Більшість цих властивостей доводяться на основі понять певного інтегралу Рімана та Дарбу.

Обчислення певного інтеграла часто-густо проводиться з допомогою перших п'яти властивостей, отже ми будемо за потреби ними посилатися. Інші властивості певного інтеграла в основному застосовуються для оцінки різних виразів.

Перш ніж перейти до основним властивостям певного інтегралу, умовимося, що a не перевищує b .

Для функції y = f(x) , визначеної при x = a справедлива рівність .

Тобто значення певного інтеграла з збігаються межами інтегрування дорівнює нулю. Ця властивість є наслідком визначення інтеграла Рімана, тому що в цьому випадку кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття проміжку та будь-якого вибору точок дорівнює нулю, тому що, отже, межею інтегральних сум є нуль.

Для функції, що інтегрується на відрізку, виконується .

Іншими словами, при зміні верхньої та нижньої меж інтегрування місцями значення певного інтеграла змінюється на протилежне. Ця властивість певного інтеграла також випливає з поняття інтеграла Рімана, тільки нумерацію розбиття відрізка слід починати з точки x = b.

для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) .

Доведення.

Запишемо інтегральну суму функції для даного розбиття відрізка та вибору точок :

де - інтегральні суми функцій y = f(x) і y = g(x) для даного розбиття відрізка відповідно.

Переходячи до межі при отримаємо , що у визначенню інтеграла Рімана рівносильно утвердженню доведеного якості.

Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу. Тобто для інтегрованої на відрізку функції y = f(x) і довільного числа k справедлива рівність .

Доказ цієї властивості певного інтеграла абсолютно схожий на попередній:


Нехай функція y = f(x) інтегрована на інтервалі X, причому і тоді .

Ця властивість справедлива як для, так і для або.

Доказ можна провести, спираючись на попередні властивості певного інтегралу.

Якщо функція інтегрована на відрізку, вона інтегрована і будь-якому внутрішньому відрізку.

Доказ ґрунтується на властивості сум Дарбу: якщо до наявного розбиття відрізка додати нові точки, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня – не збільшиться.

Якщо функція y = f(x) інтегрована на відрізку й у будь-якого значення аргументу , то .

Ця властивість доводиться через визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка і точок при буде невід'ємною (не позитивною).

Слідство.

Для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) справедливі нерівності:


Це твердження означає, що допустиме інтегрування нерівностей. Цим наслідком ми користуватимемося під час доказу наступних властивостей.

Нехай функція y = f(x) інтегрована на відрізку тоді справедлива нерівність .

Доведення.

Очевидно, що . У попередній властивості ми з'ясували, що нерівність можна почленно інтегрувати, тому справедливо . Цю подвійну нерівність можна записати як .

Нехай функції y = f(x) та y = g(x) інтегруються на відрізку і для будь-якого значення аргументу , тоді , де і .

Доказ проводиться аналогічно. Так як m і M – найменше та найбільше значення функції y = f(x) на відрізку, то . Примноження подвійної нерівності на невід'ємну функцію y = g(x) призводить до наступної подвійної нерівності . Інтегруючи його на відрізку, прийдемо до твердження, що доводиться.

Слідство.

Якщо взяти g(x) = 1 , то нерівність набуде вигляду .

Перша формула середнього значення.

Нехай функція y = f(x) інтегрована на відрізку , і тоді існує таке число, що.

Слідство.

Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку, то знайдеться таке число, що .

Перша формула середнього значення узагальненої формі.

Нехай функції y = f(x) і y = g(x) інтегруються на відрізку , і , а g(x) > 0 будь-якого значення аргументу . Тоді існує таке число, що .

Друга формула середнього значення.

Якщо на відрізку функція y = f(x) інтегрована, а y = g(x) монотонна, існує таке число , що справедливо рівність .