Усі чудові точки трикутника. Чотири чудові точки трикутника
Перші дві теореми Вам добре відомі, дві інші – доведемо.
Теорема 1
Три бісектриси трикутникаперетинаються в одній точці, яка є центр вписаного кола.
Доведення
засновано на тому факті, що бісектриса кута є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута.
Теорема 2
Три серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола.
Доведення
засновано на тому, що серединний перпендикуляр відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка.
Теорема 3
Три висоти або три прямі, На яких лежать висоти трикутника, перетинаються в одній точці. Ця точка називається ортоцентромтрикутник.
Доведення
Через вершини трикутника `ABC` проведемо прямі, паралельні протилежним сторонам.
У перетині утворюється трикутник `A_1 B_1 C_1`.
За побудовою `ABA_1C` - паралелограм, тому `BA_1 = AC`. Аналогічно встановлюється, що `C_1B = AC`, отже `C_1B = AC`, точка `B` - середина відрізка `C_1A_1`.
Так само показується, що 'C' - середина 'B_1A_1' і 'A' - середина 'B_1 C_1'.
Нехай 'BN' - висота трикутника 'ABC', тоді для відрізка 'A_1 C_1' пряма 'BN' - серединний перпендикуляр. Звідки випливає, що три прямі, на яких лежать висоти трикутника `ABC`, є серединними перпендикулярами трьох сторін трикутника `A_1B_1C_1`; такі перпендикуляри перетинаються в одній точці (теорема 2).
Якщо трикутник гострокутний, кожна з висот є відрізок, що з'єднує вершину і деяку точку протилежної сторони. У цьому випадку точки `B` і `N` лежать у різних напівплощинах, утворених прямий `AM`, значить відрізок `BN`, перетинає пряму `AM`, точка перетину лежить на висоті `BN`, тобто лежить усередині трикутника .
У прямокутному трикутнику точка перетину висот є вершина прямого кута.
Теорема 4
Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетині щодо `2:1`, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжкості (чи центром мас) трикутника.
Існують різні докази цієї теореми. Наведемо те, що засноване на теоремі Фалеса.
Доведення
Нехай `E`, `D` і `F` - середини сторін `AB`, `BC` і `AC` трикутника `ABC`.
Проведемо медіану `AD` і через точки `E` та `F` паралельніїй прямі `EK` та `FL`. По теоремі Фалеса `BK = KD``(/_ABC`, E K‖AD) EK\|AD) та `DL=LC``(/_ACB`, AD‖F L) AD\| FL). Але `BD = DC = a//2`, тому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тій самій теоремі `BN = NM = MF`` (/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), тому `BM = 2MF`.
Це означає, що медіана 'BF' у точці 'M' перетину з медіаною 'AD' розділилися щодо '2:1' рахуючи від вершини.
Доведемо, що і медіана 'AD' у точці 'M' розділилася в тому ж відношенні. Міркування аналогічні.
Якщо розглянути медіани 'BF' і 'CE' то також можна показати, що вони перетинаються в тій точці, в якій медіана 'BF' ділиться щодо '2:1' тобто в тій же точці 'M'. І цією точкою медіана `CE` також розділиться щодо `2:1`, рахуючи від вершини.
Зміст
Вступ………………………………………………………………………………………3
Глава 1.
1.1 Трикутник………………………………………………………………………………..4
1.2. Медіани трикутника
1.4. Висоти у трикутнику
Висновок
Список використаної літератури
Буклет
Вступ
Геометрія - це розділ математики, що розглядає різні постаті та його властивості. Геометрія починається із трикутника. Ось уже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії; але він не лише символ, трикутник – атом геометрії.
У своїй роботі я розгляну властивості точок перетину бісектрис, медіан і висот трикутника, розповім про чудові їх властивості та лінії трикутника.
До таких точок, що вивчаються в шкільному курсі геометрії, відносяться:
а) точка перетину бісектрис (центр вписаного кола);
б) точка перетину серединних перпендикулярів (центр описаного кола);
в) точка перетину висот (ортоцентр);
г) точка перетину медіан (центроїд).
Актуальність: розширити свої знання про трикутник,властивості йогочудових точок.
Ціль: дослідження трикутника на його чудові точки,вивчення їхкласифікацій та властивостей.
Завдання:
1. Вивчити необхідну літературу
2. Вивчити класифікацію чудових точок трикутника
3. Вміти будувати чудові точки трикутника.
4. Узагальнити вивчений матеріал для оформлення буклету.
Гіпотеза проекту:
вміння знаходити чудові точки у будь-якому трикутнику, дозволяє вирішувати геометричні завдання на побудову.
Глава 1. Історичні відомості про чудові точки трикутника
У четвертій книзі "Початок" Евклід вирішує завдання: "Вписати коло у цей трикутник". З рішення випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. З вирішення іншого завдання Евкліда випливає, що перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника у тому серединах, теж перетинаються у одній точці – центрі описаного кола. У "Початках" не йдеться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром (грецьке слово "ортос" означає "прямий", "правильний"). Ця пропозиція була, однак, відома Архімеду, Паппу, Проклу.
Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжкості (барицентр) трикутника. На вищезгадані чотири точки було звернуто особливу увагу, і починаючи з XVIII століття вони були названі "чудовими" або "особливими" точками трикутника.
Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних із цими та іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики - "геометрії трикутника" або "нової геометрії трикутника", одним із родоначальників якої став Леонард Ейлер. У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше "прямою Ейлера".
Трикутник
Трикутник - геометрична фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки. Крапки -вершини трикутника, відрізки -сторони трикутник.
У А, В, С – вершини
АВ, НД, СА - сторони
А З
З кожним трикутником пов'язані чотири точки:
Точка перетину медіан;
Точка перетину бісектрис;
Точка перетину висот.
Точка перетину серединних перпендикулярів;
1.2. Медіани трикутника
Медина трикутника ― , що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (Малюнок 1). Точка перетину медіани зі стороною трикутника називається основою медіани.
Малюнок 1. Медіани трикутника
Побудуємо середини сторін трикутника і проведемо відрізки, що з'єднує кожну з вершин із серединою протилежної сторони. Такі відрізки називаються медіаною.
І знову ми спостерігаємо, що ці відрізки перетинаються в одній точці. Якщо ми виміряємо довжини відрізків медіан, то можна перевірити ще одну властивість: точка перетину медіан ділить всі медіани щодо 2:1, рахуючи від вершин. І ще трикутник, який спирається на вістря голки в точці перетину медіан, знаходиться в рівновазі! Крапка, що має таку властивість, називається центром ваги (барицентр). Центр рівних мас іноді називають центроїдом. Тому властивості медіан трикутника можна сформулювати так: медіани трикутника перетинаються у центрі тяжкості і точкою перетину діляться щодо 2:1, рахуючи від вершини.
1.3. Бісектриси трикутника
Бісектрисою називається бісектриси кута, проведений від вершини кута до її перетину з протилежною стороною. Трикутник має три бісектриси, що відповідають трьом його вершинам (Малюнок 2).
Малюнок 2. Бісектриса трикутника
У довільному трикутнику ABC проведемо бісектриси його кутів. І знову при точній побудові всі три бісектриси перетнуться в одній точці D. Точка D – теж незвичайна: вона рівновіддалена від усіх трьох сторін трикутника. Це можна переконатися, якщо опустити перпендикуляри DA 1, DB 1 і DC1 на сторони трикутника. Усі вони рівні між собою: DA1 = DB1 = DC1.
Якщо провести коло з центром в точці D і радіусом DA 1, то вона торкатиметься всіх трьох сторін трикутника (тобто матиме з кожним лише одну загальну точку). Таке коло називається вписаним у трикутник. Отже, бісектриси кутів трикутника перетинаються в центрі вписаного кола.
1.4. Висоти у трикутнику
Висота трикутника - , опущений з вершини на протилежну сторону або пряму, що збігається з протилежною стороною. Залежно від типу трикутника висота може утримуватися всередині трикутника (для трикутника), збігатися з його стороною (є трикутника) або проходити поза трикутником у тупокутного трикутника (Малюнок 3).
Рисунок 3. Висоти у трикутниках
Якщо трикутнику побудувати три висоти, всі вони перетинуться у одній точці H. Ця точка називається ортоцентром. (Малюнок 4).
За допомогою побудов можна перевірити, що в залежності від виду трикутника ортоцентр розташовується по-різному:
у гострокутного трикутника – усередині;
у прямокутного – на гіпотенузі;
у тупокутного – зовні.
Малюнок 4. Ортоцентр трикутника
Таким чином, ми познайомилися з ще однією чудовою точкою трикутника і можемо сказати, що: висоти трикутника перетинаються в ортоцентрі.
1.5. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника
Серединний перпендикуляр до відрізка - це пряма, перпендикулярна даному відрізку і через його середину.
Накреслимо довільний трикутник ABC та проведемо серединні перпендикуляри до його сторін. Якщо побудова виконано точно, то всі перпендикуляри перетнуться в одній точці – точці О. Ця точка рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Іншими словами, якщо провести коло з центром у точці О, що проходить через одну з вершин трикутника, то вона пройде і через дві інші його вершини.
Коло, що проходить через усі вершини трикутника, називається описаним біля нього. Тому встановлену властивість трикутника можна сформулювати так: серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в центрі описаного кола (Малюнок 5).
Малюнок 5. Трикутник вписаний у коло
Глава 2. Дослідження чудових точок трикутника.
Дослідження висоти у трикутниках
Усі три висоти трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається ортоцентр трикутника.
Висоти гострокутного трикутника розташовані всередині трикутника.
Відповідно, точка перетину висот також знаходиться усередині трикутника.
У прямокутному трикутнику дві висоти збігаються зі сторонами. (Це висоти, проведені з вершин гострих кутів до катетів).
Висота, проведена до гіпотенузи, лежить усередині трикутника.
AC - висота, проведена з вершини до сторони AB.
AB – висота, проведена з вершини B до сторони AC.
AK – висота, проведена з вершини прямого кута А до гіпотенузи ВС.
Висоти прямокутного трикутника перетинаються у вершині прямого кута (А – ортоцентр).
У тупокутному трикутнику всередині трикутника лежить лише одна висота - та, яка проведена з вершини тупого кута.
Дві інші висоти лежать поза трикутником і опущені до продовження сторін трикутника.
AK – висота, проведена до сторони BC.
BF – висота, проведена до продовження сторони АС.
CD – висота, проведена до продовження сторони AB.
Точка перетину висот тупокутного трикутника також знаходиться поза трикутником:
H – ортоцентр трикутника ABC.
Дослідження бісектрис у трикутнику
Бісектриса трикутника є частиною бісектриси кута трикутника (променя), яка знаходиться всередині трикутника.
Всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
Точка перетину бісектрис в гострокутному, тупокутному та прямокутному трикутниках, є центром вписаного в трикутник кола і знаходиться всередині.
Дослідження медіан у трикутнику
Так як у трикутника три вершини і три сторони, то і відрізків, що з'єднують вершину і середину протилежної сторони, також три.
Дослідивши ці трикутники, я зрозумів, що в будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці. Цю точку називають центром тяжкості трикутника.
Дослідження серединних перпендикулярів до сторони трикутника
Серединний перпендикуляр Трикутник – це перпендикуляр, проведений до середини сторони трикутника.
Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, є центром описаного кола.
Точка перетину серединних перпендикулярів у гострокутному трикутнику лежить усередині трикутника; у тупокутному – поза трикутником; у прямокутному – на середині гіпотенузи.
Висновок
У ході виконаної роботи ми приходимо до таких висновків:
Мета досягнута:досліджували трикутник та знайшли його чудові точки.
Поставлені завдання вирішено:
1). Вивчили необхідну літературу;
2). Вивчили класифікацію чудових точок трикутника;
3). Навчилися будувати чудові точки трикутника;
4). Узагальнили вивчений матеріал для оформлення буклету.
Гіпотеза, що вміння знаходити чудові точки трикутника, допомагає у вирішенні завдань на побудову підтвердилася.
У роботі послідовно викладаються прийоми побудови чудових точок трикутника, наведено історичні відомості про геометричні побудови.
Дані з цієї роботи можуть стати в нагоді на уроках геометрії в 7 класі. Буклет може стати довідником з геометрії з викладеної теми.
Список літератури
Підручник. Л.С. Атанасян «Геометрія 7-9 класиМнемозина,2015.
Вікіпедіяhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрія#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Портал Алі Вітрила
Провідний освітній портал Росії http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
Доведемо спочатку теорему про бісектрису кута.
Теорема
Доведення
1) Візьмемо довільну точку М на бісектрисі кута ВАС, проведемо перпендикуляри МК і ML до прямих АВ та АС та доведемо, що MK = ML (рис. 224). Розглянемо прямокутні трикутники AM і AML. Вони рівні за гіпотенузою та гострим кутом (AM - загальна гіпотенуза, ∠1 = ∠2 за умовою). Отже MK = ML.
2) Нехай точка М лежить усередині кута ВАС і рівновіддалена від його сторін АВ та АС. Доведемо, що промінь AM - бісектриса кута ВАС (див. рис. 224). Проведемо перпендикуляри МК та ML до прямих АВ та АС. Прямокутні трикутники АМК та AML рівні за гіпотенузою та катетом (AM – загальна гіпотенуза, МК = ML за умовою). Отже, ∠1 = ∠2. Але це і означає, що промінь AM - бісектриса кута ВАС. Теорему доведено.
Мал. 224
Наслідок 1
Наслідок 2
Справді, позначимо буквою Про точку перетину бісектрис АА 1 і ВВ 1 трикутника АВС і проведемо з цієї точки перпендикуляри OK, OL та ОМ відповідно до прямих АВ, ВС та СА (рис. 225). По доведеній теоремі ОК = ОМ та OK = OL. Тому ОМ = OL, т. е. точка Про рівновіддалена від сторін кута АСВ і, отже, лежить на бісектрисі СС 1 цього кута. Отже, всі три бісектриси трикутника АВС перетинаються в точці О, що потрібно було довести.
Мал. 225
Властивості серединного перпендикуляра до відрізка
Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярна до нього.
Мал. 226
Доведемо теорему про серединний перпендикуляр до відрізка.
Теорема
Доведення
Нехай пряма m – серединний перпендикуляр до відрізка АВ, точка О – середина цього відрізка (рис. 227, а).
Мал. 227
1) Розглянемо довільну точку М прямий m та доведемо, що AM = ВМ. Якщо точка M збігається з точкою О, це рівність правильно, оскільки О - середина відрізка АВ. Нехай M та Про різні точки. Прямокутні трикутники ОAM і ОВМ дорівнюють двом катетам (ОА = ОВ, ОМ - загальний катет), тому AM = ВМ.
2) Розглянемо довільну точку N, рівновіддалену від кінців відрізка АВ, і доведемо, що точка N лежить на прямій m. Якщо N - точка прямої АВ, вона збігається з серединою Про відрізка АВ і тому лежить на прямий m. Якщо точка N не лежить на прямий АВ, то трикутник ANB рівнобедрений, оскільки AN = BN (рис. 227, б). Відрізок NO - медіана цього трикутника, отже, і висота. Таким чином, NO ⊥ АВ, тому прямі ON і m збігаються, тобто N - точка пряма m. Теорему доведено.
Наслідок 1
Наслідок 2
Для доказу цього твердження розглянемо серединні перпендикуляри m і n до сторін АВ та ВС трикутника АВС (рис. 228). Ці прямі перетинаються в деякій точці О. Насправді, якщо припустити неприємне, тобто що m || n, то пряма ВА, будучи перпендикулярною до прямої m, була б перпендикулярна і до паралельної їй прямий n, а тоді через точку проходили б дві прямі ВА і ВС, перпендикулярні до прямої n, що неможливо.
Мал. 228
По доведеній теоремі ВВ = ОА та ВВ = ОС. Тому ОА = ОС, т. е. точка О рівновіддалена від кінців відрізка АС і, отже, лежить на серединному перпендикулярі р до цього відрізка. Отже, всі три серединні перпендикуляри m, n і р до сторін трикутника АВС перетинаються в точці Про.
Теорема про перетин висот трикутника
Ми довели, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Раніше було доведено, що медіани трикутника перетинаються в одній точці (п. 64). Виявляється, аналогічну властивість мають і висоти трикутника.
Теорема
Доведення
Розглянемо довільний трикутник АВС і доведемо, що прямі АА 1 ВВ 1 і СС 1 висоти, що містять його, перетинаються в одній точці (рис. 229).
Мал. 229
Проведемо через кожну вершину трикутника АВС пряму, паралельну до протилежної сторони. Отримаємо трикутник А2В2С2. Точки А, В та С є серединами сторін цього трикутника. Справді, АВ = А 2 С і АВ = СВ 2 як протилежні сторони паралелограмів АВА 2 С та АВСВ 2 тому А 2 С = СВ 2 . Аналогічно С2А = АВ2 і С2В = ВА2. Крім того, як випливає з побудови, СС 1 ⊥ А 2 В 2 АА 1 ⊥ В 2 С 2 і ВВ 1 ⊥ А 2 С 2 . Таким чином, прямі АА 1 ВВ 1 і СС 1 є серединними перпендикулярами до сторін трикутника А 2 В 2 С 2 . Отже, вони перетинаються в одній точці. Теорему доведено.
Отже, з кожним трикутником пов'язані чотири точки: точка перетину медіан, точка перетину бісектрис, точка перетину серединних перпендикулярів до сторін і точка перетину висот (або їх продовжень). Ці чотири точки називаються чудовими точками трикутника.
Завдання
674. З точки М бісектриси нерозгорнутого кута Про проведені перпендикуляри МА та МВ до сторін цього кута. Доведіть, що АВ ⊥ ЗМ.
675. Сторони кута Про стосуються кожного з двох кіл, що мають спільну дотичну в точці А. Доведіть, що центри цих кіл лежать на прямій О А.
676. Сторони кута А стосуються кола із центром Про радіуса r. Знайдіть: а) ОА, якщо r = 5 см, ∠A = 60°; б) г, якщо ОА = 14 дм, ∠A = 90°.
677. Бісектриси зовнішніх кутів при вершинах В і С трикутника АВС перетинаються в точці О. Доведіть, що точка О є центром кола, що стосується прямих АВ, ВС, АС.
678. Бісектриси АА 1 і ВР 1 трикутника АВС перетинаються в точці М. Знайдіть кути ACM і ВСМ, якщо: a) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.
679. Серединний перпендикуляр до сторони ВС трикутника АВС перетинає сторону АС у точці D. Знайдіть: a) AD та CD, якщо BD = 5 см, Ас = 8,5 см; б) АС, якщо BD = 114 см, AD = 32 см.
680. Серединні перпендикуляри до сторін АВ та АС трикутника АВС перетинаються у точці D сторони ВС. Доведіть, що: а) точка D – середина сторони ВС; б) ∠A - ∠B + ∠C.
681. Серединний перпендикуляр до сторони АВ рівнобедреного трикутника АВС перетинає сторону ВС у точці Е. Знайдіть основу АС, якщо периметр трикутника АЕС дорівнює 27 см, а АВ = 18 см.
682. Рівностегнові трикутники АВС та ABD мають загальну основу АВ. Доведіть, що пряме CD проходить через середину відрізка АВ.
683. Доведіть, що якщо у трикутнику АВС сторони АВ та АС не рівні, то медіана AM трикутника не є висотою.
684. Бісектриси кутів на підставі АВ рівнобедреного трикутника АВС перетинаються в точці М. Доведіть, що пряма СМ перпендикулярна до прямої АВ.
685. Висоти АА 1 і ВВ 1 рівнобедреного трикутника АВС, проведені до бокових сторін, перетинаються у точці М. Доведіть, що пряма МС – серединний перпендикуляр до відрізка АВ.
686. Побудуйте серединний перпендикуляр до цього відрізка.
Рішення
Нехай АВ – даний відрізок. Побудуємо два кола з центрами в точках А та В радіусу АВ (рис. 230). Ці кола перетинаються у двох точках М 1 та М 2 . Відрізки АМ 1 AM 2 ВМ 1 ВМ 2 рівні один одному як радіуси цих кіл.
Мал. 230
Проведемо пряму М1М2. Вона є шуканим середнім перпендикуляром до відрізка АВ. Насправді точки М 1 і М 2 рівновіддалені від кінців відрізка АВ, тому вони лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Значить, пряма М 1 М 2 є серединний перпендикуляр до відрізка АВ.
687. Дано пряму а і дві точки А і В, що лежать по одну сторону від цієї прямої. На прямій а збудуйте точку М, рівновіддалену від точок А до В.
688. Дано кут і відрізок. Побудуйте точку, що лежить усередині даного кута, рівновіддалену від його сторін і рівновіддалену від кінців даного відрізка.
Відповіді до завдань
674. Вказівка. Спочатку довести, що трикутник АОВ рівнобедрений.
676. а) 10 см; б) 7√2 дм.
678. а) 46 ° і 46 °; б) 21° та 21°.
679. a) АВ = 3,5 см, CD = 5 см; б) АС = 14,6 див.
683. Вказівка. Скористатися методом доказу протилежного.
687. Вказівка. Скористатися теоремою п. 75.
688. Вказівка. Врахувати, що точка лежить на бісектрисі даного кута.
1 Тобто рівновіддалена від прямих, що містять сторони кута.
Сільченков Ілля
матеріали до уроку, презентація з анімацією
Завантажити:
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін і дорівнює половині цієї сторони. Так само по теоремі середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює половині сторони.
Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої
Чудові точки трикутника
Чудові точки трикутника Точка перетину медіан (центроїд трикутника); Точка перетину бісектрис, центр вписаного кола; Точка перетину серединних перпендикулярів; Точка перетину висот (ортоцентр); Пряма Ейлера та коло дев'яти точок; Крапки Жергона та Нагеля; Крапка Ферма-Торрічеллі;
Точка перетину медіан
Медіана трикутника-відрізок, що з'єднує вершину будь-якого кута трикутника із серединою протилежної сторони.
I. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.
Доведення:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Позначимо буквою Про точку перетину двох медіан АА 1 і В1 трикутника АВС та проведемо середню лінію А 1 В 1 цього трикутника. 2. Відрізок А 1 В 1 паралельний стороні АВ і 1/2 АВ = А 1 В 1 тобто АВ = 2А1В1 (за теоремою про середню лінію трикутника), тому 1 = 4 і 3 = 2 (т.к. вони внутрішні навхрест лежать кути при паралельних прямих AB і A 1 B 1 і січній BB 1 для 1, 4 і AA 1 для 3, 2 3.Отже, трикутники АОВ і А 1 ОВ 1 подібні по двох кутах, і, значить, їх сторони пропор , Т. е. рівні відносини сторін АО і А 1 О, ВО і В 1 О, АВ і А 1 В 1. Але АВ = 2А 1 В 1, тому АО = 2А 1 О і ВО = 2В 1 О. Таким чином , точка Про перетин медіан ВВ 1 і АА 1 ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини Теорема доведена Аналогічно можна довести і про інші дві медіани
Центр мас іноді називають центроїдом. Саме тому кажуть, що точка перетину медіан-центроїд трикутника. У цій же точці розташовується центр мас однорідної трикутної пластинки. Якщо подібну пластинку поставити на шпильку так, щоб вістря шпильки потрапило точно в центроїд трикутника, то пластинка перебуватиме в рівновазі. Також точка перетину медіан є центром вписаного кола його серединного трикутника. Цікава властивість точки перетину медіан пов'язана із фізичним поняттям центру мас. Виявляється, якщо помістити у вершини трикутника рівні маси, їх центр потрапить саме у цю точку.
Точка перетину бісектрис
Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину одного з кутів трикутника з точкою, що лежить на протилежній стороні.
Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від його сторін.
Доведення:
С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Позначимо буквою Про точку перетину бісектрис АА 1 і ВВ 1 трикутника АВС. 3.Скористаємося тим, що кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін і назад: кожна точка, що лежить усередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі. Тоді ОК=OL та ОК=ОМ. Отже ОМ=OL , т. е. точка Про рівновіддалена від сторін трикутника АВС і, отже, лежить на бісектрисі СС1 кута C . 4.Отже, всі три бісектриси трикутника АВС перетинаються в точці О. K L M Теорема доведена. 2.проведемо з цієї точки перпендикуляри ОК, OL та ОМ відповідно до прямих АВ, ВС та СА.
Крапка перетину серединних перпендикулярів
Серединний перпендикуляр - пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярна до нього.
Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, що рівно віддалена від вершин трикутника.
Доведення:
A m n 1. Позначимо літерою Про точку перетину серединних перпендикулярів т і п до сторін АВ і ВС трикутника АВС. O 2. Скориставшись теоремою у тому, кожна точка серединного перпендикуляра до відрізку равноудалена від кінців цього відрізка і назад: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього, отримаємо, що ОВ=ОА і ОВ=ОС. 3. Тому ОА=ОС, т. е. точка О рівновіддалена від кінців відрізка АС і, отже, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка. 4. Отже, всі три серединні перпендикуляри m, n і p до сторін трикутника АВС перетинаються в точці О. Теорема доведена. р
Точка перетину висот (або їх продовжень)
Висота трикутника-перпендикуляр, проведений з вершини будь-якого кута трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.
Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці, яка може лежати в трикутнику, а може перебувати за його межами.
Доведення:
Доведемо, що прямі АА 1 , ВР 1 і СС 1 перетинаються в одній точці. A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведемо через кожну вершину трикутника АВС пряму, паралельну до протилежної сторони. Отримаємо трикутник А2В2С2. 2. Точки А, В та С є серединами сторін цього трикутника. Справді, АВ=А 2 З і АВ=СВ 2 як протилежні сторони паралелограмів АВА 2 З і АВСВ 2 тому А 2 С=СВ 2 . Аналогічно З 2 А = АВ 2 і З 2 В = ВА 2 . Крім того, як випливає з побудови, СС 1 перпендикулярний А 2 В 2 АА 1 перпендикулярний В 2 С 2 і ВВ 1 перпендикулярний А 2 С 2 (зі слідства за теоремою паралельних прямих і січною). Таким чином, прямі АА 1 , ВР 1 і СС 1 є серединними перпендикулярами до сторін трикутника А 2 В 2 С 2 . Отже, вони перетинаються лише у точці. Теорему доведено.
