Обчислення інтегралів за формулою ньютона лейбниця. Калькулятор онлайн. Обчислити певний інтеграл (площа криволінійної трапеції)

Розглянемо функцію. Цю функцію називають: інтеграл як функція верхньої межі. Зазначимо кілька властивостей цієї функції.
Теорема 2.1. Якщо f(x) інтегрована функція, то Ф(x) безперервна на .
Доведення. За якістю 9 певного інтеграла (теорема про середнє) маємо , Звідки, при , отримуємо необхідне.
Теорема 2.2. Якщо f(x) безперервна на функція, то Ф'(x) = f(x) на .
Доведення. За якістю 10 певного інтеграла (друга теорема про середнє), маємо де з- Деяка точка відрізка . Через безперервність функції f отримуємо
Таким чином, Ф(x) - одна з первісних функцій f(x) отже, Ф(x) = F(x) + C, де F(x) - інша первісна f(x). Далі, оскільки Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, отже, C = -F(a) і тому Ф(x) = F(x) – F(a). Вважаючи x=b, отримуємо формулу Ньютона-Лейбніца

Приклади
1.

Інтегрування частинами у певному інтегралі

Заміна змінних у певному інтегралі

приклад.Обчислити інтеграл Покладемо тоді dx = 2tdt і тому

Рішення прикладних завдань зводиться до обчислення інтеграла, але не завжди це можна зробити точно. Іноді потрібно знати значення певного інтеграла з певною мірою точності, наприклад, до тисячної.

Існують завдання, коли слід знайти наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю, тоді застосовують чисельне інтегрування таке, як метод Симпосна, трапецій, прямокутників. Не всі випадки дають змогу обчислити його з певною точністю.

Ця стаття розглядає застосування формули Ньютона-Лейбніца. Це необхідно для точного обчислення певного інтегралу. Буде наведено докладні приклади, розглянуто заміни змінної у певному інтегралі та знайдемо значення певного інтеграла при інтегруванні частинами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формула Ньютона-Лейбніца

Коли функція y = y (x) є безперервною з відрізка [a; b ] ,а F (x) є однією з першорядних функцій цього відрізка, тоді формула Ньютона-Лейбніцавважається справедливою. Запишемо її так ∫ a b f(x) d x = F(b) - F(a) .

Цю формулу вважають основною формулою інтегрального обчислення.

Щоб довести цю формулу, необхідно використовувати поняття інтеграла з наявною змінною верхньою межею.

Коли функція y = f(x) безперервна з відрізка [a; b], тоді значення аргументу x ∈ a; b а інтеграл має вигляд ∫ a x f (t) d t і вважається функцією верхньої межі. Необхідно прийняти позначення функції набуде вигляду ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , вона є безперервною, причому для неї справедлива нерівність виду ∫ a x f (t) d t = Φ "(x) = f (x) .

Зафіксуємо, що прирощенні функції Φ (x) відповідає прирощенню аргументу ∆ x , необхідно скористатися п'ятою основною властивістю певного інтегралу та отримаємо

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x - x = f(c) · ∆ x

де значення c ∈ x; x + ∆ x.

Зафіксуємо рівність у вигляді Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) . За визначенням похідної функції необхідно переходити до межі при ∆ x → 0 , тоді отримуємо формулу виду Φ "(x) = f (x) . розташованої на [a;b] Інакше вираз можна записати

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C де значення C є постійною.

Зробимо обчислення F(a) з використанням першої властивості певного інтеграла. Тоді отримуємо, що

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , звідси отримуємо, що C = F (a) . Результат застосуємо при обчисленні F (b) і отримаємо:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), інакше кажучи, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( a) . Рівність доводить формулу Ньютона-Лейбніца ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a)

Приріст функції приймаємо як F x a b = F (b) - F (a) . За допомогою позначення формулу Ньютона-Лейбніца набуває вигляду ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Щоб застосувати формулу, обов'язково необхідно знати одну з первісних y = F(x) підінтегральної функції y = f(x) з відрізка [a; b ] , здійснити обчислення збільшення первісної з цього відрізка. Розглянемо кілька прикладів обчислення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

Приклад 1

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ 1 3 x 2 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Розглянемо, що підінтегральна функція виду y = x2 є безперервною з відрізка [1; 3], тоді і інтегрована на цьому відрізку. По таблиці невизначених інтегралів бачимо, що функція y = x 2 має безліч першоподібних всім дійсних значень x , отже, x ∈ 1 ; 3 запишеться як F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необхідно взяти первісну з З = 0 тоді отримуємо, що F (x) = x 3 3 .

Скористаємося формулою Ньютона-Лейбніца і отримаємо, що обчислення певного інтеграла набуде вигляду ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Відповідь:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Приклад 2

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення

Задана функція безперервна з відрізка [-1; 2], отже, на ньому інтегрована. Необхідно знайти значення невизначеного інтеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x за допомогою методу підведення під знак диференціала, тоді отримуємо ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2+1+C.

Звідси маємо безліч первісних функцій y = x · e x 2 + 1 , які дійсні для всіх x , x ∈ - 1 ; 2 .

Необхідно взяти первісну при С = 0 і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца. Тоді отримаємо вираз виду

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Відповідь:∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Приклад 3

Здійснити обчислення інтегралів ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x і ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Рішення

Відрізок - 4; - 1 2 говорить про те, що функція, що знаходиться під знаком інтеграла, є безперервною, отже, вона інтегрована. Звідси знайдемо безліч первісних функцій y = 4 x 3 + 2 x 2 . Отримуємо, що

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Необхідно взяти первісну F (x) = 2 x 2 - 2 x тоді, застосувавши формулу Ньютона-Лейбніца, отримуємо інтеграл, який обчислюємо:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Проводимо перехід до обчислення другого інтегралу.

З відрізка [-1; 1 ] маємо, що підінтегральна функція вважається необмеженою, тому що lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тоді звідси випливає, що необхідною умовою інтегрованості з відрізка. Тоді F(x) = 2 x 2 - 2 x не є первісною для y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1 ] , оскільки точка O належить відрізку, але не входить до області визначення. Отже, є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].

Відповідь: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].

Перед використанням формули Ньютона-Лейбніца потрібно точно знати існування певного інтеграла.

Заміна змінної у певному інтегралі

Коли функція y = f(x) є певною і безперервною з відрізка [a; b], тоді наявна безліч [a; b] вважається областю значень функції x = g (z), визначеної на відрізку α; β з наявною безперервною похідною, де g (α) = a і g β = b , звідси отримуємо, що ?

Дану формулу застосовують тоді, коли потрібно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , де невизначений інтеграл має вигляд f (x) d x , обчислюємо за допомогою методу підстановки.

Приклад 4

Здійснити обчислення певного інтеграла виду ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Рішення

Підінтегральна функція вважається безперервною на відрізку інтегрування, отже певний інтеграл має місце існування. Дамо позначення, що 2 x – 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значення х = 9 означає, що z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 отримуємо, що z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 тоді g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При підстановці отриманих значень формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z отримуємо, що

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

По таблиці невизначених інтегралів маємо, що з першорідних функції 2 z 2 + 9 приймає значення 2 3 a r c t g z 3 . Тоді при застосуванні формули Ньютона-Лейбніца отримуємо, що

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3

Знаходження можна було робити, не використовуючи формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z .

Якщо за методу заміни використовувати інтеграл виду ∫ 1 x 2 x - 9 d x , можна дійти результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Звідси зробимо обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца і обчислимо певний інтеграл. Отримуємо, що

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 - 9 3 - a r c t g 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - π 4 = π 18

Результати збіглися.

Відповідь: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Інтегрування частинами під час обчислення певного інтеграла

Якщо на відрізку [a; b ] визначені і безперервні функції u (x) і v (x) , тоді їх похідні першого порядку v "(x) · u (x) є інтегрованими, таким чином з цього відрізку для функції інтегрованої u "(x) · v ( x) рівність ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x справедливо.

Формулу можна використовувати тоді, необхідно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , причому ∫ f (x) d x необхідно було шукати його за допомогою інтегрування частинами.

Приклад 5

Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Рішення

Функція x · sin x 3 + π 6 інтегрована на відрізку - π 2; 3 π 2 означає вона безперервна.

Нехай u (x) = х, тоді d (v (x)) = v "(x) d x = sin x 3 + 6 d x , причому d (u (x)) = u "(x) d x = d x , а v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . З формули ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x отримаємо, що

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Рішення прикладу можна виконати в інший спосіб.

Знайти безліч первісних функцій x · sin x 3 + π 6 за допомогою інтегрування частинами із застосуванням формули Ньютона-Лейбніца:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Відповідь: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Нехай на деякому відрізку осі Ох задано деяку безперервну функцію f. Допустимо, що ця функція не змінює свого знака на всьому відрізку.

Якщо f є безперервна і невід'ємна на деякому відрізку функція, а F є її деякою первісною на цьому відрізку, тоді площа криволінійної трапеції S дорівнює прирощенню первісної на даному відрізку .

Цю теорему можна записати такою формулою:

S = F(b) - F(a)

Інтеграл функції f(x) від а до b дорівнюватиме S. Тут і далі, для позначення певного інтеграла від деякої функції f(x), з межами інтегрування від a до b, будемо використовувати наступний запис (a;b)∫f( x). Нижче наведено приклад як це буде виглядати.

Формула Ньютона-Лейбніца

Отже ми можемо прирівняти між собою ці два результати. Отримаємо: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), за умови, що F є первісною для функції f на . Ця формула має назву формули Ньютона - Лейбніца. Вона буде вірна для будь-якої безперервної функції функції f.

Формула Ньютона-Лейбніца застосовується для обчислення інтегралів. Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1: обчислити інтеграл Знаходимо первісну для підінтегральної функції x2. Однією з первісних буде функція (x 3)/3.

Тепер використовуємо формулу Ньютона - Лейбніца:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Відповідь: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Приклад 2: обчислити інтеграл (0; pi) ∫ sin (x) dx.

Знаходимо первісну для підінтегральної функції sin(x). Однією з первісних буде функція -cos(x). Скористаємося формулою Ньютона-Лейбніца:

(0; pi) ∫ cos (x) dx = -cos (pi) + cos (0) = 2.

Відповідь: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Іноді для простоти та зручності запису збільшення функції F на відрізку (F(b)-F(a)) записують наступним чином:

Використовуючи таке позначення для збільшення, формулу Ньютона-Лейбніца можна переписати в наступному вигляді:

Як зазначалося вище, це лише скорочення для простоти запису, більше ні на що цей запис не впливає. Цей запис і формула (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) будуть еквівалентними.

Певні інтеграли онлайн на сайт для закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу. І тренування своїх практичних навичок. Повноцінне рішення певних інтегралів онлайн для вас за лічені миті допоможе визначити всі етапи процесу. Інтеграли онлайн - певний інтеграл онлайн. Певні інтеграли онлайн на сайт для повноцінного закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу та тренування своїх практичних навичок. Повноцінне рішення певних інтегралів онлайн для вас за лічені миті допоможе визначити всі етапи процесу. Інтеграли онлайн - певний інтеграл онлайн. Для нас певний інтеграл онлайн взяти не представляється чимось природним, вивчивши цю тему за книгою видатних авторів. Велике їм спасибі та висловлюємо респект цим особам. Допоможе визначити певний інтеграл онлайн сервіс з обчислення таких завдань за дві секунди. Тільки вкажіть правильні дані та все буде Good! Будь-який певний інтеграл як розв'язання задачі підвищить грамотність студентів. Про це мріє кожен лінивець, і ми не виняток, визнаємо це чесно. Якщо все-таки вдасться обчислити певний інтеграл онлайн з рішенням безкоштовно, то, будь ласка, напишіть сайт всім бажаючим ним скористатися. Як то кажуть, поділишся корисним посиланням - і тобі віддячать добрі люди за даром. Дуже цікавим буде питання аналізу завдання, в якій певний інтеграл буде калькулятор вирішувати самостійно, а не за рахунок витрати вашого дорогоцінного часу. На те вони й машини, щоб орати людей. Однак рішення певних інтегралів онлайн не кожному сайту по зубах, і це легко перевірити, а саме, достатньо взяти складний приклад і спробувати вирішити його за допомогою кожного такого сервісу. Ви відчуєте різницю на власній шкурі. Найчастіше знайти певний інтеграл онлайн без докладаних зусиль стане досить складно і безглуздо виглядатиме ваша відповідь на тлі загальної картини подання результату. Найкраще б спочатку пройти курс молодого бійця. Будь-яке рішення невласних інтегралів онлайн зводиться спочатку до обчислення невизначеного, а потім через теорію меж обчислити як правило односторонні межі від отриманих виразів з підставленими межами A і B. Розглянувши вказаний вами певний інтеграл онлайн з докладним рішенням, ми зробили висновок, що ви помилилися на п'ятому кроці, а саме при використанні формули заміни змінної Чебишева. Будьте дуже уважними у подальшому рішенні. Якщо ваш певний інтеграл онлайн калькулятор не зміг взяти з першого разу, то в першу чергу варто перевіряти ще раз написані дані у відповідні форми на сайті. Переконайтеся, що все гаразд і вперед, Go-Go! Для кожного студента перешкодою є обчислення невласних інтегралів онлайн при самому викладі, так як це або екзамен, або колоквіум, або просто контрольна робота на парі. межі інтегрування та натискайте на кнопку Рішення, після цього вам буде доступна повноцінна розгорнута відповідь. І все-таки добре, коли є такий чудовий сайт як сайт, тому що він і безкоштовний, і простий у користуванні також містить дуже багато розділів. якими студенти користуються повсякденно, один із них якраз є певний інтеграл онлайн із рішенням у повному вигляді. У цьому розділі можна обчислити невласний інтеграл онлайн з докладним рішенням подальших застосувань відповіді як у інституті, і у інженерних роботах. Здавалося б, усім визначити певний інтеграл онлайн справа нехитра, якщо заздалегідь вирішити такий приклад без верхнього та нижнього кордону, тобто не інтеграл Лейбніца, а невизначений інтеграл. Але тут ми з вами не згодні категорично, тому що на перший погляд це може здатися саме так, проте є суттєва різниця, давайте розберемо все по поличках. Такий певний інтеграл рішення дає над явному вигляді, а наслідок перетворення висловлювання на граничне значення. Інакше кажучи, потрібно спочатку вирішити інтеграл з підстановкою символьних значень кордонів, та був обчислити межа або нескінченності, або у певній точці. Звідси вирахувати певний інтеграл онлайн із рішенням безкоштовно означає ні що інше як подання точного рішення за формулою Ньютона-Лейбніца. Якщо ж розглядати наш певний інтеграл, калькулятор допоможе його підрахувати за кілька секунд прямо на ваших очах. Такий поспіх потрібний усім охочим якнайшвидше впоратися із завданням і звільнитися для особистих справ. Не варто шукати в інтернеті сайти, на яких попросять вас реєструватися, потім поповнити гроші на баланс і все заради того, щоб якийсь розумник готував рішення певних інтегралів нібито онлайн. Запам'ятайте адресу Math24 - це безкоштовний сервіс для вирішення безлічі математичних завдань, у тому числі ми допоможемо знайти певний інтеграл онлайн, і щоб у цьому переконатися, просимо перевірити наше твердження на конкретних прикладах. Введіть підінтегральну функцію у відповідне поле, потім вкажіть або нескінченні граничні значення (у цьому випадку буде обчислено та отримано рішення невласних інтегралів онлайн), або задайте свої числові або символьні межі та певний інтеграл онлайн з докладним рішенням виведеться на сторінці після натискання на кнопку "Рішення ". Чи неправда - це дуже просто, не вимагає від вас зайвих дій, безкоштовно, що найголовніше, і водночас результативно. Ви можете самостійно скористатися сервісом, щоб певний інтеграл онлайн калькулятор приніс вам максимум користі, і ви отримали комфортний стан, не напружуючись на складність всіх обчислювальних процесів, дозвольте нам зробити все за вас і продемонструвати всю міць комп'ютерних технологій сучасного світу. Якщо занурюватися в нетрі найскладніших формул і обчислення невласних інтегралів онлайн вивчити самостійно, це похвально, і ви можете претендувати на можливість написання кандидатської роботи, проте повернемося до реалій студентського життя. А хто такий студент? Насамперед - це молодий чоловік, енергійний і життєрадісний, який бажає встигнути відпочити та зробити хатинку! Тому ми подбали про учнів, які намагаються відшукати на просторах глобальної мережі невласний інтеграл онлайн калькулятор, і ось він до вашої уваги – сайт – найкорисніша для молоді вирішалка в режимі онлайн. До речі наш сервіс хоч і подається як помічник студентам та школярам, ​​але він повною мірою підійде будь-якому інженеру, тому що нам під силу будь-які типи завдань та їх вирішення представляється у професійному форматі. Наприклад, певний інтеграл онлайн з рішенням у повному вигляді ми пропонуємо по етапах, тобто кожному логічному блоку (підзавдання) відводиться окремий запис з усіма викладками в процесі загального рішення. Це звичайно ж спрощує сприйняття багатоетапних послідовних розкладок, і тим самим є перевагою проекту сайт перед аналогічними сервісами знаходження невласний інтеграл онлайн з докладним рішенням.

Формула Ньютона - Лейбніца

Основна теорема аналізуабо формула Ньютона - Лейбніцадає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної

Формулювання

Розглянемо інтеграл від функції y = f(x) в межах від постійного числа aдо числа x, яке вважатимемо змінним. Запишемо інтеграл у такому вигляді:

Цей вид інтеграла називається інтегралом зі змінною верхньою межею. Використовуючи теорему про середнє в певному інтегралі, легко показати, що дана функція безперервна і диференційована. А також похідна від цієї функції в точці x дорівнює інтегрованій функції. Звідси випливає, будь-яка безперервна функція має первинну як квадратури: . Оскільки клас первісних функцій функції f відрізняється на константу, легко показати, що: певний інтеграл від функції f дорівнює різниці значень первісних у точках b і а

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Формула Повної ймовірності
• Формула Релея - Джинса

Дивитись що таке "Формула Ньютона - Лейбніца" в інших словниках:

Формула Ньютона-Лейбніца- Основна теорема аналізу чи формула Ньютона Лейбніца дає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної Формулювання Розглянемо інтеграл від функції y = f(x) у межах від постійного числа a до… … Вікіпедія

Формула кінцевих прирощень- Цей термін має й інші значення, див. Теорема Лагранжа. Формула кінцевих прирощень або теорема Лагранжа про середнє значення стверджує, що якщо функція безперервна на відрізку та … Вікіпедія

Формула Стоксу- Теорема Стокса одна з основних теорем диференціальної геометрії та математичного аналізу про інтегрування диференціальних форм, що узагальнює кілька теорем аналізу. Названо на честь Дж. Г. Стокса. Зміст 1 Загальне формулювання 2… … Вікіпедія

НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА- Формула, що виражає значення певного інтеграла від заданої функції f по відрізку у вигляді різниці значень на кінцях відрізка будь-якої первісної Fцією функції Названа іменами І. Ньютона (I. Newton) і Г. Лейбніца (G. Leibniz), т. К. правило, … … Математична енциклопедія

НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА- Основна формула інтегрального обчислення. Висловлює зв'язок між певним інтегралом від функції f(x) і якоюсь її первісною F(x) … Великий Енциклопедичний словник

Формула Лейбниця- Цей термін має й інші значення, див. Список об'єктів, названих на честь Лейбніца. Цей термін має й інші значення, див. Формула Лейбніца (значення). Формулою Лейбніца в інтегральному обчисленні називається правило ... Вікіпедія

Ньютона-Лейбніца формула- Ньютон Лейбніца формула, основна формула інтегрального обчислення. Висловлює зв'язок між певним інтегралом від функції f(х) і якоюсь її первісною F(х). . * * * НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА, основна формула… … Енциклопедичний словник

Формула прямокутників

Формула трапецій- Певний інтеграл як площа фігури Чисельне інтегрування (історична назва: квадратура) обчислення значення певного інтегралу (як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі ... Вікіпедія

Теорема Ньютона- Формула Ньютона Лейбніца чи основна теорема аналізу дає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної. Якщо безперервна на відрізку та її будь-яка первісна на цьому відрізку, то має … Вікіпедія