Обчислення ймовірності складних подій.
1. ПРИКЛАДИ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ
ТИПОВОГО РОЗРАХУНКУ
Завдання.У ящику 10 пронумерованих куль із номерами від 1 до 10. Вийняли одну кулю. Яка ймовірність того, що номер витягнутої кулі не перевищує 10?
Рішення. Так як номер будь-якої кулі, що знаходиться в ящику, не перевищує 10, то число випадків, що сприяють події А, Так само числу всіх можливих випадків, тобто. m= n= 10 і P(A) = 1. У цьому випадку подія Адостовірно.
Завдання.В урні 15 куль: 5 білих та 10 чорних. Яка можливість вийняти з урни синю кулю?
Рішення. Синіх куль в урні немає, тобто. m= 0, а n= 15. Отже, P(A) = 0/15 = 0. У цьому випадку подія А- Неможливе.
Завдання.В урні 12 куль: 3 білих, 4 чорних та 5 червоних. Яка можливість вийняти з урни чорну кулю?
Рішення. Тут m= 4,n= 12 і P(A) = 4/12 = 1/3.
Завдання.В урні 10 куль: 6 білих та 4 чорних. Вийняли 2 кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі – білі?
Рішення. Тут число всіх випадків Число ж випадків, що сприяють події А, визначається рівністю 
Отже, 
Завдання.У кошику 100 фруктів: 10 груш та 90 яблук. Навмання взято чотири фрукти. Знайти ймовірність того, що
а) взято чотири яблука;
б) взято чотири груші.
Рішення. Загальна кількість елементарних результатів випробування дорівнює числу поєднань зі 100 елементів по чотири, тобто. 
.
а) Число результатів, сприятливих події (всі взяті навмання чотири фрукти є яблуками), дорівнює кількості поєднань з 90 елементів по чотири, тобто. 
.
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють розглянутій події, до загального числа
можливих елементарних результатів:
.
б) Число результатів, сприятливих події (всі взяті навмання чотири фрукти – груші), дорівнює числу способів, якими можна витягти чотири груші з десяти наявних, тобто. 
.
Шукана ймовірність
.
Завдання 6.На відрізку ОАдовжини Lчислової осі Охнавмання нанесена точка У(х). Знайти ймовірність того, що відрізки ОВі ВАмають довжину більше, ніж L/4.
Рішення. Розіб'ємо відрізок ОАна чотири рівні частини крапками C,D,E(Мал. 7). Вимога завдання буде виконано, якщо точка Употрапить на відрізок ЗE, довжина якого дорівнює L/2.
Рис. 7
Отже, р= (L/2) :L= 1/2.
Завдання 9.З 10 відповідей до завдань, розміщених на цій сторінці, 2 мають помилки. Студент вирішує 5 завдань. Яка ймовірність того, що в одній із них відповідь дано з друкарською помилкою?
Рішення. 
.
Такі завдання описуються загальною схемою. Є сукупність з N 1 елементів першого виду та N 2 елементи другого виду. Яка ймовірність того, що при виборі сукупності kелементів вона складається з k 1 елементів першого виду та k 2 елементів другого виду, де k=k 1 +k 2 ,k 1 N 1 ,k 2 N 2 ?
.
Завдання 10.В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль. Вийняли одну кулю. Знайти ймовірність того, що вийнята куля: біла; чорний; синій; червоний; білий чи чорний; синій чи червоний; білий, чорний чи синій.
Рішення. Маємо
Застосувавши теорему складання ймовірностей, отримаємо
Завдання 11.У першому ящику 2 білих та 10 чорних куль; у другому ящику 8 білих і 4 чорні кулі. З кожного ящика вийняли по кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі білі?
Рішення. У даному випадку йдеться про поєднання подій Аі У, де подія А– поява білої кулі з першої скриньки, подія У- Поява білої кулі з другого ящика. При цьому Аі У– незалежні події. Маємо Р(А) = 2/12 = 1/6,Р(У) = 8/12 = 2/3. Застосувавши теорему множення ймовірностей, знаходимо
Завдання 12.В умовах попереднього завдання визначити ймовірність того, що одна з вийнятих куль біла, а інша – чорна.
Рішення. Нехай: подія А- Поява білої кулі з першого ящика; подія У- Поява білої кулі з другого ящика; подія З– поява чорної кулі з першої скриньки 
подія D– поява білої кулі з другої скриньки 
Тоді Р(А) = 1/6,Р(У) = 2/3,
Визначимо ймовірність того, що куля, вийнята з першої скриньки, біла, а з другої скриньки – чорна:
Визначимо ймовірність того, що куля, вийнята з першої скриньки, чорна, а з другої скриньки – біла:
Визначимо тепер ймовірність того, що куля, вийнята з одного ящика (байдуже з першого або другого), виявиться білою, а куля, вийнята з іншої ящика, - чорною. Застосовуємо теорему складання ймовірностей.
Обчислення ймовірності складних подій
Нехай є урна з десятьма кулями, з яких 6 білих та 4 чорних. Тоді можливі такі події:
А – вийняти білу кулю з урни
В – вийняти чорну кулю з урни
Подія А складається з подій А1, А2, А3, А4, А5, А6. Подія складається з подій 1 , 2 , 3 , 4 . Тоді відсоток білих куль у урні визначитися як відношення, а відсоток чорних куль.
Визначення: Імовірністю події А зв. число, що дорівнює відношенню числа результатів m, що сприяють настанню події А до загального числа всіх елементарних результатів n.
- формула класичного способу підрахунку ймовірності
Імовірність випадкової події є число, укладене між нулем та одиницею
Визначення: Перестановки - це комбінації, складені з усіх пелементів даної множини і відрізняються лише порядком їхнього розташування. Число всіх можливих перестановок
Р п = п!
Визначення: Розміщення – комбінації з т прізних елементів, що відрізняються або складом елементів, або їх порядком. Число всіх можливих розміщень
Визначення: Поєднання – невпорядковані набори з телементів множини, що містить прізних елементів (тобто набори, що відрізняються лише складом елементів). Число поєднань
приклад 1.У відбіркових змаганнях беруть участь 10 осіб, у фіналі яких виходять троє. Скільки може бути різних трійок фіналістів?
Рішення. На відміну від попереднього прикладу, тут не важливим є порядок фіналістів, отже, шукаємо число поєднань з 10 по 3:
приклад 2.В урні 10 куль: 6 білих та 4 чорних. З неї виймають дві кулі. Яка ймовірність того що: а) 2 білих; б) 2чорні; в) 1білий,1чорний
Рішення:
а)нехай А - вийнято 2білих кулі. Знайдемо загальне число всіх елементарних наслідків n.
б)нехай В – вийнято 2 чорні кулі
в)нехай С – вийнята 1біла і 1чорна куля
В урні 10 білих, 5 червоних та 5 зелених куль. Знайти ймовірність того, що вийнята навмання куля буде кольоровою (не білою).
Рішення:
Число результатів, що сприяють події А,дорівнює сумі червоних та зелених куль: т = 10. Загальна кількість рівноможливих несумісних результатів дорівнює загальному числу куль в урні: п = 20. Тоді:
При визначенні ймовірності події, за її класичним визначенням, потрібне виконання певних умов. Ці умови полягають у рівноможливості та несумісності подій, що входять до повної групи подій, ймовірність яких треба визначити. Насправді не завжди можна визначити всі можливі варіанти результатів, а тим більше обґрунтувати їхню рівноможливість. Тому за неможливості задоволення вимогам класичного визначення ймовірності використовують статистичну оцінку ймовірності події. При цьому запроваджується поняття відносної частотипояви події А, що дорівнює відношенню , де т- кількість випробувань, у яких сталася подія А; п -загальна кількість випробувань.
Я. Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні кількості випробувань відносна частота події Абуде скільки завгодно мало відрізняти від ймовірності події А: .
Ця рівність справедлива за незмінності умов, за яких проводиться експеримент.
Справедливість теореми Бернуллі була підтверджена й у численних дослідах проти ймовірностей, обчислених класичним і статистичним методами. Так, у дослідах Пірсона, за визначенням ймовірності випадання «герба» при виконанні 12 000 кидків, статистична ймовірність дорівнювала 0,5016, а при 24 000 кидків - 0,5005, що показує наближення до значення ймовірності 0,5 по мірі збільшення дослідів. Близькість значень ймовірності, визначених у різний спосіб, вказують на об'єктивність можливості настання цієї події.
4. Теорема складання ймовірностей
Знаючи ймовірності одних подій, можна обчислити ймовірність інших, якщо вони пов'язані між собою. Теорема складання ймовірностей дозволяє визначити ймовірність появи однієї з кількох випадкових подій.
Теорема.Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).(2)
Доведення.Нехай п- загальна кількість рівноможливих несумісних елементарних результатів; m 1 -кількість наслідків, що сприяють події А; т 2 -кількість наслідків, що сприяють події Ст.Так як Аі Унесумісні події, то події А+Всприятиме m 1 +m 2результатів. Тоді, згідно з класичним визначенням ймовірності:
Розширюючи цей доказ на пподій, можна довести таку теорему.
Теорема.Імовірність суми кінцевого числа попарно несумісних подій А 1 , А 2 ,..., А дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто.
Р(А 1 + А 2 +…+А п) = Р(А 1) + Р(А 2) +…+Р(А п) (3)
З цієї теореми можна вивести два наслідки:
Наслідок 1.Якщо події А 1 ,А 2 ,..., А утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто. = Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А п) = 1.(4)
Наслідок 2.Сума ймовірностей протилежних обставин дорівнює одиниці, тобто.
Доведення.Протилежні події несумісні та утворюють повну групу, а сума ймовірностей таких подій дорівнює 1.
Приклад 3.
Знайти ймовірність випадання цифри 2 чи 3 під час кидання гральної кістки.
Рішення:
Подія А -випадання цифри 2, ймовірність цієї події Р(А)= . Подія У- випадання цифри 3, ймовірність цієї події Р(В) = . Події несумісні, тому
приклад 4.
Отримано партію одягу в кількості 40 штук. З них 20 комплектів чоловічого одягу, 6 – жіночого та 14 – дитячого. Знайти ймовірність того, що взятий навмання одяг виявиться не жіночим.
Рішення:
Подія А- одяг чоловічий, ймовірність 
Подія У- жіночий одяг, 
-> Теорія ймовірностей. Випадкова подія, її частота та ймовірність
Випадкова подія, її частота та ймовірність
